Theorem pcmpt2 12888

Description: Dividing two prime count maps yields a number with all dividing primes confined to an interval. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
pcmpt.1	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑𝐴), 1))
pcmpt.2	⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℙ 𝐴 ∈ ℕ0)
pcmpt.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
pcmpt.4	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
pcmpt.5	⊢ (𝑛 = 𝑃 → 𝐴 = 𝐵)
pcmpt2.6	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁))

Assertion

Ref	Expression
pcmpt2	⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑁))) = if((𝑃 ≤ 𝑀 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑁), 𝐵, 0))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑛   𝑃,𝑛

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐴(𝑛)   𝐹(𝑛)   𝑀(𝑛)   𝑁(𝑛)

Proof of Theorem pcmpt2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pcmpt.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
2		pcmpt.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑𝐴), 1))
3		pcmpt.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℙ 𝐴 ∈ ℕ0)
4	2, 3	pcmptcl 12886	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ seq1( · , 𝐹):ℕ⟶ℕ))
5	4	simprd 114	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → seq1( · , 𝐹):ℕ⟶ℕ)
6		pcmpt.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
7		pcmpt2.6	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
8		eluznn 9812	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ)
9	6, 7, 8	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
10	5, 9	ffvelcdmd 5776	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ∈ ℕ)
11	10	nnzd 9584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ∈ ℤ)
12	10	nnne0d 9171	. . 3 ⊢ (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ≠ 0)
13	5, 6	ffvelcdmd 5776	. . 3 ⊢ (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℕ)
14		pcdiv 12846	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ∈ ℤ ∧ (seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ≠ 0) ∧ (seq1( · , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℕ) → (𝑃 pCnt ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑁))) = ((𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑀)) − (𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑁))))
15	1, 11, 12, 13, 14	syl121anc 1276	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑁))) = ((𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑀)) − (𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑁))))
16		pcmpt.5	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑃 → 𝐴 = 𝐵)
17	2, 3, 9, 1, 16	pcmpt 12887	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑀)) = if(𝑃 ≤ 𝑀, 𝐵, 0))
18	2, 3, 6, 1, 16	pcmpt 12887	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑁)) = if(𝑃 ≤ 𝑁, 𝐵, 0))
19	17, 18	oveq12d 6028	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑀)) − (𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑁))) = (if(𝑃 ≤ 𝑀, 𝐵, 0) − if(𝑃 ≤ 𝑁, 𝐵, 0)))
20	16	eleq1d 2298	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑃 → (𝐴 ∈ ℕ0 ↔ 𝐵 ∈ ℕ0))
21	20, 3, 1	rspcdva 2912	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ0)
22	21	nn0cnd 9440	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
23	22	subidd 8461	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐵) = 0)
24	23	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ≤ 𝑁) → (𝐵 − 𝐵) = 0)
25		prmnn 12653	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
26	1, 25	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
27	26	nnred 9139	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℝ)
28	27	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ≤ 𝑁) → 𝑃 ∈ ℝ)
29	6	nnred 9139	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
30	29	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
31	9	nnred 9139	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
32	31	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℝ)
33		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ≤ 𝑁) → 𝑃 ≤ 𝑁)
34		eluzle 9751	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → 𝑁 ≤ 𝑀)
35	7, 34	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≤ 𝑀)
36	35	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ≤ 𝑁) → 𝑁 ≤ 𝑀)
37	28, 30, 32, 33, 36	letrd 8286	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ≤ 𝑁) → 𝑃 ≤ 𝑀)
38	37	iftrued 3609	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ≤ 𝑁) → if(𝑃 ≤ 𝑀, 𝐵, 0) = 𝐵)
39		iftrue 3607	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ≤ 𝑁 → if(𝑃 ≤ 𝑁, 𝐵, 0) = 𝐵)
40	39	adantl 277	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ≤ 𝑁) → if(𝑃 ≤ 𝑁, 𝐵, 0) = 𝐵)
41	38, 40	oveq12d 6028	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ≤ 𝑁) → (if(𝑃 ≤ 𝑀, 𝐵, 0) − if(𝑃 ≤ 𝑁, 𝐵, 0)) = (𝐵 − 𝐵))
42		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ≤ 𝑀 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑁) → ¬ 𝑃 ≤ 𝑁)
43	42, 33	nsyl3 629	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ≤ 𝑁) → ¬ (𝑃 ≤ 𝑀 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑁))
44	43	iffalsed 3612	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ≤ 𝑁) → if((𝑃 ≤ 𝑀 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑁), 𝐵, 0) = 0)
45	24, 41, 44	3eqtr4d 2272	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ≤ 𝑁) → (if(𝑃 ≤ 𝑀, 𝐵, 0) − if(𝑃 ≤ 𝑁, 𝐵, 0)) = if((𝑃 ≤ 𝑀 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑁), 𝐵, 0))
46		iffalse 3610	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑃 ≤ 𝑁 → if(𝑃 ≤ 𝑁, 𝐵, 0) = 0)
47	46	oveq2d 6026	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑃 ≤ 𝑁 → (if(𝑃 ≤ 𝑀, 𝐵, 0) − if(𝑃 ≤ 𝑁, 𝐵, 0)) = (if(𝑃 ≤ 𝑀, 𝐵, 0) − 0))
48		0cnd 8155	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
49	26	nnzd 9584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℤ)
50	9	nnzd 9584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
51		zdcle 9539	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → DECID 𝑃 ≤ 𝑀)
52	49, 50, 51	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → DECID 𝑃 ≤ 𝑀)
53	22, 48, 52	ifcldcd 3640	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → if(𝑃 ≤ 𝑀, 𝐵, 0) ∈ ℂ)
54	53	subid1d 8462	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (if(𝑃 ≤ 𝑀, 𝐵, 0) − 0) = if(𝑃 ≤ 𝑀, 𝐵, 0))
55	47, 54	sylan9eqr 2284	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑁) → (if(𝑃 ≤ 𝑀, 𝐵, 0) − if(𝑃 ≤ 𝑁, 𝐵, 0)) = if(𝑃 ≤ 𝑀, 𝐵, 0))
56		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑁) → ¬ 𝑃 ≤ 𝑁)
57	56	biantrud 304	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑁) → (𝑃 ≤ 𝑀 ↔ (𝑃 ≤ 𝑀 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑁)))
58	57	ifbid 3624	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑁) → if(𝑃 ≤ 𝑀, 𝐵, 0) = if((𝑃 ≤ 𝑀 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑁), 𝐵, 0))
59	55, 58	eqtrd 2262	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑁) → (if(𝑃 ≤ 𝑀, 𝐵, 0) − if(𝑃 ≤ 𝑁, 𝐵, 0)) = if((𝑃 ≤ 𝑀 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑁), 𝐵, 0))
60	6	nnzd 9584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
61		zdcle 9539	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID 𝑃 ≤ 𝑁)
62	49, 60, 61	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (𝜑 → DECID 𝑃 ≤ 𝑁)
63		exmiddc 841	. . . 4 ⊢ (DECID 𝑃 ≤ 𝑁 → (𝑃 ≤ 𝑁 ∨ ¬ 𝑃 ≤ 𝑁))
64	62, 63	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ≤ 𝑁 ∨ ¬ 𝑃 ≤ 𝑁))
65	45, 59, 64	mpjaodan 803	. 2 ⊢ (𝜑 → (if(𝑃 ≤ 𝑀, 𝐵, 0) − if(𝑃 ≤ 𝑁, 𝐵, 0)) = if((𝑃 ≤ 𝑀 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑁), 𝐵, 0))
66	15, 19, 65	3eqtrd 2266	1 ⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑁))) = if((𝑃 ≤ 𝑀 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑁), 𝐵, 0))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 713  DECID wdc 839   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   ≠ wne 2400  ∀wral 2508  ifcif 3602   class class class wbr 4083   ↦ cmpt 4145  ⟶wf 5317  ‘cfv 5321  (class class class)co 6010  ℂcc 8013  ℝcr 8014  0cc0 8015  1c1 8016   · cmul 8020   ≤ cle 8198   − cmin 8333   / cdiv 8835  ℕcn 9126  ℕ₀cn0 9385  ℤcz 9462  ℤ_≥cuz 9738  seqcseq 10686  ↑cexp 10777  ℙcprime 12650   pCnt cpc 12828

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-setind 4630  ax-iinf 4681  ax-cnex 8106  ax-resscn 8107  ax-1cn 8108  ax-1re 8109  ax-icn 8110  ax-addcl 8111  ax-addrcl 8112  ax-mulcl 8113  ax-mulrcl 8114  ax-addcom 8115  ax-mulcom 8116  ax-addass 8117  ax-mulass 8118  ax-distr 8119  ax-i2m1 8120  ax-0lt1 8121  ax-1rid 8122  ax-0id 8123  ax-rnegex 8124  ax-precex 8125  ax-cnre 8126  ax-pre-ltirr 8127  ax-pre-ltwlin 8128  ax-pre-lttrn 8129  ax-pre-apti 8130  ax-pre-ltadd 8131  ax-pre-mulgt0 8132  ax-pre-mulext 8133  ax-arch 8134  ax-caucvg 8135

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 836  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4385  df-po 4388  df-iso 4389  df-iord 4458  df-on 4460  df-ilim 4461  df-suc 4463  df-iom 4684  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-rn 4731  df-res 4732  df-ima 4733  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fn 5324  df-f 5325  df-f1 5326  df-fo 5327  df-f1o 5328  df-fv 5329  df-isom 5330  df-riota 5963  df-ov 6013  df-oprab 6014  df-mpo 6015  df-1st 6295  df-2nd 6296  df-recs 6462  df-frec 6548  df-1o 6573  df-2o 6574  df-er 6693  df-en 6901  df-fin 6903  df-sup 7167  df-inf 7168  df-pnf 8199  df-mnf 8200  df-xr 8201  df-ltxr 8202  df-le 8203  df-sub 8335  df-neg 8336  df-reap 8738  df-ap 8745  df-div 8836  df-inn 9127  df-2 9185  df-3 9186  df-4 9187  df-n0 9386  df-z 9463  df-uz 9739  df-q 9832  df-rp 9867  df-fz 10222  df-fzo 10356  df-fl 10507  df-mod 10562  df-seqfrec 10687  df-exp 10778  df-cj 11374  df-re 11375  df-im 11376  df-rsqrt 11530  df-abs 11531  df-dvds 12320  df-gcd 12496  df-prm 12651  df-pc 12829

This theorem is referenced by:  pcmptdvds  12889