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Theorem mkvprop 7156
Description: Markov's Principle expressed in terms of propositions (or more precisely, the 𝐴 = ω case is Markov's Principle). (Contributed by Jim Kingdon, 19-Mar-2023.)
Assertion
Ref Expression
mkvprop ((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛𝐴 ¬ 𝜑) → ∃𝑛𝐴 𝜑)
Distinct variable group:   𝐴,𝑛
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑛)

Proof of Theorem mkvprop
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1528 . . . . . . 7 𝑛 𝐴 ∈ Markov
2 nfra1 2508 . . . . . . 7 𝑛𝑛𝐴 DECID 𝜑
31, 2nfan 1565 . . . . . 6 𝑛(𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛𝐴 DECID 𝜑)
4 simpr 110 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛𝐴 DECID 𝜑) ∧ 𝑛𝐴) → 𝑛𝐴)
5 0lt2o 6442 . . . . . . . . . . . 12 ∅ ∈ 2o
65a1i 9 . . . . . . . . . . 11 ((∀𝑛𝐴 DECID 𝜑𝑛𝐴) → ∅ ∈ 2o)
7 1lt2o 6443 . . . . . . . . . . . 12 1o ∈ 2o
87a1i 9 . . . . . . . . . . 11 ((∀𝑛𝐴 DECID 𝜑𝑛𝐴) → 1o ∈ 2o)
9 rsp 2524 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑛𝐴 DECID 𝜑 → (𝑛𝐴DECID 𝜑))
109imp 124 . . . . . . . . . . 11 ((∀𝑛𝐴 DECID 𝜑𝑛𝐴) → DECID 𝜑)
116, 8, 10ifcldcd 3571 . . . . . . . . . 10 ((∀𝑛𝐴 DECID 𝜑𝑛𝐴) → if(𝜑, ∅, 1o) ∈ 2o)
1211adantll 476 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛𝐴 DECID 𝜑) ∧ 𝑛𝐴) → if(𝜑, ∅, 1o) ∈ 2o)
13 eqid 2177 . . . . . . . . . 10 (𝑛𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o)) = (𝑛𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))
1413fvmpt2 5600 . . . . . . . . 9 ((𝑛𝐴 ∧ if(𝜑, ∅, 1o) ∈ 2o) → ((𝑛𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = if(𝜑, ∅, 1o))
154, 12, 14syl2anc 411 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛𝐴 DECID 𝜑) ∧ 𝑛𝐴) → ((𝑛𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = if(𝜑, ∅, 1o))
1615eqeq1d 2186 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛𝐴 DECID 𝜑) ∧ 𝑛𝐴) → (((𝑛𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = 1o ↔ if(𝜑, ∅, 1o) = 1o))
17 1n0 6433 . . . . . . . . . 10 1o ≠ ∅
1817nesymi 2393 . . . . . . . . 9 ¬ ∅ = 1o
19 iftrue 3540 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → if(𝜑, ∅, 1o) = ∅)
2019eqeq1d 2186 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (if(𝜑, ∅, 1o) = 1o ↔ ∅ = 1o))
2118, 20mtbiri 675 . . . . . . . 8 (𝜑 → ¬ if(𝜑, ∅, 1o) = 1o)
2221con2i 627 . . . . . . 7 (if(𝜑, ∅, 1o) = 1o → ¬ 𝜑)
2316, 22syl6bi 163 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛𝐴 DECID 𝜑) ∧ 𝑛𝐴) → (((𝑛𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = 1o → ¬ 𝜑))
243, 23ralimdaa 2543 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛𝐴 DECID 𝜑) → (∀𝑛𝐴 ((𝑛𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = 1o → ∀𝑛𝐴 ¬ 𝜑))
2524con3d 631 . . . 4 ((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛𝐴 DECID 𝜑) → (¬ ∀𝑛𝐴 ¬ 𝜑 → ¬ ∀𝑛𝐴 ((𝑛𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = 1o))
26253impia 1200 . . 3 ((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛𝐴 ¬ 𝜑) → ¬ ∀𝑛𝐴 ((𝑛𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = 1o)
27 mptexg 5742 . . . . 5 (𝐴 ∈ Markov → (𝑛𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o)) ∈ V)
28273ad2ant1 1018 . . . 4 ((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛𝐴 ¬ 𝜑) → (𝑛𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o)) ∈ V)
29 ismkv 7151 . . . . . 6 (𝐴 ∈ Markov → (𝐴 ∈ Markov ↔ ∀𝑓(𝑓:𝐴⟶2o → (¬ ∀𝑛𝐴 (𝑓𝑛) = 1o → ∃𝑛𝐴 (𝑓𝑛) = ∅))))
3029ibi 176 . . . . 5 (𝐴 ∈ Markov → ∀𝑓(𝑓:𝐴⟶2o → (¬ ∀𝑛𝐴 (𝑓𝑛) = 1o → ∃𝑛𝐴 (𝑓𝑛) = ∅)))
31303ad2ant1 1018 . . . 4 ((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛𝐴 ¬ 𝜑) → ∀𝑓(𝑓:𝐴⟶2o → (¬ ∀𝑛𝐴 (𝑓𝑛) = 1o → ∃𝑛𝐴 (𝑓𝑛) = ∅)))
32 nfra1 2508 . . . . . . 7 𝑛𝑛𝐴 ¬ 𝜑
3332nfn 1658 . . . . . 6 𝑛 ¬ ∀𝑛𝐴 ¬ 𝜑
341, 2, 33nf3an 1566 . . . . 5 𝑛(𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛𝐴 ¬ 𝜑)
35113ad2antl2 1160 . . . . 5 (((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛𝐴 ¬ 𝜑) ∧ 𝑛𝐴) → if(𝜑, ∅, 1o) ∈ 2o)
3634, 35, 13fmptdf 5674 . . . 4 ((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛𝐴 ¬ 𝜑) → (𝑛𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o)):𝐴⟶2o)
37 feq1 5349 . . . . . 6 (𝑓 = (𝑛𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o)) → (𝑓:𝐴⟶2o ↔ (𝑛𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o)):𝐴⟶2o))
38 nfmpt1 4097 . . . . . . . . . 10 𝑛(𝑛𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))
3938nfeq2 2331 . . . . . . . . 9 𝑛 𝑓 = (𝑛𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))
40 fveq1 5515 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = (𝑛𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o)) → (𝑓𝑛) = ((𝑛𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛))
4140eqeq1d 2186 . . . . . . . . 9 (𝑓 = (𝑛𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o)) → ((𝑓𝑛) = 1o ↔ ((𝑛𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = 1o))
4239, 41ralbid 2475 . . . . . . . 8 (𝑓 = (𝑛𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o)) → (∀𝑛𝐴 (𝑓𝑛) = 1o ↔ ∀𝑛𝐴 ((𝑛𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = 1o))
4342notbid 667 . . . . . . 7 (𝑓 = (𝑛𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o)) → (¬ ∀𝑛𝐴 (𝑓𝑛) = 1o ↔ ¬ ∀𝑛𝐴 ((𝑛𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = 1o))
4440eqeq1d 2186 . . . . . . . 8 (𝑓 = (𝑛𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o)) → ((𝑓𝑛) = ∅ ↔ ((𝑛𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = ∅))
4539, 44rexbid 2476 . . . . . . 7 (𝑓 = (𝑛𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o)) → (∃𝑛𝐴 (𝑓𝑛) = ∅ ↔ ∃𝑛𝐴 ((𝑛𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = ∅))
4643, 45imbi12d 234 . . . . . 6 (𝑓 = (𝑛𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o)) → ((¬ ∀𝑛𝐴 (𝑓𝑛) = 1o → ∃𝑛𝐴 (𝑓𝑛) = ∅) ↔ (¬ ∀𝑛𝐴 ((𝑛𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = 1o → ∃𝑛𝐴 ((𝑛𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = ∅)))
4737, 46imbi12d 234 . . . . 5 (𝑓 = (𝑛𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o)) → ((𝑓:𝐴⟶2o → (¬ ∀𝑛𝐴 (𝑓𝑛) = 1o → ∃𝑛𝐴 (𝑓𝑛) = ∅)) ↔ ((𝑛𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o)):𝐴⟶2o → (¬ ∀𝑛𝐴 ((𝑛𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = 1o → ∃𝑛𝐴 ((𝑛𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = ∅))))
4847spcgv 2825 . . . 4 ((𝑛𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o)) ∈ V → (∀𝑓(𝑓:𝐴⟶2o → (¬ ∀𝑛𝐴 (𝑓𝑛) = 1o → ∃𝑛𝐴 (𝑓𝑛) = ∅)) → ((𝑛𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o)):𝐴⟶2o → (¬ ∀𝑛𝐴 ((𝑛𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = 1o → ∃𝑛𝐴 ((𝑛𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = ∅))))
4928, 31, 36, 48syl3c 63 . . 3 ((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛𝐴 ¬ 𝜑) → (¬ ∀𝑛𝐴 ((𝑛𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = 1o → ∃𝑛𝐴 ((𝑛𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = ∅))
5026, 49mpd 13 . 2 ((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛𝐴 ¬ 𝜑) → ∃𝑛𝐴 ((𝑛𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = ∅)
51 simpr 110 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛𝐴 ¬ 𝜑) ∧ 𝑛𝐴) → 𝑛𝐴)
5251, 35, 14syl2anc 411 . . . . 5 (((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛𝐴 ¬ 𝜑) ∧ 𝑛𝐴) → ((𝑛𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = if(𝜑, ∅, 1o))
5352eqeq1d 2186 . . . 4 (((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛𝐴 ¬ 𝜑) ∧ 𝑛𝐴) → (((𝑛𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = ∅ ↔ if(𝜑, ∅, 1o) = ∅))
5493ad2ant2 1019 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛𝐴 ¬ 𝜑) → (𝑛𝐴DECID 𝜑))
5554imp 124 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛𝐴 ¬ 𝜑) ∧ 𝑛𝐴) → DECID 𝜑)
5617neii 2349 . . . . . . . . 9 ¬ 1o = ∅
57 simpr 110 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛𝐴 ¬ 𝜑) ∧ 𝑛𝐴) ∧ ¬ 𝜑) → ¬ 𝜑)
5857iffalsed 3545 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛𝐴 ¬ 𝜑) ∧ 𝑛𝐴) ∧ ¬ 𝜑) → if(𝜑, ∅, 1o) = 1o)
5958eqeq1d 2186 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛𝐴 ¬ 𝜑) ∧ 𝑛𝐴) ∧ ¬ 𝜑) → (if(𝜑, ∅, 1o) = ∅ ↔ 1o = ∅))
6056, 59mtbiri 675 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛𝐴 ¬ 𝜑) ∧ 𝑛𝐴) ∧ ¬ 𝜑) → ¬ if(𝜑, ∅, 1o) = ∅)
6160ex 115 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛𝐴 ¬ 𝜑) ∧ 𝑛𝐴) → (¬ 𝜑 → ¬ if(𝜑, ∅, 1o) = ∅))
6261con2d 624 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛𝐴 ¬ 𝜑) ∧ 𝑛𝐴) → (if(𝜑, ∅, 1o) = ∅ → ¬ ¬ 𝜑))
63 notnotrdc 843 . . . . . 6 (DECID 𝜑 → (¬ ¬ 𝜑𝜑))
6455, 62, 63sylsyld 58 . . . . 5 (((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛𝐴 ¬ 𝜑) ∧ 𝑛𝐴) → (if(𝜑, ∅, 1o) = ∅ → 𝜑))
6564, 19impbid1 142 . . . 4 (((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛𝐴 ¬ 𝜑) ∧ 𝑛𝐴) → (if(𝜑, ∅, 1o) = ∅ ↔ 𝜑))
6653, 65bitrd 188 . . 3 (((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛𝐴 ¬ 𝜑) ∧ 𝑛𝐴) → (((𝑛𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = ∅ ↔ 𝜑))
6734, 66rexbida 2472 . 2 ((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛𝐴 ¬ 𝜑) → (∃𝑛𝐴 ((𝑛𝐴 ↦ if(𝜑, ∅, 1o))‘𝑛) = ∅ ↔ ∃𝑛𝐴 𝜑))
6850, 67mpbid 147 1 ((𝐴 ∈ Markov ∧ ∀𝑛𝐴 DECID 𝜑 ∧ ¬ ∀𝑛𝐴 ¬ 𝜑) → ∃𝑛𝐴 𝜑)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 104  DECID wdc 834  w3a 978  wal 1351   = wceq 1353  wcel 2148  wral 2455  wrex 2456  Vcvv 2738  c0 3423  ifcif 3535  cmpt 4065  wf 5213  cfv 5217  1oc1o 6410  2oc2o 6411  Markovcmarkov 7149
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-if 3536  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-iord 4367  df-on 4369  df-suc 4372  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-1o 6417  df-2o 6418  df-markov 7150
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