Theorem mkvprop 7260

Description: Markov's Principle expressed in terms of propositions (or more precisely, the 𝐴 = ω case is Markov's Principle). (Contributed by Jim Kingdon, 19-Mar-2023.)

Assertion

Ref	Expression
mkvprop	⊢ ((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 ¬ 𝜑) → ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝜑)

Distinct variable group:   𝐴,𝑛

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑛)

Proof of Theorem mkvprop

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1551	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑛 𝐴 ∈ Markov
2		nfra1 2537	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑛∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑
3	1, 2	nfan 1588	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑛(𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑)
4		simpr 110	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → 𝑛 ∈ 𝐴)
5		0lt2o 6527	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∅ ∈ 2o
6	5	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → ∅ ∈ 2o)
7		1lt2o 6528	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1o ∈ 2o
8	7	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → 1o ∈ 2o)
9		rsp 2553	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑 → (𝑛 ∈ 𝐴 → DECID 𝜑))
10	9	imp 124	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → DECID 𝜑)
11	6, 8, 10	ifcldcd 3608	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → if(𝜑, ∅, 1o) ∈ 2o)
12	11	adantll 476	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → if(𝜑, ∅, 1o) ∈ 2o)
13		eqid 2205	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o)) = (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))
14	13	fvmpt2 5663	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ 𝐴 ∧ if(𝜑, ∅, 1o) ∈ 2o) → ((𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = if(𝜑, ∅, 1o))
15	4, 12, 14	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → ((𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = if(𝜑, ∅, 1o))
16	15	eqeq1d 2214	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (((𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = 1o ↔ if(𝜑, ∅, 1o) = 1o))
17		1n0 6518	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1o ≠ ∅
18	17	nesymi 2422	. . . . . . . . 9 ⊢ ¬ ∅ = 1o
19		iftrue 3576	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → if(𝜑, ∅, 1o) = ∅)
20	19	eqeq1d 2214	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (if(𝜑, ∅, 1o) = 1o ↔ ∅ = 1o))
21	18, 20	mtbiri 677	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ¬ if(𝜑, ∅, 1o) = 1o)
22	21	con2i 628	. . . . . . 7 ⊢ (if(𝜑, ∅, 1o) = 1o → ¬ 𝜑)
23	16, 22	biimtrdi 163	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (((𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = 1o → ¬ 𝜑))
24	3, 23	ralimdaa 2572	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑) → (∀𝑛 ∈ 𝐴 ((𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = 1o → ∀𝑛 ∈ 𝐴 ¬ 𝜑))
25	24	con3d 632	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑) → (¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 ¬ 𝜑 → ¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 ((𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = 1o))
26	25	3impia 1203	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 ¬ 𝜑) → ¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 ((𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = 1o)
27		mptexg 5809	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Markov → (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o)) ∈ V)
28	27	3ad2ant1 1021	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 ¬ 𝜑) → (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o)) ∈ V)
29		ismkv 7255	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Markov → (𝐴 ∈ Markov ↔ ∀𝑓(𝑓:𝐴⟶2o → (¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑛) = 1o → ∃𝑛 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑛) = ∅))))
30	29	ibi 176	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Markov → ∀𝑓(𝑓:𝐴⟶2o → (¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑛) = 1o → ∃𝑛 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑛) = ∅)))
31	30	3ad2ant1 1021	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 ¬ 𝜑) → ∀𝑓(𝑓:𝐴⟶2o → (¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑛) = 1o → ∃𝑛 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑛) = ∅)))
32		nfra1 2537	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑛∀𝑛 ∈ 𝐴 ¬ 𝜑
33	32	nfn 1681	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑛 ¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 ¬ 𝜑
34	1, 2, 33	nf3an 1589	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑛(𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 ¬ 𝜑)
35	11	3ad2antl2 1163	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 ¬ 𝜑) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → if(𝜑, ∅, 1o) ∈ 2o)
36	34, 35, 13	fmptdf 5737	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 ¬ 𝜑) → (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o)):𝐴⟶2o)
37		feq1 5408	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o)) → (𝑓:𝐴⟶2o ↔ (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o)):𝐴⟶2o))
38		nfmpt1 4137	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛(𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))
39	38	nfeq2 2360	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛 𝑓 = (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))
40		fveq1 5575	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 = (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o)) → (𝑓‘𝑛) = ((𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛))
41	40	eqeq1d 2214	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o)) → ((𝑓‘𝑛) = 1o ↔ ((𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = 1o))
42	39, 41	ralbid 2504	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o)) → (∀𝑛 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑛) = 1o ↔ ∀𝑛 ∈ 𝐴 ((𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = 1o))
43	42	notbid 669	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o)) → (¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑛) = 1o ↔ ¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 ((𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = 1o))
44	40	eqeq1d 2214	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o)) → ((𝑓‘𝑛) = ∅ ↔ ((𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = ∅))
45	39, 44	rexbid 2505	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o)) → (∃𝑛 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑛) = ∅ ↔ ∃𝑛 ∈ 𝐴 ((𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = ∅))
46	43, 45	imbi12d 234	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o)) → ((¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑛) = 1o → ∃𝑛 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑛) = ∅) ↔ (¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 ((𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = 1o → ∃𝑛 ∈ 𝐴 ((𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = ∅)))
47	37, 46	imbi12d 234	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o)) → ((𝑓:𝐴⟶2o → (¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑛) = 1o → ∃𝑛 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑛) = ∅)) ↔ ((𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o)):𝐴⟶2o → (¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 ((𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = 1o → ∃𝑛 ∈ 𝐴 ((𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = ∅))))
48	47	spcgv 2860	. . . 4 ⊢ ((𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o)) ∈ V → (∀𝑓(𝑓:𝐴⟶2o → (¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑛) = 1o → ∃𝑛 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑛) = ∅)) → ((𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o)):𝐴⟶2o → (¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 ((𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = 1o → ∃𝑛 ∈ 𝐴 ((𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = ∅))))
49	28, 31, 36, 48	syl3c 63	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 ¬ 𝜑) → (¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 ((𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = 1o → ∃𝑛 ∈ 𝐴 ((𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = ∅))
50	26, 49	mpd 13	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 ¬ 𝜑) → ∃𝑛 ∈ 𝐴 ((𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = ∅)
51		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 ¬ 𝜑) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → 𝑛 ∈ 𝐴)
52	51, 35, 14	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 ¬ 𝜑) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → ((𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = if(𝜑, ∅, 1o))
53	52	eqeq1d 2214	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 ¬ 𝜑) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (((𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = ∅ ↔ if(𝜑, ∅, 1o) = ∅))
54	9	3ad2ant2 1022	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 ¬ 𝜑) → (𝑛 ∈ 𝐴 → DECID 𝜑))
55	54	imp 124	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 ¬ 𝜑) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → DECID 𝜑)
56	17	neii 2378	. . . . . . . . 9 ⊢ ¬ 1o = ∅
57		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 ¬ 𝜑) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝜑) → ¬ 𝜑)
58	57	iffalsed 3581	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 ¬ 𝜑) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝜑) → if(𝜑, ∅, 1o) = 1o)
59	58	eqeq1d 2214	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 ¬ 𝜑) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝜑) → (if(𝜑, ∅, 1o) = ∅ ↔ 1o = ∅))
60	56, 59	mtbiri 677	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 ¬ 𝜑) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝜑) → ¬ if(𝜑, ∅, 1o) = ∅)
61	60	ex 115	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 ¬ 𝜑) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (¬ 𝜑 → ¬ if(𝜑, ∅, 1o) = ∅))
62	61	con2d 625	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 ¬ 𝜑) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (if(𝜑, ∅, 1o) = ∅ → ¬ ¬ 𝜑))
63		notnotrdc 845	. . . . . 6 ⊢ (DECID 𝜑 → (¬ ¬ 𝜑 → 𝜑))
64	55, 62, 63	sylsyld 58	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 ¬ 𝜑) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (if(𝜑, ∅, 1o) = ∅ → 𝜑))
65	64, 19	impbid1 142	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 ¬ 𝜑) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (if(𝜑, ∅, 1o) = ∅ ↔ 𝜑))
66	53, 65	bitrd 188	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 ¬ 𝜑) ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (((𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = ∅ ↔ 𝜑))
67	34, 66	rexbida 2501	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 ¬ 𝜑) → (∃𝑛 ∈ 𝐴 ((𝑛 ∈ 𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = ∅ ↔ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝜑))
68	50, 67	mpbid 147	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛 ∈ 𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛 ∈ 𝐴 ¬ 𝜑) → ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝜑)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104  DECID wdc 836   ∧ w3a 981  ∀wal 1371   = wceq 1373   ∈ wcel 2176  ∀wral 2484  ∃wrex 2485  Vcvv 2772  ∅c0 3460  ifcif 3571   ↦ cmpt 4105  ⟶wf 5267  ‘cfv 5271  1_oc1o 6495  2_oc2o 6496  Markovcmarkov 7253

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4159  ax-sep 4162  ax-nul 4170  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-if 3572  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-tr 4143  df-id 4340  df-iord 4413  df-on 4415  df-suc 4418  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-1o 6502  df-2o 6503  df-markov 7254

This theorem is referenced by: (None)