Theorem unct 12456

Description: The union of two countable sets is countable. Corollary 8.1.20 of [AczelRathjen], p. 75. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Nov-2023.)

Assertion

Ref	Expression
unct	⊢ ((∃𝑓 𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) ∧ ∃𝑔 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) → ∃ℎ ℎ:ω–onto→((𝐴 ∪ 𝐵) ⊔ 1o))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓,𝑔,ℎ   𝐵,𝑓,𝑔,ℎ

Proof of Theorem unct

Dummy variables 𝑗 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2onn 6535	. . . . . . . 8 ⊢ 2o ∈ ω
2		nnfi 6885	. . . . . . . 8 ⊢ (2o ∈ ω → 2o ∈ Fin)
3		finct 7128	. . . . . . . 8 ⊢ (2o ∈ Fin → ∃𝑗 𝑗:ω–onto→(2o ⊔ 1o))
4	1, 2, 3	mp2b 8	. . . . . . 7 ⊢ ∃𝑗 𝑗:ω–onto→(2o ⊔ 1o)
5	4	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) → ∃𝑗 𝑗:ω–onto→(2o ⊔ 1o))
6		simpr 110	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) ∧ 𝑗:ω–onto→(2o ⊔ 1o)) → 𝑗:ω–onto→(2o ⊔ 1o))
7		df2o3 6444	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2o = {∅, 1o}
8		djueq1 7052	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2o = {∅, 1o} → (2o ⊔ 1o) = ({∅, 1o} ⊔ 1o))
9		foeq3 5448	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2o ⊔ 1o) = ({∅, 1o} ⊔ 1o) → (𝑗:ω–onto→(2o ⊔ 1o) ↔ 𝑗:ω–onto→({∅, 1o} ⊔ 1o)))
10	7, 8, 9	mp2b 8	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗:ω–onto→(2o ⊔ 1o) ↔ 𝑗:ω–onto→({∅, 1o} ⊔ 1o))
11	6, 10	sylib 122	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) ∧ 𝑗:ω–onto→(2o ⊔ 1o)) → 𝑗:ω–onto→({∅, 1o} ⊔ 1o))
12		simplll 533	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) ∧ 𝑗:ω–onto→(2o ⊔ 1o)) ∧ 𝑥 = ∅) → 𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o))
13		iftrue 3551	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = ∅ → if(𝑥 = ∅, 𝑓, 𝑔) = 𝑓)
14		eqidd 2188	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = ∅ → ω = ω)
15		iftrue 3551	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = ∅ → if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) = 𝐴)
16		djueq1 7052	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) = 𝐴 → (if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) ⊔ 1o) = (𝐴 ⊔ 1o))
17	15, 16	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = ∅ → (if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) ⊔ 1o) = (𝐴 ⊔ 1o))
18	13, 14, 17	foeq123d 5466	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = ∅ → (if(𝑥 = ∅, 𝑓, 𝑔):ω–onto→(if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) ⊔ 1o) ↔ 𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o)))
19	18	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) ∧ 𝑗:ω–onto→(2o ⊔ 1o)) ∧ 𝑥 = ∅) → (if(𝑥 = ∅, 𝑓, 𝑔):ω–onto→(if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) ⊔ 1o) ↔ 𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o)))
20	12, 19	mpbird 167	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) ∧ 𝑗:ω–onto→(2o ⊔ 1o)) ∧ 𝑥 = ∅) → if(𝑥 = ∅, 𝑓, 𝑔):ω–onto→(if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) ⊔ 1o))
21	20	ex 115	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) ∧ 𝑗:ω–onto→(2o ⊔ 1o)) → (𝑥 = ∅ → if(𝑥 = ∅, 𝑓, 𝑔):ω–onto→(if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) ⊔ 1o)))
22		simpllr 534	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) ∧ 𝑗:ω–onto→(2o ⊔ 1o)) ∧ 𝑥 = 1o) → 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o))
23		1n0 6446	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 1o ≠ ∅
24	23	neii 2359	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ¬ 1o = ∅
25		eqeq1 2194	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 1o → (𝑥 = ∅ ↔ 1o = ∅))
26	24, 25	mtbiri 676	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 1o → ¬ 𝑥 = ∅)
27	26	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) ∧ 𝑗:ω–onto→(2o ⊔ 1o)) ∧ 𝑥 = 1o) → ¬ 𝑥 = ∅)
28		iffalse 3554	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (¬ 𝑥 = ∅ → if(𝑥 = ∅, 𝑓, 𝑔) = 𝑔)
29		eqidd 2188	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (¬ 𝑥 = ∅ → ω = ω)
30		iffalse 3554	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (¬ 𝑥 = ∅ → if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) = 𝐵)
31		djueq1 7052	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) = 𝐵 → (if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) ⊔ 1o) = (𝐵 ⊔ 1o))
32	30, 31	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (¬ 𝑥 = ∅ → (if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) ⊔ 1o) = (𝐵 ⊔ 1o))
33	28, 29, 32	foeq123d 5466	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (¬ 𝑥 = ∅ → (if(𝑥 = ∅, 𝑓, 𝑔):ω–onto→(if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) ⊔ 1o) ↔ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)))
34	27, 33	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) ∧ 𝑗:ω–onto→(2o ⊔ 1o)) ∧ 𝑥 = 1o) → (if(𝑥 = ∅, 𝑓, 𝑔):ω–onto→(if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) ⊔ 1o) ↔ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)))
35	22, 34	mpbird 167	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) ∧ 𝑗:ω–onto→(2o ⊔ 1o)) ∧ 𝑥 = 1o) → if(𝑥 = ∅, 𝑓, 𝑔):ω–onto→(if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) ⊔ 1o))
36	35	ex 115	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) ∧ 𝑗:ω–onto→(2o ⊔ 1o)) → (𝑥 = 1o → if(𝑥 = ∅, 𝑓, 𝑔):ω–onto→(if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) ⊔ 1o)))
37	21, 36	jaod 718	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) ∧ 𝑗:ω–onto→(2o ⊔ 1o)) → ((𝑥 = ∅ ∨ 𝑥 = 1o) → if(𝑥 = ∅, 𝑓, 𝑔):ω–onto→(if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) ⊔ 1o)))
38		elpri 3627	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ {∅, 1o} → (𝑥 = ∅ ∨ 𝑥 = 1o))
39	37, 38	impel 280	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) ∧ 𝑗:ω–onto→(2o ⊔ 1o)) ∧ 𝑥 ∈ {∅, 1o}) → if(𝑥 = ∅, 𝑓, 𝑔):ω–onto→(if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) ⊔ 1o))
40	11, 39	ctiunct 12454	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) ∧ 𝑗:ω–onto→(2o ⊔ 1o)) → ∃ℎ ℎ:ω–onto→(∪ 𝑥 ∈ {∅, 1o}if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) ⊔ 1o))
41		0lt2o 6455	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∅ ∈ 2o
42		1lt2o 6456	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1o ∈ 2o
43	26	iffalsed 3556	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 1o → if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) = 𝐵)
44	15, 43	iunxprg 3979	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∅ ∈ 2o ∧ 1o ∈ 2o) → ∪ 𝑥 ∈ {∅, 1o}if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) = (𝐴 ∪ 𝐵))
45	41, 42, 44	mp2an 426	. . . . . . . . 9 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ {∅, 1o}if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) = (𝐴 ∪ 𝐵)
46		djueq1 7052	. . . . . . . . 9 ⊢ (∪ 𝑥 ∈ {∅, 1o}if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) = (𝐴 ∪ 𝐵) → (∪ 𝑥 ∈ {∅, 1o}if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) ⊔ 1o) = ((𝐴 ∪ 𝐵) ⊔ 1o))
47		foeq3 5448	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∪ 𝑥 ∈ {∅, 1o}if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) ⊔ 1o) = ((𝐴 ∪ 𝐵) ⊔ 1o) → (ℎ:ω–onto→(∪ 𝑥 ∈ {∅, 1o}if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) ⊔ 1o) ↔ ℎ:ω–onto→((𝐴 ∪ 𝐵) ⊔ 1o)))
48	45, 46, 47	mp2b 8	. . . . . . . 8 ⊢ (ℎ:ω–onto→(∪ 𝑥 ∈ {∅, 1o}if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) ⊔ 1o) ↔ ℎ:ω–onto→((𝐴 ∪ 𝐵) ⊔ 1o))
49	48	exbii 1615	. . . . . . 7 ⊢ (∃ℎ ℎ:ω–onto→(∪ 𝑥 ∈ {∅, 1o}if(𝑥 = ∅, 𝐴, 𝐵) ⊔ 1o) ↔ ∃ℎ ℎ:ω–onto→((𝐴 ∪ 𝐵) ⊔ 1o))
50	40, 49	sylib 122	. . . . . 6 ⊢ (((𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) ∧ 𝑗:ω–onto→(2o ⊔ 1o)) → ∃ℎ ℎ:ω–onto→((𝐴 ∪ 𝐵) ⊔ 1o))
51	5, 50	exlimddv 1908	. . . . 5 ⊢ ((𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) ∧ 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) → ∃ℎ ℎ:ω–onto→((𝐴 ∪ 𝐵) ⊔ 1o))
52	51	ex 115	. . . 4 ⊢ (𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) → (𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o) → ∃ℎ ℎ:ω–onto→((𝐴 ∪ 𝐵) ⊔ 1o)))
53	52	exlimiv 1608	. . 3 ⊢ (∃𝑓 𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) → (𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o) → ∃ℎ ℎ:ω–onto→((𝐴 ∪ 𝐵) ⊔ 1o)))
54	53	exlimdv 1829	. 2 ⊢ (∃𝑓 𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) → (∃𝑔 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o) → ∃ℎ ℎ:ω–onto→((𝐴 ∪ 𝐵) ⊔ 1o)))
55	54	imp 124	1 ⊢ ((∃𝑓 𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) ∧ ∃𝑔 𝑔:ω–onto→(𝐵 ⊔ 1o)) → ∃ℎ ℎ:ω–onto→((𝐴 ∪ 𝐵) ⊔ 1o))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 709   = wceq 1363  ∃wex 1502   ∈ wcel 2158   ∪ cun 3139  ∅c0 3434  ifcif 3546  {cpr 3605  ∪ ciun 3898  ωcom 4601  –onto→wfo 5226  1_oc1o 6423  2_oc2o 6424  Fincfn 6753   ⊔ cdju 7049

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1cn 7917  ax-1re 7918  ax-icn 7919  ax-addcl 7920  ax-addrcl 7921  ax-mulcl 7922  ax-mulrcl 7923  ax-addcom 7924  ax-mulcom 7925  ax-addass 7926  ax-mulass 7927  ax-distr 7928  ax-i2m1 7929  ax-0lt1 7930  ax-1rid 7931  ax-0id 7932  ax-rnegex 7933  ax-precex 7934  ax-cnre 7935  ax-pre-ltirr 7936  ax-pre-ltwlin 7937  ax-pre-lttrn 7938  ax-pre-apti 7939  ax-pre-ltadd 7940  ax-pre-mulgt0 7941  ax-pre-mulext 7942  ax-arch 7943

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-xor 1386  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-if 3547  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-iord 4378  df-on 4380  df-ilim 4381  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6154  df-2nd 6155  df-recs 6319  df-frec 6405  df-1o 6430  df-2o 6431  df-er 6548  df-en 6754  df-fin 6756  df-dju 7050  df-inl 7059  df-inr 7060  df-case 7096  df-pnf 8007  df-mnf 8008  df-xr 8009  df-ltxr 8010  df-le 8011  df-sub 8143  df-neg 8144  df-reap 8545  df-ap 8552  df-div 8643  df-inn 8933  df-2 8991  df-n0 9190  df-z 9267  df-uz 9542  df-q 9633  df-rp 9667  df-fz 10022  df-fl 10283  df-mod 10336  df-seqfrec 10459  df-exp 10533  df-dvds 11808

This theorem is referenced by: (None)