Theorem mkvprop 7134

Description: Markov's Principle expressed in terms of propositions (or more precisely, the 𝐴 = ω case is Markov's Principle). (Contributed by Jim Kingdon, 19-Mar-2023.)

Assertion

Ref	Expression
mkvprop	⊢ ((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 ¬ 𝜑) → ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝜑)

Distinct variable group:   𝐴,𝑛

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑛)

Proof of Theorem mkvprop

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1521	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑛 𝐴 ∈ Markov
2		nfra1 2501	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑛∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑
3	1, 2	nfan 1558	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑛(𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑)
4		simpr 109	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → 𝑛 ∈ 𝐴)
5		0lt2o 6420	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∅ ∈ 2o
6	5	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → ∅ ∈ 2o)
7		1lt2o 6421	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1o ∈ 2o
8	7	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → 1o ∈ 2o)
9		rsp 2517	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑 → (𝑛 ∈ 𝐴 → DECID 𝜑))
10	9	imp 123	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → DECID 𝜑)
11	6, 8, 10	ifcldcd 3561	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → if(𝜑, ∅, 1o) ∈ 2o)
12	11	adantll 473	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → if(𝜑, ∅, 1o) ∈ 2o)
13		eqid 2170	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o)) = (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))
14	13	fvmpt2 5579	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ 𝐴 ∧ if(𝜑, ∅, 1o) ∈ 2o) → ((𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = if(𝜑, ∅, 1o))
15	4, 12, 14	syl2anc 409	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → ((𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = if(𝜑, ∅, 1o))
16	15	eqeq1d 2179	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (((𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = 1o ↔ if(𝜑, ∅, 1o) = 1o))
17		1n0 6411	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1o ≠ ∅
18	17	nesymi 2386	. . . . . . . . 9 ⊢ ¬ ∅ = 1o
19		iftrue 3531	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → if(𝜑, ∅, 1o) = ∅)
20	19	eqeq1d 2179	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (if(𝜑, ∅, 1o) = 1o ↔ ∅ = 1o))
21	18, 20	mtbiri 670	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ¬ if(𝜑, ∅, 1o) = 1o)
22	21	con2i 622	. . . . . . 7 ⊢ (if(𝜑, ∅, 1o) = 1o → ¬ 𝜑)
23	16, 22	syl6bi 162	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (((𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = 1o → ¬ 𝜑))
24	3, 23	ralimdaa 2536	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑) → (∀𝑛 ∈ 𝐴 ((𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = 1o → ∀𝑛 ∈ 𝐴 ¬ 𝜑))
25	24	con3d 626	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑) → (¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 ¬ 𝜑 → ¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 ((𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = 1o))
26	25	3impia 1195	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 ¬ 𝜑) → ¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 ((𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = 1o)
27		mptexg 5721	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Markov → (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o)) ∈ V)
28	27	3ad2ant1 1013	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 ¬ 𝜑) → (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o)) ∈ V)
29		ismkv 7129	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Markov → (𝐴 ∈ Markov ↔ ∀𝑓(𝑓:𝐴⟶2o → (¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑛) = 1o → ∃𝑛 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑛) = ∅))))
30	29	ibi 175	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Markov → ∀𝑓(𝑓:𝐴⟶2o → (¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑛) = 1o → ∃𝑛 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑛) = ∅)))
31	30	3ad2ant1 1013	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 ¬ 𝜑) → ∀𝑓(𝑓:𝐴⟶2o → (¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑛) = 1o → ∃𝑛 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑛) = ∅)))
32		nfra1 2501	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑛∀𝑛 ∈ 𝐴 ¬ 𝜑
33	32	nfn 1651	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑛 ¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 ¬ 𝜑
34	1, 2, 33	nf3an 1559	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑛(𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 ¬ 𝜑)
35	11	3ad2antl2 1155	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 ¬ 𝜑) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → if(𝜑, ∅, 1o) ∈ 2o)
36	34, 35, 13	fmptdf 5653	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 ¬ 𝜑) → (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o)):𝐴⟶2o)
37		feq1 5330	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o)) → (𝑓:𝐴⟶2o ↔ (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o)):𝐴⟶2o))
38		nfmpt1 4082	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛(𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))
39	38	nfeq2 2324	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛 𝑓 = (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))
40		fveq1 5495	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 = (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o)) → (𝑓‘𝑛) = ((𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛))
41	40	eqeq1d 2179	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o)) → ((𝑓‘𝑛) = 1o ↔ ((𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = 1o))
42	39, 41	ralbid 2468	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o)) → (∀𝑛 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑛) = 1o ↔ ∀𝑛 ∈ 𝐴 ((𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = 1o))
43	42	notbid 662	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o)) → (¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑛) = 1o ↔ ¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 ((𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = 1o))
44	40	eqeq1d 2179	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o)) → ((𝑓‘𝑛) = ∅ ↔ ((𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = ∅))
45	39, 44	rexbid 2469	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o)) → (∃𝑛 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑛) = ∅ ↔ ∃𝑛 ∈ 𝐴 ((𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = ∅))
46	43, 45	imbi12d 233	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o)) → ((¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑛) = 1o → ∃𝑛 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑛) = ∅) ↔ (¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 ((𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = 1o → ∃𝑛 ∈ 𝐴 ((𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = ∅)))
47	37, 46	imbi12d 233	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o)) → ((𝑓:𝐴⟶2o → (¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑛) = 1o → ∃𝑛 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑛) = ∅)) ↔ ((𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o)):𝐴⟶2o → (¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 ((𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = 1o → ∃𝑛 ∈ 𝐴 ((𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = ∅))))
48	47	spcgv 2817	. . . 4 ⊢ ((𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o)) ∈ V → (∀𝑓(𝑓:𝐴⟶2o → (¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑛) = 1o → ∃𝑛 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑛) = ∅)) → ((𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o)):𝐴⟶2o → (¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 ((𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = 1o → ∃𝑛 ∈ 𝐴 ((𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = ∅))))
49	28, 31, 36, 48	syl3c 63	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 ¬ 𝜑) → (¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 ((𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = 1o → ∃𝑛 ∈ 𝐴 ((𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = ∅))
50	26, 49	mpd 13	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 ¬ 𝜑) → ∃𝑛 ∈ 𝐴 ((𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = ∅)
51		simpr 109	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 ¬ 𝜑) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → 𝑛 ∈ 𝐴)
52	51, 35, 14	syl2anc 409	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 ¬ 𝜑) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → ((𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = if(𝜑, ∅, 1o))
53	52	eqeq1d 2179	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 ¬ 𝜑) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (((𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = ∅ ↔ if(𝜑, ∅, 1o) = ∅))
54	9	3ad2ant2 1014	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 ¬ 𝜑) → (𝑛 ∈ 𝐴 → DECID 𝜑))
55	54	imp 123	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 ¬ 𝜑) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → DECID 𝜑)
56	17	neii 2342	. . . . . . . . 9 ⊢ ¬ 1o = ∅
57		simpr 109	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 ¬ 𝜑) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝜑) → ¬ 𝜑)
58	57	iffalsed 3536	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 ¬ 𝜑) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝜑) → if(𝜑, ∅, 1o) = 1o)
59	58	eqeq1d 2179	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 ¬ 𝜑) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝜑) → (if(𝜑, ∅, 1o) = ∅ ↔ 1o = ∅))
60	56, 59	mtbiri 670	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 ¬ 𝜑) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝜑) → ¬ if(𝜑, ∅, 1o) = ∅)
61	60	ex 114	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 ¬ 𝜑) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (¬ 𝜑 → ¬ if(𝜑, ∅, 1o) = ∅))
62	61	con2d 619	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 ¬ 𝜑) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (if(𝜑, ∅, 1o) = ∅ → ¬ ¬ 𝜑))
63		notnotrdc 838	. . . . . 6 ⊢ (DECID 𝜑 → (¬ ¬ 𝜑 → 𝜑))
64	55, 62, 63	sylsyld 58	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 ¬ 𝜑) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (if(𝜑, ∅, 1o) = ∅ → 𝜑))
65	64, 19	impbid1 141	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 ¬ 𝜑) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (if(𝜑, ∅, 1o) = ∅ ↔ 𝜑))
66	53, 65	bitrd 187	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 ¬ 𝜑) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (((𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = ∅ ↔ 𝜑))
67	34, 66	rexbida 2465	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 ¬ 𝜑) → (∃𝑛 ∈ 𝐴 ((𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = ∅ ↔ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝜑))
68	50, 67	mpbid 146	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 ¬ 𝜑) → ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝜑)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103  DECID wdc 829   ∧ w3a 973  ∀wal 1346   = wceq 1348   ∈ wcel 2141  ∀wral 2448  ∃wrex 2449  Vcvv 2730  ∅c0 3414  ifcif 3526   ↦ cmpt 4050  ⟶wf 5194  ‘cfv 5198  1_oc1o 6388  2_oc2o 6389  Markovcmarkov 7127

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-iord 4351  df-on 4353  df-suc 4356  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-1o 6395  df-2o 6396  df-markov 7128

This theorem is referenced by: (None)