Theorem mkvprop 7321

Description: Markov's Principle expressed in terms of propositions (or more precisely, the 𝐴 = ω case is Markov's Principle). (Contributed by Jim Kingdon, 19-Mar-2023.)

Assertion

Ref	Expression
mkvprop	⊢ ((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 ¬ 𝜑) → ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝜑)

Distinct variable group:   𝐴,𝑛

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑛)

Proof of Theorem mkvprop

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1574	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑛 𝐴 ∈ Markov
2		nfra1 2561	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑛∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑
3	1, 2	nfan 1611	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑛(𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑)
4		simpr 110	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → 𝑛 ∈ 𝐴)
5		0lt2o 6585	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∅ ∈ 2o
6	5	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → ∅ ∈ 2o)
7		1lt2o 6586	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1o ∈ 2o
8	7	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → 1o ∈ 2o)
9		rsp 2577	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑 → (𝑛 ∈ 𝐴 → DECID 𝜑))
10	9	imp 124	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → DECID 𝜑)
11	6, 8, 10	ifcldcd 3640	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → if(𝜑, ∅, 1o) ∈ 2o)
12	11	adantll 476	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → if(𝜑, ∅, 1o) ∈ 2o)
13		eqid 2229	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o)) = (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))
14	13	fvmpt2 5717	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ 𝐴 ∧ if(𝜑, ∅, 1o) ∈ 2o) → ((𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = if(𝜑, ∅, 1o))
15	4, 12, 14	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → ((𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = if(𝜑, ∅, 1o))
16	15	eqeq1d 2238	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (((𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = 1o ↔ if(𝜑, ∅, 1o) = 1o))
17		1n0 6576	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1o ≠ ∅
18	17	nesymi 2446	. . . . . . . . 9 ⊢ ¬ ∅ = 1o
19		iftrue 3607	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → if(𝜑, ∅, 1o) = ∅)
20	19	eqeq1d 2238	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (if(𝜑, ∅, 1o) = 1o ↔ ∅ = 1o))
21	18, 20	mtbiri 679	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ¬ if(𝜑, ∅, 1o) = 1o)
22	21	con2i 630	. . . . . . 7 ⊢ (if(𝜑, ∅, 1o) = 1o → ¬ 𝜑)
23	16, 22	biimtrdi 163	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (((𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = 1o → ¬ 𝜑))
24	3, 23	ralimdaa 2596	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑) → (∀𝑛 ∈ 𝐴 ((𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = 1o → ∀𝑛 ∈ 𝐴 ¬ 𝜑))
25	24	con3d 634	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑) → (¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 ¬ 𝜑 → ¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 ((𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = 1o))
26	25	3impia 1224	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 ¬ 𝜑) → ¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 ((𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = 1o)
27		mptexg 5863	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Markov → (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o)) ∈ V)
28	27	3ad2ant1 1042	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 ¬ 𝜑) → (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o)) ∈ V)
29		ismkv 7316	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Markov → (𝐴 ∈ Markov ↔ ∀𝑓(𝑓:𝐴⟶2o → (¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑛) = 1o → ∃𝑛 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑛) = ∅))))
30	29	ibi 176	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Markov → ∀𝑓(𝑓:𝐴⟶2o → (¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑛) = 1o → ∃𝑛 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑛) = ∅)))
31	30	3ad2ant1 1042	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 ¬ 𝜑) → ∀𝑓(𝑓:𝐴⟶2o → (¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑛) = 1o → ∃𝑛 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑛) = ∅)))
32		nfra1 2561	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑛∀𝑛 ∈ 𝐴 ¬ 𝜑
33	32	nfn 1704	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑛 ¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 ¬ 𝜑
34	1, 2, 33	nf3an 1612	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑛(𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 ¬ 𝜑)
35	11	3ad2antl2 1184	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 ¬ 𝜑) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → if(𝜑, ∅, 1o) ∈ 2o)
36	34, 35, 13	fmptdf 5791	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 ¬ 𝜑) → (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o)):𝐴⟶2o)
37		feq1 5455	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o)) → (𝑓:𝐴⟶2o ↔ (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o)):𝐴⟶2o))
38		nfmpt1 4176	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛(𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))
39	38	nfeq2 2384	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛 𝑓 = (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))
40		fveq1 5625	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 = (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o)) → (𝑓‘𝑛) = ((𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛))
41	40	eqeq1d 2238	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o)) → ((𝑓‘𝑛) = 1o ↔ ((𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = 1o))
42	39, 41	ralbid 2528	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o)) → (∀𝑛 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑛) = 1o ↔ ∀𝑛 ∈ 𝐴 ((𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = 1o))
43	42	notbid 671	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o)) → (¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑛) = 1o ↔ ¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 ((𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = 1o))
44	40	eqeq1d 2238	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o)) → ((𝑓‘𝑛) = ∅ ↔ ((𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = ∅))
45	39, 44	rexbid 2529	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o)) → (∃𝑛 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑛) = ∅ ↔ ∃𝑛 ∈ 𝐴 ((𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = ∅))
46	43, 45	imbi12d 234	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o)) → ((¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑛) = 1o → ∃𝑛 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑛) = ∅) ↔ (¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 ((𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = 1o → ∃𝑛 ∈ 𝐴 ((𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = ∅)))
47	37, 46	imbi12d 234	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o)) → ((𝑓:𝐴⟶2o → (¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑛) = 1o → ∃𝑛 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑛) = ∅)) ↔ ((𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o)):𝐴⟶2o → (¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 ((𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = 1o → ∃𝑛 ∈ 𝐴 ((𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = ∅))))
48	47	spcgv 2890	. . . 4 ⊢ ((𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o)) ∈ V → (∀𝑓(𝑓:𝐴⟶2o → (¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑛) = 1o → ∃𝑛 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑛) = ∅)) → ((𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o)):𝐴⟶2o → (¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 ((𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = 1o → ∃𝑛 ∈ 𝐴 ((𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = ∅))))
49	28, 31, 36, 48	syl3c 63	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 ¬ 𝜑) → (¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 ((𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = 1o → ∃𝑛 ∈ 𝐴 ((𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = ∅))
50	26, 49	mpd 13	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 ¬ 𝜑) → ∃𝑛 ∈ 𝐴 ((𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = ∅)
51		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 ¬ 𝜑) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → 𝑛 ∈ 𝐴)
52	51, 35, 14	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 ¬ 𝜑) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → ((𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = if(𝜑, ∅, 1o))
53	52	eqeq1d 2238	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 ¬ 𝜑) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (((𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = ∅ ↔ if(𝜑, ∅, 1o) = ∅))
54	9	3ad2ant2 1043	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 ¬ 𝜑) → (𝑛 ∈ 𝐴 → DECID 𝜑))
55	54	imp 124	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 ¬ 𝜑) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → DECID 𝜑)
56	17	neii 2402	. . . . . . . . 9 ⊢ ¬ 1o = ∅
57		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 ¬ 𝜑) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝜑) → ¬ 𝜑)
58	57	iffalsed 3612	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 ¬ 𝜑) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝜑) → if(𝜑, ∅, 1o) = 1o)
59	58	eqeq1d 2238	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 ¬ 𝜑) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝜑) → (if(𝜑, ∅, 1o) = ∅ ↔ 1o = ∅))
60	56, 59	mtbiri 679	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 ¬ 𝜑) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝜑) → ¬ if(𝜑, ∅, 1o) = ∅)
61	60	ex 115	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 ¬ 𝜑) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (¬ 𝜑 → ¬ if(𝜑, ∅, 1o) = ∅))
62	61	con2d 627	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 ¬ 𝜑) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (if(𝜑, ∅, 1o) = ∅ → ¬ ¬ 𝜑))
63		notnotrdc 848	. . . . . 6 ⊢ (DECID 𝜑 → (¬ ¬ 𝜑 → 𝜑))
64	55, 62, 63	sylsyld 58	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 ¬ 𝜑) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (if(𝜑, ∅, 1o) = ∅ → 𝜑))
65	64, 19	impbid1 142	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 ¬ 𝜑) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (if(𝜑, ∅, 1o) = ∅ ↔ 𝜑))
66	53, 65	bitrd 188	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 ¬ 𝜑) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (((𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = ∅ ↔ 𝜑))
67	34, 66	rexbida 2525	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 ¬ 𝜑) → (∃𝑛 ∈ 𝐴 ((𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = ∅ ↔ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝜑))
68	50, 67	mpbid 147	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 ¬ 𝜑) → ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝜑)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104  DECID wdc 839   ∧ w3a 1002  ∀wal 1393   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ∀wral 2508  ∃wrex 2509  Vcvv 2799  ∅c0 3491  ifcif 3602   ↦ cmpt 4144  ⟶wf 5313  ‘cfv 5317  1_oc1o 6553  2_oc2o 6554  Markovcmarkov 7314

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-id 4383  df-iord 4456  df-on 4458  df-suc 4461  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-fv 5325  df-1o 6560  df-2o 6561  df-markov 7315

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