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Theorem mkvprop 7150
Description: Markov's Principle expressed in terms of propositions (or more precisely, the 𝐴 = ω case is Markov's Principle). (Contributed by Jim Kingdon, 19-Mar-2023.)
Assertion
Ref Expression
mkvprop ((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛𝐴 ¬ 𝜑) → ∃𝑛𝐴 𝜑)
Distinct variable group:   𝐴,𝑛
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑛)

Proof of Theorem mkvprop
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1528 . . . . . . 7 𝑛 𝐴 ∈ Markov
2 nfra1 2508 . . . . . . 7 𝑛𝑛𝐴 DECID 𝜑
31, 2nfan 1565 . . . . . 6 𝑛(𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛𝐴 DECID 𝜑)
4 simpr 110 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛𝐴 DECID 𝜑) ∧ 𝑛𝐴) → 𝑛𝐴)
5 0lt2o 6436 . . . . . . . . . . . 12 ∅ ∈ 2o
65a1i 9 . . . . . . . . . . 11 ((∀𝑛𝐴 DECID 𝜑𝑛𝐴) → ∅ ∈ 2o)
7 1lt2o 6437 . . . . . . . . . . . 12 1o ∈ 2o
87a1i 9 . . . . . . . . . . 11 ((∀𝑛𝐴 DECID 𝜑𝑛𝐴) → 1o ∈ 2o)
9 rsp 2524 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑛𝐴 DECID 𝜑 → (𝑛𝐴DECID 𝜑))
109imp 124 . . . . . . . . . . 11 ((∀𝑛𝐴 DECID 𝜑𝑛𝐴) → DECID 𝜑)
116, 8, 10ifcldcd 3569 . . . . . . . . . 10 ((∀𝑛𝐴 DECID 𝜑𝑛𝐴) → if(𝜑, ∅, 1o) ∈ 2o)
1211adantll 476 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛𝐴 DECID 𝜑) ∧ 𝑛𝐴) → if(𝜑, ∅, 1o) ∈ 2o)
13 eqid 2177 . . . . . . . . . 10 (𝑛𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o)) = (𝑛𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))
1413fvmpt2 5595 . . . . . . . . 9 ((𝑛𝐴 ∧ if(𝜑, ∅, 1o) ∈ 2o) → ((𝑛𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = if(𝜑, ∅, 1o))
154, 12, 14syl2anc 411 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛𝐴 DECID 𝜑) ∧ 𝑛𝐴) → ((𝑛𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = if(𝜑, ∅, 1o))
1615eqeq1d 2186 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛𝐴 DECID 𝜑) ∧ 𝑛𝐴) → (((𝑛𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = 1o ↔ if(𝜑, ∅, 1o) = 1o))
17 1n0 6427 . . . . . . . . . 10 1o ≠ ∅
1817nesymi 2393 . . . . . . . . 9 ¬ ∅ = 1o
19 iftrue 3539 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → if(𝜑, ∅, 1o) = ∅)
2019eqeq1d 2186 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (if(𝜑, ∅, 1o) = 1o ↔ ∅ = 1o))
2118, 20mtbiri 675 . . . . . . . 8 (𝜑 → ¬ if(𝜑, ∅, 1o) = 1o)
2221con2i 627 . . . . . . 7 (if(𝜑, ∅, 1o) = 1o → ¬ 𝜑)
2316, 22syl6bi 163 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛𝐴 DECID 𝜑) ∧ 𝑛𝐴) → (((𝑛𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = 1o → ¬ 𝜑))
243, 23ralimdaa 2543 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛𝐴 DECID 𝜑) → (∀𝑛𝐴 ((𝑛𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = 1o → ∀𝑛𝐴 ¬ 𝜑))
2524con3d 631 . . . 4 ((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛𝐴 DECID 𝜑) → (¬ ∀𝑛𝐴 ¬ 𝜑 → ¬ ∀𝑛𝐴 ((𝑛𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = 1o))
26253impia 1200 . . 3 ((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛𝐴 ¬ 𝜑) → ¬ ∀𝑛𝐴 ((𝑛𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = 1o)
27 mptexg 5737 . . . . 5 (𝐴 ∈ Markov → (𝑛𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o)) ∈ V)
28273ad2ant1 1018 . . . 4 ((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛𝐴 ¬ 𝜑) → (𝑛𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o)) ∈ V)
29 ismkv 7145 . . . . . 6 (𝐴 ∈ Markov → (𝐴 ∈ Markov ↔ ∀𝑓(𝑓:𝐴⟶2o → (¬ ∀𝑛𝐴 (𝑓𝑛) = 1o → ∃𝑛𝐴 (𝑓𝑛) = ∅))))
3029ibi 176 . . . . 5 (𝐴 ∈ Markov → ∀𝑓(𝑓:𝐴⟶2o → (¬ ∀𝑛𝐴 (𝑓𝑛) = 1o → ∃𝑛𝐴 (𝑓𝑛) = ∅)))
31303ad2ant1 1018 . . . 4 ((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛𝐴 ¬ 𝜑) → ∀𝑓(𝑓:𝐴⟶2o → (¬ ∀𝑛𝐴 (𝑓𝑛) = 1o → ∃𝑛𝐴 (𝑓𝑛) = ∅)))
32 nfra1 2508 . . . . . . 7 𝑛𝑛𝐴 ¬ 𝜑
3332nfn 1658 . . . . . 6 𝑛 ¬ ∀𝑛𝐴 ¬ 𝜑
341, 2, 33nf3an 1566 . . . . 5 𝑛(𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛𝐴 ¬ 𝜑)
35113ad2antl2 1160 . . . . 5 (((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛𝐴 ¬ 𝜑) ∧ 𝑛𝐴) → if(𝜑, ∅, 1o) ∈ 2o)
3634, 35, 13fmptdf 5669 . . . 4 ((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛𝐴 ¬ 𝜑) → (𝑛𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o)):𝐴⟶2o)
37 feq1 5344 . . . . . 6 (𝑓 = (𝑛𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o)) → (𝑓:𝐴⟶2o ↔ (𝑛𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o)):𝐴⟶2o))
38 nfmpt1 4093 . . . . . . . . . 10 𝑛(𝑛𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))
3938nfeq2 2331 . . . . . . . . 9 𝑛 𝑓 = (𝑛𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))
40 fveq1 5510 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = (𝑛𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o)) → (𝑓𝑛) = ((𝑛𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛))
4140eqeq1d 2186 . . . . . . . . 9 (𝑓 = (𝑛𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o)) → ((𝑓𝑛) = 1o ↔ ((𝑛𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = 1o))
4239, 41ralbid 2475 . . . . . . . 8 (𝑓 = (𝑛𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o)) → (∀𝑛𝐴 (𝑓𝑛) = 1o ↔ ∀𝑛𝐴 ((𝑛𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = 1o))
4342notbid 667 . . . . . . 7 (𝑓 = (𝑛𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o)) → (¬ ∀𝑛𝐴 (𝑓𝑛) = 1o ↔ ¬ ∀𝑛𝐴 ((𝑛𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = 1o))
4440eqeq1d 2186 . . . . . . . 8 (𝑓 = (𝑛𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o)) → ((𝑓𝑛) = ∅ ↔ ((𝑛𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = ∅))
4539, 44rexbid 2476 . . . . . . 7 (𝑓 = (𝑛𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o)) → (∃𝑛𝐴 (𝑓𝑛) = ∅ ↔ ∃𝑛𝐴 ((𝑛𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = ∅))
4643, 45imbi12d 234 . . . . . 6 (𝑓 = (𝑛𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o)) → ((¬ ∀𝑛𝐴 (𝑓𝑛) = 1o → ∃𝑛𝐴 (𝑓𝑛) = ∅) ↔ (¬ ∀𝑛𝐴 ((𝑛𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = 1o → ∃𝑛𝐴 ((𝑛𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = ∅)))
4737, 46imbi12d 234 . . . . 5 (𝑓 = (𝑛𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o)) → ((𝑓:𝐴⟶2o → (¬ ∀𝑛𝐴 (𝑓𝑛) = 1o → ∃𝑛𝐴 (𝑓𝑛) = ∅)) ↔ ((𝑛𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o)):𝐴⟶2o → (¬ ∀𝑛𝐴 ((𝑛𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = 1o → ∃𝑛𝐴 ((𝑛𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = ∅))))
4847spcgv 2824 . . . 4 ((𝑛𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o)) ∈ V → (∀𝑓(𝑓:𝐴⟶2o → (¬ ∀𝑛𝐴 (𝑓𝑛) = 1o → ∃𝑛𝐴 (𝑓𝑛) = ∅)) → ((𝑛𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o)):𝐴⟶2o → (¬ ∀𝑛𝐴 ((𝑛𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = 1o → ∃𝑛𝐴 ((𝑛𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = ∅))))
4928, 31, 36, 48syl3c 63 . . 3 ((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛𝐴 ¬ 𝜑) → (¬ ∀𝑛𝐴 ((𝑛𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = 1o → ∃𝑛𝐴 ((𝑛𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = ∅))
5026, 49mpd 13 . 2 ((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛𝐴 ¬ 𝜑) → ∃𝑛𝐴 ((𝑛𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = ∅)
51 simpr 110 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛𝐴 ¬ 𝜑) ∧ 𝑛𝐴) → 𝑛𝐴)
5251, 35, 14syl2anc 411 . . . . 5 (((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛𝐴 ¬ 𝜑) ∧ 𝑛𝐴) → ((𝑛𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = if(𝜑, ∅, 1o))
5352eqeq1d 2186 . . . 4 (((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛𝐴 ¬ 𝜑) ∧ 𝑛𝐴) → (((𝑛𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = ∅ ↔ if(𝜑, ∅, 1o) = ∅))
5493ad2ant2 1019 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛𝐴 ¬ 𝜑) → (𝑛𝐴DECID 𝜑))
5554imp 124 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛𝐴 ¬ 𝜑) ∧ 𝑛𝐴) → DECID 𝜑)
5617neii 2349 . . . . . . . . 9 ¬ 1o = ∅
57 simpr 110 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛𝐴 ¬ 𝜑) ∧ 𝑛𝐴) ∧ ¬ 𝜑) → ¬ 𝜑)
5857iffalsed 3544 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛𝐴 ¬ 𝜑) ∧ 𝑛𝐴) ∧ ¬ 𝜑) → if(𝜑, ∅, 1o) = 1o)
5958eqeq1d 2186 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛𝐴 ¬ 𝜑) ∧ 𝑛𝐴) ∧ ¬ 𝜑) → (if(𝜑, ∅, 1o) = ∅ ↔ 1o = ∅))
6056, 59mtbiri 675 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛𝐴 ¬ 𝜑) ∧ 𝑛𝐴) ∧ ¬ 𝜑) → ¬ if(𝜑, ∅, 1o) = ∅)
6160ex 115 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛𝐴 ¬ 𝜑) ∧ 𝑛𝐴) → (¬ 𝜑 → ¬ if(𝜑, ∅, 1o) = ∅))
6261con2d 624 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛𝐴 ¬ 𝜑) ∧ 𝑛𝐴) → (if(𝜑, ∅, 1o) = ∅ → ¬ ¬ 𝜑))
63 notnotrdc 843 . . . . . 6 (DECID 𝜑 → (¬ ¬ 𝜑𝜑))
6455, 62, 63sylsyld 58 . . . . 5 (((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛𝐴 ¬ 𝜑) ∧ 𝑛𝐴) → (if(𝜑, ∅, 1o) = ∅ → 𝜑))
6564, 19impbid1 142 . . . 4 (((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛𝐴 ¬ 𝜑) ∧ 𝑛𝐴) → (if(𝜑, ∅, 1o) = ∅ ↔ 𝜑))
6653, 65bitrd 188 . . 3 (((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛𝐴 ¬ 𝜑) ∧ 𝑛𝐴) → (((𝑛𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = ∅ ↔ 𝜑))
6734, 66rexbida 2472 . 2 ((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛𝐴 ¬ 𝜑) → (∃𝑛𝐴 ((𝑛𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = ∅ ↔ ∃𝑛𝐴 𝜑))
6850, 67mpbid 147 1 ((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛𝐴 ¬ 𝜑) → ∃𝑛𝐴 𝜑)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 104  DECID wdc 834  w3a 978  wal 1351   = wceq 1353  wcel 2148  wral 2455  wrex 2456  Vcvv 2737  c0 3422  ifcif 3534  cmpt 4061  wf 5208  cfv 5212  1oc1o 6404  2oc2o 6405  Markovcmarkov 7143
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-iord 4363  df-on 4365  df-suc 4368  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-1o 6411  df-2o 6412  df-markov 7144
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