Theorem pcmptcl 13048

Description: Closure for the prime power map. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
pcmpt.1	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑𝐴), 1))
pcmpt.2	⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℙ 𝐴 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
pcmptcl	⊢ (𝜑 → (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ seq1( · , 𝐹):ℕ⟶ℕ))

Proof of Theorem pcmptcl

Dummy variables 𝑘 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pcmpt.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℙ 𝐴 ∈ ℕ0)
2		pm2.27 40	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℙ → ((𝑛 ∈ ℙ → 𝐴 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℕ0))
3		iftrue 3629	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℙ → if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑𝐴), 1) = (𝑛↑𝐴))
4	3	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑𝐴), 1) = (𝑛↑𝐴))
5		prmnn 12815	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℙ → 𝑛 ∈ ℕ)
6		nnexpcl 10921	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑛↑𝐴) ∈ ℕ)
7	5, 6	sylan 283	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑛↑𝐴) ∈ ℕ)
8	4, 7	eqeltrd 2311	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑𝐴), 1) ∈ ℕ)
9	8	ex 115	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℙ → (𝐴 ∈ ℕ0 → if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑𝐴), 1) ∈ ℕ))
10	2, 9	syld 45	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℙ → ((𝑛 ∈ ℙ → 𝐴 ∈ ℕ0) → if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑𝐴), 1) ∈ ℕ))
11		iffalse 3632	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝑛 ∈ ℙ → if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑𝐴), 1) = 1)
12		1nn 9253	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℕ
13	11, 12	eqeltrdi 2325	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑛 ∈ ℙ → if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑𝐴), 1) ∈ ℕ)
14	13	a1d 22	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑛 ∈ ℙ → ((𝑛 ∈ ℙ → 𝐴 ∈ ℕ0) → if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑𝐴), 1) ∈ ℕ))
15	10, 14	jaoi 724	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ℙ ∨ ¬ 𝑛 ∈ ℙ) → ((𝑛 ∈ ℙ → 𝐴 ∈ ℕ0) → if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑𝐴), 1) ∈ ℕ))
16		prmdc 12835	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → DECID 𝑛 ∈ ℙ)
17		exmiddc 844	. . . . . . 7 ⊢ (DECID 𝑛 ∈ ℙ → (𝑛 ∈ ℙ ∨ ¬ 𝑛 ∈ ℙ))
18	16, 17	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 ∈ ℙ ∨ ¬ 𝑛 ∈ ℙ))
19	15, 18	syl11 31	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ ℙ → 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑛 ∈ ℕ → if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑𝐴), 1) ∈ ℕ))
20	19	ralimi2 2604	. . . 4 ⊢ (∀𝑛 ∈ ℙ 𝐴 ∈ ℕ0 → ∀𝑛 ∈ ℕ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑𝐴), 1) ∈ ℕ)
21	1, 20	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑𝐴), 1) ∈ ℕ)
22		pcmpt.1	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑𝐴), 1))
23	22	fmpt 5829	. . 3 ⊢ (∀𝑛 ∈ ℕ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑𝐴), 1) ∈ ℕ ↔ 𝐹:ℕ⟶ℕ)
24	21, 23	sylib 122	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ℕ)
25		nnuz 9896	. . 3 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
26		1zzd 9609	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
27	24	ffvelcdmda 5814	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℕ)
28		nnmulcl 9263	. . . 4 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℕ) → (𝑘 · 𝑝) ∈ ℕ)
29	28	adantl 277	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℕ)) → (𝑘 · 𝑝) ∈ ℕ)
30	25, 26, 27, 29	seqf 10833	. 2 ⊢ (𝜑 → seq1( · , 𝐹):ℕ⟶ℕ)
31	24, 30	jca 306	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ seq1( · , 𝐹):ℕ⟶ℕ))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 716  DECID wdc 842   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  ∀wral 2522  ifcif 3622   ↦ cmpt 4173  ⟶wf 5350  (class class class)co 6052  1c1 8133   · cmul 8137  ℕcn 9242  ℕ₀cn0 9501  seqcseq 10816  ↑cexp 10907  ℙcprime 12812

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4227  ax-sep 4230  ax-nul 4238  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-iinf 4712  ax-cnex 8223  ax-resscn 8224  ax-1cn 8225  ax-1re 8226  ax-icn 8227  ax-addcl 8228  ax-addrcl 8229  ax-mulcl 8230  ax-mulrcl 8231  ax-addcom 8232  ax-mulcom 8233  ax-addass 8234  ax-mulass 8235  ax-distr 8236  ax-i2m1 8237  ax-0lt1 8238  ax-1rid 8239  ax-0id 8240  ax-rnegex 8241  ax-precex 8242  ax-cnre 8243  ax-pre-ltirr 8244  ax-pre-ltwlin 8245  ax-pre-lttrn 8246  ax-pre-apti 8247  ax-pre-ltadd 8248  ax-pre-mulgt0 8249  ax-pre-mulext 8250  ax-arch 8251  ax-caucvg 8252

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-if 3623  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-tr 4211  df-id 4416  df-po 4419  df-iso 4420  df-iord 4489  df-on 4491  df-ilim 4492  df-suc 4494  df-iom 4715  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-recs 6538  df-frec 6624  df-1o 6649  df-2o 6650  df-er 6769  df-en 6978  df-fin 6980  df-pnf 8315  df-mnf 8316  df-xr 8317  df-ltxr 8318  df-le 8319  df-sub 8451  df-neg 8452  df-reap 8854  df-ap 8861  df-div 8952  df-inn 9243  df-2 9301  df-3 9302  df-4 9303  df-n0 9502  df-z 9583  df-uz 9860  df-q 9958  df-rp 9993  df-fz 10349  df-fl 10637  df-mod 10692  df-seqfrec 10817  df-exp 10908  df-cj 11535  df-re 11536  df-im 11537  df-rsqrt 11691  df-abs 11692  df-dvds 12482  df-prm 12813

This theorem is referenced by:  pcmpt  13049  pcmpt2  13050  pcmptdvds  13051  pcprod  13052  1arithlem4  13072