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Theorem unct 12442
Description: The union of two countable sets is countable. Corollary 8.1.20 of [AczelRathjen], p. 75. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Nov-2023.)
Assertion
Ref Expression
unct ((∃𝑓 𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) ∧ ∃𝑔 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) → ∃ :ω–onto→((𝐴𝐵) ⊔ 1o))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓,𝑔,   𝐵,𝑓,𝑔,

Proof of Theorem unct
Dummy variables 𝑗 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2onn 6521 . . . . . . . 8 2o ∈ ω
2 nnfi 6871 . . . . . . . 8 (2o ∈ ω → 2o ∈ Fin)
3 finct 7114 . . . . . . . 8 (2o ∈ Fin → ∃𝑗 𝑗:ω–onto→(2o ⊔ 1o))
41, 2, 3mp2b 8 . . . . . . 7 𝑗 𝑗:ω–onto→(2o ⊔ 1o)
54a1i 9 . . . . . 6 ((𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) → ∃𝑗 𝑗:ω–onto→(2o ⊔ 1o))
6 simpr 110 . . . . . . . . 9 (((𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) ∧ 𝑗:ω–onto→(2o ⊔ 1o)) → 𝑗:ω–onto→(2o ⊔ 1o))
7 df2o3 6430 . . . . . . . . . 10 2o = {∅, 1o}
8 djueq1 7038 . . . . . . . . . 10 (2o = {∅, 1o} → (2o ⊔ 1o) = ({∅, 1o} ⊔ 1o))
9 foeq3 5436 . . . . . . . . . 10 ((2o ⊔ 1o) = ({∅, 1o} ⊔ 1o) → (𝑗:ω–onto→(2o ⊔ 1o) ↔ 𝑗:ω–onto→({∅, 1o} ⊔ 1o)))
107, 8, 9mp2b 8 . . . . . . . . 9 (𝑗:ω–onto→(2o ⊔ 1o) ↔ 𝑗:ω–onto→({∅, 1o} ⊔ 1o))
116, 10sylib 122 . . . . . . . 8 (((𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) ∧ 𝑗:ω–onto→(2o ⊔ 1o)) → 𝑗:ω–onto→({∅, 1o} ⊔ 1o))
12 simplll 533 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) ∧ 𝑗:ω–onto→(2o ⊔ 1o)) ∧ 𝑥 = ∅) → 𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o))
13 iftrue 3539 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = ∅ → if(𝑥 = ∅, 𝑓, 𝑔) = 𝑓)
14 eqidd 2178 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = ∅ → ω = ω)
15 iftrue 3539 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = ∅ → if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) = 𝐴)
16 djueq1 7038 . . . . . . . . . . . . . . 15 (if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) = 𝐴 → (if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) ⊔ 1o) = (𝐴 ⊔ 1o))
1715, 16syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = ∅ → (if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) ⊔ 1o) = (𝐴 ⊔ 1o))
1813, 14, 17foeq123d 5454 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = ∅ → (if(𝑥 = ∅, 𝑓, 𝑔):ω–onto→(if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) ⊔ 1o) ↔ 𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o)))
1918adantl 277 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) ∧ 𝑗:ω–onto→(2o ⊔ 1o)) ∧ 𝑥 = ∅) → (if(𝑥 = ∅, 𝑓, 𝑔):ω–onto→(if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) ⊔ 1o) ↔ 𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o)))
2012, 19mpbird 167 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) ∧ 𝑗:ω–onto→(2o ⊔ 1o)) ∧ 𝑥 = ∅) → if(𝑥 = ∅, 𝑓, 𝑔):ω–onto→(if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) ⊔ 1o))
2120ex 115 . . . . . . . . . 10 (((𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) ∧ 𝑗:ω–onto→(2o ⊔ 1o)) → (𝑥 = ∅ → if(𝑥 = ∅, 𝑓, 𝑔):ω–onto→(if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) ⊔ 1o)))
22 simpllr 534 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) ∧ 𝑗:ω–onto→(2o ⊔ 1o)) ∧ 𝑥 = 1o) → 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o))
23 1n0 6432 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1o ≠ ∅
2423neii 2349 . . . . . . . . . . . . . . 15 ¬ 1o = ∅
25 eqeq1 2184 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 1o → (𝑥 = ∅ ↔ 1o = ∅))
2624, 25mtbiri 675 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 1o → ¬ 𝑥 = ∅)
2726adantl 277 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) ∧ 𝑗:ω–onto→(2o ⊔ 1o)) ∧ 𝑥 = 1o) → ¬ 𝑥 = ∅)
28 iffalse 3542 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥 = ∅ → if(𝑥 = ∅, 𝑓, 𝑔) = 𝑔)
29 eqidd 2178 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥 = ∅ → ω = ω)
30 iffalse 3542 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥 = ∅ → if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) = 𝐵)
31 djueq1 7038 . . . . . . . . . . . . . . 15 (if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) = 𝐵 → (if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) ⊔ 1o) = (𝐵 ⊔ 1o))
3230, 31syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥 = ∅ → (if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) ⊔ 1o) = (𝐵 ⊔ 1o))
3328, 29, 32foeq123d 5454 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥 = ∅ → (if(𝑥 = ∅, 𝑓, 𝑔):ω–onto→(if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) ⊔ 1o) ↔ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)))
3427, 33syl 14 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) ∧ 𝑗:ω–onto→(2o ⊔ 1o)) ∧ 𝑥 = 1o) → (if(𝑥 = ∅, 𝑓, 𝑔):ω–onto→(if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) ⊔ 1o) ↔ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)))
3522, 34mpbird 167 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) ∧ 𝑗:ω–onto→(2o ⊔ 1o)) ∧ 𝑥 = 1o) → if(𝑥 = ∅, 𝑓, 𝑔):ω–onto→(if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) ⊔ 1o))
3635ex 115 . . . . . . . . . 10 (((𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) ∧ 𝑗:ω–onto→(2o ⊔ 1o)) → (𝑥 = 1o → if(𝑥 = ∅, 𝑓, 𝑔):ω–onto→(if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) ⊔ 1o)))
3721, 36jaod 717 . . . . . . . . 9 (((𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) ∧ 𝑗:ω–onto→(2o ⊔ 1o)) → ((𝑥 = ∅ ∨ 𝑥 = 1o) → if(𝑥 = ∅, 𝑓, 𝑔):ω–onto→(if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) ⊔ 1o)))
38 elpri 3615 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ {∅, 1o} → (𝑥 = ∅ ∨ 𝑥 = 1o))
3937, 38impel 280 . . . . . . . 8 ((((𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) ∧ 𝑗:ω–onto→(2o ⊔ 1o)) ∧ 𝑥 ∈ {∅, 1o}) → if(𝑥 = ∅, 𝑓, 𝑔):ω–onto→(if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) ⊔ 1o))
4011, 39ctiunct 12440 . . . . . . 7 (((𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) ∧ 𝑗:ω–onto→(2o ⊔ 1o)) → ∃ :ω–onto→( 𝑥 ∈ {∅, 1o}if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) ⊔ 1o))
41 0lt2o 6441 . . . . . . . . . 10 ∅ ∈ 2o
42 1lt2o 6442 . . . . . . . . . 10 1o ∈ 2o
4326iffalsed 3544 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 1o → if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) = 𝐵)
4415, 43iunxprg 3967 . . . . . . . . . 10 ((∅ ∈ 2o ∧ 1o ∈ 2o) → 𝑥 ∈ {∅, 1o}if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) = (𝐴𝐵))
4541, 42, 44mp2an 426 . . . . . . . . 9 𝑥 ∈ {∅, 1o}if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) = (𝐴𝐵)
46 djueq1 7038 . . . . . . . . 9 ( 𝑥 ∈ {∅, 1o}if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) = (𝐴𝐵) → ( 𝑥 ∈ {∅, 1o}if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) ⊔ 1o) = ((𝐴𝐵) ⊔ 1o))
47 foeq3 5436 . . . . . . . . 9 (( 𝑥 ∈ {∅, 1o}if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) ⊔ 1o) = ((𝐴𝐵) ⊔ 1o) → (:ω–onto→( 𝑥 ∈ {∅, 1o}if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) ⊔ 1o) ↔ :ω–onto→((𝐴𝐵) ⊔ 1o)))
4845, 46, 47mp2b 8 . . . . . . . 8 (:ω–onto→( 𝑥 ∈ {∅, 1o}if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) ⊔ 1o) ↔ :ω–onto→((𝐴𝐵) ⊔ 1o))
4948exbii 1605 . . . . . . 7 (∃ :ω–onto→( 𝑥 ∈ {∅, 1o}if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) ⊔ 1o) ↔ ∃ :ω–onto→((𝐴𝐵) ⊔ 1o))
5040, 49sylib 122 . . . . . 6 (((𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) ∧ 𝑗:ω–onto→(2o ⊔ 1o)) → ∃ :ω–onto→((𝐴𝐵) ⊔ 1o))
515, 50exlimddv 1898 . . . . 5 ((𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) → ∃ :ω–onto→((𝐴𝐵) ⊔ 1o))
5251ex 115 . . . 4 (𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) → (𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o) → ∃ :ω–onto→((𝐴𝐵) ⊔ 1o)))
5352exlimiv 1598 . . 3 (∃𝑓 𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) → (𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o) → ∃ :ω–onto→((𝐴𝐵) ⊔ 1o)))
5453exlimdv 1819 . 2 (∃𝑓 𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) → (∃𝑔 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o) → ∃ :ω–onto→((𝐴𝐵) ⊔ 1o)))
5554imp 124 1 ((∃𝑓 𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) ∧ ∃𝑔 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) → ∃ :ω–onto→((𝐴𝐵) ⊔ 1o))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 104  wb 105  wo 708   = wceq 1353  wex 1492  wcel 2148  cun 3127  c0 3422  ifcif 3534  {cpr 3593   ciun 3886  ωcom 4589  ontowfo 5214  1oc1o 6409  2oc2o 6410  Fincfn 6739  cdju 7035
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928  ax-arch 7929
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-xor 1376  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-iord 4366  df-on 4368  df-ilim 4369  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-frec 6391  df-1o 6416  df-2o 6417  df-er 6534  df-en 6740  df-fin 6742  df-dju 7036  df-inl 7045  df-inr 7046  df-case 7082  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-ltxr 7996  df-le 7997  df-sub 8129  df-neg 8130  df-reap 8531  df-ap 8538  df-div 8629  df-inn 8919  df-2 8977  df-n0 9176  df-z 9253  df-uz 9528  df-q 9619  df-rp 9653  df-fz 10008  df-fl 10269  df-mod 10322  df-seqfrec 10445  df-exp 10519  df-dvds 11794
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