Theorem unct 12397

Description: The union of two countable sets is countable. Corollary 8.1.20 of [AczelRathjen], p. 75. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Nov-2023.)

Assertion

Ref	Expression
unct	⊢ ((∃𝑓 𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) ∧ ∃𝑔 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) → ∃ℎ ℎ:ω–onto→((𝐴 ∪ 𝐵) ⊔ 1o))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓,𝑔,ℎ   𝐵,𝑓,𝑔,ℎ

Proof of Theorem unct

Dummy variables 𝑗 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2onn 6500	. . . . . . . 8 ⊢ 2o ∈ ω
2		nnfi 6850	. . . . . . . 8 ⊢ (2o ∈ ω → 2o ∈ Fin)
3		finct 7093	. . . . . . . 8 ⊢ (2o ∈ Fin → ∃𝑗 𝑗:ω–onto→(2o ⊔ 1o))
4	1, 2, 3	mp2b 8	. . . . . . 7 ⊢ ∃𝑗 𝑗:ω–onto→(2o ⊔ 1o)
5	4	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) → ∃𝑗 𝑗:ω–onto→(2o ⊔ 1o))
6		simpr 109	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) ∧ 𝑗:ω–onto→(2o ⊔ 1o)) → 𝑗:ω–onto→(2o ⊔ 1o))
7		df2o3 6409	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2o = {∅, 1o}
8		djueq1 7017	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2o = {∅, 1o} → (2o ⊔ 1o) = ({∅, 1o} ⊔ 1o))
9		foeq3 5418	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2o ⊔ 1o) = ({∅, 1o} ⊔ 1o) → (𝑗:ω–onto→(2o ⊔ 1o) ↔ 𝑗:ω–onto→({∅, 1o} ⊔ 1o)))
10	7, 8, 9	mp2b 8	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗:ω–onto→(2o ⊔ 1o) ↔ 𝑗:ω–onto→({∅, 1o} ⊔ 1o))
11	6, 10	sylib 121	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) ∧ 𝑗:ω–onto→(2o ⊔ 1o)) → 𝑗:ω–onto→({∅, 1o} ⊔ 1o))
12		simplll 528	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) ∧ 𝑗:ω–onto→(2o ⊔ 1o)) ∧ 𝑥 = ∅) → 𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o))
13		iftrue 3531	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = ∅ → if(𝑥 = ∅, 𝑓, 𝑔) = 𝑓)
14		eqidd 2171	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = ∅ → ω = ω)
15		iftrue 3531	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = ∅ → if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) = 𝐴)
16		djueq1 7017	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) = 𝐴 → (if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) ⊔ 1o) = (𝐴 ⊔ 1o))
17	15, 16	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = ∅ → (if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) ⊔ 1o) = (𝐴 ⊔ 1o))
18	13, 14, 17	foeq123d 5436	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = ∅ → (if(𝑥 = ∅, 𝑓, 𝑔):ω–onto→(if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) ⊔ 1o) ↔ 𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o)))
19	18	adantl 275	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) ∧ 𝑗:ω–onto→(2o ⊔ 1o)) ∧ 𝑥 = ∅) → (if(𝑥 = ∅, 𝑓, 𝑔):ω–onto→(if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) ⊔ 1o) ↔ 𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o)))
20	12, 19	mpbird 166	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) ∧ 𝑗:ω–onto→(2o ⊔ 1o)) ∧ 𝑥 = ∅) → if(𝑥 = ∅, 𝑓, 𝑔):ω–onto→(if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) ⊔ 1o))
21	20	ex 114	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) ∧ 𝑗:ω–onto→(2o ⊔ 1o)) → (𝑥 = ∅ → if(𝑥 = ∅, 𝑓, 𝑔):ω–onto→(if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) ⊔ 1o)))
22		simpllr 529	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) ∧ 𝑗:ω–onto→(2o ⊔ 1o)) ∧ 𝑥 = 1o) → 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o))
23		1n0 6411	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 1o ≠ ∅
24	23	neii 2342	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ¬ 1o = ∅
25		eqeq1 2177	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 1o → (𝑥 = ∅ ↔ 1o = ∅))
26	24, 25	mtbiri 670	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 1o → ¬ 𝑥 = ∅)
27	26	adantl 275	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) ∧ 𝑗:ω–onto→(2o ⊔ 1o)) ∧ 𝑥 = 1o) → ¬ 𝑥 = ∅)
28		iffalse 3534	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (¬ 𝑥 = ∅ → if(𝑥 = ∅, 𝑓, 𝑔) = 𝑔)
29		eqidd 2171	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (¬ 𝑥 = ∅ → ω = ω)
30		iffalse 3534	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (¬ 𝑥 = ∅ → if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) = 𝐵)
31		djueq1 7017	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) = 𝐵 → (if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) ⊔ 1o) = (𝐵 ⊔ 1o))
32	30, 31	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (¬ 𝑥 = ∅ → (if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) ⊔ 1o) = (𝐵 ⊔ 1o))
33	28, 29, 32	foeq123d 5436	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (¬ 𝑥 = ∅ → (if(𝑥 = ∅, 𝑓, 𝑔):ω–onto→(if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) ⊔ 1o) ↔ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)))
34	27, 33	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) ∧ 𝑗:ω–onto→(2o ⊔ 1o)) ∧ 𝑥 = 1o) → (if(𝑥 = ∅, 𝑓, 𝑔):ω–onto→(if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) ⊔ 1o) ↔ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)))
35	22, 34	mpbird 166	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) ∧ 𝑗:ω–onto→(2o ⊔ 1o)) ∧ 𝑥 = 1o) → if(𝑥 = ∅, 𝑓, 𝑔):ω–onto→(if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) ⊔ 1o))
36	35	ex 114	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) ∧ 𝑗:ω–onto→(2o ⊔ 1o)) → (𝑥 = 1o → if(𝑥 = ∅, 𝑓, 𝑔):ω–onto→(if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) ⊔ 1o)))
37	21, 36	jaod 712	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) ∧ 𝑗:ω–onto→(2o ⊔ 1o)) → ((𝑥 = ∅ ∨ 𝑥 = 1o) → if(𝑥 = ∅, 𝑓, 𝑔):ω–onto→(if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) ⊔ 1o)))
38		elpri 3606	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ {∅, 1o} → (𝑥 = ∅ ∨ 𝑥 = 1o))
39	37, 38	impel 278	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) ∧ 𝑗:ω–onto→(2o ⊔ 1o)) ∧ 𝑥 ∈ {∅, 1o}) → if(𝑥 = ∅, 𝑓, 𝑔):ω–onto→(if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) ⊔ 1o))
40	11, 39	ctiunct 12395	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) ∧ 𝑗:ω–onto→(2o ⊔ 1o)) → ∃ℎ ℎ:ω–onto→(∪ 𝑥 ∈ {∅, 1o}if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) ⊔ 1o))
41		0lt2o 6420	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∅ ∈ 2o
42		1lt2o 6421	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1o ∈ 2o
43	26	iffalsed 3536	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 1o → if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) = 𝐵)
44	15, 43	iunxprg 3953	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∅ ∈ 2o ∧ 1o ∈ 2o) → ∪ 𝑥 ∈ {∅, 1o}if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) = (𝐴 ∪ 𝐵))
45	41, 42, 44	mp2an 424	. . . . . . . . 9 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ {∅, 1o}if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) = (𝐴 ∪ 𝐵)
46		djueq1 7017	. . . . . . . . 9 ⊢ (∪ 𝑥 ∈ {∅, 1o}if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) = (𝐴 ∪ 𝐵) → (∪ 𝑥 ∈ {∅, 1o}if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) ⊔ 1o) = ((𝐴 ∪ 𝐵) ⊔ 1o))
47		foeq3 5418	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∪ 𝑥 ∈ {∅, 1o}if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) ⊔ 1o) = ((𝐴 ∪ 𝐵) ⊔ 1o) → (ℎ:ω–onto→(∪ 𝑥 ∈ {∅, 1o}if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) ⊔ 1o) ↔ ℎ:ω–onto→((𝐴 ∪ 𝐵) ⊔ 1o)))
48	45, 46, 47	mp2b 8	. . . . . . . 8 ⊢ (ℎ:ω–onto→(∪ 𝑥 ∈ {∅, 1o}if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) ⊔ 1o) ↔ ℎ:ω–onto→((𝐴 ∪ 𝐵) ⊔ 1o))
49	48	exbii 1598	. . . . . . 7 ⊢ (∃ℎ ℎ:ω–onto→(∪ 𝑥 ∈ {∅, 1o}if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) ⊔ 1o) ↔ ∃ℎ ℎ:ω–onto→((𝐴 ∪ 𝐵) ⊔ 1o))
50	40, 49	sylib 121	. . . . . 6 ⊢ (((𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) ∧ 𝑗:ω–onto→(2o ⊔ 1o)) → ∃ℎ ℎ:ω–onto→((𝐴 ∪ 𝐵) ⊔ 1o))
51	5, 50	exlimddv 1891	. . . . 5 ⊢ ((𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) → ∃ℎ ℎ:ω–onto→((𝐴 ∪ 𝐵) ⊔ 1o))
52	51	ex 114	. . . 4 ⊢ (𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) → (𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o) → ∃ℎ ℎ:ω–onto→((𝐴 ∪ 𝐵) ⊔ 1o)))
53	52	exlimiv 1591	. . 3 ⊢ (∃𝑓 𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) → (𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o) → ∃ℎ ℎ:ω–onto→((𝐴 ∪ 𝐵) ⊔ 1o)))
54	53	exlimdv 1812	. 2 ⊢ (∃𝑓 𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) → (∃𝑔 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o) → ∃ℎ ℎ:ω–onto→((𝐴 ∪ 𝐵) ⊔ 1o)))
55	54	imp 123	1 ⊢ ((∃𝑓 𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) ∧ ∃𝑔 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) → ∃ℎ ℎ:ω–onto→((𝐴 ∪ 𝐵) ⊔ 1o))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ wo 703   = wceq 1348  ∃wex 1485   ∈ wcel 2141   ∪ cun 3119  ∅c0 3414  ifcif 3526  {cpr 3584  ∪ ciun 3873  ωcom 4574  –onto→wfo 5196  1_oc1o 6388  2_oc2o 6389  Fincfn 6718   ⊔ cdju 7014

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892  ax-arch 7893

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-xor 1371  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-frec 6370  df-1o 6395  df-2o 6396  df-er 6513  df-en 6719  df-fin 6721  df-dju 7015  df-inl 7024  df-inr 7025  df-case 7061  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-q 9579  df-rp 9611  df-fz 9966  df-fl 10226  df-mod 10279  df-seqfrec 10402  df-exp 10476  df-dvds 11750

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