Theorem pcmptcl 12873

Description: Closure for the prime power map. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
pcmpt.1	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑𝐴), 1))
pcmpt.2	⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℙ 𝐴 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
pcmptcl	⊢ (𝜑 → (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ seq1( · , 𝐹):ℕ⟶ℕ))

Proof of Theorem pcmptcl

Dummy variables 𝑘 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pcmpt.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℙ 𝐴 ∈ ℕ0)
2		pm2.27 40	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℙ → ((𝑛 ∈ ℙ → 𝐴 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℕ0))
3		iftrue 3607	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℙ → if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑𝐴), 1) = (𝑛↑𝐴))
4	3	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑𝐴), 1) = (𝑛↑𝐴))
5		prmnn 12640	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℙ → 𝑛 ∈ ℕ)
6		nnexpcl 10782	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑛↑𝐴) ∈ ℕ)
7	5, 6	sylan 283	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑛↑𝐴) ∈ ℕ)
8	4, 7	eqeltrd 2306	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑𝐴), 1) ∈ ℕ)
9	8	ex 115	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℙ → (𝐴 ∈ ℕ0 → if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑𝐴), 1) ∈ ℕ))
10	2, 9	syld 45	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℙ → ((𝑛 ∈ ℙ → 𝐴 ∈ ℕ0) → if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑𝐴), 1) ∈ ℕ))
11		iffalse 3610	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝑛 ∈ ℙ → if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑𝐴), 1) = 1)
12		1nn 9129	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℕ
13	11, 12	eqeltrdi 2320	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑛 ∈ ℙ → if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑𝐴), 1) ∈ ℕ)
14	13	a1d 22	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑛 ∈ ℙ → ((𝑛 ∈ ℙ → 𝐴 ∈ ℕ0) → if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑𝐴), 1) ∈ ℕ))
15	10, 14	jaoi 721	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ℙ ∨ ¬ 𝑛 ∈ ℙ) → ((𝑛 ∈ ℙ → 𝐴 ∈ ℕ0) → if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑𝐴), 1) ∈ ℕ))
16		prmdc 12660	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → DECID 𝑛 ∈ ℙ)
17		exmiddc 841	. . . . . . 7 ⊢ (DECID 𝑛 ∈ ℙ → (𝑛 ∈ ℙ ∨ ¬ 𝑛 ∈ ℙ))
18	16, 17	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 ∈ ℙ ∨ ¬ 𝑛 ∈ ℙ))
19	15, 18	syl11 31	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ ℙ → 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑛 ∈ ℕ → if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑𝐴), 1) ∈ ℕ))
20	19	ralimi2 2590	. . . 4 ⊢ (∀𝑛 ∈ ℙ 𝐴 ∈ ℕ0 → ∀𝑛 ∈ ℕ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑𝐴), 1) ∈ ℕ)
21	1, 20	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑𝐴), 1) ∈ ℕ)
22		pcmpt.1	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑𝐴), 1))
23	22	fmpt 5787	. . 3 ⊢ (∀𝑛 ∈ ℕ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑𝐴), 1) ∈ ℕ ↔ 𝐹:ℕ⟶ℕ)
24	21, 23	sylib 122	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ℕ)
25		nnuz 9766	. . 3 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
26		1zzd 9481	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
27	24	ffvelcdmda 5772	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℕ)
28		nnmulcl 9139	. . . 4 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℕ) → (𝑘 · 𝑝) ∈ ℕ)
29	28	adantl 277	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℕ)) → (𝑘 · 𝑝) ∈ ℕ)
30	25, 26, 27, 29	seqf 10694	. 2 ⊢ (𝜑 → seq1( · , 𝐹):ℕ⟶ℕ)
31	24, 30	jca 306	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ seq1( · , 𝐹):ℕ⟶ℕ))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 713  DECID wdc 839   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ∀wral 2508  ifcif 3602   ↦ cmpt 4145  ⟶wf 5314  (class class class)co 6007  1c1 8008   · cmul 8012  ℕcn 9118  ℕ₀cn0 9377  seqcseq 10677  ↑cexp 10768  ℙcprime 12637

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8098  ax-resscn 8099  ax-1cn 8100  ax-1re 8101  ax-icn 8102  ax-addcl 8103  ax-addrcl 8104  ax-mulcl 8105  ax-mulrcl 8106  ax-addcom 8107  ax-mulcom 8108  ax-addass 8109  ax-mulass 8110  ax-distr 8111  ax-i2m1 8112  ax-0lt1 8113  ax-1rid 8114  ax-0id 8115  ax-rnegex 8116  ax-precex 8117  ax-cnre 8118  ax-pre-ltirr 8119  ax-pre-ltwlin 8120  ax-pre-lttrn 8121  ax-pre-apti 8122  ax-pre-ltadd 8123  ax-pre-mulgt0 8124  ax-pre-mulext 8125  ax-arch 8126  ax-caucvg 8127

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 836  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-recs 6457  df-frec 6543  df-1o 6568  df-2o 6569  df-er 6688  df-en 6896  df-fin 6898  df-pnf 8191  df-mnf 8192  df-xr 8193  df-ltxr 8194  df-le 8195  df-sub 8327  df-neg 8328  df-reap 8730  df-ap 8737  df-div 8828  df-inn 9119  df-2 9177  df-3 9178  df-4 9179  df-n0 9378  df-z 9455  df-uz 9731  df-q 9823  df-rp 9858  df-fz 10213  df-fl 10498  df-mod 10553  df-seqfrec 10678  df-exp 10769  df-cj 11361  df-re 11362  df-im 11363  df-rsqrt 11517  df-abs 11518  df-dvds 12307  df-prm 12638

This theorem is referenced by:  pcmpt  12874  pcmpt2  12875  pcmptdvds  12876  pcprod  12877  1arithlem4  12897