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Theorem unct 12375
Description: The union of two countable sets is countable. Corollary 8.1.20 of [AczelRathjen], p. 75. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Nov-2023.)
Assertion
Ref Expression
unct ((∃𝑓 𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) ∧ ∃𝑔 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) → ∃ :ω–onto→((𝐴𝐵) ⊔ 1o))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓,𝑔,   𝐵,𝑓,𝑔,

Proof of Theorem unct
Dummy variables 𝑗 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2onn 6489 . . . . . . . 8 2o ∈ ω
2 nnfi 6838 . . . . . . . 8 (2o ∈ ω → 2o ∈ Fin)
3 finct 7081 . . . . . . . 8 (2o ∈ Fin → ∃𝑗 𝑗:ω–onto→(2o ⊔ 1o))
41, 2, 3mp2b 8 . . . . . . 7 𝑗 𝑗:ω–onto→(2o ⊔ 1o)
54a1i 9 . . . . . 6 ((𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) → ∃𝑗 𝑗:ω–onto→(2o ⊔ 1o))
6 simpr 109 . . . . . . . . 9 (((𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) ∧ 𝑗:ω–onto→(2o ⊔ 1o)) → 𝑗:ω–onto→(2o ⊔ 1o))
7 df2o3 6398 . . . . . . . . . 10 2o = {∅, 1o}
8 djueq1 7005 . . . . . . . . . 10 (2o = {∅, 1o} → (2o ⊔ 1o) = ({∅, 1o} ⊔ 1o))
9 foeq3 5408 . . . . . . . . . 10 ((2o ⊔ 1o) = ({∅, 1o} ⊔ 1o) → (𝑗:ω–onto→(2o ⊔ 1o) ↔ 𝑗:ω–onto→({∅, 1o} ⊔ 1o)))
107, 8, 9mp2b 8 . . . . . . . . 9 (𝑗:ω–onto→(2o ⊔ 1o) ↔ 𝑗:ω–onto→({∅, 1o} ⊔ 1o))
116, 10sylib 121 . . . . . . . 8 (((𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) ∧ 𝑗:ω–onto→(2o ⊔ 1o)) → 𝑗:ω–onto→({∅, 1o} ⊔ 1o))
12 simplll 523 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) ∧ 𝑗:ω–onto→(2o ⊔ 1o)) ∧ 𝑥 = ∅) → 𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o))
13 iftrue 3525 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = ∅ → if(𝑥 = ∅, 𝑓, 𝑔) = 𝑓)
14 eqidd 2166 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = ∅ → ω = ω)
15 iftrue 3525 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = ∅ → if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) = 𝐴)
16 djueq1 7005 . . . . . . . . . . . . . . 15 (if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) = 𝐴 → (if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) ⊔ 1o) = (𝐴 ⊔ 1o))
1715, 16syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = ∅ → (if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) ⊔ 1o) = (𝐴 ⊔ 1o))
1813, 14, 17foeq123d 5426 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = ∅ → (if(𝑥 = ∅, 𝑓, 𝑔):ω–onto→(if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) ⊔ 1o) ↔ 𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o)))
1918adantl 275 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) ∧ 𝑗:ω–onto→(2o ⊔ 1o)) ∧ 𝑥 = ∅) → (if(𝑥 = ∅, 𝑓, 𝑔):ω–onto→(if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) ⊔ 1o) ↔ 𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o)))
2012, 19mpbird 166 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) ∧ 𝑗:ω–onto→(2o ⊔ 1o)) ∧ 𝑥 = ∅) → if(𝑥 = ∅, 𝑓, 𝑔):ω–onto→(if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) ⊔ 1o))
2120ex 114 . . . . . . . . . 10 (((𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) ∧ 𝑗:ω–onto→(2o ⊔ 1o)) → (𝑥 = ∅ → if(𝑥 = ∅, 𝑓, 𝑔):ω–onto→(if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) ⊔ 1o)))
22 simpllr 524 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) ∧ 𝑗:ω–onto→(2o ⊔ 1o)) ∧ 𝑥 = 1o) → 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o))
23 1n0 6400 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1o ≠ ∅
2423neii 2338 . . . . . . . . . . . . . . 15 ¬ 1o = ∅
25 eqeq1 2172 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 1o → (𝑥 = ∅ ↔ 1o = ∅))
2624, 25mtbiri 665 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 1o → ¬ 𝑥 = ∅)
2726adantl 275 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) ∧ 𝑗:ω–onto→(2o ⊔ 1o)) ∧ 𝑥 = 1o) → ¬ 𝑥 = ∅)
28 iffalse 3528 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥 = ∅ → if(𝑥 = ∅, 𝑓, 𝑔) = 𝑔)
29 eqidd 2166 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥 = ∅ → ω = ω)
30 iffalse 3528 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥 = ∅ → if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) = 𝐵)
31 djueq1 7005 . . . . . . . . . . . . . . 15 (if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) = 𝐵 → (if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) ⊔ 1o) = (𝐵 ⊔ 1o))
3230, 31syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥 = ∅ → (if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) ⊔ 1o) = (𝐵 ⊔ 1o))
3328, 29, 32foeq123d 5426 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥 = ∅ → (if(𝑥 = ∅, 𝑓, 𝑔):ω–onto→(if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) ⊔ 1o) ↔ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)))
3427, 33syl 14 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) ∧ 𝑗:ω–onto→(2o ⊔ 1o)) ∧ 𝑥 = 1o) → (if(𝑥 = ∅, 𝑓, 𝑔):ω–onto→(if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) ⊔ 1o) ↔ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)))
3522, 34mpbird 166 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) ∧ 𝑗:ω–onto→(2o ⊔ 1o)) ∧ 𝑥 = 1o) → if(𝑥 = ∅, 𝑓, 𝑔):ω–onto→(if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) ⊔ 1o))
3635ex 114 . . . . . . . . . 10 (((𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) ∧ 𝑗:ω–onto→(2o ⊔ 1o)) → (𝑥 = 1o → if(𝑥 = ∅, 𝑓, 𝑔):ω–onto→(if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) ⊔ 1o)))
3721, 36jaod 707 . . . . . . . . 9 (((𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) ∧ 𝑗:ω–onto→(2o ⊔ 1o)) → ((𝑥 = ∅ ∨ 𝑥 = 1o) → if(𝑥 = ∅, 𝑓, 𝑔):ω–onto→(if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) ⊔ 1o)))
38 elpri 3599 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ {∅, 1o} → (𝑥 = ∅ ∨ 𝑥 = 1o))
3937, 38impel 278 . . . . . . . 8 ((((𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) ∧ 𝑗:ω–onto→(2o ⊔ 1o)) ∧ 𝑥 ∈ {∅, 1o}) → if(𝑥 = ∅, 𝑓, 𝑔):ω–onto→(if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) ⊔ 1o))
4011, 39ctiunct 12373 . . . . . . 7 (((𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) ∧ 𝑗:ω–onto→(2o ⊔ 1o)) → ∃ :ω–onto→( 𝑥 ∈ {∅, 1o}if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) ⊔ 1o))
41 0lt2o 6409 . . . . . . . . . 10 ∅ ∈ 2o
42 1lt2o 6410 . . . . . . . . . 10 1o ∈ 2o
4326iffalsed 3530 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 1o → if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) = 𝐵)
4415, 43iunxprg 3946 . . . . . . . . . 10 ((∅ ∈ 2o ∧ 1o ∈ 2o) → 𝑥 ∈ {∅, 1o}if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) = (𝐴𝐵))
4541, 42, 44mp2an 423 . . . . . . . . 9 𝑥 ∈ {∅, 1o}if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) = (𝐴𝐵)
46 djueq1 7005 . . . . . . . . 9 ( 𝑥 ∈ {∅, 1o}if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) = (𝐴𝐵) → ( 𝑥 ∈ {∅, 1o}if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) ⊔ 1o) = ((𝐴𝐵) ⊔ 1o))
47 foeq3 5408 . . . . . . . . 9 (( 𝑥 ∈ {∅, 1o}if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) ⊔ 1o) = ((𝐴𝐵) ⊔ 1o) → (:ω–onto→( 𝑥 ∈ {∅, 1o}if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) ⊔ 1o) ↔ :ω–onto→((𝐴𝐵) ⊔ 1o)))
4845, 46, 47mp2b 8 . . . . . . . 8 (:ω–onto→( 𝑥 ∈ {∅, 1o}if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) ⊔ 1o) ↔ :ω–onto→((𝐴𝐵) ⊔ 1o))
4948exbii 1593 . . . . . . 7 (∃ :ω–onto→( 𝑥 ∈ {∅, 1o}if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) ⊔ 1o) ↔ ∃ :ω–onto→((𝐴𝐵) ⊔ 1o))
5040, 49sylib 121 . . . . . 6 (((𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) ∧ 𝑗:ω–onto→(2o ⊔ 1o)) → ∃ :ω–onto→((𝐴𝐵) ⊔ 1o))
515, 50exlimddv 1886 . . . . 5 ((𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) → ∃ :ω–onto→((𝐴𝐵) ⊔ 1o))
5251ex 114 . . . 4 (𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) → (𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o) → ∃ :ω–onto→((𝐴𝐵) ⊔ 1o)))
5352exlimiv 1586 . . 3 (∃𝑓 𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) → (𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o) → ∃ :ω–onto→((𝐴𝐵) ⊔ 1o)))
5453exlimdv 1807 . 2 (∃𝑓 𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) → (∃𝑔 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o) → ∃ :ω–onto→((𝐴𝐵) ⊔ 1o)))
5554imp 123 1 ((∃𝑓 𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) ∧ ∃𝑔 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) → ∃ :ω–onto→((𝐴𝐵) ⊔ 1o))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wb 104  wo 698   = wceq 1343  wex 1480  wcel 2136  cun 3114  c0 3409  ifcif 3520  {cpr 3577   ciun 3866  ωcom 4567  ontowfo 5186  1oc1o 6377  2oc2o 6378  Fincfn 6706  cdju 7002
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870  ax-pre-mulext 7871  ax-arch 7872
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-xor 1366  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rmo 2452  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-iord 4344  df-on 4346  df-ilim 4347  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-frec 6359  df-1o 6384  df-2o 6385  df-er 6501  df-en 6707  df-fin 6709  df-dju 7003  df-inl 7012  df-inr 7013  df-case 7049  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480  df-div 8569  df-inn 8858  df-2 8916  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-q 9558  df-rp 9590  df-fz 9945  df-fl 10205  df-mod 10258  df-seqfrec 10381  df-exp 10455  df-dvds 11728
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