ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fsum3ser GIF version

Theorem fsum3ser 11405
Description: A finite sum expressed in terms of a partial sum of an infinite series. The recursive definition follows as fsum1 11420 and fsump1 11428, which should make our notation clear and from which, along with closure fsumcl 11408, we will derive the basic properties of finite sums. (Contributed by NM, 11-Dec-2005.) (Revised by Jim Kingdon, 1-Oct-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
fsum3ser.1 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
fsum3ser.2 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
fsum3ser.3 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝐴 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
fsum3ser (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem fsum3ser
Dummy variables 𝑚 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2177 . . . . 5 (𝑚 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑚 ∈ (𝑀...𝑁), (𝐹𝑚), 0)) = (𝑚 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑚 ∈ (𝑀...𝑁), (𝐹𝑚), 0))
2 eleq1w 2238 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑘 → (𝑚 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)))
3 fveq2 5516 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑘 → (𝐹𝑚) = (𝐹𝑘))
42, 3ifbieq1d 3557 . . . . 5 (𝑚 = 𝑘 → if(𝑚 ∈ (𝑀...𝑁), (𝐹𝑚), 0) = if(𝑘 ∈ (𝑀...𝑁), (𝐹𝑘), 0))
5 simpr 110 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
6 fsum3ser.1 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
7 fsum3ser.3 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝐴 ∈ ℂ)
86, 7eqeltrd 2254 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
98adantr 276 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
10 0cnd 7950 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ ¬ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 0 ∈ ℂ)
11 eluzelz 9537 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑘 ∈ ℤ)
12 eluzel2 9533 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
13 fsum3ser.2 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
14 eluzelz 9537 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
1513, 14syl 14 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
1615adantr 276 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑁 ∈ ℤ)
17 fzdcel 10040 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁))
1811, 12, 16, 17syl2an23an 1299 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → DECID 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁))
199, 10, 18ifcldadc 3564 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → if(𝑘 ∈ (𝑀...𝑁), (𝐹𝑘), 0) ∈ ℂ)
201, 4, 5, 19fvmptd3 5610 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑚 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑚 ∈ (𝑀...𝑁), (𝐹𝑚), 0))‘𝑘) = if(𝑘 ∈ (𝑀...𝑁), (𝐹𝑘), 0))
216ifeq1d 3552 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → if(𝑘 ∈ (𝑀...𝑁), (𝐹𝑘), 0) = if(𝑘 ∈ (𝑀...𝑁), 𝐴, 0))
2220, 21eqtrd 2210 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑚 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑚 ∈ (𝑀...𝑁), (𝐹𝑚), 0))‘𝑘) = if(𝑘 ∈ (𝑀...𝑁), 𝐴, 0))
23 elfzuz 10021 . . . 4 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
2423, 7sylan2 286 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
25 ssidd 3177 . . 3 (𝜑 → (𝑀...𝑁) ⊆ (𝑀...𝑁))
2622, 13, 24, 18, 25fsumsersdc 11403 . 2 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = (seq𝑀( + , (𝑚 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑚 ∈ (𝑀...𝑁), (𝐹𝑚), 0)))‘𝑁))
2723, 20sylan2 286 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝑚 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑚 ∈ (𝑀...𝑁), (𝐹𝑚), 0))‘𝑘) = if(𝑘 ∈ (𝑀...𝑁), (𝐹𝑘), 0))
28 iftrue 3540 . . . . 5 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) → if(𝑘 ∈ (𝑀...𝑁), (𝐹𝑘), 0) = (𝐹𝑘))
2928adantl 277 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → if(𝑘 ∈ (𝑀...𝑁), (𝐹𝑘), 0) = (𝐹𝑘))
3027, 29eqtrd 2210 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝑚 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑚 ∈ (𝑀...𝑁), (𝐹𝑚), 0))‘𝑘) = (𝐹𝑘))
31 eleq1w 2238 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑥 → (𝑚 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)))
32 fveq2 5516 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑥 → (𝐹𝑚) = (𝐹𝑥))
3331, 32ifbieq1d 3557 . . . . 5 (𝑚 = 𝑥 → if(𝑚 ∈ (𝑀...𝑁), (𝐹𝑚), 0) = if(𝑥 ∈ (𝑀...𝑁), (𝐹𝑥), 0))
34 simpr 110 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑥 ∈ (ℤ𝑀))
35 fveq2 5516 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑥 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑥))
3635eleq1d 2246 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑥 → ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐹𝑥) ∈ ℂ))
378ralrimiva 2550 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)
3837adantr 276 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)
3936, 38, 34rspcdva 2847 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
40 0cnd 7950 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → 0 ∈ ℂ)
41 eluzelz 9537 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑥 ∈ ℤ)
42 eluzel2 9533 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
4315adantr 276 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑁 ∈ ℤ)
44 fzdcel 10040 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁))
4541, 42, 43, 44syl2an23an 1299 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → DECID 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁))
4639, 40, 45ifcldcd 3571 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → if(𝑥 ∈ (𝑀...𝑁), (𝐹𝑥), 0) ∈ ℂ)
471, 33, 34, 46fvmptd3 5610 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑚 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑚 ∈ (𝑀...𝑁), (𝐹𝑚), 0))‘𝑥) = if(𝑥 ∈ (𝑀...𝑁), (𝐹𝑥), 0))
4847, 46eqeltrd 2254 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑚 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑚 ∈ (𝑀...𝑁), (𝐹𝑚), 0))‘𝑥) ∈ ℂ)
4936cbvralv 2704 . . . . 5 (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐹𝑘) ∈ ℂ ↔ ∀𝑥 ∈ (ℤ𝑀)(𝐹𝑥) ∈ ℂ)
5037, 49sylib 122 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (ℤ𝑀)(𝐹𝑥) ∈ ℂ)
5150r19.21bi 2565 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
52 addcl 7936 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
5352adantl 277 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
5413, 30, 48, 51, 53seq3fveq 10471 . 2 (𝜑 → (seq𝑀( + , (𝑚 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑚 ∈ (𝑀...𝑁), (𝐹𝑚), 0)))‘𝑁) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))
5526, 54eqtrd 2210 1 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 104  DECID wdc 834   = wceq 1353  wcel 2148  wral 2455  ifcif 3535  cmpt 4065  cfv 5217  (class class class)co 5875  cc 7809  0cc0 7811   + caddc 7814  cz 9253  cuz 9528  ...cfz 10008  seqcseq 10445  Σcsu 11361
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-mulrcl 7910  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-mulass 7914  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-1rid 7918  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-precex 7921  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927  ax-pre-mulgt0 7928  ax-pre-mulext 7929  ax-arch 7930  ax-caucvg 7931
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-if 3536  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-iord 4367  df-on 4369  df-ilim 4370  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-isom 5226  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-irdg 6371  df-frec 6392  df-1o 6417  df-oadd 6421  df-er 6535  df-en 6741  df-dom 6742  df-fin 6743  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-reap 8532  df-ap 8539  df-div 8630  df-inn 8920  df-2 8978  df-3 8979  df-4 8980  df-n0 9177  df-z 9254  df-uz 9529  df-q 9620  df-rp 9654  df-fz 10009  df-fzo 10143  df-seqfrec 10446  df-exp 10520  df-ihash 10756  df-cj 10851  df-re 10852  df-im 10853  df-rsqrt 11007  df-abs 11008  df-clim 11287  df-sumdc 11362
This theorem is referenced by:  isumclim3  11431  iserabs  11483  isumsplit  11499  trireciplem  11508  geolim  11519  geo2lim  11524  cvgratnnlemseq  11534  mertenslem2  11544  mertensabs  11545  efcvgfsum  11675  effsumlt  11700  cvgcmp2nlemabs  14783
  Copyright terms: Public domain W3C validator