Theorem unct 13214

Description: The union of two countable sets is countable. Corollary 8.1.20 of [AczelRathjen], p. 75. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Nov-2023.)

Assertion

Ref	Expression
unct	⊢ ((∃𝑓 𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) ∧ ∃𝑔 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) → ∃ℎ ℎ:ω–onto→((𝐴 ∪ 𝐵) ⊔ 1o))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓,𝑔,ℎ   𝐵,𝑓,𝑔,ℎ

Proof of Theorem unct

Dummy variables 𝑗 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2onn 6756	. . . . . . . 8 ⊢ 2o ∈ ω
2		nnfi 7129	. . . . . . . 8 ⊢ (2o ∈ ω → 2o ∈ Fin)
3		finct 7409	. . . . . . . 8 ⊢ (2o ∈ Fin → ∃𝑗 𝑗:ω–onto→(2o ⊔ 1o))
4	1, 2, 3	mp2b 8	. . . . . . 7 ⊢ ∃𝑗 𝑗:ω–onto→(2o ⊔ 1o)
5	4	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) → ∃𝑗 𝑗:ω–onto→(2o ⊔ 1o))
6		simpr 110	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) ∧ 𝑗:ω–onto→(2o ⊔ 1o)) → 𝑗:ω–onto→(2o ⊔ 1o))
7		df2o3 6664	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2o = {∅, 1o}
8		djueq1 7333	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2o = {∅, 1o} → (2o ⊔ 1o) = ({∅, 1o} ⊔ 1o))
9		foeq3 5590	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2o ⊔ 1o) = ({∅, 1o} ⊔ 1o) → (𝑗:ω–onto→(2o ⊔ 1o) ↔ 𝑗:ω–onto→({∅, 1o} ⊔ 1o)))
10	7, 8, 9	mp2b 8	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗:ω–onto→(2o ⊔ 1o) ↔ 𝑗:ω–onto→({∅, 1o} ⊔ 1o))
11	6, 10	sylib 122	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) ∧ 𝑗:ω–onto→(2o ⊔ 1o)) → 𝑗:ω–onto→({∅, 1o} ⊔ 1o))
12		simplll 535	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) ∧ 𝑗:ω–onto→(2o ⊔ 1o)) ∧ 𝑥 = ∅) → 𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o))
13		iftrue 3629	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = ∅ → if(𝑥 = ∅, 𝑓, 𝑔) = 𝑓)
14		eqidd 2235	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = ∅ → ω = ω)
15		iftrue 3629	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = ∅ → if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) = 𝐴)
16		djueq1 7333	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) = 𝐴 → (if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) ⊔ 1o) = (𝐴 ⊔ 1o))
17	15, 16	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = ∅ → (if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) ⊔ 1o) = (𝐴 ⊔ 1o))
18	13, 14, 17	foeq123d 5609	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = ∅ → (if(𝑥 = ∅, 𝑓, 𝑔):ω–onto→(if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) ⊔ 1o) ↔ 𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o)))
19	18	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) ∧ 𝑗:ω–onto→(2o ⊔ 1o)) ∧ 𝑥 = ∅) → (if(𝑥 = ∅, 𝑓, 𝑔):ω–onto→(if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) ⊔ 1o) ↔ 𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o)))
20	12, 19	mpbird 167	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) ∧ 𝑗:ω–onto→(2o ⊔ 1o)) ∧ 𝑥 = ∅) → if(𝑥 = ∅, 𝑓, 𝑔):ω–onto→(if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) ⊔ 1o))
21	20	ex 115	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) ∧ 𝑗:ω–onto→(2o ⊔ 1o)) → (𝑥 = ∅ → if(𝑥 = ∅, 𝑓, 𝑔):ω–onto→(if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) ⊔ 1o)))
22		simpllr 536	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) ∧ 𝑗:ω–onto→(2o ⊔ 1o)) ∧ 𝑥 = 1o) → 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o))
23		1n0 6667	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 1o ≠ ∅
24	23	neii 2416	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ¬ 1o = ∅
25		eqeq1 2241	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 1o → (𝑥 = ∅ ↔ 1o = ∅))
26	24, 25	mtbiri 682	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 1o → ¬ 𝑥 = ∅)
27	26	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) ∧ 𝑗:ω–onto→(2o ⊔ 1o)) ∧ 𝑥 = 1o) → ¬ 𝑥 = ∅)
28		iffalse 3632	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (¬ 𝑥 = ∅ → if(𝑥 = ∅, 𝑓, 𝑔) = 𝑔)
29		eqidd 2235	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (¬ 𝑥 = ∅ → ω = ω)
30		iffalse 3632	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (¬ 𝑥 = ∅ → if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) = 𝐵)
31		djueq1 7333	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) = 𝐵 → (if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) ⊔ 1o) = (𝐵 ⊔ 1o))
32	30, 31	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (¬ 𝑥 = ∅ → (if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) ⊔ 1o) = (𝐵 ⊔ 1o))
33	28, 29, 32	foeq123d 5609	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (¬ 𝑥 = ∅ → (if(𝑥 = ∅, 𝑓, 𝑔):ω–onto→(if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) ⊔ 1o) ↔ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)))
34	27, 33	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) ∧ 𝑗:ω–onto→(2o ⊔ 1o)) ∧ 𝑥 = 1o) → (if(𝑥 = ∅, 𝑓, 𝑔):ω–onto→(if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) ⊔ 1o) ↔ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)))
35	22, 34	mpbird 167	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) ∧ 𝑗:ω–onto→(2o ⊔ 1o)) ∧ 𝑥 = 1o) → if(𝑥 = ∅, 𝑓, 𝑔):ω–onto→(if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) ⊔ 1o))
36	35	ex 115	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) ∧ 𝑗:ω–onto→(2o ⊔ 1o)) → (𝑥 = 1o → if(𝑥 = ∅, 𝑓, 𝑔):ω–onto→(if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) ⊔ 1o)))
37	21, 36	jaod 725	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) ∧ 𝑗:ω–onto→(2o ⊔ 1o)) → ((𝑥 = ∅ ∨ 𝑥 = 1o) → if(𝑥 = ∅, 𝑓, 𝑔):ω–onto→(if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) ⊔ 1o)))
38		elpri 3714	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ {∅, 1o} → (𝑥 = ∅ ∨ 𝑥 = 1o))
39	37, 38	impel 280	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) ∧ 𝑗:ω–onto→(2o ⊔ 1o)) ∧ 𝑥 ∈ {∅, 1o}) → if(𝑥 = ∅, 𝑓, 𝑔):ω–onto→(if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) ⊔ 1o))
40	11, 39	ctiunct 13212	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) ∧ 𝑗:ω–onto→(2o ⊔ 1o)) → ∃ℎ ℎ:ω–onto→(∪ 𝑥 ∈ {∅, 1o}if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) ⊔ 1o))
41		0lt2o 6676	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∅ ∈ 2o
42		1lt2o 6677	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1o ∈ 2o
43	26	iffalsed 3634	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 1o → if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) = 𝐵)
44	15, 43	iunxprg 4074	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∅ ∈ 2o ∧ 1o ∈ 2o) → ∪ 𝑥 ∈ {∅, 1o}if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) = (𝐴 ∪ 𝐵))
45	41, 42, 44	mp2an 426	. . . . . . . . 9 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ {∅, 1o}if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) = (𝐴 ∪ 𝐵)
46		djueq1 7333	. . . . . . . . 9 ⊢ (∪ 𝑥 ∈ {∅, 1o}if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) = (𝐴 ∪ 𝐵) → (∪ 𝑥 ∈ {∅, 1o}if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) ⊔ 1o) = ((𝐴 ∪ 𝐵) ⊔ 1o))
47		foeq3 5590	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∪ 𝑥 ∈ {∅, 1o}if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) ⊔ 1o) = ((𝐴 ∪ 𝐵) ⊔ 1o) → (ℎ:ω–onto→(∪ 𝑥 ∈ {∅, 1o}if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) ⊔ 1o) ↔ ℎ:ω–onto→((𝐴 ∪ 𝐵) ⊔ 1o)))
48	45, 46, 47	mp2b 8	. . . . . . . 8 ⊢ (ℎ:ω–onto→(∪ 𝑥 ∈ {∅, 1o}if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) ⊔ 1o) ↔ ℎ:ω–onto→((𝐴 ∪ 𝐵) ⊔ 1o))
49	48	exbii 1654	. . . . . . 7 ⊢ (∃ℎ ℎ:ω–onto→(∪ 𝑥 ∈ {∅, 1o}if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) ⊔ 1o) ↔ ∃ℎ ℎ:ω–onto→((𝐴 ∪ 𝐵) ⊔ 1o))
50	40, 49	sylib 122	. . . . . 6 ⊢ (((𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) ∧ 𝑗:ω–onto→(2o ⊔ 1o)) → ∃ℎ ℎ:ω–onto→((𝐴 ∪ 𝐵) ⊔ 1o))
51	5, 50	exlimddv 1950	. . . . 5 ⊢ ((𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) → ∃ℎ ℎ:ω–onto→((𝐴 ∪ 𝐵) ⊔ 1o))
52	51	ex 115	. . . 4 ⊢ (𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) → (𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o) → ∃ℎ ℎ:ω–onto→((𝐴 ∪ 𝐵) ⊔ 1o)))
53	52	exlimiv 1647	. . 3 ⊢ (∃𝑓 𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) → (𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o) → ∃ℎ ℎ:ω–onto→((𝐴 ∪ 𝐵) ⊔ 1o)))
54	53	exlimdv 1868	. 2 ⊢ (∃𝑓 𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) → (∃𝑔 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o) → ∃ℎ ℎ:ω–onto→((𝐴 ∪ 𝐵) ⊔ 1o)))
55	54	imp 124	1 ⊢ ((∃𝑓 𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) ∧ ∃𝑔 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) → ∃ℎ ℎ:ω–onto→((𝐴 ∪ 𝐵) ⊔ 1o))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 716   = wceq 1398  ∃wex 1541   ∈ wcel 2205   ∪ cun 3211  ∅c0 3510  ifcif 3622  {cpr 3692  ∪ ciun 3993  ωcom 4714  –onto→wfo 5352  1_oc1o 6642  2_oc2o 6643  Fincfn 6977   ⊔ cdju 7330

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4227  ax-sep 4230  ax-nul 4238  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-iinf 4712  ax-cnex 8223  ax-resscn 8224  ax-1cn 8225  ax-1re 8226  ax-icn 8227  ax-addcl 8228  ax-addrcl 8229  ax-mulcl 8230  ax-mulrcl 8231  ax-addcom 8232  ax-mulcom 8233  ax-addass 8234  ax-mulass 8235  ax-distr 8236  ax-i2m1 8237  ax-0lt1 8238  ax-1rid 8239  ax-0id 8240  ax-rnegex 8241  ax-precex 8242  ax-cnre 8243  ax-pre-ltirr 8244  ax-pre-ltwlin 8245  ax-pre-lttrn 8246  ax-pre-apti 8247  ax-pre-ltadd 8248  ax-pre-mulgt0 8249  ax-pre-mulext 8250  ax-arch 8251

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-xor 1421  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-if 3623  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-tr 4211  df-id 4416  df-po 4419  df-iso 4420  df-iord 4489  df-on 4491  df-ilim 4492  df-suc 4494  df-iom 4715  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-recs 6538  df-frec 6624  df-1o 6649  df-2o 6650  df-er 6769  df-en 6978  df-fin 6980  df-dju 7331  df-inl 7340  df-inr 7341  df-case 7377  df-pnf 8315  df-mnf 8316  df-xr 8317  df-ltxr 8318  df-le 8319  df-sub 8451  df-neg 8452  df-reap 8854  df-ap 8861  df-div 8952  df-inn 9243  df-2 9301  df-n0 9502  df-z 9583  df-uz 9860  df-q 9958  df-rp 9993  df-fz 10349  df-fl 10637  df-mod 10692  df-seqfrec 10817  df-exp 10908  df-dvds 12482

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