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Theorem unct 12369
Description: The union of two countable sets is countable. Corollary 8.1.20 of [AczelRathjen], p. 75. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Nov-2023.)
Assertion
Ref Expression
unct ((∃𝑓 𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) ∧ ∃𝑔 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) → ∃ :ω–onto→((𝐴𝐵) ⊔ 1o))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓,𝑔,   𝐵,𝑓,𝑔,

Proof of Theorem unct
Dummy variables 𝑗 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2onn 6483 . . . . . . . 8 2o ∈ ω
2 nnfi 6832 . . . . . . . 8 (2o ∈ ω → 2o ∈ Fin)
3 finct 7075 . . . . . . . 8 (2o ∈ Fin → ∃𝑗 𝑗:ω–onto→(2o ⊔ 1o))
41, 2, 3mp2b 8 . . . . . . 7 𝑗 𝑗:ω–onto→(2o ⊔ 1o)
54a1i 9 . . . . . 6 ((𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) → ∃𝑗 𝑗:ω–onto→(2o ⊔ 1o))
6 simpr 109 . . . . . . . . 9 (((𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) ∧ 𝑗:ω–onto→(2o ⊔ 1o)) → 𝑗:ω–onto→(2o ⊔ 1o))
7 df2o3 6392 . . . . . . . . . 10 2o = {∅, 1o}
8 djueq1 6999 . . . . . . . . . 10 (2o = {∅, 1o} → (2o ⊔ 1o) = ({∅, 1o} ⊔ 1o))
9 foeq3 5405 . . . . . . . . . 10 ((2o ⊔ 1o) = ({∅, 1o} ⊔ 1o) → (𝑗:ω–onto→(2o ⊔ 1o) ↔ 𝑗:ω–onto→({∅, 1o} ⊔ 1o)))
107, 8, 9mp2b 8 . . . . . . . . 9 (𝑗:ω–onto→(2o ⊔ 1o) ↔ 𝑗:ω–onto→({∅, 1o} ⊔ 1o))
116, 10sylib 121 . . . . . . . 8 (((𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) ∧ 𝑗:ω–onto→(2o ⊔ 1o)) → 𝑗:ω–onto→({∅, 1o} ⊔ 1o))
12 simplll 523 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) ∧ 𝑗:ω–onto→(2o ⊔ 1o)) ∧ 𝑥 = ∅) → 𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o))
13 iftrue 3523 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = ∅ → if(𝑥 = ∅, 𝑓, 𝑔) = 𝑓)
14 eqidd 2165 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = ∅ → ω = ω)
15 iftrue 3523 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = ∅ → if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) = 𝐴)
16 djueq1 6999 . . . . . . . . . . . . . . 15 (if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) = 𝐴 → (if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) ⊔ 1o) = (𝐴 ⊔ 1o))
1715, 16syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = ∅ → (if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) ⊔ 1o) = (𝐴 ⊔ 1o))
1813, 14, 17foeq123d 5423 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = ∅ → (if(𝑥 = ∅, 𝑓, 𝑔):ω–onto→(if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) ⊔ 1o) ↔ 𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o)))
1918adantl 275 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) ∧ 𝑗:ω–onto→(2o ⊔ 1o)) ∧ 𝑥 = ∅) → (if(𝑥 = ∅, 𝑓, 𝑔):ω–onto→(if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) ⊔ 1o) ↔ 𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o)))
2012, 19mpbird 166 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) ∧ 𝑗:ω–onto→(2o ⊔ 1o)) ∧ 𝑥 = ∅) → if(𝑥 = ∅, 𝑓, 𝑔):ω–onto→(if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) ⊔ 1o))
2120ex 114 . . . . . . . . . 10 (((𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) ∧ 𝑗:ω–onto→(2o ⊔ 1o)) → (𝑥 = ∅ → if(𝑥 = ∅, 𝑓, 𝑔):ω–onto→(if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) ⊔ 1o)))
22 simpllr 524 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) ∧ 𝑗:ω–onto→(2o ⊔ 1o)) ∧ 𝑥 = 1o) → 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o))
23 1n0 6394 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1o ≠ ∅
2423neii 2336 . . . . . . . . . . . . . . 15 ¬ 1o = ∅
25 eqeq1 2171 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 1o → (𝑥 = ∅ ↔ 1o = ∅))
2624, 25mtbiri 665 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 1o → ¬ 𝑥 = ∅)
2726adantl 275 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) ∧ 𝑗:ω–onto→(2o ⊔ 1o)) ∧ 𝑥 = 1o) → ¬ 𝑥 = ∅)
28 iffalse 3526 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥 = ∅ → if(𝑥 = ∅, 𝑓, 𝑔) = 𝑔)
29 eqidd 2165 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥 = ∅ → ω = ω)
30 iffalse 3526 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥 = ∅ → if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) = 𝐵)
31 djueq1 6999 . . . . . . . . . . . . . . 15 (if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) = 𝐵 → (if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) ⊔ 1o) = (𝐵 ⊔ 1o))
3230, 31syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥 = ∅ → (if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) ⊔ 1o) = (𝐵 ⊔ 1o))
3328, 29, 32foeq123d 5423 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥 = ∅ → (if(𝑥 = ∅, 𝑓, 𝑔):ω–onto→(if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) ⊔ 1o) ↔ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)))
3427, 33syl 14 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) ∧ 𝑗:ω–onto→(2o ⊔ 1o)) ∧ 𝑥 = 1o) → (if(𝑥 = ∅, 𝑓, 𝑔):ω–onto→(if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) ⊔ 1o) ↔ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)))
3522, 34mpbird 166 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) ∧ 𝑗:ω–onto→(2o ⊔ 1o)) ∧ 𝑥 = 1o) → if(𝑥 = ∅, 𝑓, 𝑔):ω–onto→(if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) ⊔ 1o))
3635ex 114 . . . . . . . . . 10 (((𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) ∧ 𝑗:ω–onto→(2o ⊔ 1o)) → (𝑥 = 1o → if(𝑥 = ∅, 𝑓, 𝑔):ω–onto→(if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) ⊔ 1o)))
3721, 36jaod 707 . . . . . . . . 9 (((𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) ∧ 𝑗:ω–onto→(2o ⊔ 1o)) → ((𝑥 = ∅ ∨ 𝑥 = 1o) → if(𝑥 = ∅, 𝑓, 𝑔):ω–onto→(if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) ⊔ 1o)))
38 elpri 3596 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ {∅, 1o} → (𝑥 = ∅ ∨ 𝑥 = 1o))
3937, 38impel 278 . . . . . . . 8 ((((𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) ∧ 𝑗:ω–onto→(2o ⊔ 1o)) ∧ 𝑥 ∈ {∅, 1o}) → if(𝑥 = ∅, 𝑓, 𝑔):ω–onto→(if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) ⊔ 1o))
4011, 39ctiunct 12367 . . . . . . 7 (((𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) ∧ 𝑗:ω–onto→(2o ⊔ 1o)) → ∃ :ω–onto→( 𝑥 ∈ {∅, 1o}if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) ⊔ 1o))
41 0lt2o 6403 . . . . . . . . . 10 ∅ ∈ 2o
42 1lt2o 6404 . . . . . . . . . 10 1o ∈ 2o
4326iffalsed 3528 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 1o → if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) = 𝐵)
4415, 43iunxprg 3943 . . . . . . . . . 10 ((∅ ∈ 2o ∧ 1o ∈ 2o) → 𝑥 ∈ {∅, 1o}if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) = (𝐴𝐵))
4541, 42, 44mp2an 423 . . . . . . . . 9 𝑥 ∈ {∅, 1o}if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) = (𝐴𝐵)
46 djueq1 6999 . . . . . . . . 9 ( 𝑥 ∈ {∅, 1o}if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) = (𝐴𝐵) → ( 𝑥 ∈ {∅, 1o}if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) ⊔ 1o) = ((𝐴𝐵) ⊔ 1o))
47 foeq3 5405 . . . . . . . . 9 (( 𝑥 ∈ {∅, 1o}if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) ⊔ 1o) = ((𝐴𝐵) ⊔ 1o) → (:ω–onto→( 𝑥 ∈ {∅, 1o}if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) ⊔ 1o) ↔ :ω–onto→((𝐴𝐵) ⊔ 1o)))
4845, 46, 47mp2b 8 . . . . . . . 8 (:ω–onto→( 𝑥 ∈ {∅, 1o}if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) ⊔ 1o) ↔ :ω–onto→((𝐴𝐵) ⊔ 1o))
4948exbii 1592 . . . . . . 7 (∃ :ω–onto→( 𝑥 ∈ {∅, 1o}if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) ⊔ 1o) ↔ ∃ :ω–onto→((𝐴𝐵) ⊔ 1o))
5040, 49sylib 121 . . . . . 6 (((𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) ∧ 𝑗:ω–onto→(2o ⊔ 1o)) → ∃ :ω–onto→((𝐴𝐵) ⊔ 1o))
515, 50exlimddv 1885 . . . . 5 ((𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) → ∃ :ω–onto→((𝐴𝐵) ⊔ 1o))
5251ex 114 . . . 4 (𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) → (𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o) → ∃ :ω–onto→((𝐴𝐵) ⊔ 1o)))
5352exlimiv 1585 . . 3 (∃𝑓 𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) → (𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o) → ∃ :ω–onto→((𝐴𝐵) ⊔ 1o)))
5453exlimdv 1806 . 2 (∃𝑓 𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) → (∃𝑔 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o) → ∃ :ω–onto→((𝐴𝐵) ⊔ 1o)))
5554imp 123 1 ((∃𝑓 𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) ∧ ∃𝑔 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) → ∃ :ω–onto→((𝐴𝐵) ⊔ 1o))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wb 104  wo 698   = wceq 1342  wex 1479  wcel 2135  cun 3112  c0 3407  ifcif 3518  {cpr 3574   ciun 3863  ωcom 4564  ontowfo 5183  1oc1o 6371  2oc2o 6372  Fincfn 6700  cdju 6996
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-coll 4094  ax-sep 4097  ax-nul 4105  ax-pow 4150  ax-pr 4184  ax-un 4408  ax-setind 4511  ax-iinf 4562  ax-cnex 7838  ax-resscn 7839  ax-1cn 7840  ax-1re 7841  ax-icn 7842  ax-addcl 7843  ax-addrcl 7844  ax-mulcl 7845  ax-mulrcl 7846  ax-addcom 7847  ax-mulcom 7848  ax-addass 7849  ax-mulass 7850  ax-distr 7851  ax-i2m1 7852  ax-0lt1 7853  ax-1rid 7854  ax-0id 7855  ax-rnegex 7856  ax-precex 7857  ax-cnre 7858  ax-pre-ltirr 7859  ax-pre-ltwlin 7860  ax-pre-lttrn 7861  ax-pre-apti 7862  ax-pre-ltadd 7863  ax-pre-mulgt0 7864  ax-pre-mulext 7865  ax-arch 7866
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 968  df-3an 969  df-tru 1345  df-fal 1348  df-xor 1365  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ne 2335  df-nel 2430  df-ral 2447  df-rex 2448  df-reu 2449  df-rmo 2450  df-rab 2451  df-v 2726  df-sbc 2950  df-csb 3044  df-dif 3116  df-un 3118  df-in 3120  df-ss 3127  df-nul 3408  df-if 3519  df-pw 3558  df-sn 3579  df-pr 3580  df-op 3582  df-uni 3787  df-int 3822  df-iun 3865  df-br 3980  df-opab 4041  df-mpt 4042  df-tr 4078  df-id 4268  df-po 4271  df-iso 4272  df-iord 4341  df-on 4343  df-ilim 4344  df-suc 4346  df-iom 4565  df-xp 4607  df-rel 4608  df-cnv 4609  df-co 4610  df-dm 4611  df-rn 4612  df-res 4613  df-ima 4614  df-iota 5150  df-fun 5187  df-fn 5188  df-f 5189  df-f1 5190  df-fo 5191  df-f1o 5192  df-fv 5193  df-riota 5795  df-ov 5842  df-oprab 5843  df-mpo 5844  df-1st 6103  df-2nd 6104  df-recs 6267  df-frec 6353  df-1o 6378  df-2o 6379  df-er 6495  df-en 6701  df-fin 6703  df-dju 6997  df-inl 7006  df-inr 7007  df-case 7043  df-pnf 7929  df-mnf 7930  df-xr 7931  df-ltxr 7932  df-le 7933  df-sub 8065  df-neg 8066  df-reap 8467  df-ap 8474  df-div 8563  df-inn 8852  df-2 8910  df-n0 9109  df-z 9186  df-uz 9461  df-q 9552  df-rp 9584  df-fz 9939  df-fl 10199  df-mod 10252  df-seqfrec 10375  df-exp 10449  df-dvds 11722
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