Theorem pcmpt2 12376

Description: Dividing two prime count maps yields a number with all dividing primes confined to an interval. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
pcmpt.1	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑𝐴), 1))
pcmpt.2	⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℙ 𝐴 ∈ ℕ0)
pcmpt.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
pcmpt.4	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
pcmpt.5	⊢ (𝑛 = 𝑃 → 𝐴 = 𝐵)
pcmpt2.6	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁))

Assertion

Ref	Expression
pcmpt2	⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑁))) = if((𝑃 ≤ 𝑀 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑁), 𝐵, 0))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑛   𝑃,𝑛

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐴(𝑛)   𝐹(𝑛)   𝑀(𝑛)   𝑁(𝑛)

Proof of Theorem pcmpt2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pcmpt.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
2		pcmpt.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑𝐴), 1))
3		pcmpt.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℙ 𝐴 ∈ ℕ0)
4	2, 3	pcmptcl 12374	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ seq1( · , 𝐹):ℕ⟶ℕ))
5	4	simprd 114	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → seq1( · , 𝐹):ℕ⟶ℕ)
6		pcmpt.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
7		pcmpt2.6	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
8		eluznn 9630	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ)
9	6, 7, 8	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
10	5, 9	ffvelcdmd 5673	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ∈ ℕ)
11	10	nnzd 9404	. . 3 ⊢ (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ∈ ℤ)
12	10	nnne0d 8994	. . 3 ⊢ (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ≠ 0)
13	5, 6	ffvelcdmd 5673	. . 3 ⊢ (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℕ)
14		pcdiv 12334	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ∈ ℤ ∧ (seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ≠ 0) ∧ (seq1( · , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℕ) → (𝑃 pCnt ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑁))) = ((𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑀)) − (𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑁))))
15	1, 11, 12, 13, 14	syl121anc 1254	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑁))) = ((𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑀)) − (𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑁))))
16		pcmpt.5	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑃 → 𝐴 = 𝐵)
17	2, 3, 9, 1, 16	pcmpt 12375	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑀)) = if(𝑃 ≤ 𝑀, 𝐵, 0))
18	2, 3, 6, 1, 16	pcmpt 12375	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑁)) = if(𝑃 ≤ 𝑁, 𝐵, 0))
19	17, 18	oveq12d 5914	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑀)) − (𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑁))) = (if(𝑃 ≤ 𝑀, 𝐵, 0) − if(𝑃 ≤ 𝑁, 𝐵, 0)))
20	16	eleq1d 2258	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑃 → (𝐴 ∈ ℕ0 ↔ 𝐵 ∈ ℕ0))
21	20, 3, 1	rspcdva 2861	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ0)
22	21	nn0cnd 9261	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
23	22	subidd 8286	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐵) = 0)
24	23	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ≤ 𝑁) → (𝐵 − 𝐵) = 0)
25		prmnn 12142	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
26	1, 25	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
27	26	nnred 8962	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℝ)
28	27	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ≤ 𝑁) → 𝑃 ∈ ℝ)
29	6	nnred 8962	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
30	29	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
31	9	nnred 8962	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
32	31	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℝ)
33		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ≤ 𝑁) → 𝑃 ≤ 𝑁)
34		eluzle 9570	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → 𝑁 ≤ 𝑀)
35	7, 34	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≤ 𝑀)
36	35	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ≤ 𝑁) → 𝑁 ≤ 𝑀)
37	28, 30, 32, 33, 36	letrd 8111	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ≤ 𝑁) → 𝑃 ≤ 𝑀)
38	37	iftrued 3556	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ≤ 𝑁) → if(𝑃 ≤ 𝑀, 𝐵, 0) = 𝐵)
39		iftrue 3554	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ≤ 𝑁 → if(𝑃 ≤ 𝑁, 𝐵, 0) = 𝐵)
40	39	adantl 277	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ≤ 𝑁) → if(𝑃 ≤ 𝑁, 𝐵, 0) = 𝐵)
41	38, 40	oveq12d 5914	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ≤ 𝑁) → (if(𝑃 ≤ 𝑀, 𝐵, 0) − if(𝑃 ≤ 𝑁, 𝐵, 0)) = (𝐵 − 𝐵))
42		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ≤ 𝑀 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑁) → ¬ 𝑃 ≤ 𝑁)
43	42, 33	nsyl3 627	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ≤ 𝑁) → ¬ (𝑃 ≤ 𝑀 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑁))
44	43	iffalsed 3559	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ≤ 𝑁) → if((𝑃 ≤ 𝑀 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑁), 𝐵, 0) = 0)
45	24, 41, 44	3eqtr4d 2232	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ≤ 𝑁) → (if(𝑃 ≤ 𝑀, 𝐵, 0) − if(𝑃 ≤ 𝑁, 𝐵, 0)) = if((𝑃 ≤ 𝑀 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑁), 𝐵, 0))
46		iffalse 3557	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑃 ≤ 𝑁 → if(𝑃 ≤ 𝑁, 𝐵, 0) = 0)
47	46	oveq2d 5912	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑃 ≤ 𝑁 → (if(𝑃 ≤ 𝑀, 𝐵, 0) − if(𝑃 ≤ 𝑁, 𝐵, 0)) = (if(𝑃 ≤ 𝑀, 𝐵, 0) − 0))
48		0cnd 7980	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
49	26	nnzd 9404	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℤ)
50	9	nnzd 9404	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
51		zdcle 9359	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → DECID 𝑃 ≤ 𝑀)
52	49, 50, 51	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → DECID 𝑃 ≤ 𝑀)
53	22, 48, 52	ifcldcd 3585	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → if(𝑃 ≤ 𝑀, 𝐵, 0) ∈ ℂ)
54	53	subid1d 8287	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (if(𝑃 ≤ 𝑀, 𝐵, 0) − 0) = if(𝑃 ≤ 𝑀, 𝐵, 0))
55	47, 54	sylan9eqr 2244	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑁) → (if(𝑃 ≤ 𝑀, 𝐵, 0) − if(𝑃 ≤ 𝑁, 𝐵, 0)) = if(𝑃 ≤ 𝑀, 𝐵, 0))
56		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑁) → ¬ 𝑃 ≤ 𝑁)
57	56	biantrud 304	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑁) → (𝑃 ≤ 𝑀 ↔ (𝑃 ≤ 𝑀 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑁)))
58	57	ifbid 3570	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑁) → if(𝑃 ≤ 𝑀, 𝐵, 0) = if((𝑃 ≤ 𝑀 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑁), 𝐵, 0))
59	55, 58	eqtrd 2222	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑁) → (if(𝑃 ≤ 𝑀, 𝐵, 0) − if(𝑃 ≤ 𝑁, 𝐵, 0)) = if((𝑃 ≤ 𝑀 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑁), 𝐵, 0))
60	6	nnzd 9404	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
61		zdcle 9359	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID 𝑃 ≤ 𝑁)
62	49, 60, 61	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (𝜑 → DECID 𝑃 ≤ 𝑁)
63		exmiddc 837	. . . 4 ⊢ (DECID 𝑃 ≤ 𝑁 → (𝑃 ≤ 𝑁 ∨ ¬ 𝑃 ≤ 𝑁))
64	62, 63	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ≤ 𝑁 ∨ ¬ 𝑃 ≤ 𝑁))
65	45, 59, 64	mpjaodan 799	. 2 ⊢ (𝜑 → (if(𝑃 ≤ 𝑀, 𝐵, 0) − if(𝑃 ≤ 𝑁, 𝐵, 0)) = if((𝑃 ≤ 𝑀 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑁), 𝐵, 0))
66	15, 19, 65	3eqtrd 2226	1 ⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑁))) = if((𝑃 ≤ 𝑀 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑁), 𝐵, 0))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 709  DECID wdc 835   = wceq 1364   ∈ wcel 2160   ≠ wne 2360  ∀wral 2468  ifcif 3549   class class class wbr 4018   ↦ cmpt 4079  ⟶wf 5231  ‘cfv 5235  (class class class)co 5896  ℂcc 7839  ℝcr 7840  0cc0 7841  1c1 7842   · cmul 7846   ≤ cle 8023   − cmin 8158   / cdiv 8659  ℕcn 8949  ℕ₀cn0 9206  ℤcz 9283  ℤ_≥cuz 9558  seqcseq 10476  ↑cexp 10550  ℙcprime 12139   pCnt cpc 12316

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605  ax-cnex 7932  ax-resscn 7933  ax-1cn 7934  ax-1re 7935  ax-icn 7936  ax-addcl 7937  ax-addrcl 7938  ax-mulcl 7939  ax-mulrcl 7940  ax-addcom 7941  ax-mulcom 7942  ax-addass 7943  ax-mulass 7944  ax-distr 7945  ax-i2m1 7946  ax-0lt1 7947  ax-1rid 7948  ax-0id 7949  ax-rnegex 7950  ax-precex 7951  ax-cnre 7952  ax-pre-ltirr 7953  ax-pre-ltwlin 7954  ax-pre-lttrn 7955  ax-pre-apti 7956  ax-pre-ltadd 7957  ax-pre-mulgt0 7958  ax-pre-mulext 7959  ax-arch 7960  ax-caucvg 7961

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-iord 4384  df-on 4386  df-ilim 4387  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-isom 5244  df-riota 5852  df-ov 5899  df-oprab 5900  df-mpo 5901  df-1st 6165  df-2nd 6166  df-recs 6330  df-frec 6416  df-1o 6441  df-2o 6442  df-er 6559  df-en 6767  df-fin 6769  df-sup 7013  df-inf 7014  df-pnf 8024  df-mnf 8025  df-xr 8026  df-ltxr 8027  df-le 8028  df-sub 8160  df-neg 8161  df-reap 8562  df-ap 8569  df-div 8660  df-inn 8950  df-2 9008  df-3 9009  df-4 9010  df-n0 9207  df-z 9284  df-uz 9559  df-q 9650  df-rp 9684  df-fz 10039  df-fzo 10173  df-fl 10301  df-mod 10354  df-seqfrec 10477  df-exp 10551  df-cj 10883  df-re 10884  df-im 10885  df-rsqrt 11039  df-abs 11040  df-dvds 11827  df-gcd 11976  df-prm 12140  df-pc 12317

This theorem is referenced by:  pcmptdvds  12377