ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fldivp1 GIF version

Theorem fldivp1 12346
Description: The difference between the floors of adjacent fractions is either 1 or 0. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
fldivp1 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((โŒŠโ€˜((๐‘€ + 1) / ๐‘)) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐‘€ / ๐‘))) = if(๐‘ โˆฅ (๐‘€ + 1), 1, 0))

Proof of Theorem fldivp1
StepHypRef Expression
1 nnz 9272 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
2 nnne0 8947 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โ‰  0)
3 peano2z 9289 . . . . . . . . . 10 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘€ + 1) โˆˆ โ„ค)
43adantr 276 . . . . . . . . 9 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘€ + 1) โˆˆ โ„ค)
5 dvdsval2 11797 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โ‰  0 โˆง (๐‘€ + 1) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ โˆฅ (๐‘€ + 1) โ†” ((๐‘€ + 1) / ๐‘) โˆˆ โ„ค))
61, 2, 4, 5syl2an23an 1299 . . . . . . . 8 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ โˆฅ (๐‘€ + 1) โ†” ((๐‘€ + 1) / ๐‘) โˆˆ โ„ค))
76biimpa 296 . . . . . . 7 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆฅ (๐‘€ + 1)) โ†’ ((๐‘€ + 1) / ๐‘) โˆˆ โ„ค)
8 flid 10284 . . . . . . 7 (((๐‘€ + 1) / ๐‘) โˆˆ โ„ค โ†’ (โŒŠโ€˜((๐‘€ + 1) / ๐‘)) = ((๐‘€ + 1) / ๐‘))
97, 8syl 14 . . . . . 6 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆฅ (๐‘€ + 1)) โ†’ (โŒŠโ€˜((๐‘€ + 1) / ๐‘)) = ((๐‘€ + 1) / ๐‘))
10 nnm1nn0 9217 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
1110nn0red 9230 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
1210nn0ge0d 9232 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 0 โ‰ค (๐‘ โˆ’ 1))
13 nnre 8926 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
14 nngt0 8944 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 0 < ๐‘)
15 divge0 8830 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (๐‘ โˆ’ 1)) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘)) โ†’ 0 โ‰ค ((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘))
1611, 12, 13, 14, 15syl22anc 1239 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 0 โ‰ค ((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘))
1716ad2antlr 489 . . . . . . 7 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆฅ (๐‘€ + 1)) โ†’ 0 โ‰ค ((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘))
1813ltm1d 8889 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) < ๐‘)
19 nncn 8927 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
2019mulridd 7974 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ ยท 1) = ๐‘)
2118, 20breqtrrd 4032 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) < (๐‘ ยท 1))
22 1red 7972 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 1 โˆˆ โ„)
23 ltdivmul 8833 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘)) โ†’ (((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘) < 1 โ†” (๐‘ โˆ’ 1) < (๐‘ ยท 1)))
2411, 22, 13, 14, 23syl112anc 1242 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘) < 1 โ†” (๐‘ โˆ’ 1) < (๐‘ ยท 1)))
2521, 24mpbird 167 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘) < 1)
2625ad2antlr 489 . . . . . . 7 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆฅ (๐‘€ + 1)) โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘) < 1)
2710nn0zd 9373 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
28 znq 9624 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘) โˆˆ โ„š)
2927, 28mpancom 422 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘) โˆˆ โ„š)
3029ad2antlr 489 . . . . . . . 8 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆฅ (๐‘€ + 1)) โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘) โˆˆ โ„š)
31 flqbi2 10291 . . . . . . . 8 ((((๐‘€ + 1) / ๐‘) โˆˆ โ„ค โˆง ((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘) โˆˆ โ„š) โ†’ ((โŒŠโ€˜(((๐‘€ + 1) / ๐‘) + ((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘))) = ((๐‘€ + 1) / ๐‘) โ†” (0 โ‰ค ((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘) โˆง ((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘) < 1)))
327, 30, 31syl2anc 411 . . . . . . 7 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆฅ (๐‘€ + 1)) โ†’ ((โŒŠโ€˜(((๐‘€ + 1) / ๐‘) + ((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘))) = ((๐‘€ + 1) / ๐‘) โ†” (0 โ‰ค ((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘) โˆง ((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘) < 1)))
3317, 26, 32mpbir2and 944 . . . . . 6 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆฅ (๐‘€ + 1)) โ†’ (โŒŠโ€˜(((๐‘€ + 1) / ๐‘) + ((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘))) = ((๐‘€ + 1) / ๐‘))
349, 33eqtr4d 2213 . . . . 5 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆฅ (๐‘€ + 1)) โ†’ (โŒŠโ€˜((๐‘€ + 1) / ๐‘)) = (โŒŠโ€˜(((๐‘€ + 1) / ๐‘) + ((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘))))
35 zcn 9258 . . . . . . . . . 10 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
3635adantr 276 . . . . . . . . 9 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
3719adantl 277 . . . . . . . . 9 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
38 nnap0 8948 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ # 0)
3938adantl 277 . . . . . . . . 9 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ # 0)
4036, 37, 37, 39divdirapd 8786 . . . . . . . 8 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘€ + ๐‘) / ๐‘) = ((๐‘€ / ๐‘) + (๐‘ / ๐‘)))
41 ax-1cn 7904 . . . . . . . . . . . 12 1 โˆˆ โ„‚
4241a1i 9 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
4336, 42, 37ppncand 8308 . . . . . . . . . 10 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘€ + 1) + (๐‘ โˆ’ 1)) = (๐‘€ + ๐‘))
4443oveq1d 5890 . . . . . . . . 9 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐‘€ + 1) + (๐‘ โˆ’ 1)) / ๐‘) = ((๐‘€ + ๐‘) / ๐‘))
454zcnd 9376 . . . . . . . . . 10 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘€ + 1) โˆˆ โ„‚)
46 subcl 8156 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
4719, 41, 46sylancl 413 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
4847adantl 277 . . . . . . . . . 10 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
4945, 48, 37, 39divdirapd 8786 . . . . . . . . 9 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐‘€ + 1) + (๐‘ โˆ’ 1)) / ๐‘) = (((๐‘€ + 1) / ๐‘) + ((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘)))
5044, 49eqtr3d 2212 . . . . . . . 8 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘€ + ๐‘) / ๐‘) = (((๐‘€ + 1) / ๐‘) + ((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘)))
5137, 39dividapd 8743 . . . . . . . . 9 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ / ๐‘) = 1)
5251oveq2d 5891 . . . . . . . 8 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘€ / ๐‘) + (๐‘ / ๐‘)) = ((๐‘€ / ๐‘) + 1))
5340, 50, 523eqtr3d 2218 . . . . . . 7 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐‘€ + 1) / ๐‘) + ((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘)) = ((๐‘€ / ๐‘) + 1))
5453fveq2d 5520 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (โŒŠโ€˜(((๐‘€ + 1) / ๐‘) + ((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘))) = (โŒŠโ€˜((๐‘€ / ๐‘) + 1)))
5554adantr 276 . . . . 5 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆฅ (๐‘€ + 1)) โ†’ (โŒŠโ€˜(((๐‘€ + 1) / ๐‘) + ((๐‘ โˆ’ 1) / ๐‘))) = (โŒŠโ€˜((๐‘€ / ๐‘) + 1)))
56 znq 9624 . . . . . . 7 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘€ / ๐‘) โˆˆ โ„š)
57 1z 9279 . . . . . . 7 1 โˆˆ โ„ค
58 flqaddz 10297 . . . . . . 7 (((๐‘€ / ๐‘) โˆˆ โ„š โˆง 1 โˆˆ โ„ค) โ†’ (โŒŠโ€˜((๐‘€ / ๐‘) + 1)) = ((โŒŠโ€˜(๐‘€ / ๐‘)) + 1))
5956, 57, 58sylancl 413 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (โŒŠโ€˜((๐‘€ / ๐‘) + 1)) = ((โŒŠโ€˜(๐‘€ / ๐‘)) + 1))
6059adantr 276 . . . . 5 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆฅ (๐‘€ + 1)) โ†’ (โŒŠโ€˜((๐‘€ / ๐‘) + 1)) = ((โŒŠโ€˜(๐‘€ / ๐‘)) + 1))
6134, 55, 603eqtrrd 2215 . . . 4 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆฅ (๐‘€ + 1)) โ†’ ((โŒŠโ€˜(๐‘€ / ๐‘)) + 1) = (โŒŠโ€˜((๐‘€ + 1) / ๐‘)))
62 znq 9624 . . . . . . . . 9 (((๐‘€ + 1) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘€ + 1) / ๐‘) โˆˆ โ„š)
633, 62sylan 283 . . . . . . . 8 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘€ + 1) / ๐‘) โˆˆ โ„š)
6463flqcld 10277 . . . . . . 7 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (โŒŠโ€˜((๐‘€ + 1) / ๐‘)) โˆˆ โ„ค)
6564zcnd 9376 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (โŒŠโ€˜((๐‘€ + 1) / ๐‘)) โˆˆ โ„‚)
6656flqcld 10277 . . . . . . 7 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘€ / ๐‘)) โˆˆ โ„ค)
6766zcnd 9376 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘€ / ๐‘)) โˆˆ โ„‚)
6865, 67, 42subaddd 8286 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (((โŒŠโ€˜((๐‘€ + 1) / ๐‘)) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐‘€ / ๐‘))) = 1 โ†” ((โŒŠโ€˜(๐‘€ / ๐‘)) + 1) = (โŒŠโ€˜((๐‘€ + 1) / ๐‘))))
6968adantr 276 . . . 4 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆฅ (๐‘€ + 1)) โ†’ (((โŒŠโ€˜((๐‘€ + 1) / ๐‘)) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐‘€ / ๐‘))) = 1 โ†” ((โŒŠโ€˜(๐‘€ / ๐‘)) + 1) = (โŒŠโ€˜((๐‘€ + 1) / ๐‘))))
7061, 69mpbird 167 . . 3 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆฅ (๐‘€ + 1)) โ†’ ((โŒŠโ€˜((๐‘€ + 1) / ๐‘)) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐‘€ / ๐‘))) = 1)
71 iftrue 3540 . . . 4 (๐‘ โˆฅ (๐‘€ + 1) โ†’ if(๐‘ โˆฅ (๐‘€ + 1), 1, 0) = 1)
7271adantl 277 . . 3 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆฅ (๐‘€ + 1)) โ†’ if(๐‘ โˆฅ (๐‘€ + 1), 1, 0) = 1)
7370, 72eqtr4d 2213 . 2 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆฅ (๐‘€ + 1)) โ†’ ((โŒŠโ€˜((๐‘€ + 1) / ๐‘)) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐‘€ / ๐‘))) = if(๐‘ โˆฅ (๐‘€ + 1), 1, 0))
74 zmodcl 10344 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘€ + 1) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘€ + 1) mod ๐‘) โˆˆ โ„•0)
753, 74sylan 283 . . . . . . . . . 10 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘€ + 1) mod ๐‘) โˆˆ โ„•0)
7675nn0red 9230 . . . . . . . . 9 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘€ + 1) mod ๐‘) โˆˆ โ„)
77 1re 7956 . . . . . . . . 9 1 โˆˆ โ„
78 resubcl 8221 . . . . . . . . 9 ((((๐‘€ + 1) mod ๐‘) โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„) โ†’ (((๐‘€ + 1) mod ๐‘) โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
7976, 77, 78sylancl 413 . . . . . . . 8 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐‘€ + 1) mod ๐‘) โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
8079adantr 276 . . . . . . 7 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ (๐‘€ + 1)) โ†’ (((๐‘€ + 1) mod ๐‘) โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
8175nn0zd 9373 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘€ + 1) mod ๐‘) โˆˆ โ„ค)
82 elnndc 9612 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘€ + 1) mod ๐‘) โˆˆ โ„ค โ†’ DECID ((๐‘€ + 1) mod ๐‘) โˆˆ โ„•)
8381, 82syl 14 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ DECID ((๐‘€ + 1) mod ๐‘) โˆˆ โ„•)
84 elnn0 9178 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘€ + 1) mod ๐‘) โˆˆ โ„•0 โ†” (((๐‘€ + 1) mod ๐‘) โˆˆ โ„• โˆจ ((๐‘€ + 1) mod ๐‘) = 0))
8575, 84sylib 122 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐‘€ + 1) mod ๐‘) โˆˆ โ„• โˆจ ((๐‘€ + 1) mod ๐‘) = 0))
8685ord 724 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (ยฌ ((๐‘€ + 1) mod ๐‘) โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘€ + 1) mod ๐‘) = 0))
87 id 19 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
88 dvdsval3 11798 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘€ + 1) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ โˆฅ (๐‘€ + 1) โ†” ((๐‘€ + 1) mod ๐‘) = 0))
8987, 3, 88syl2anr 290 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ โˆฅ (๐‘€ + 1) โ†” ((๐‘€ + 1) mod ๐‘) = 0))
9086, 89sylibrd 169 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (ยฌ ((๐‘€ + 1) mod ๐‘) โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆฅ (๐‘€ + 1)))
91 con1dc 856 . . . . . . . . . . 11 (DECID ((๐‘€ + 1) mod ๐‘) โˆˆ โ„• โ†’ ((ยฌ ((๐‘€ + 1) mod ๐‘) โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆฅ (๐‘€ + 1)) โ†’ (ยฌ ๐‘ โˆฅ (๐‘€ + 1) โ†’ ((๐‘€ + 1) mod ๐‘) โˆˆ โ„•)))
9283, 90, 91sylc 62 . . . . . . . . . 10 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (ยฌ ๐‘ โˆฅ (๐‘€ + 1) โ†’ ((๐‘€ + 1) mod ๐‘) โˆˆ โ„•))
9392imp 124 . . . . . . . . 9 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ (๐‘€ + 1)) โ†’ ((๐‘€ + 1) mod ๐‘) โˆˆ โ„•)
94 nnm1nn0 9217 . . . . . . . . 9 (((๐‘€ + 1) mod ๐‘) โˆˆ โ„• โ†’ (((๐‘€ + 1) mod ๐‘) โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
9593, 94syl 14 . . . . . . . 8 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ (๐‘€ + 1)) โ†’ (((๐‘€ + 1) mod ๐‘) โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
9695nn0ge0d 9232 . . . . . . 7 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ (๐‘€ + 1)) โ†’ 0 โ‰ค (((๐‘€ + 1) mod ๐‘) โˆ’ 1))
9713, 14jca 306 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘))
9897ad2antlr 489 . . . . . . 7 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ (๐‘€ + 1)) โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘))
99 divge0 8830 . . . . . . 7 ((((((๐‘€ + 1) mod ๐‘) โˆ’ 1) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (((๐‘€ + 1) mod ๐‘) โˆ’ 1)) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘)) โ†’ 0 โ‰ค ((((๐‘€ + 1) mod ๐‘) โˆ’ 1) / ๐‘))
10080, 96, 98, 99syl21anc 1237 . . . . . 6 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ (๐‘€ + 1)) โ†’ 0 โ‰ค ((((๐‘€ + 1) mod ๐‘) โˆ’ 1) / ๐‘))
10113adantl 277 . . . . . . . . . 10 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
10276ltm1d 8889 . . . . . . . . . 10 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐‘€ + 1) mod ๐‘) โˆ’ 1) < ((๐‘€ + 1) mod ๐‘))
103 zq 9626 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘€ + 1) โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘€ + 1) โˆˆ โ„š)
1043, 103syl 14 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘€ + 1) โˆˆ โ„š)
105104adantr 276 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘€ + 1) โˆˆ โ„š)
106 nnq 9633 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„š)
107106adantl 277 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„š)
10814adantl 277 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ 0 < ๐‘)
109 modqlt 10333 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘€ + 1) โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘) โ†’ ((๐‘€ + 1) mod ๐‘) < ๐‘)
110105, 107, 108, 109syl3anc 1238 . . . . . . . . . 10 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘€ + 1) mod ๐‘) < ๐‘)
11179, 76, 101, 102, 110lttrd 8083 . . . . . . . . 9 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐‘€ + 1) mod ๐‘) โˆ’ 1) < ๐‘)
11237mulridd 7974 . . . . . . . . 9 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ ยท 1) = ๐‘)
113111, 112breqtrrd 4032 . . . . . . . 8 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐‘€ + 1) mod ๐‘) โˆ’ 1) < (๐‘ ยท 1))
114 1red 7972 . . . . . . . . 9 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
115 ltdivmul 8833 . . . . . . . . 9 (((((๐‘€ + 1) mod ๐‘) โˆ’ 1) โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘)) โ†’ (((((๐‘€ + 1) mod ๐‘) โˆ’ 1) / ๐‘) < 1 โ†” (((๐‘€ + 1) mod ๐‘) โˆ’ 1) < (๐‘ ยท 1)))
11679, 114, 101, 108, 115syl112anc 1242 . . . . . . . 8 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (((((๐‘€ + 1) mod ๐‘) โˆ’ 1) / ๐‘) < 1 โ†” (((๐‘€ + 1) mod ๐‘) โˆ’ 1) < (๐‘ ยท 1)))
117113, 116mpbird 167 . . . . . . 7 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((((๐‘€ + 1) mod ๐‘) โˆ’ 1) / ๐‘) < 1)
118117adantr 276 . . . . . 6 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ (๐‘€ + 1)) โ†’ ((((๐‘€ + 1) mod ๐‘) โˆ’ 1) / ๐‘) < 1)
119 peano2zm 9291 . . . . . . . . . 10 (((๐‘€ + 1) mod ๐‘) โˆˆ โ„ค โ†’ (((๐‘€ + 1) mod ๐‘) โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
12081, 119syl 14 . . . . . . . . 9 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐‘€ + 1) mod ๐‘) โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
121 znq 9624 . . . . . . . . 9 (((((๐‘€ + 1) mod ๐‘) โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((((๐‘€ + 1) mod ๐‘) โˆ’ 1) / ๐‘) โˆˆ โ„š)
122120, 121sylancom 420 . . . . . . . 8 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((((๐‘€ + 1) mod ๐‘) โˆ’ 1) / ๐‘) โˆˆ โ„š)
123 flqbi2 10291 . . . . . . . 8 (((โŒŠโ€˜((๐‘€ + 1) / ๐‘)) โˆˆ โ„ค โˆง ((((๐‘€ + 1) mod ๐‘) โˆ’ 1) / ๐‘) โˆˆ โ„š) โ†’ ((โŒŠโ€˜((โŒŠโ€˜((๐‘€ + 1) / ๐‘)) + ((((๐‘€ + 1) mod ๐‘) โˆ’ 1) / ๐‘))) = (โŒŠโ€˜((๐‘€ + 1) / ๐‘)) โ†” (0 โ‰ค ((((๐‘€ + 1) mod ๐‘) โˆ’ 1) / ๐‘) โˆง ((((๐‘€ + 1) mod ๐‘) โˆ’ 1) / ๐‘) < 1)))
12464, 122, 123syl2anc 411 . . . . . . 7 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((โŒŠโ€˜((โŒŠโ€˜((๐‘€ + 1) / ๐‘)) + ((((๐‘€ + 1) mod ๐‘) โˆ’ 1) / ๐‘))) = (โŒŠโ€˜((๐‘€ + 1) / ๐‘)) โ†” (0 โ‰ค ((((๐‘€ + 1) mod ๐‘) โˆ’ 1) / ๐‘) โˆง ((((๐‘€ + 1) mod ๐‘) โˆ’ 1) / ๐‘) < 1)))
125124adantr 276 . . . . . 6 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ (๐‘€ + 1)) โ†’ ((โŒŠโ€˜((โŒŠโ€˜((๐‘€ + 1) / ๐‘)) + ((((๐‘€ + 1) mod ๐‘) โˆ’ 1) / ๐‘))) = (โŒŠโ€˜((๐‘€ + 1) / ๐‘)) โ†” (0 โ‰ค ((((๐‘€ + 1) mod ๐‘) โˆ’ 1) / ๐‘) โˆง ((((๐‘€ + 1) mod ๐‘) โˆ’ 1) / ๐‘) < 1)))
126100, 118, 125mpbir2and 944 . . . . 5 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ (๐‘€ + 1)) โ†’ (โŒŠโ€˜((โŒŠโ€˜((๐‘€ + 1) / ๐‘)) + ((((๐‘€ + 1) mod ๐‘) โˆ’ 1) / ๐‘))) = (โŒŠโ€˜((๐‘€ + 1) / ๐‘)))
127 modqval 10324 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘€ + 1) โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘) โ†’ ((๐‘€ + 1) mod ๐‘) = ((๐‘€ + 1) โˆ’ (๐‘ ยท (โŒŠโ€˜((๐‘€ + 1) / ๐‘)))))
128105, 107, 108, 127syl3anc 1238 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘€ + 1) mod ๐‘) = ((๐‘€ + 1) โˆ’ (๐‘ ยท (โŒŠโ€˜((๐‘€ + 1) / ๐‘)))))
129128oveq1d 5890 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐‘€ + 1) mod ๐‘) โˆ’ 1) = (((๐‘€ + 1) โˆ’ (๐‘ ยท (โŒŠโ€˜((๐‘€ + 1) / ๐‘)))) โˆ’ 1))
13037, 65mulcld 7978 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ ยท (โŒŠโ€˜((๐‘€ + 1) / ๐‘))) โˆˆ โ„‚)
13145, 42, 130sub32d 8300 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐‘€ + 1) โˆ’ 1) โˆ’ (๐‘ ยท (โŒŠโ€˜((๐‘€ + 1) / ๐‘)))) = (((๐‘€ + 1) โˆ’ (๐‘ ยท (โŒŠโ€˜((๐‘€ + 1) / ๐‘)))) โˆ’ 1))
132 pncan 8163 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘€ โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘€ + 1) โˆ’ 1) = ๐‘€)
13336, 41, 132sylancl 413 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘€ + 1) โˆ’ 1) = ๐‘€)
134133oveq1d 5890 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐‘€ + 1) โˆ’ 1) โˆ’ (๐‘ ยท (โŒŠโ€˜((๐‘€ + 1) / ๐‘)))) = (๐‘€ โˆ’ (๐‘ ยท (โŒŠโ€˜((๐‘€ + 1) / ๐‘)))))
135129, 131, 1343eqtr2d 2216 . . . . . . . . . 10 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐‘€ + 1) mod ๐‘) โˆ’ 1) = (๐‘€ โˆ’ (๐‘ ยท (โŒŠโ€˜((๐‘€ + 1) / ๐‘)))))
136135oveq1d 5890 . . . . . . . . 9 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((((๐‘€ + 1) mod ๐‘) โˆ’ 1) / ๐‘) = ((๐‘€ โˆ’ (๐‘ ยท (โŒŠโ€˜((๐‘€ + 1) / ๐‘)))) / ๐‘))
13736, 130, 37, 39divsubdirapd 8787 . . . . . . . . 9 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘€ โˆ’ (๐‘ ยท (โŒŠโ€˜((๐‘€ + 1) / ๐‘)))) / ๐‘) = ((๐‘€ / ๐‘) โˆ’ ((๐‘ ยท (โŒŠโ€˜((๐‘€ + 1) / ๐‘))) / ๐‘)))
13865, 37, 39divcanap3d 8752 . . . . . . . . . 10 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ ยท (โŒŠโ€˜((๐‘€ + 1) / ๐‘))) / ๐‘) = (โŒŠโ€˜((๐‘€ + 1) / ๐‘)))
139138oveq2d 5891 . . . . . . . . 9 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘€ / ๐‘) โˆ’ ((๐‘ ยท (โŒŠโ€˜((๐‘€ + 1) / ๐‘))) / ๐‘)) = ((๐‘€ / ๐‘) โˆ’ (โŒŠโ€˜((๐‘€ + 1) / ๐‘))))
140136, 137, 1393eqtrrd 2215 . . . . . . . 8 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘€ / ๐‘) โˆ’ (โŒŠโ€˜((๐‘€ + 1) / ๐‘))) = ((((๐‘€ + 1) mod ๐‘) โˆ’ 1) / ๐‘))
141 zre 9257 . . . . . . . . . . 11 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„)
142 nndivre 8955 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘€ / ๐‘) โˆˆ โ„)
143141, 142sylan 283 . . . . . . . . . 10 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘€ / ๐‘) โˆˆ โ„)
144143recnd 7986 . . . . . . . . 9 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘€ / ๐‘) โˆˆ โ„‚)
145 nndivre 8955 . . . . . . . . . . 11 (((((๐‘€ + 1) mod ๐‘) โˆ’ 1) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((((๐‘€ + 1) mod ๐‘) โˆ’ 1) / ๐‘) โˆˆ โ„)
14679, 145sylancom 420 . . . . . . . . . 10 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((((๐‘€ + 1) mod ๐‘) โˆ’ 1) / ๐‘) โˆˆ โ„)
147146recnd 7986 . . . . . . . . 9 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((((๐‘€ + 1) mod ๐‘) โˆ’ 1) / ๐‘) โˆˆ โ„‚)
148144, 65, 147subaddd 8286 . . . . . . . 8 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐‘€ / ๐‘) โˆ’ (โŒŠโ€˜((๐‘€ + 1) / ๐‘))) = ((((๐‘€ + 1) mod ๐‘) โˆ’ 1) / ๐‘) โ†” ((โŒŠโ€˜((๐‘€ + 1) / ๐‘)) + ((((๐‘€ + 1) mod ๐‘) โˆ’ 1) / ๐‘)) = (๐‘€ / ๐‘)))
149140, 148mpbid 147 . . . . . . 7 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((โŒŠโ€˜((๐‘€ + 1) / ๐‘)) + ((((๐‘€ + 1) mod ๐‘) โˆ’ 1) / ๐‘)) = (๐‘€ / ๐‘))
150149adantr 276 . . . . . 6 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ (๐‘€ + 1)) โ†’ ((โŒŠโ€˜((๐‘€ + 1) / ๐‘)) + ((((๐‘€ + 1) mod ๐‘) โˆ’ 1) / ๐‘)) = (๐‘€ / ๐‘))
151150fveq2d 5520 . . . . 5 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ (๐‘€ + 1)) โ†’ (โŒŠโ€˜((โŒŠโ€˜((๐‘€ + 1) / ๐‘)) + ((((๐‘€ + 1) mod ๐‘) โˆ’ 1) / ๐‘))) = (โŒŠโ€˜(๐‘€ / ๐‘)))
152126, 151eqtr3d 2212 . . . 4 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ (๐‘€ + 1)) โ†’ (โŒŠโ€˜((๐‘€ + 1) / ๐‘)) = (โŒŠโ€˜(๐‘€ / ๐‘)))
15365, 67subeq0ad 8278 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (((โŒŠโ€˜((๐‘€ + 1) / ๐‘)) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐‘€ / ๐‘))) = 0 โ†” (โŒŠโ€˜((๐‘€ + 1) / ๐‘)) = (โŒŠโ€˜(๐‘€ / ๐‘))))
154153adantr 276 . . . 4 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ (๐‘€ + 1)) โ†’ (((โŒŠโ€˜((๐‘€ + 1) / ๐‘)) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐‘€ / ๐‘))) = 0 โ†” (โŒŠโ€˜((๐‘€ + 1) / ๐‘)) = (โŒŠโ€˜(๐‘€ / ๐‘))))
155152, 154mpbird 167 . . 3 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ (๐‘€ + 1)) โ†’ ((โŒŠโ€˜((๐‘€ + 1) / ๐‘)) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐‘€ / ๐‘))) = 0)
156 iffalse 3543 . . . 4 (ยฌ ๐‘ โˆฅ (๐‘€ + 1) โ†’ if(๐‘ โˆฅ (๐‘€ + 1), 1, 0) = 0)
157156adantl 277 . . 3 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ (๐‘€ + 1)) โ†’ if(๐‘ โˆฅ (๐‘€ + 1), 1, 0) = 0)
158155, 157eqtr4d 2213 . 2 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ (๐‘€ + 1)) โ†’ ((โŒŠโ€˜((๐‘€ + 1) / ๐‘)) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐‘€ / ๐‘))) = if(๐‘ โˆฅ (๐‘€ + 1), 1, 0))
159 simpr 110 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
160 dvdsdc 11805 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘€ + 1) โˆˆ โ„ค) โ†’ DECID ๐‘ โˆฅ (๐‘€ + 1))
161159, 4, 160syl2anc 411 . . 3 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ DECID ๐‘ โˆฅ (๐‘€ + 1))
162 exmiddc 836 . . 3 (DECID ๐‘ โˆฅ (๐‘€ + 1) โ†’ (๐‘ โˆฅ (๐‘€ + 1) โˆจ ยฌ ๐‘ โˆฅ (๐‘€ + 1)))
163161, 162syl 14 . 2 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ โˆฅ (๐‘€ + 1) โˆจ ยฌ ๐‘ โˆฅ (๐‘€ + 1)))
16473, 158, 163mpjaodan 798 1 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((โŒŠโ€˜((๐‘€ + 1) / ๐‘)) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐‘€ / ๐‘))) = if(๐‘ โˆฅ (๐‘€ + 1), 1, 0))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โ†” wb 105   โˆจ wo 708  DECID wdc 834   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148   โ‰  wne 2347  ifcif 3535   class class class wbr 4004  โ€˜cfv 5217  (class class class)co 5875  โ„‚cc 7809  โ„cr 7810  0cc0 7811  1c1 7812   + caddc 7814   ยท cmul 7816   < clt 7992   โ‰ค cle 7993   โˆ’ cmin 8128   # cap 8538   / cdiv 8629  โ„•cn 8919  โ„•0cn0 9176  โ„คcz 9253  โ„šcq 9619  โŒŠcfl 10268   mod cmo 10322   โˆฅ cdvds 11794
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-mulrcl 7910  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-mulass 7914  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-1rid 7918  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-precex 7921  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927  ax-pre-mulgt0 7928  ax-pre-mulext 7929  ax-arch 7930
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-if 3536  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-reap 8532  df-ap 8539  df-div 8630  df-inn 8920  df-n0 9177  df-z 9254  df-uz 9529  df-q 9620  df-rp 9654  df-fl 10270  df-mod 10323  df-dvds 11795
This theorem is referenced by:  pcfac  12348
  Copyright terms: Public domain W3C validator