Theorem unct 13335

Description: The union of two countable sets is countable. Corollary 8.1.20 of [AczelRathjen], p. 75. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Nov-2023.)

Assertion

Ref	Expression
unct	⊢ ((∃𝑓 𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) ∧ ∃𝑔 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) → ∃ℎ ℎ:ω–onto→((𝐴 ∪ 𝐵) ⊔ 1o))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓,𝑔,ℎ   𝐵,𝑓,𝑔,ℎ

Proof of Theorem unct

Dummy variables 𝑗 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2onn 6794	. . . . . . . 8 ⊢ 2o ∈ ω
2		nnfi 7174	. . . . . . . 8 ⊢ (2o ∈ ω → 2o ∈ Fin)
3		finct 7456	. . . . . . . 8 ⊢ (2o ∈ Fin → ∃𝑗 𝑗:ω–onto→(2o ⊔ 1o))
4	1, 2, 3	mp2b 8	. . . . . . 7 ⊢ ∃𝑗 𝑗:ω–onto→(2o ⊔ 1o)
5	4	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) → ∃𝑗 𝑗:ω–onto→(2o ⊔ 1o))
6		simpr 110	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) ∧ 𝑗:ω–onto→(2o ⊔ 1o)) → 𝑗:ω–onto→(2o ⊔ 1o))
7		df2o3 6702	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2o = {∅, 1o}
8		djueq1 7380	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2o = {∅, 1o} → (2o ⊔ 1o) = ({∅, 1o} ⊔ 1o))
9		foeq3 5613	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2o ⊔ 1o) = ({∅, 1o} ⊔ 1o) → (𝑗:ω–onto→(2o ⊔ 1o) ↔ 𝑗:ω–onto→({∅, 1o} ⊔ 1o)))
10	7, 8, 9	mp2b 8	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗:ω–onto→(2o ⊔ 1o) ↔ 𝑗:ω–onto→({∅, 1o} ⊔ 1o))
11	6, 10	sylib 122	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) ∧ 𝑗:ω–onto→(2o ⊔ 1o)) → 𝑗:ω–onto→({∅, 1o} ⊔ 1o))
12		simplll 539	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) ∧ 𝑗:ω–onto→(2o ⊔ 1o)) ∧ 𝑥 = ∅) → 𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o))
13		iftrue 3645	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = ∅ → if(𝑥 = ∅, 𝑓, 𝑔) = 𝑓)
14		eqidd 2239	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = ∅ → ω = ω)
15		iftrue 3645	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = ∅ → if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) = 𝐴)
16		djueq1 7380	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) = 𝐴 → (if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) ⊔ 1o) = (𝐴 ⊔ 1o))
17	15, 16	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = ∅ → (if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) ⊔ 1o) = (𝐴 ⊔ 1o))
18	13, 14, 17	foeq123d 5632	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = ∅ → (if(𝑥 = ∅, 𝑓, 𝑔):ω–onto→(if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) ⊔ 1o) ↔ 𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o)))
19	18	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) ∧ 𝑗:ω–onto→(2o ⊔ 1o)) ∧ 𝑥 = ∅) → (if(𝑥 = ∅, 𝑓, 𝑔):ω–onto→(if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) ⊔ 1o) ↔ 𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o)))
20	12, 19	mpbird 167	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) ∧ 𝑗:ω–onto→(2o ⊔ 1o)) ∧ 𝑥 = ∅) → if(𝑥 = ∅, 𝑓, 𝑔):ω–onto→(if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) ⊔ 1o))
21	20	ex 115	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) ∧ 𝑗:ω–onto→(2o ⊔ 1o)) → (𝑥 = ∅ → if(𝑥 = ∅, 𝑓, 𝑔):ω–onto→(if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) ⊔ 1o)))
22		simpllr 540	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) ∧ 𝑗:ω–onto→(2o ⊔ 1o)) ∧ 𝑥 = 1o) → 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o))
23		1n0 6705	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 1o ≠ ∅
24	23	neii 2422	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ¬ 1o = ∅
25		eqeq1 2245	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 1o → (𝑥 = ∅ ↔ 1o = ∅))
26	24, 25	mtbiri 686	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 1o → ¬ 𝑥 = ∅)
27	26	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) ∧ 𝑗:ω–onto→(2o ⊔ 1o)) ∧ 𝑥 = 1o) → ¬ 𝑥 = ∅)
28		iffalse 3648	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (¬ 𝑥 = ∅ → if(𝑥 = ∅, 𝑓, 𝑔) = 𝑔)
29		eqidd 2239	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (¬ 𝑥 = ∅ → ω = ω)
30		iffalse 3648	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (¬ 𝑥 = ∅ → if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) = 𝐵)
31		djueq1 7380	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) = 𝐵 → (if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) ⊔ 1o) = (𝐵 ⊔ 1o))
32	30, 31	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (¬ 𝑥 = ∅ → (if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) ⊔ 1o) = (𝐵 ⊔ 1o))
33	28, 29, 32	foeq123d 5632	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (¬ 𝑥 = ∅ → (if(𝑥 = ∅, 𝑓, 𝑔):ω–onto→(if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) ⊔ 1o) ↔ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)))
34	27, 33	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) ∧ 𝑗:ω–onto→(2o ⊔ 1o)) ∧ 𝑥 = 1o) → (if(𝑥 = ∅, 𝑓, 𝑔):ω–onto→(if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) ⊔ 1o) ↔ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)))
35	22, 34	mpbird 167	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) ∧ 𝑗:ω–onto→(2o ⊔ 1o)) ∧ 𝑥 = 1o) → if(𝑥 = ∅, 𝑓, 𝑔):ω–onto→(if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) ⊔ 1o))
36	35	ex 115	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) ∧ 𝑗:ω–onto→(2o ⊔ 1o)) → (𝑥 = 1o → if(𝑥 = ∅, 𝑓, 𝑔):ω–onto→(if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) ⊔ 1o)))
37	21, 36	jaod 729	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) ∧ 𝑗:ω–onto→(2o ⊔ 1o)) → ((𝑥 = ∅ ∨ 𝑥 = 1o) → if(𝑥 = ∅, 𝑓, 𝑔):ω–onto→(if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) ⊔ 1o)))
38		elpri 3732	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ {∅, 1o} → (𝑥 = ∅ ∨ 𝑥 = 1o))
39	37, 38	impel 280	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) ∧ 𝑗:ω–onto→(2o ⊔ 1o)) ∧ 𝑥 ∈ {∅, 1o}) → if(𝑥 = ∅, 𝑓, 𝑔):ω–onto→(if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) ⊔ 1o))
40	11, 39	ctiunct 13333	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) ∧ 𝑗:ω–onto→(2o ⊔ 1o)) → ∃ℎ ℎ:ω–onto→(∪ 𝑥 ∈ {∅, 1o}if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) ⊔ 1o))
41		0lt2o 6714	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∅ ∈ 2o
42		1lt2o 6715	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1o ∈ 2o
43	26	iffalsed 3650	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 1o → if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) = 𝐵)
44	15, 43	iunxprg 4093	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∅ ∈ 2o ∧ 1o ∈ 2o) → ∪ 𝑥 ∈ {∅, 1o}if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) = (𝐴 ∪ 𝐵))
45	41, 42, 44	mp2an 430	. . . . . . . . 9 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ {∅, 1o}if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) = (𝐴 ∪ 𝐵)
46		djueq1 7380	. . . . . . . . 9 ⊢ (∪ 𝑥 ∈ {∅, 1o}if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) = (𝐴 ∪ 𝐵) → (∪ 𝑥 ∈ {∅, 1o}if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) ⊔ 1o) = ((𝐴 ∪ 𝐵) ⊔ 1o))
47		foeq3 5613	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∪ 𝑥 ∈ {∅, 1o}if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) ⊔ 1o) = ((𝐴 ∪ 𝐵) ⊔ 1o) → (ℎ:ω–onto→(∪ 𝑥 ∈ {∅, 1o}if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) ⊔ 1o) ↔ ℎ:ω–onto→((𝐴 ∪ 𝐵) ⊔ 1o)))
48	45, 46, 47	mp2b 8	. . . . . . . 8 ⊢ (ℎ:ω–onto→(∪ 𝑥 ∈ {∅, 1o}if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) ⊔ 1o) ↔ ℎ:ω–onto→((𝐴 ∪ 𝐵) ⊔ 1o))
49	48	exbii 1658	. . . . . . 7 ⊢ (∃ℎ ℎ:ω–onto→(∪ 𝑥 ∈ {∅, 1o}if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) ⊔ 1o) ↔ ∃ℎ ℎ:ω–onto→((𝐴 ∪ 𝐵) ⊔ 1o))
50	40, 49	sylib 122	. . . . . 6 ⊢ (((𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) ∧ 𝑗:ω–onto→(2o ⊔ 1o)) → ∃ℎ ℎ:ω–onto→((𝐴 ∪ 𝐵) ⊔ 1o))
51	5, 50	exlimddv 1954	. . . . 5 ⊢ ((𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) → ∃ℎ ℎ:ω–onto→((𝐴 ∪ 𝐵) ⊔ 1o))
52	51	ex 115	. . . 4 ⊢ (𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) → (𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o) → ∃ℎ ℎ:ω–onto→((𝐴 ∪ 𝐵) ⊔ 1o)))
53	52	exlimiv 1651	. . 3 ⊢ (∃𝑓 𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) → (𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o) → ∃ℎ ℎ:ω–onto→((𝐴 ∪ 𝐵) ⊔ 1o)))
54	53	exlimdv 1872	. 2 ⊢ (∃𝑓 𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) → (∃𝑔 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o) → ∃ℎ ℎ:ω–onto→((𝐴 ∪ 𝐵) ⊔ 1o)))
55	54	imp 124	1 ⊢ ((∃𝑓 𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) ∧ ∃𝑔 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) → ∃ℎ ℎ:ω–onto→((𝐴 ∪ 𝐵) ⊔ 1o))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 720   = wceq 1402  ∃wex 1545   ∈ wcel 2209   ∪ cun 3218  ∅c0 3520  ifcif 3638  {cpr 3710  ∪ ciun 4012  ωcom 4737  –onto→wfo 5375  1_oc1o 6680  2_oc2o 6681  Fincfn 7022   ⊔ cdju 7377

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-13 2211  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-pre-mulext 8297  ax-arch 8298

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-xor 1425  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-1o 6687  df-2o 6688  df-er 6807  df-en 7023  df-fin 7025  df-dju 7378  df-inl 7387  df-inr 7388  df-case 7424  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8904  df-ap 8911  df-div 9004  df-inn 9306  df-2 9364  df-n0 9566  df-z 9647  df-uz 9924  df-q 10022  df-rp 10057  df-fz 10414  df-fl 10707  df-mod 10762  df-seqfrec 10887  df-exp 10978  df-dvds 12557

This theorem is used by: (None)