Theorem mkvprop 7151

Description: Markov's Principle expressed in terms of propositions (or more precisely, the 𝐴 = ω case is Markov's Principle). (Contributed by Jim Kingdon, 19-Mar-2023.)

Assertion

Ref	Expression
mkvprop	⊢ ((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 ¬ 𝜑) → ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝜑)

Distinct variable group:   𝐴,𝑛

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑛)

Proof of Theorem mkvprop

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1528	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑛 𝐴 ∈ Markov
2		nfra1 2508	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑛∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑
3	1, 2	nfan 1565	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑛(𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑)
4		simpr 110	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → 𝑛 ∈ 𝐴)
5		0lt2o 6437	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∅ ∈ 2o
6	5	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → ∅ ∈ 2o)
7		1lt2o 6438	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1o ∈ 2o
8	7	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → 1o ∈ 2o)
9		rsp 2524	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑 → (𝑛 ∈ 𝐴 → DECID 𝜑))
10	9	imp 124	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → DECID 𝜑)
11	6, 8, 10	ifcldcd 3570	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → if(𝜑, ∅, 1o) ∈ 2o)
12	11	adantll 476	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → if(𝜑, ∅, 1o) ∈ 2o)
13		eqid 2177	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o)) = (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))
14	13	fvmpt2 5596	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ 𝐴 ∧ if(𝜑, ∅, 1o) ∈ 2o) → ((𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = if(𝜑, ∅, 1o))
15	4, 12, 14	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → ((𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = if(𝜑, ∅, 1o))
16	15	eqeq1d 2186	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (((𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = 1o ↔ if(𝜑, ∅, 1o) = 1o))
17		1n0 6428	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1o ≠ ∅
18	17	nesymi 2393	. . . . . . . . 9 ⊢ ¬ ∅ = 1o
19		iftrue 3539	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → if(𝜑, ∅, 1o) = ∅)
20	19	eqeq1d 2186	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (if(𝜑, ∅, 1o) = 1o ↔ ∅ = 1o))
21	18, 20	mtbiri 675	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ¬ if(𝜑, ∅, 1o) = 1o)
22	21	con2i 627	. . . . . . 7 ⊢ (if(𝜑, ∅, 1o) = 1o → ¬ 𝜑)
23	16, 22	syl6bi 163	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (((𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = 1o → ¬ 𝜑))
24	3, 23	ralimdaa 2543	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑) → (∀𝑛 ∈ 𝐴 ((𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = 1o → ∀𝑛 ∈ 𝐴 ¬ 𝜑))
25	24	con3d 631	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑) → (¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 ¬ 𝜑 → ¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 ((𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = 1o))
26	25	3impia 1200	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 ¬ 𝜑) → ¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 ((𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = 1o)
27		mptexg 5738	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Markov → (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o)) ∈ V)
28	27	3ad2ant1 1018	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 ¬ 𝜑) → (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o)) ∈ V)
29		ismkv 7146	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Markov → (𝐴 ∈ Markov ↔ ∀𝑓(𝑓:𝐴⟶2o → (¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑛) = 1o → ∃𝑛 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑛) = ∅))))
30	29	ibi 176	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Markov → ∀𝑓(𝑓:𝐴⟶2o → (¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑛) = 1o → ∃𝑛 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑛) = ∅)))
31	30	3ad2ant1 1018	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 ¬ 𝜑) → ∀𝑓(𝑓:𝐴⟶2o → (¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑛) = 1o → ∃𝑛 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑛) = ∅)))
32		nfra1 2508	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑛∀𝑛 ∈ 𝐴 ¬ 𝜑
33	32	nfn 1658	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑛 ¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 ¬ 𝜑
34	1, 2, 33	nf3an 1566	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑛(𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 ¬ 𝜑)
35	11	3ad2antl2 1160	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 ¬ 𝜑) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → if(𝜑, ∅, 1o) ∈ 2o)
36	34, 35, 13	fmptdf 5670	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 ¬ 𝜑) → (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o)):𝐴⟶2o)
37		feq1 5345	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o)) → (𝑓:𝐴⟶2o ↔ (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o)):𝐴⟶2o))
38		nfmpt1 4094	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛(𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))
39	38	nfeq2 2331	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛 𝑓 = (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))
40		fveq1 5511	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 = (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o)) → (𝑓‘𝑛) = ((𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛))
41	40	eqeq1d 2186	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o)) → ((𝑓‘𝑛) = 1o ↔ ((𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = 1o))
42	39, 41	ralbid 2475	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o)) → (∀𝑛 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑛) = 1o ↔ ∀𝑛 ∈ 𝐴 ((𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = 1o))
43	42	notbid 667	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o)) → (¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑛) = 1o ↔ ¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 ((𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = 1o))
44	40	eqeq1d 2186	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o)) → ((𝑓‘𝑛) = ∅ ↔ ((𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = ∅))
45	39, 44	rexbid 2476	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o)) → (∃𝑛 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑛) = ∅ ↔ ∃𝑛 ∈ 𝐴 ((𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = ∅))
46	43, 45	imbi12d 234	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o)) → ((¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑛) = 1o → ∃𝑛 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑛) = ∅) ↔ (¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 ((𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = 1o → ∃𝑛 ∈ 𝐴 ((𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = ∅)))
47	37, 46	imbi12d 234	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o)) → ((𝑓:𝐴⟶2o → (¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑛) = 1o → ∃𝑛 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑛) = ∅)) ↔ ((𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o)):𝐴⟶2o → (¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 ((𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = 1o → ∃𝑛 ∈ 𝐴 ((𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = ∅))))
48	47	spcgv 2824	. . . 4 ⊢ ((𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o)) ∈ V → (∀𝑓(𝑓:𝐴⟶2o → (¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑛) = 1o → ∃𝑛 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑛) = ∅)) → ((𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o)):𝐴⟶2o → (¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 ((𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = 1o → ∃𝑛 ∈ 𝐴 ((𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = ∅))))
49	28, 31, 36, 48	syl3c 63	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 ¬ 𝜑) → (¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 ((𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = 1o → ∃𝑛 ∈ 𝐴 ((𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = ∅))
50	26, 49	mpd 13	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 ¬ 𝜑) → ∃𝑛 ∈ 𝐴 ((𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = ∅)
51		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 ¬ 𝜑) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → 𝑛 ∈ 𝐴)
52	51, 35, 14	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 ¬ 𝜑) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → ((𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = if(𝜑, ∅, 1o))
53	52	eqeq1d 2186	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 ¬ 𝜑) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (((𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = ∅ ↔ if(𝜑, ∅, 1o) = ∅))
54	9	3ad2ant2 1019	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 ¬ 𝜑) → (𝑛 ∈ 𝐴 → DECID 𝜑))
55	54	imp 124	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 ¬ 𝜑) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → DECID 𝜑)
56	17	neii 2349	. . . . . . . . 9 ⊢ ¬ 1o = ∅
57		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 ¬ 𝜑) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝜑) → ¬ 𝜑)
58	57	iffalsed 3544	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 ¬ 𝜑) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝜑) → if(𝜑, ∅, 1o) = 1o)
59	58	eqeq1d 2186	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 ¬ 𝜑) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝜑) → (if(𝜑, ∅, 1o) = ∅ ↔ 1o = ∅))
60	56, 59	mtbiri 675	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 ¬ 𝜑) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝜑) → ¬ if(𝜑, ∅, 1o) = ∅)
61	60	ex 115	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 ¬ 𝜑) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (¬ 𝜑 → ¬ if(𝜑, ∅, 1o) = ∅))
62	61	con2d 624	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 ¬ 𝜑) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (if(𝜑, ∅, 1o) = ∅ → ¬ ¬ 𝜑))
63		notnotrdc 843	. . . . . 6 ⊢ (DECID 𝜑 → (¬ ¬ 𝜑 → 𝜑))
64	55, 62, 63	sylsyld 58	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 ¬ 𝜑) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (if(𝜑, ∅, 1o) = ∅ → 𝜑))
65	64, 19	impbid1 142	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 ¬ 𝜑) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (if(𝜑, ∅, 1o) = ∅ ↔ 𝜑))
66	53, 65	bitrd 188	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 ¬ 𝜑) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (((𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = ∅ ↔ 𝜑))
67	34, 66	rexbida 2472	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 ¬ 𝜑) → (∃𝑛 ∈ 𝐴 ((𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = ∅ ↔ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝜑))
68	50, 67	mpbid 147	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 ¬ 𝜑) → ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝜑)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104  DECID wdc 834   ∧ w3a 978  ∀wal 1351   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  ∀wral 2455  ∃wrex 2456  Vcvv 2737  ∅c0 3422  ifcif 3534   ↦ cmpt 4062  ⟶wf 5209  ‘cfv 5213  1_oc1o 6405  2_oc2o 6406  Markovcmarkov 7144

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4116  ax-sep 4119  ax-nul 4127  ax-pow 4172  ax-pr 4207  ax-un 4431

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3809  df-iun 3887  df-br 4002  df-opab 4063  df-mpt 4064  df-tr 4100  df-id 4291  df-iord 4364  df-on 4366  df-suc 4369  df-xp 4630  df-rel 4631  df-cnv 4632  df-co 4633  df-dm 4634  df-rn 4635  df-res 4636  df-ima 4637  df-iota 5175  df-fun 5215  df-fn 5216  df-f 5217  df-f1 5218  df-fo 5219  df-f1o 5220  df-fv 5221  df-1o 6412  df-2o 6413  df-markov 7145

This theorem is referenced by: (None)