Theorem uzin 9789

Description: Intersection of two upper intervals of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Dec-2013.)

Assertion

Ref	Expression
uzin	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((ℤ≥‘𝑀) ∩ (ℤ≥‘𝑁)) = (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀)))

Proof of Theorem uzin

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uztric 9778	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∨ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)))
2		uzss 9777	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (ℤ≥‘𝑁) ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
3		sseqin2 3426	. . . . 5 ⊢ ((ℤ≥‘𝑁) ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ↔ ((ℤ≥‘𝑀) ∩ (ℤ≥‘𝑁)) = (ℤ≥‘𝑁))
4	2, 3	sylib 122	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((ℤ≥‘𝑀) ∩ (ℤ≥‘𝑁)) = (ℤ≥‘𝑁))
5		eluzle 9768	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑁)
6		iftrue 3610	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ≤ 𝑁 → if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀) = 𝑁)
7	5, 6	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀) = 𝑁)
8	7	fveq2d 5643	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀)) = (ℤ≥‘𝑁))
9	4, 8	eqtr4d 2267	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((ℤ≥‘𝑀) ∩ (ℤ≥‘𝑁)) = (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀)))
10		uzss 9777	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → (ℤ≥‘𝑀) ⊆ (ℤ≥‘𝑁))
11		df-ss 3213	. . . . 5 ⊢ ((ℤ≥‘𝑀) ⊆ (ℤ≥‘𝑁) ↔ ((ℤ≥‘𝑀) ∩ (ℤ≥‘𝑁)) = (ℤ≥‘𝑀))
12	10, 11	sylib 122	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → ((ℤ≥‘𝑀) ∩ (ℤ≥‘𝑁)) = (ℤ≥‘𝑀))
13		eluzel2 9760	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
14		eluzelz 9765	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
15		zre 9483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
16		zre 9483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
17		letri3 8260	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (𝑁 = 𝑀 ↔ (𝑁 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)))
18	15, 16, 17	syl2an 289	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁 = 𝑀 ↔ (𝑁 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)))
19	13, 14, 18	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → (𝑁 = 𝑀 ↔ (𝑁 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)))
20		eluzle 9768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → 𝑁 ≤ 𝑀)
21	20	biantrurd 305	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → (𝑀 ≤ 𝑁 ↔ (𝑁 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)))
22	19, 21	bitr4d 191	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → (𝑁 = 𝑀 ↔ 𝑀 ≤ 𝑁))
23	22	biimprcd 160	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ≤ 𝑁 → (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → 𝑁 = 𝑀))
24	6	eqeq1d 2240	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ≤ 𝑁 → (if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀) = 𝑀 ↔ 𝑁 = 𝑀))
25	23, 24	sylibrd 169	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ≤ 𝑁 → (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀) = 𝑀))
26	25	com12 30	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → (𝑀 ≤ 𝑁 → if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀) = 𝑀))
27		iffalse 3613	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑀 ≤ 𝑁 → if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀) = 𝑀)
28	27	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → (¬ 𝑀 ≤ 𝑁 → if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀) = 𝑀))
29		zdcle 9556	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID 𝑀 ≤ 𝑁)
30	14, 13, 29	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → DECID 𝑀 ≤ 𝑁)
31		df-dc 842	. . . . . . 7 ⊢ (DECID 𝑀 ≤ 𝑁 ↔ (𝑀 ≤ 𝑁 ∨ ¬ 𝑀 ≤ 𝑁))
32	30, 31	sylib 122	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → (𝑀 ≤ 𝑁 ∨ ¬ 𝑀 ≤ 𝑁))
33	26, 28, 32	mpjaod 725	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀) = 𝑀)
34	33	fveq2d 5643	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀)) = (ℤ≥‘𝑀))
35	12, 34	eqtr4d 2267	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → ((ℤ≥‘𝑀) ∩ (ℤ≥‘𝑁)) = (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀)))
36	9, 35	jaoi 723	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∨ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → ((ℤ≥‘𝑀) ∩ (ℤ≥‘𝑁)) = (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀)))
37	1, 36	syl 14	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((ℤ≥‘𝑀) ∩ (ℤ≥‘𝑁)) = (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 715  DECID wdc 841   = wceq 1397   ∈ wcel 2202   ∩ cin 3199   ⊆ wss 3200  ifcif 3605   class class class wbr 4088  ‘cfv 5326  ℝcr 8031   ≤ cle 8215  ℤcz 9479  ℤ_≥cuz 9755

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-addcom 8132  ax-addass 8134  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-inn 9144  df-n0 9403  df-z 9480  df-uz 9756

This theorem is referenced by:  uzin2  11565  explecnv  12084