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Theorem mkvprop 7146
Description: Markov's Principle expressed in terms of propositions (or more precisely, the 𝐴 = ω case is Markov's Principle). (Contributed by Jim Kingdon, 19-Mar-2023.)
Assertion
Ref Expression
mkvprop ((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛𝐴 ¬ 𝜑) → ∃𝑛𝐴 𝜑)
Distinct variable group:   𝐴,𝑛
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑛)

Proof of Theorem mkvprop
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1526 . . . . . . 7 𝑛 𝐴 ∈ Markov
2 nfra1 2506 . . . . . . 7 𝑛𝑛𝐴 DECID 𝜑
31, 2nfan 1563 . . . . . 6 𝑛(𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛𝐴 DECID 𝜑)
4 simpr 110 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛𝐴 DECID 𝜑) ∧ 𝑛𝐴) → 𝑛𝐴)
5 0lt2o 6432 . . . . . . . . . . . 12 ∅ ∈ 2o
65a1i 9 . . . . . . . . . . 11 ((∀𝑛𝐴 DECID 𝜑𝑛𝐴) → ∅ ∈ 2o)
7 1lt2o 6433 . . . . . . . . . . . 12 1o ∈ 2o
87a1i 9 . . . . . . . . . . 11 ((∀𝑛𝐴 DECID 𝜑𝑛𝐴) → 1o ∈ 2o)
9 rsp 2522 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑛𝐴 DECID 𝜑 → (𝑛𝐴DECID 𝜑))
109imp 124 . . . . . . . . . . 11 ((∀𝑛𝐴 DECID 𝜑𝑛𝐴) → DECID 𝜑)
116, 8, 10ifcldcd 3567 . . . . . . . . . 10 ((∀𝑛𝐴 DECID 𝜑𝑛𝐴) → if(𝜑, ∅, 1o) ∈ 2o)
1211adantll 476 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛𝐴 DECID 𝜑) ∧ 𝑛𝐴) → if(𝜑, ∅, 1o) ∈ 2o)
13 eqid 2175 . . . . . . . . . 10 (𝑛𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o)) = (𝑛𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))
1413fvmpt2 5591 . . . . . . . . 9 ((𝑛𝐴 ∧ if(𝜑, ∅, 1o) ∈ 2o) → ((𝑛𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = if(𝜑, ∅, 1o))
154, 12, 14syl2anc 411 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛𝐴 DECID 𝜑) ∧ 𝑛𝐴) → ((𝑛𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = if(𝜑, ∅, 1o))
1615eqeq1d 2184 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛𝐴 DECID 𝜑) ∧ 𝑛𝐴) → (((𝑛𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = 1o ↔ if(𝜑, ∅, 1o) = 1o))
17 1n0 6423 . . . . . . . . . 10 1o ≠ ∅
1817nesymi 2391 . . . . . . . . 9 ¬ ∅ = 1o
19 iftrue 3537 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → if(𝜑, ∅, 1o) = ∅)
2019eqeq1d 2184 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (if(𝜑, ∅, 1o) = 1o ↔ ∅ = 1o))
2118, 20mtbiri 675 . . . . . . . 8 (𝜑 → ¬ if(𝜑, ∅, 1o) = 1o)
2221con2i 627 . . . . . . 7 (if(𝜑, ∅, 1o) = 1o → ¬ 𝜑)
2316, 22syl6bi 163 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛𝐴 DECID 𝜑) ∧ 𝑛𝐴) → (((𝑛𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = 1o → ¬ 𝜑))
243, 23ralimdaa 2541 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛𝐴 DECID 𝜑) → (∀𝑛𝐴 ((𝑛𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = 1o → ∀𝑛𝐴 ¬ 𝜑))
2524con3d 631 . . . 4 ((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛𝐴 DECID 𝜑) → (¬ ∀𝑛𝐴 ¬ 𝜑 → ¬ ∀𝑛𝐴 ((𝑛𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = 1o))
26253impia 1200 . . 3 ((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛𝐴 ¬ 𝜑) → ¬ ∀𝑛𝐴 ((𝑛𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = 1o)
27 mptexg 5733 . . . . 5 (𝐴 ∈ Markov → (𝑛𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o)) ∈ V)
28273ad2ant1 1018 . . . 4 ((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛𝐴 ¬ 𝜑) → (𝑛𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o)) ∈ V)
29 ismkv 7141 . . . . . 6 (𝐴 ∈ Markov → (𝐴 ∈ Markov ↔ ∀𝑓(𝑓:𝐴⟶2o → (¬ ∀𝑛𝐴 (𝑓𝑛) = 1o → ∃𝑛𝐴 (𝑓𝑛) = ∅))))
3029ibi 176 . . . . 5 (𝐴 ∈ Markov → ∀𝑓(𝑓:𝐴⟶2o → (¬ ∀𝑛𝐴 (𝑓𝑛) = 1o → ∃𝑛𝐴 (𝑓𝑛) = ∅)))
31303ad2ant1 1018 . . . 4 ((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛𝐴 ¬ 𝜑) → ∀𝑓(𝑓:𝐴⟶2o → (¬ ∀𝑛𝐴 (𝑓𝑛) = 1o → ∃𝑛𝐴 (𝑓𝑛) = ∅)))
32 nfra1 2506 . . . . . . 7 𝑛𝑛𝐴 ¬ 𝜑
3332nfn 1656 . . . . . 6 𝑛 ¬ ∀𝑛𝐴 ¬ 𝜑
341, 2, 33nf3an 1564 . . . . 5 𝑛(𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛𝐴 ¬ 𝜑)
35113ad2antl2 1160 . . . . 5 (((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛𝐴 ¬ 𝜑) ∧ 𝑛𝐴) → if(𝜑, ∅, 1o) ∈ 2o)
3634, 35, 13fmptdf 5665 . . . 4 ((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛𝐴 ¬ 𝜑) → (𝑛𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o)):𝐴⟶2o)
37 feq1 5340 . . . . . 6 (𝑓 = (𝑛𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o)) → (𝑓:𝐴⟶2o ↔ (𝑛𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o)):𝐴⟶2o))
38 nfmpt1 4091 . . . . . . . . . 10 𝑛(𝑛𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))
3938nfeq2 2329 . . . . . . . . 9 𝑛 𝑓 = (𝑛𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))
40 fveq1 5506 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = (𝑛𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o)) → (𝑓𝑛) = ((𝑛𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛))
4140eqeq1d 2184 . . . . . . . . 9 (𝑓 = (𝑛𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o)) → ((𝑓𝑛) = 1o ↔ ((𝑛𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = 1o))
4239, 41ralbid 2473 . . . . . . . 8 (𝑓 = (𝑛𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o)) → (∀𝑛𝐴 (𝑓𝑛) = 1o ↔ ∀𝑛𝐴 ((𝑛𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = 1o))
4342notbid 667 . . . . . . 7 (𝑓 = (𝑛𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o)) → (¬ ∀𝑛𝐴 (𝑓𝑛) = 1o ↔ ¬ ∀𝑛𝐴 ((𝑛𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = 1o))
4440eqeq1d 2184 . . . . . . . 8 (𝑓 = (𝑛𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o)) → ((𝑓𝑛) = ∅ ↔ ((𝑛𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = ∅))
4539, 44rexbid 2474 . . . . . . 7 (𝑓 = (𝑛𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o)) → (∃𝑛𝐴 (𝑓𝑛) = ∅ ↔ ∃𝑛𝐴 ((𝑛𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = ∅))
4643, 45imbi12d 234 . . . . . 6 (𝑓 = (𝑛𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o)) → ((¬ ∀𝑛𝐴 (𝑓𝑛) = 1o → ∃𝑛𝐴 (𝑓𝑛) = ∅) ↔ (¬ ∀𝑛𝐴 ((𝑛𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = 1o → ∃𝑛𝐴 ((𝑛𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = ∅)))
4737, 46imbi12d 234 . . . . 5 (𝑓 = (𝑛𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o)) → ((𝑓:𝐴⟶2o → (¬ ∀𝑛𝐴 (𝑓𝑛) = 1o → ∃𝑛𝐴 (𝑓𝑛) = ∅)) ↔ ((𝑛𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o)):𝐴⟶2o → (¬ ∀𝑛𝐴 ((𝑛𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = 1o → ∃𝑛𝐴 ((𝑛𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = ∅))))
4847spcgv 2822 . . . 4 ((𝑛𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o)) ∈ V → (∀𝑓(𝑓:𝐴⟶2o → (¬ ∀𝑛𝐴 (𝑓𝑛) = 1o → ∃𝑛𝐴 (𝑓𝑛) = ∅)) → ((𝑛𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o)):𝐴⟶2o → (¬ ∀𝑛𝐴 ((𝑛𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = 1o → ∃𝑛𝐴 ((𝑛𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = ∅))))
4928, 31, 36, 48syl3c 63 . . 3 ((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛𝐴 ¬ 𝜑) → (¬ ∀𝑛𝐴 ((𝑛𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = 1o → ∃𝑛𝐴 ((𝑛𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = ∅))
5026, 49mpd 13 . 2 ((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛𝐴 ¬ 𝜑) → ∃𝑛𝐴 ((𝑛𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = ∅)
51 simpr 110 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛𝐴 ¬ 𝜑) ∧ 𝑛𝐴) → 𝑛𝐴)
5251, 35, 14syl2anc 411 . . . . 5 (((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛𝐴 ¬ 𝜑) ∧ 𝑛𝐴) → ((𝑛𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = if(𝜑, ∅, 1o))
5352eqeq1d 2184 . . . 4 (((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛𝐴 ¬ 𝜑) ∧ 𝑛𝐴) → (((𝑛𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = ∅ ↔ if(𝜑, ∅, 1o) = ∅))
5493ad2ant2 1019 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛𝐴 ¬ 𝜑) → (𝑛𝐴DECID 𝜑))
5554imp 124 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛𝐴 ¬ 𝜑) ∧ 𝑛𝐴) → DECID 𝜑)
5617neii 2347 . . . . . . . . 9 ¬ 1o = ∅
57 simpr 110 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛𝐴 ¬ 𝜑) ∧ 𝑛𝐴) ∧ ¬ 𝜑) → ¬ 𝜑)
5857iffalsed 3542 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛𝐴 ¬ 𝜑) ∧ 𝑛𝐴) ∧ ¬ 𝜑) → if(𝜑, ∅, 1o) = 1o)
5958eqeq1d 2184 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛𝐴 ¬ 𝜑) ∧ 𝑛𝐴) ∧ ¬ 𝜑) → (if(𝜑, ∅, 1o) = ∅ ↔ 1o = ∅))
6056, 59mtbiri 675 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛𝐴 ¬ 𝜑) ∧ 𝑛𝐴) ∧ ¬ 𝜑) → ¬ if(𝜑, ∅, 1o) = ∅)
6160ex 115 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛𝐴 ¬ 𝜑) ∧ 𝑛𝐴) → (¬ 𝜑 → ¬ if(𝜑, ∅, 1o) = ∅))
6261con2d 624 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛𝐴 ¬ 𝜑) ∧ 𝑛𝐴) → (if(𝜑, ∅, 1o) = ∅ → ¬ ¬ 𝜑))
63 notnotrdc 843 . . . . . 6 (DECID 𝜑 → (¬ ¬ 𝜑𝜑))
6455, 62, 63sylsyld 58 . . . . 5 (((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛𝐴 ¬ 𝜑) ∧ 𝑛𝐴) → (if(𝜑, ∅, 1o) = ∅ → 𝜑))
6564, 19impbid1 142 . . . 4 (((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛𝐴 ¬ 𝜑) ∧ 𝑛𝐴) → (if(𝜑, ∅, 1o) = ∅ ↔ 𝜑))
6653, 65bitrd 188 . . 3 (((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛𝐴 ¬ 𝜑) ∧ 𝑛𝐴) → (((𝑛𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = ∅ ↔ 𝜑))
6734, 66rexbida 2470 . 2 ((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛𝐴 ¬ 𝜑) → (∃𝑛𝐴 ((𝑛𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = ∅ ↔ ∃𝑛𝐴 𝜑))
6850, 67mpbid 147 1 ((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛𝐴 ¬ 𝜑) → ∃𝑛𝐴 𝜑)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 104  DECID wdc 834  w3a 978  wal 1351   = wceq 1353  wcel 2146  wral 2453  wrex 2454  Vcvv 2735  c0 3420  ifcif 3532  cmpt 4059  wf 5204  cfv 5208  1oc1o 6400  2oc2o 6401  Markovcmarkov 7139
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-coll 4113  ax-sep 4116  ax-nul 4124  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-nul 3421  df-if 3533  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-iun 3884  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-tr 4097  df-id 4287  df-iord 4360  df-on 4362  df-suc 4365  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-f1 5213  df-fo 5214  df-f1o 5215  df-fv 5216  df-1o 6407  df-2o 6408  df-markov 7140
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