ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  pcmpt2 GIF version

Theorem pcmpt2 12283
Description: Dividing two prime count maps yields a number with all dividing primes confined to an interval. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
pcmpt.1 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛𝐴), 1))
pcmpt.2 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℙ 𝐴 ∈ ℕ0)
pcmpt.3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
pcmpt.4 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
pcmpt.5 (𝑛 = 𝑃𝐴 = 𝐵)
pcmpt2.6 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ𝑁))
Assertion
Ref Expression
pcmpt2 (𝜑 → (𝑃 pCnt ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑁))) = if((𝑃𝑀 ∧ ¬ 𝑃𝑁), 𝐵, 0))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑛   𝑃,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐴(𝑛)   𝐹(𝑛)   𝑀(𝑛)   𝑁(𝑛)

Proof of Theorem pcmpt2
StepHypRef Expression
1 pcmpt.4 . . 3 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
2 pcmpt.1 . . . . . . 7 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛𝐴), 1))
3 pcmpt.2 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℙ 𝐴 ∈ ℕ0)
42, 3pcmptcl 12281 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ seq1( · , 𝐹):ℕ⟶ℕ))
54simprd 113 . . . . 5 (𝜑 → seq1( · , 𝐹):ℕ⟶ℕ)
6 pcmpt.3 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
7 pcmpt2.6 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ𝑁))
8 eluznn 9546 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ)
96, 7, 8syl2anc 409 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
105, 9ffvelrnd 5629 . . . 4 (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ∈ ℕ)
1110nnzd 9320 . . 3 (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ∈ ℤ)
1210nnne0d 8910 . . 3 (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ≠ 0)
135, 6ffvelrnd 5629 . . 3 (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℕ)
14 pcdiv 12243 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ∈ ℤ ∧ (seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ≠ 0) ∧ (seq1( · , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℕ) → (𝑃 pCnt ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑁))) = ((𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑀)) − (𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑁))))
151, 11, 12, 13, 14syl121anc 1238 . 2 (𝜑 → (𝑃 pCnt ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑁))) = ((𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑀)) − (𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑁))))
16 pcmpt.5 . . . 4 (𝑛 = 𝑃𝐴 = 𝐵)
172, 3, 9, 1, 16pcmpt 12282 . . 3 (𝜑 → (𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑀)) = if(𝑃𝑀, 𝐵, 0))
182, 3, 6, 1, 16pcmpt 12282 . . 3 (𝜑 → (𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑁)) = if(𝑃𝑁, 𝐵, 0))
1917, 18oveq12d 5868 . 2 (𝜑 → ((𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑀)) − (𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑁))) = (if(𝑃𝑀, 𝐵, 0) − if(𝑃𝑁, 𝐵, 0)))
2016eleq1d 2239 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑃 → (𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0))
2120, 3, 1rspcdva 2839 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℕ0)
2221nn0cnd 9177 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
2322subidd 8205 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵𝐵) = 0)
2423adantr 274 . . . 4 ((𝜑𝑃𝑁) → (𝐵𝐵) = 0)
25 prmnn 12051 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
261, 25syl 14 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
2726nnred 8878 . . . . . . . 8 (𝜑𝑃 ∈ ℝ)
2827adantr 274 . . . . . . 7 ((𝜑𝑃𝑁) → 𝑃 ∈ ℝ)
296nnred 8878 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
3029adantr 274 . . . . . . 7 ((𝜑𝑃𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
319nnred 8878 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
3231adantr 274 . . . . . . 7 ((𝜑𝑃𝑁) → 𝑀 ∈ ℝ)
33 simpr 109 . . . . . . 7 ((𝜑𝑃𝑁) → 𝑃𝑁)
34 eluzle 9486 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ (ℤ𝑁) → 𝑁𝑀)
357, 34syl 14 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁𝑀)
3635adantr 274 . . . . . . 7 ((𝜑𝑃𝑁) → 𝑁𝑀)
3728, 30, 32, 33, 36letrd 8030 . . . . . 6 ((𝜑𝑃𝑁) → 𝑃𝑀)
3837iftrued 3532 . . . . 5 ((𝜑𝑃𝑁) → if(𝑃𝑀, 𝐵, 0) = 𝐵)
39 iftrue 3530 . . . . . 6 (𝑃𝑁 → if(𝑃𝑁, 𝐵, 0) = 𝐵)
4039adantl 275 . . . . 5 ((𝜑𝑃𝑁) → if(𝑃𝑁, 𝐵, 0) = 𝐵)
4138, 40oveq12d 5868 . . . 4 ((𝜑𝑃𝑁) → (if(𝑃𝑀, 𝐵, 0) − if(𝑃𝑁, 𝐵, 0)) = (𝐵𝐵))
42 simpr 109 . . . . . 6 ((𝑃𝑀 ∧ ¬ 𝑃𝑁) → ¬ 𝑃𝑁)
4342, 33nsyl3 621 . . . . 5 ((𝜑𝑃𝑁) → ¬ (𝑃𝑀 ∧ ¬ 𝑃𝑁))
4443iffalsed 3535 . . . 4 ((𝜑𝑃𝑁) → if((𝑃𝑀 ∧ ¬ 𝑃𝑁), 𝐵, 0) = 0)
4524, 41, 443eqtr4d 2213 . . 3 ((𝜑𝑃𝑁) → (if(𝑃𝑀, 𝐵, 0) − if(𝑃𝑁, 𝐵, 0)) = if((𝑃𝑀 ∧ ¬ 𝑃𝑁), 𝐵, 0))
46 iffalse 3533 . . . . . 6 𝑃𝑁 → if(𝑃𝑁, 𝐵, 0) = 0)
4746oveq2d 5866 . . . . 5 𝑃𝑁 → (if(𝑃𝑀, 𝐵, 0) − if(𝑃𝑁, 𝐵, 0)) = (if(𝑃𝑀, 𝐵, 0) − 0))
48 0cnd 7900 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
4926nnzd 9320 . . . . . . . 8 (𝜑𝑃 ∈ ℤ)
509nnzd 9320 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
51 zdcle 9275 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → DECID 𝑃𝑀)
5249, 50, 51syl2anc 409 . . . . . . 7 (𝜑DECID 𝑃𝑀)
5322, 48, 52ifcldcd 3560 . . . . . 6 (𝜑 → if(𝑃𝑀, 𝐵, 0) ∈ ℂ)
5453subid1d 8206 . . . . 5 (𝜑 → (if(𝑃𝑀, 𝐵, 0) − 0) = if(𝑃𝑀, 𝐵, 0))
5547, 54sylan9eqr 2225 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃𝑁) → (if(𝑃𝑀, 𝐵, 0) − if(𝑃𝑁, 𝐵, 0)) = if(𝑃𝑀, 𝐵, 0))
56 simpr 109 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃𝑁) → ¬ 𝑃𝑁)
5756biantrud 302 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃𝑁) → (𝑃𝑀 ↔ (𝑃𝑀 ∧ ¬ 𝑃𝑁)))
5857ifbid 3546 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃𝑁) → if(𝑃𝑀, 𝐵, 0) = if((𝑃𝑀 ∧ ¬ 𝑃𝑁), 𝐵, 0))
5955, 58eqtrd 2203 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃𝑁) → (if(𝑃𝑀, 𝐵, 0) − if(𝑃𝑁, 𝐵, 0)) = if((𝑃𝑀 ∧ ¬ 𝑃𝑁), 𝐵, 0))
606nnzd 9320 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
61 zdcle 9275 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID 𝑃𝑁)
6249, 60, 61syl2anc 409 . . . 4 (𝜑DECID 𝑃𝑁)
63 exmiddc 831 . . . 4 (DECID 𝑃𝑁 → (𝑃𝑁 ∨ ¬ 𝑃𝑁))
6462, 63syl 14 . . 3 (𝜑 → (𝑃𝑁 ∨ ¬ 𝑃𝑁))
6545, 59, 64mpjaodan 793 . 2 (𝜑 → (if(𝑃𝑀, 𝐵, 0) − if(𝑃𝑁, 𝐵, 0)) = if((𝑃𝑀 ∧ ¬ 𝑃𝑁), 𝐵, 0))
6615, 19, 653eqtrd 2207 1 (𝜑 → (𝑃 pCnt ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑁))) = if((𝑃𝑀 ∧ ¬ 𝑃𝑁), 𝐵, 0))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wo 703  DECID wdc 829   = wceq 1348  wcel 2141  wne 2340  wral 2448  ifcif 3525   class class class wbr 3987  cmpt 4048  wf 5192  cfv 5196  (class class class)co 5850  cc 7759  cr 7760  0cc0 7761  1c1 7762   · cmul 7766  cle 7942  cmin 8077   / cdiv 8576  cn 8865  0cn0 9122  cz 9199  cuz 9474  seqcseq 10388  cexp 10462  cprime 12048   pCnt cpc 12225
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4102  ax-sep 4105  ax-nul 4113  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-iinf 4570  ax-cnex 7852  ax-resscn 7853  ax-1cn 7854  ax-1re 7855  ax-icn 7856  ax-addcl 7857  ax-addrcl 7858  ax-mulcl 7859  ax-mulrcl 7860  ax-addcom 7861  ax-mulcom 7862  ax-addass 7863  ax-mulass 7864  ax-distr 7865  ax-i2m1 7866  ax-0lt1 7867  ax-1rid 7868  ax-0id 7869  ax-rnegex 7870  ax-precex 7871  ax-cnre 7872  ax-pre-ltirr 7873  ax-pre-ltwlin 7874  ax-pre-lttrn 7875  ax-pre-apti 7876  ax-pre-ltadd 7877  ax-pre-mulgt0 7878  ax-pre-mulext 7879  ax-arch 7880  ax-caucvg 7881
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 826  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3526  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-tr 4086  df-id 4276  df-po 4279  df-iso 4280  df-iord 4349  df-on 4351  df-ilim 4352  df-suc 4354  df-iom 4573  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204  df-isom 5205  df-riota 5806  df-ov 5853  df-oprab 5854  df-mpo 5855  df-1st 6116  df-2nd 6117  df-recs 6281  df-frec 6367  df-1o 6392  df-2o 6393  df-er 6509  df-en 6715  df-fin 6717  df-sup 6957  df-inf 6958  df-pnf 7943  df-mnf 7944  df-xr 7945  df-ltxr 7946  df-le 7947  df-sub 8079  df-neg 8080  df-reap 8481  df-ap 8488  df-div 8577  df-inn 8866  df-2 8924  df-3 8925  df-4 8926  df-n0 9123  df-z 9200  df-uz 9475  df-q 9566  df-rp 9598  df-fz 9953  df-fzo 10086  df-fl 10213  df-mod 10266  df-seqfrec 10389  df-exp 10463  df-cj 10793  df-re 10794  df-im 10795  df-rsqrt 10949  df-abs 10950  df-dvds 11737  df-gcd 11885  df-prm 12049  df-pc 12226
This theorem is referenced by:  pcmptdvds  12284
  Copyright terms: Public domain W3C validator