Theorem pcmpt2 12283

Description: Dividing two prime count maps yields a number with all dividing primes confined to an interval. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
pcmpt.1	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑𝐴), 1))
pcmpt.2	⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℙ 𝐴 ∈ ℕ0)
pcmpt.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
pcmpt.4	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
pcmpt.5	⊢ (𝑛 = 𝑃 → 𝐴 = 𝐵)
pcmpt2.6	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁))

Assertion

Ref	Expression
pcmpt2	⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑁))) = if((𝑃 ≤ 𝑀 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑁), 𝐵, 0))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑛   𝑃,𝑛

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐴(𝑛)   𝐹(𝑛)   𝑀(𝑛)   𝑁(𝑛)

Proof of Theorem pcmpt2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pcmpt.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
2		pcmpt.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑𝐴), 1))
3		pcmpt.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℙ 𝐴 ∈ ℕ0)
4	2, 3	pcmptcl 12281	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ seq1( · , 𝐹):ℕ⟶ℕ))
5	4	simprd 113	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → seq1( · , 𝐹):ℕ⟶ℕ)
6		pcmpt.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
7		pcmpt2.6	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
8		eluznn 9546	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ)
9	6, 7, 8	syl2anc 409	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
10	5, 9	ffvelrnd 5629	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ∈ ℕ)
11	10	nnzd 9320	. . 3 ⊢ (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ∈ ℤ)
12	10	nnne0d 8910	. . 3 ⊢ (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ≠ 0)
13	5, 6	ffvelrnd 5629	. . 3 ⊢ (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℕ)
14		pcdiv 12243	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ∈ ℤ ∧ (seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ≠ 0) ∧ (seq1( · , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℕ) → (𝑃 pCnt ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑁))) = ((𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑀)) − (𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑁))))
15	1, 11, 12, 13, 14	syl121anc 1238	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑁))) = ((𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑀)) − (𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑁))))
16		pcmpt.5	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑃 → 𝐴 = 𝐵)
17	2, 3, 9, 1, 16	pcmpt 12282	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑀)) = if(𝑃 ≤ 𝑀, 𝐵, 0))
18	2, 3, 6, 1, 16	pcmpt 12282	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑁)) = if(𝑃 ≤ 𝑁, 𝐵, 0))
19	17, 18	oveq12d 5868	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑀)) − (𝑃 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝑁))) = (if(𝑃 ≤ 𝑀, 𝐵, 0) − if(𝑃 ≤ 𝑁, 𝐵, 0)))
20	16	eleq1d 2239	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑃 → (𝐴 ∈ ℕ0 ↔ 𝐵 ∈ ℕ0))
21	20, 3, 1	rspcdva 2839	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ0)
22	21	nn0cnd 9177	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
23	22	subidd 8205	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐵) = 0)
24	23	adantr 274	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ≤ 𝑁) → (𝐵 − 𝐵) = 0)
25		prmnn 12051	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
26	1, 25	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
27	26	nnred 8878	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℝ)
28	27	adantr 274	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ≤ 𝑁) → 𝑃 ∈ ℝ)
29	6	nnred 8878	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
30	29	adantr 274	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
31	9	nnred 8878	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
32	31	adantr 274	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℝ)
33		simpr 109	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ≤ 𝑁) → 𝑃 ≤ 𝑁)
34		eluzle 9486	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → 𝑁 ≤ 𝑀)
35	7, 34	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≤ 𝑀)
36	35	adantr 274	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ≤ 𝑁) → 𝑁 ≤ 𝑀)
37	28, 30, 32, 33, 36	letrd 8030	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ≤ 𝑁) → 𝑃 ≤ 𝑀)
38	37	iftrued 3532	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ≤ 𝑁) → if(𝑃 ≤ 𝑀, 𝐵, 0) = 𝐵)
39		iftrue 3530	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ≤ 𝑁 → if(𝑃 ≤ 𝑁, 𝐵, 0) = 𝐵)
40	39	adantl 275	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ≤ 𝑁) → if(𝑃 ≤ 𝑁, 𝐵, 0) = 𝐵)
41	38, 40	oveq12d 5868	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ≤ 𝑁) → (if(𝑃 ≤ 𝑀, 𝐵, 0) − if(𝑃 ≤ 𝑁, 𝐵, 0)) = (𝐵 − 𝐵))
42		simpr 109	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ≤ 𝑀 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑁) → ¬ 𝑃 ≤ 𝑁)
43	42, 33	nsyl3 621	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ≤ 𝑁) → ¬ (𝑃 ≤ 𝑀 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑁))
44	43	iffalsed 3535	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ≤ 𝑁) → if((𝑃 ≤ 𝑀 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑁), 𝐵, 0) = 0)
45	24, 41, 44	3eqtr4d 2213	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ≤ 𝑁) → (if(𝑃 ≤ 𝑀, 𝐵, 0) − if(𝑃 ≤ 𝑁, 𝐵, 0)) = if((𝑃 ≤ 𝑀 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑁), 𝐵, 0))
46		iffalse 3533	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑃 ≤ 𝑁 → if(𝑃 ≤ 𝑁, 𝐵, 0) = 0)
47	46	oveq2d 5866	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑃 ≤ 𝑁 → (if(𝑃 ≤ 𝑀, 𝐵, 0) − if(𝑃 ≤ 𝑁, 𝐵, 0)) = (if(𝑃 ≤ 𝑀, 𝐵, 0) − 0))
48		0cnd 7900	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
49	26	nnzd 9320	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℤ)
50	9	nnzd 9320	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
51		zdcle 9275	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → DECID 𝑃 ≤ 𝑀)
52	49, 50, 51	syl2anc 409	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → DECID 𝑃 ≤ 𝑀)
53	22, 48, 52	ifcldcd 3560	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → if(𝑃 ≤ 𝑀, 𝐵, 0) ∈ ℂ)
54	53	subid1d 8206	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (if(𝑃 ≤ 𝑀, 𝐵, 0) − 0) = if(𝑃 ≤ 𝑀, 𝐵, 0))
55	47, 54	sylan9eqr 2225	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑁) → (if(𝑃 ≤ 𝑀, 𝐵, 0) − if(𝑃 ≤ 𝑁, 𝐵, 0)) = if(𝑃 ≤ 𝑀, 𝐵, 0))
56		simpr 109	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑁) → ¬ 𝑃 ≤ 𝑁)
57	56	biantrud 302	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑁) → (𝑃 ≤ 𝑀 ↔ (𝑃 ≤ 𝑀 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑁)))
58	57	ifbid 3546	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑁) → if(𝑃 ≤ 𝑀, 𝐵, 0) = if((𝑃 ≤ 𝑀 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑁), 𝐵, 0))
59	55, 58	eqtrd 2203	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑁) → (if(𝑃 ≤ 𝑀, 𝐵, 0) − if(𝑃 ≤ 𝑁, 𝐵, 0)) = if((𝑃 ≤ 𝑀 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑁), 𝐵, 0))
60	6	nnzd 9320	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
61		zdcle 9275	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID 𝑃 ≤ 𝑁)
62	49, 60, 61	syl2anc 409	. . . 4 ⊢ (𝜑 → DECID 𝑃 ≤ 𝑁)
63		exmiddc 831	. . . 4 ⊢ (DECID 𝑃 ≤ 𝑁 → (𝑃 ≤ 𝑁 ∨ ¬ 𝑃 ≤ 𝑁))
64	62, 63	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ≤ 𝑁 ∨ ¬ 𝑃 ≤ 𝑁))
65	45, 59, 64	mpjaodan 793	. 2 ⊢ (𝜑 → (if(𝑃 ≤ 𝑀, 𝐵, 0) − if(𝑃 ≤ 𝑁, 𝐵, 0)) = if((𝑃 ≤ 𝑀 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑁), 𝐵, 0))
66	15, 19, 65	3eqtrd 2207	1 ⊢ (𝜑 → (𝑃 pCnt ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑁))) = if((𝑃 ≤ 𝑀 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑁), 𝐵, 0))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ∨ wo 703  DECID wdc 829   = wceq 1348   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2340  ∀wral 2448  ifcif 3525   class class class wbr 3987   ↦ cmpt 4048  ⟶wf 5192  ‘cfv 5196  (class class class)co 5850  ℂcc 7759  ℝcr 7760  0cc0 7761  1c1 7762   · cmul 7766   ≤ cle 7942   − cmin 8077   / cdiv 8576  ℕcn 8865  ℕ₀cn0 9122  ℤcz 9199  ℤ_≥cuz 9474  seqcseq 10388  ↑cexp 10462  ℙcprime 12048   pCnt cpc 12225

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4102  ax-sep 4105  ax-nul 4113  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-iinf 4570  ax-cnex 7852  ax-resscn 7853  ax-1cn 7854  ax-1re 7855  ax-icn 7856  ax-addcl 7857  ax-addrcl 7858  ax-mulcl 7859  ax-mulrcl 7860  ax-addcom 7861  ax-mulcom 7862  ax-addass 7863  ax-mulass 7864  ax-distr 7865  ax-i2m1 7866  ax-0lt1 7867  ax-1rid 7868  ax-0id 7869  ax-rnegex 7870  ax-precex 7871  ax-cnre 7872  ax-pre-ltirr 7873  ax-pre-ltwlin 7874  ax-pre-lttrn 7875  ax-pre-apti 7876  ax-pre-ltadd 7877  ax-pre-mulgt0 7878  ax-pre-mulext 7879  ax-arch 7880  ax-caucvg 7881

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 826  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3526  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-tr 4086  df-id 4276  df-po 4279  df-iso 4280  df-iord 4349  df-on 4351  df-ilim 4352  df-suc 4354  df-iom 4573  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204  df-isom 5205  df-riota 5806  df-ov 5853  df-oprab 5854  df-mpo 5855  df-1st 6116  df-2nd 6117  df-recs 6281  df-frec 6367  df-1o 6392  df-2o 6393  df-er 6509  df-en 6715  df-fin 6717  df-sup 6957  df-inf 6958  df-pnf 7943  df-mnf 7944  df-xr 7945  df-ltxr 7946  df-le 7947  df-sub 8079  df-neg 8080  df-reap 8481  df-ap 8488  df-div 8577  df-inn 8866  df-2 8924  df-3 8925  df-4 8926  df-n0 9123  df-z 9200  df-uz 9475  df-q 9566  df-rp 9598  df-fz 9953  df-fzo 10086  df-fl 10213  df-mod 10266  df-seqfrec 10389  df-exp 10463  df-cj 10793  df-re 10794  df-im 10795  df-rsqrt 10949  df-abs 10950  df-dvds 11737  df-gcd 11885  df-prm 12049  df-pc 12226

This theorem is referenced by:  pcmptdvds  12284