Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fsum3ser GIF version

Theorem fsum3ser 11159
 Description: A finite sum expressed in terms of a partial sum of an infinite series. The recursive definition follows as fsum1 11174 and fsump1 11182, which should make our notation clear and from which, along with closure fsumcl 11162, we will derive the basic properties of finite sums. (Contributed by NM, 11-Dec-2005.) (Revised by Jim Kingdon, 1-Oct-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
fsum3ser.1 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
fsum3ser.2 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
fsum3ser.3 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝐴 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
fsum3ser (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem fsum3ser
Dummy variables 𝑚 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2137 . . . . 5 (𝑚 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑚 ∈ (𝑀...𝑁), (𝐹𝑚), 0)) = (𝑚 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑚 ∈ (𝑀...𝑁), (𝐹𝑚), 0))
2 eleq1w 2198 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑘 → (𝑚 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)))
3 fveq2 5414 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑘 → (𝐹𝑚) = (𝐹𝑘))
42, 3ifbieq1d 3489 . . . . 5 (𝑚 = 𝑘 → if(𝑚 ∈ (𝑀...𝑁), (𝐹𝑚), 0) = if(𝑘 ∈ (𝑀...𝑁), (𝐹𝑘), 0))
5 simpr 109 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
6 fsum3ser.1 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
7 fsum3ser.3 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝐴 ∈ ℂ)
86, 7eqeltrd 2214 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
98adantr 274 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
10 0cnd 7752 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ ¬ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 0 ∈ ℂ)
11 eluzelz 9328 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑘 ∈ ℤ)
12 eluzel2 9324 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
13 fsum3ser.2 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
14 eluzelz 9328 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
1513, 14syl 14 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
1615adantr 274 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑁 ∈ ℤ)
17 fzdcel 9813 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁))
1811, 12, 16, 17syl2an23an 1277 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → DECID 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁))
199, 10, 18ifcldadc 3496 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → if(𝑘 ∈ (𝑀...𝑁), (𝐹𝑘), 0) ∈ ℂ)
201, 4, 5, 19fvmptd3 5507 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑚 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑚 ∈ (𝑀...𝑁), (𝐹𝑚), 0))‘𝑘) = if(𝑘 ∈ (𝑀...𝑁), (𝐹𝑘), 0))
216ifeq1d 3484 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → if(𝑘 ∈ (𝑀...𝑁), (𝐹𝑘), 0) = if(𝑘 ∈ (𝑀...𝑁), 𝐴, 0))
2220, 21eqtrd 2170 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑚 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑚 ∈ (𝑀...𝑁), (𝐹𝑚), 0))‘𝑘) = if(𝑘 ∈ (𝑀...𝑁), 𝐴, 0))
23 elfzuz 9795 . . . 4 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
2423, 7sylan2 284 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
25 ssidd 3113 . . 3 (𝜑 → (𝑀...𝑁) ⊆ (𝑀...𝑁))
2622, 13, 24, 18, 25fsumsersdc 11157 . 2 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = (seq𝑀( + , (𝑚 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑚 ∈ (𝑀...𝑁), (𝐹𝑚), 0)))‘𝑁))
2723, 20sylan2 284 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝑚 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑚 ∈ (𝑀...𝑁), (𝐹𝑚), 0))‘𝑘) = if(𝑘 ∈ (𝑀...𝑁), (𝐹𝑘), 0))
28 iftrue 3474 . . . . 5 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) → if(𝑘 ∈ (𝑀...𝑁), (𝐹𝑘), 0) = (𝐹𝑘))
2928adantl 275 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → if(𝑘 ∈ (𝑀...𝑁), (𝐹𝑘), 0) = (𝐹𝑘))
3027, 29eqtrd 2170 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝑚 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑚 ∈ (𝑀...𝑁), (𝐹𝑚), 0))‘𝑘) = (𝐹𝑘))
31 eleq1w 2198 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑥 → (𝑚 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)))
32 fveq2 5414 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑥 → (𝐹𝑚) = (𝐹𝑥))
3331, 32ifbieq1d 3489 . . . . 5 (𝑚 = 𝑥 → if(𝑚 ∈ (𝑀...𝑁), (𝐹𝑚), 0) = if(𝑥 ∈ (𝑀...𝑁), (𝐹𝑥), 0))
34 simpr 109 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑥 ∈ (ℤ𝑀))
35 fveq2 5414 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑥 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑥))
3635eleq1d 2206 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑥 → ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐹𝑥) ∈ ℂ))
378ralrimiva 2503 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)
3837adantr 274 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)
3936, 38, 34rspcdva 2789 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
40 0cnd 7752 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → 0 ∈ ℂ)
41 eluzelz 9328 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑥 ∈ ℤ)
42 eluzel2 9324 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
4315adantr 274 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑁 ∈ ℤ)
44 fzdcel 9813 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁))
4541, 42, 43, 44syl2an23an 1277 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → DECID 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁))
4639, 40, 45ifcldcd 3502 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → if(𝑥 ∈ (𝑀...𝑁), (𝐹𝑥), 0) ∈ ℂ)
471, 33, 34, 46fvmptd3 5507 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑚 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑚 ∈ (𝑀...𝑁), (𝐹𝑚), 0))‘𝑥) = if(𝑥 ∈ (𝑀...𝑁), (𝐹𝑥), 0))
4847, 46eqeltrd 2214 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑚 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑚 ∈ (𝑀...𝑁), (𝐹𝑚), 0))‘𝑥) ∈ ℂ)
4936cbvralv 2652 . . . . 5 (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐹𝑘) ∈ ℂ ↔ ∀𝑥 ∈ (ℤ𝑀)(𝐹𝑥) ∈ ℂ)
5037, 49sylib 121 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (ℤ𝑀)(𝐹𝑥) ∈ ℂ)
5150r19.21bi 2518 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
52 addcl 7738 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
5352adantl 275 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
5413, 30, 48, 51, 53seq3fveq 10237 . 2 (𝜑 → (seq𝑀( + , (𝑚 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑚 ∈ (𝑀...𝑁), (𝐹𝑚), 0)))‘𝑁) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))
5526, 54eqtrd 2170 1 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103  DECID wdc 819   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  ∀wral 2414  ifcif 3469   ↦ cmpt 3984  ‘cfv 5118  (class class class)co 5767  ℂcc 7611  0cc0 7613   + caddc 7616  ℤcz 9047  ℤ≥cuz 9319  ...cfz 9783  seqcseq 10211  Σcsu 11115 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-coll 4038  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-iinf 4497  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-mulrcl 7712  ax-addcom 7713  ax-mulcom 7714  ax-addass 7715  ax-mulass 7716  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-1rid 7720  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-precex 7723  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-apti 7728  ax-pre-ltadd 7729  ax-pre-mulgt0 7730  ax-pre-mulext 7731  ax-arch 7732  ax-caucvg 7733 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rmo 2422  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-if 3470  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-tr 4022  df-id 4210  df-po 4213  df-iso 4214  df-iord 4283  df-on 4285  df-ilim 4286  df-suc 4288  df-iom 4500  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-isom 5127  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-1st 6031  df-2nd 6032  df-recs 6195  df-irdg 6260  df-frec 6281  df-1o 6306  df-oadd 6310  df-er 6422  df-en 6628  df-dom 6629  df-fin 6630  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-reap 8330  df-ap 8337  df-div 8426  df-inn 8714  df-2 8772  df-3 8773  df-4 8774  df-n0 8971  df-z 9048  df-uz 9320  df-q 9405  df-rp 9435  df-fz 9784  df-fzo 9913  df-seqfrec 10212  df-exp 10286  df-ihash 10515  df-cj 10607  df-re 10608  df-im 10609  df-rsqrt 10763  df-abs 10764  df-clim 11041  df-sumdc 11116 This theorem is referenced by:  isumclim3  11185  iserabs  11237  isumsplit  11253  trireciplem  11262  geolim  11273  geo2lim  11278  cvgratnnlemseq  11288  mertenslem2  11298  mertensabs  11299  efcvgfsum  11362  effsumlt  11387  cvgcmp2nlemabs  13216
 Copyright terms: Public domain W3C validator