Theorem mkvprop 7224

Description: Markov's Principle expressed in terms of propositions (or more precisely, the 𝐴 = ω case is Markov's Principle). (Contributed by Jim Kingdon, 19-Mar-2023.)

Assertion

Ref	Expression
mkvprop	⊢ ((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 ¬ 𝜑) → ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝜑)

Distinct variable group:   𝐴,𝑛

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑛)

Proof of Theorem mkvprop

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1542	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑛 𝐴 ∈ Markov
2		nfra1 2528	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑛∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑
3	1, 2	nfan 1579	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑛(𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑)
4		simpr 110	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → 𝑛 ∈ 𝐴)
5		0lt2o 6499	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∅ ∈ 2o
6	5	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → ∅ ∈ 2o)
7		1lt2o 6500	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1o ∈ 2o
8	7	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → 1o ∈ 2o)
9		rsp 2544	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑 → (𝑛 ∈ 𝐴 → DECID 𝜑))
10	9	imp 124	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → DECID 𝜑)
11	6, 8, 10	ifcldcd 3597	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → if(𝜑, ∅, 1o) ∈ 2o)
12	11	adantll 476	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → if(𝜑, ∅, 1o) ∈ 2o)
13		eqid 2196	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o)) = (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))
14	13	fvmpt2 5645	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ 𝐴 ∧ if(𝜑, ∅, 1o) ∈ 2o) → ((𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = if(𝜑, ∅, 1o))
15	4, 12, 14	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → ((𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = if(𝜑, ∅, 1o))
16	15	eqeq1d 2205	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (((𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = 1o ↔ if(𝜑, ∅, 1o) = 1o))
17		1n0 6490	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1o ≠ ∅
18	17	nesymi 2413	. . . . . . . . 9 ⊢ ¬ ∅ = 1o
19		iftrue 3566	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → if(𝜑, ∅, 1o) = ∅)
20	19	eqeq1d 2205	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (if(𝜑, ∅, 1o) = 1o ↔ ∅ = 1o))
21	18, 20	mtbiri 676	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ¬ if(𝜑, ∅, 1o) = 1o)
22	21	con2i 628	. . . . . . 7 ⊢ (if(𝜑, ∅, 1o) = 1o → ¬ 𝜑)
23	16, 22	biimtrdi 163	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (((𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = 1o → ¬ 𝜑))
24	3, 23	ralimdaa 2563	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑) → (∀𝑛 ∈ 𝐴 ((𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = 1o → ∀𝑛 ∈ 𝐴 ¬ 𝜑))
25	24	con3d 632	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑) → (¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 ¬ 𝜑 → ¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 ((𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = 1o))
26	25	3impia 1202	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 ¬ 𝜑) → ¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 ((𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = 1o)
27		mptexg 5787	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Markov → (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o)) ∈ V)
28	27	3ad2ant1 1020	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 ¬ 𝜑) → (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o)) ∈ V)
29		ismkv 7219	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Markov → (𝐴 ∈ Markov ↔ ∀𝑓(𝑓:𝐴⟶2o → (¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑛) = 1o → ∃𝑛 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑛) = ∅))))
30	29	ibi 176	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Markov → ∀𝑓(𝑓:𝐴⟶2o → (¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑛) = 1o → ∃𝑛 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑛) = ∅)))
31	30	3ad2ant1 1020	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 ¬ 𝜑) → ∀𝑓(𝑓:𝐴⟶2o → (¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑛) = 1o → ∃𝑛 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑛) = ∅)))
32		nfra1 2528	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑛∀𝑛 ∈ 𝐴 ¬ 𝜑
33	32	nfn 1672	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑛 ¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 ¬ 𝜑
34	1, 2, 33	nf3an 1580	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑛(𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 ¬ 𝜑)
35	11	3ad2antl2 1162	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 ¬ 𝜑) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → if(𝜑, ∅, 1o) ∈ 2o)
36	34, 35, 13	fmptdf 5719	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 ¬ 𝜑) → (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o)):𝐴⟶2o)
37		feq1 5390	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o)) → (𝑓:𝐴⟶2o ↔ (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o)):𝐴⟶2o))
38		nfmpt1 4126	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛(𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))
39	38	nfeq2 2351	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛 𝑓 = (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))
40		fveq1 5557	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 = (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o)) → (𝑓‘𝑛) = ((𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛))
41	40	eqeq1d 2205	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o)) → ((𝑓‘𝑛) = 1o ↔ ((𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = 1o))
42	39, 41	ralbid 2495	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o)) → (∀𝑛 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑛) = 1o ↔ ∀𝑛 ∈ 𝐴 ((𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = 1o))
43	42	notbid 668	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o)) → (¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑛) = 1o ↔ ¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 ((𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = 1o))
44	40	eqeq1d 2205	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o)) → ((𝑓‘𝑛) = ∅ ↔ ((𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = ∅))
45	39, 44	rexbid 2496	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o)) → (∃𝑛 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑛) = ∅ ↔ ∃𝑛 ∈ 𝐴 ((𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = ∅))
46	43, 45	imbi12d 234	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o)) → ((¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑛) = 1o → ∃𝑛 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑛) = ∅) ↔ (¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 ((𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = 1o → ∃𝑛 ∈ 𝐴 ((𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = ∅)))
47	37, 46	imbi12d 234	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o)) → ((𝑓:𝐴⟶2o → (¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑛) = 1o → ∃𝑛 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑛) = ∅)) ↔ ((𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o)):𝐴⟶2o → (¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 ((𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = 1o → ∃𝑛 ∈ 𝐴 ((𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = ∅))))
48	47	spcgv 2851	. . . 4 ⊢ ((𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o)) ∈ V → (∀𝑓(𝑓:𝐴⟶2o → (¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑛) = 1o → ∃𝑛 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑛) = ∅)) → ((𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o)):𝐴⟶2o → (¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 ((𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = 1o → ∃𝑛 ∈ 𝐴 ((𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = ∅))))
49	28, 31, 36, 48	syl3c 63	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 ¬ 𝜑) → (¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 ((𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = 1o → ∃𝑛 ∈ 𝐴 ((𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = ∅))
50	26, 49	mpd 13	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 ¬ 𝜑) → ∃𝑛 ∈ 𝐴 ((𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = ∅)
51		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 ¬ 𝜑) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → 𝑛 ∈ 𝐴)
52	51, 35, 14	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 ¬ 𝜑) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → ((𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = if(𝜑, ∅, 1o))
53	52	eqeq1d 2205	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 ¬ 𝜑) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (((𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = ∅ ↔ if(𝜑, ∅, 1o) = ∅))
54	9	3ad2ant2 1021	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 ¬ 𝜑) → (𝑛 ∈ 𝐴 → DECID 𝜑))
55	54	imp 124	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 ¬ 𝜑) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → DECID 𝜑)
56	17	neii 2369	. . . . . . . . 9 ⊢ ¬ 1o = ∅
57		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 ¬ 𝜑) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝜑) → ¬ 𝜑)
58	57	iffalsed 3571	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 ¬ 𝜑) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝜑) → if(𝜑, ∅, 1o) = 1o)
59	58	eqeq1d 2205	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 ¬ 𝜑) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝜑) → (if(𝜑, ∅, 1o) = ∅ ↔ 1o = ∅))
60	56, 59	mtbiri 676	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 ¬ 𝜑) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝜑) → ¬ if(𝜑, ∅, 1o) = ∅)
61	60	ex 115	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 ¬ 𝜑) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (¬ 𝜑 → ¬ if(𝜑, ∅, 1o) = ∅))
62	61	con2d 625	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 ¬ 𝜑) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (if(𝜑, ∅, 1o) = ∅ → ¬ ¬ 𝜑))
63		notnotrdc 844	. . . . . 6 ⊢ (DECID 𝜑 → (¬ ¬ 𝜑 → 𝜑))
64	55, 62, 63	sylsyld 58	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 ¬ 𝜑) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (if(𝜑, ∅, 1o) = ∅ → 𝜑))
65	64, 19	impbid1 142	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 ¬ 𝜑) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (if(𝜑, ∅, 1o) = ∅ ↔ 𝜑))
66	53, 65	bitrd 188	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 ¬ 𝜑) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (((𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = ∅ ↔ 𝜑))
67	34, 66	rexbida 2492	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 ¬ 𝜑) → (∃𝑛 ∈ 𝐴 ((𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = ∅ ↔ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝜑))
68	50, 67	mpbid 147	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 ¬ 𝜑) → ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝜑)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104  DECID wdc 835   ∧ w3a 980  ∀wal 1362   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  ∀wral 2475  ∃wrex 2476  Vcvv 2763  ∅c0 3450  ifcif 3561   ↦ cmpt 4094  ⟶wf 5254  ‘cfv 5258  1_oc1o 6467  2_oc2o 6468  Markovcmarkov 7217

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-iord 4401  df-on 4403  df-suc 4406  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-1o 6474  df-2o 6475  df-markov 7218

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