Theorem unct 12599

Description: The union of two countable sets is countable. Corollary 8.1.20 of [AczelRathjen], p. 75. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Nov-2023.)

Assertion

Ref	Expression
unct	⊢ ((∃𝑓 𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) ∧ ∃𝑔 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) → ∃ℎ ℎ:ω–onto→((𝐴 ∪ 𝐵) ⊔ 1o))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓,𝑔,ℎ   𝐵,𝑓,𝑔,ℎ

Proof of Theorem unct

Dummy variables 𝑗 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2onn 6574	. . . . . . . 8 ⊢ 2o ∈ ω
2		nnfi 6928	. . . . . . . 8 ⊢ (2o ∈ ω → 2o ∈ Fin)
3		finct 7175	. . . . . . . 8 ⊢ (2o ∈ Fin → ∃𝑗 𝑗:ω–onto→(2o ⊔ 1o))
4	1, 2, 3	mp2b 8	. . . . . . 7 ⊢ ∃𝑗 𝑗:ω–onto→(2o ⊔ 1o)
5	4	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) → ∃𝑗 𝑗:ω–onto→(2o ⊔ 1o))
6		simpr 110	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) ∧ 𝑗:ω–onto→(2o ⊔ 1o)) → 𝑗:ω–onto→(2o ⊔ 1o))
7		df2o3 6483	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2o = {∅, 1o}
8		djueq1 7099	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2o = {∅, 1o} → (2o ⊔ 1o) = ({∅, 1o} ⊔ 1o))
9		foeq3 5474	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2o ⊔ 1o) = ({∅, 1o} ⊔ 1o) → (𝑗:ω–onto→(2o ⊔ 1o) ↔ 𝑗:ω–onto→({∅, 1o} ⊔ 1o)))
10	7, 8, 9	mp2b 8	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗:ω–onto→(2o ⊔ 1o) ↔ 𝑗:ω–onto→({∅, 1o} ⊔ 1o))
11	6, 10	sylib 122	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) ∧ 𝑗:ω–onto→(2o ⊔ 1o)) → 𝑗:ω–onto→({∅, 1o} ⊔ 1o))
12		simplll 533	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) ∧ 𝑗:ω–onto→(2o ⊔ 1o)) ∧ 𝑥 = ∅) → 𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o))
13		iftrue 3562	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = ∅ → if(𝑥 = ∅, 𝑓, 𝑔) = 𝑓)
14		eqidd 2194	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = ∅ → ω = ω)
15		iftrue 3562	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = ∅ → if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) = 𝐴)
16		djueq1 7099	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) = 𝐴 → (if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) ⊔ 1o) = (𝐴 ⊔ 1o))
17	15, 16	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = ∅ → (if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) ⊔ 1o) = (𝐴 ⊔ 1o))
18	13, 14, 17	foeq123d 5493	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = ∅ → (if(𝑥 = ∅, 𝑓, 𝑔):ω–onto→(if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) ⊔ 1o) ↔ 𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o)))
19	18	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) ∧ 𝑗:ω–onto→(2o ⊔ 1o)) ∧ 𝑥 = ∅) → (if(𝑥 = ∅, 𝑓, 𝑔):ω–onto→(if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) ⊔ 1o) ↔ 𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o)))
20	12, 19	mpbird 167	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) ∧ 𝑗:ω–onto→(2o ⊔ 1o)) ∧ 𝑥 = ∅) → if(𝑥 = ∅, 𝑓, 𝑔):ω–onto→(if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) ⊔ 1o))
21	20	ex 115	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) ∧ 𝑗:ω–onto→(2o ⊔ 1o)) → (𝑥 = ∅ → if(𝑥 = ∅, 𝑓, 𝑔):ω–onto→(if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) ⊔ 1o)))
22		simpllr 534	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) ∧ 𝑗:ω–onto→(2o ⊔ 1o)) ∧ 𝑥 = 1o) → 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o))
23		1n0 6485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 1o ≠ ∅
24	23	neii 2366	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ¬ 1o = ∅
25		eqeq1 2200	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 1o → (𝑥 = ∅ ↔ 1o = ∅))
26	24, 25	mtbiri 676	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 1o → ¬ 𝑥 = ∅)
27	26	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) ∧ 𝑗:ω–onto→(2o ⊔ 1o)) ∧ 𝑥 = 1o) → ¬ 𝑥 = ∅)
28		iffalse 3565	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (¬ 𝑥 = ∅ → if(𝑥 = ∅, 𝑓, 𝑔) = 𝑔)
29		eqidd 2194	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (¬ 𝑥 = ∅ → ω = ω)
30		iffalse 3565	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (¬ 𝑥 = ∅ → if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) = 𝐵)
31		djueq1 7099	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) = 𝐵 → (if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) ⊔ 1o) = (𝐵 ⊔ 1o))
32	30, 31	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (¬ 𝑥 = ∅ → (if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) ⊔ 1o) = (𝐵 ⊔ 1o))
33	28, 29, 32	foeq123d 5493	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (¬ 𝑥 = ∅ → (if(𝑥 = ∅, 𝑓, 𝑔):ω–onto→(if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) ⊔ 1o) ↔ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)))
34	27, 33	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) ∧ 𝑗:ω–onto→(2o ⊔ 1o)) ∧ 𝑥 = 1o) → (if(𝑥 = ∅, 𝑓, 𝑔):ω–onto→(if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) ⊔ 1o) ↔ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)))
35	22, 34	mpbird 167	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) ∧ 𝑗:ω–onto→(2o ⊔ 1o)) ∧ 𝑥 = 1o) → if(𝑥 = ∅, 𝑓, 𝑔):ω–onto→(if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) ⊔ 1o))
36	35	ex 115	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) ∧ 𝑗:ω–onto→(2o ⊔ 1o)) → (𝑥 = 1o → if(𝑥 = ∅, 𝑓, 𝑔):ω–onto→(if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) ⊔ 1o)))
37	21, 36	jaod 718	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) ∧ 𝑗:ω–onto→(2o ⊔ 1o)) → ((𝑥 = ∅ ∨ 𝑥 = 1o) → if(𝑥 = ∅, 𝑓, 𝑔):ω–onto→(if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) ⊔ 1o)))
38		elpri 3641	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ {∅, 1o} → (𝑥 = ∅ ∨ 𝑥 = 1o))
39	37, 38	impel 280	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) ∧ 𝑗:ω–onto→(2o ⊔ 1o)) ∧ 𝑥 ∈ {∅, 1o}) → if(𝑥 = ∅, 𝑓, 𝑔):ω–onto→(if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) ⊔ 1o))
40	11, 39	ctiunct 12597	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) ∧ 𝑗:ω–onto→(2o ⊔ 1o)) → ∃ℎ ℎ:ω–onto→(∪ 𝑥 ∈ {∅, 1o}if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) ⊔ 1o))
41		0lt2o 6494	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∅ ∈ 2o
42		1lt2o 6495	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1o ∈ 2o
43	26	iffalsed 3567	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 1o → if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) = 𝐵)
44	15, 43	iunxprg 3993	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∅ ∈ 2o ∧ 1o ∈ 2o) → ∪ 𝑥 ∈ {∅, 1o}if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) = (𝐴 ∪ 𝐵))
45	41, 42, 44	mp2an 426	. . . . . . . . 9 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ {∅, 1o}if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) = (𝐴 ∪ 𝐵)
46		djueq1 7099	. . . . . . . . 9 ⊢ (∪ 𝑥 ∈ {∅, 1o}if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) = (𝐴 ∪ 𝐵) → (∪ 𝑥 ∈ {∅, 1o}if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) ⊔ 1o) = ((𝐴 ∪ 𝐵) ⊔ 1o))
47		foeq3 5474	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∪ 𝑥 ∈ {∅, 1o}if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) ⊔ 1o) = ((𝐴 ∪ 𝐵) ⊔ 1o) → (ℎ:ω–onto→(∪ 𝑥 ∈ {∅, 1o}if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) ⊔ 1o) ↔ ℎ:ω–onto→((𝐴 ∪ 𝐵) ⊔ 1o)))
48	45, 46, 47	mp2b 8	. . . . . . . 8 ⊢ (ℎ:ω–onto→(∪ 𝑥 ∈ {∅, 1o}if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) ⊔ 1o) ↔ ℎ:ω–onto→((𝐴 ∪ 𝐵) ⊔ 1o))
49	48	exbii 1616	. . . . . . 7 ⊢ (∃ℎ ℎ:ω–onto→(∪ 𝑥 ∈ {∅, 1o}if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) ⊔ 1o) ↔ ∃ℎ ℎ:ω–onto→((𝐴 ∪ 𝐵) ⊔ 1o))
50	40, 49	sylib 122	. . . . . 6 ⊢ (((𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) ∧ 𝑗:ω–onto→(2o ⊔ 1o)) → ∃ℎ ℎ:ω–onto→((𝐴 ∪ 𝐵) ⊔ 1o))
51	5, 50	exlimddv 1910	. . . . 5 ⊢ ((𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) → ∃ℎ ℎ:ω–onto→((𝐴 ∪ 𝐵) ⊔ 1o))
52	51	ex 115	. . . 4 ⊢ (𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) → (𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o) → ∃ℎ ℎ:ω–onto→((𝐴 ∪ 𝐵) ⊔ 1o)))
53	52	exlimiv 1609	. . 3 ⊢ (∃𝑓 𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) → (𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o) → ∃ℎ ℎ:ω–onto→((𝐴 ∪ 𝐵) ⊔ 1o)))
54	53	exlimdv 1830	. 2 ⊢ (∃𝑓 𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) → (∃𝑔 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o) → ∃ℎ ℎ:ω–onto→((𝐴 ∪ 𝐵) ⊔ 1o)))
55	54	imp 124	1 ⊢ ((∃𝑓 𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) ∧ ∃𝑔 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) → ∃ℎ ℎ:ω–onto→((𝐴 ∪ 𝐵) ⊔ 1o))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 709   = wceq 1364  ∃wex 1503   ∈ wcel 2164   ∪ cun 3151  ∅c0 3446  ifcif 3557  {cpr 3619  ∪ ciun 3912  ωcom 4622  –onto→wfo 5252  1_oc1o 6462  2_oc2o 6463  Fincfn 6794   ⊔ cdju 7096

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989  ax-pre-mulext 7990  ax-arch 7991

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-xor 1387  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-frec 6444  df-1o 6469  df-2o 6470  df-er 6587  df-en 6795  df-fin 6797  df-dju 7097  df-inl 7106  df-inr 7107  df-case 7143  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-ap 8601  df-div 8692  df-inn 8983  df-2 9041  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-q 9685  df-rp 9720  df-fz 10075  df-fl 10339  df-mod 10394  df-seqfrec 10519  df-exp 10610  df-dvds 11931

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