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Theorem fldivp1 13071

Description: The difference between the floors of adjacent fractions is either 1 or 0. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Mar-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
fldivp1	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((⌊‘((𝑀 + 1) / 𝑁)) − (⌊‘(𝑀 / 𝑁))) = if(𝑁 ∥ (𝑀 + 1), 1, 0))

**Proof of Theorem fldivp1**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnz 9613	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
2		nnne0 9282	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
3		peano2z 9630	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
4	3	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
5		dvdsval2 12501	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ∧ (𝑀 + 1) ∈ ℤ) → (𝑁 ∥ (𝑀 + 1) ↔ ((𝑀 + 1) / 𝑁) ∈ ℤ))
6	1, 2, 4, 5	syl2an23an 1336	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 ∥ (𝑀 + 1) ↔ ((𝑀 + 1) / 𝑁) ∈ ℤ))
7	6	biimpa 296	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∥ (𝑀 + 1)) → ((𝑀 + 1) / 𝑁) ∈ ℤ)
8		flid 10668	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 + 1) / 𝑁) ∈ ℤ → (⌊‘((𝑀 + 1) / 𝑁)) = ((𝑀 + 1) / 𝑁))
9	7, 8	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∥ (𝑀 + 1)) → (⌊‘((𝑀 + 1) / 𝑁)) = ((𝑀 + 1) / 𝑁))
10		nnm1nn0 9554	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ₀)
11	10	nn0red 9571	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
12	10	nn0ge0d 9573	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ (𝑁 − 1))
13		nnre 9261	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
14		nngt0 9279	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
15		divge0 9164	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 − 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑁 − 1)) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → 0 ≤ ((𝑁 − 1) / 𝑁))
16	11, 12, 13, 14, 15	syl22anc 1275	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ ((𝑁 − 1) / 𝑁))
17	16	ad2antlr 489	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∥ (𝑀 + 1)) → 0 ≤ ((𝑁 − 1) / 𝑁))
18	13	ltm1d 9223	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) < 𝑁)
19		nncn 9262	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
20	19	mulridd 8307	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 · 1) = 𝑁)
21	18, 20	breqtrrd 4142	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) < (𝑁 · 1))
22		1red 8305	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
23		ltdivmul 9167	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 − 1) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → (((𝑁 − 1) / 𝑁) < 1 ↔ (𝑁 − 1) < (𝑁 · 1)))
24	11, 22, 13, 14, 23	syl112anc 1278	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 − 1) / 𝑁) < 1 ↔ (𝑁 − 1) < (𝑁 · 1)))
25	21, 24	mpbird 167	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1) / 𝑁) < 1)
26	25	ad2antlr 489	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∥ (𝑀 + 1)) → ((𝑁 − 1) / 𝑁) < 1)
27	10	nn0zd 9716	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
28		znq 9974	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 − 1) / 𝑁) ∈ ℚ)
29	27, 28	mpancom 422	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1) / 𝑁) ∈ ℚ)
30	29	ad2antlr 489	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∥ (𝑀 + 1)) → ((𝑁 − 1) / 𝑁) ∈ ℚ)
31		flqbi2 10675	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 + 1) / 𝑁) ∈ ℤ ∧ ((𝑁 − 1) / 𝑁) ∈ ℚ) → ((⌊‘(((𝑀 + 1) / 𝑁) + ((𝑁 − 1) / 𝑁))) = ((𝑀 + 1) / 𝑁) ↔ (0 ≤ ((𝑁 − 1) / 𝑁) ∧ ((𝑁 − 1) / 𝑁) < 1)))
32	7, 30, 31	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∥ (𝑀 + 1)) → ((⌊‘(((𝑀 + 1) / 𝑁) + ((𝑁 − 1) / 𝑁))) = ((𝑀 + 1) / 𝑁) ↔ (0 ≤ ((𝑁 − 1) / 𝑁) ∧ ((𝑁 − 1) / 𝑁) < 1)))
33	17, 26, 32	mpbir2and 953	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∥ (𝑀 + 1)) → (⌊‘(((𝑀 + 1) / 𝑁) + ((𝑁 − 1) / 𝑁))) = ((𝑀 + 1) / 𝑁))
34	9, 33	eqtr4d 2270	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∥ (𝑀 + 1)) → (⌊‘((𝑀 + 1) / 𝑁)) = (⌊‘(((𝑀 + 1) / 𝑁) + ((𝑁 − 1) / 𝑁))))
35		zcn 9599	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
36	35	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℂ)
37	19	adantl 277	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℂ)
38		nnap0 9283	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 # 0)
39	38	adantl 277	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 # 0)
40	36, 37, 37, 39	divdirapd 9120	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 + 𝑁) / 𝑁) = ((𝑀 / 𝑁) + (𝑁 / 𝑁)))
41		ax-1cn 8236	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℂ
42	41	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
43	36, 42, 37	ppncand 8640	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 + 1) + (𝑁 − 1)) = (𝑀 + 𝑁))
44	43	oveq1d 6073	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑀 + 1) + (𝑁 − 1)) / 𝑁) = ((𝑀 + 𝑁) / 𝑁))
45	4	zcnd 9719	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 + 1) ∈ ℂ)
46		subcl 8488	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
47	19, 41, 46	sylancl 413	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
48	47	adantl 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
49	45, 48, 37, 39	divdirapd 9120	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑀 + 1) + (𝑁 − 1)) / 𝑁) = (((𝑀 + 1) / 𝑁) + ((𝑁 − 1) / 𝑁)))
50	44, 49	eqtr3d 2269	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 + 𝑁) / 𝑁) = (((𝑀 + 1) / 𝑁) + ((𝑁 − 1) / 𝑁)))
51	37, 39	dividapd 9077	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 / 𝑁) = 1)
52	51	oveq2d 6074	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 / 𝑁) + (𝑁 / 𝑁)) = ((𝑀 / 𝑁) + 1))
53	40, 50, 52	3eqtr3d 2275	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑀 + 1) / 𝑁) + ((𝑁 − 1) / 𝑁)) = ((𝑀 / 𝑁) + 1))
54	53	fveq2d 5679	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘(((𝑀 + 1) / 𝑁) + ((𝑁 − 1) / 𝑁))) = (⌊‘((𝑀 / 𝑁) + 1)))
55	54	adantr 276	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∥ (𝑀 + 1)) → (⌊‘(((𝑀 + 1) / 𝑁) + ((𝑁 − 1) / 𝑁))) = (⌊‘((𝑀 / 𝑁) + 1)))
56		znq 9974	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 / 𝑁) ∈ ℚ)
57		1z 9620	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℤ
58		flqaddz 10681	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 / 𝑁) ∈ ℚ ∧ 1 ∈ ℤ) → (⌊‘((𝑀 / 𝑁) + 1)) = ((⌊‘(𝑀 / 𝑁)) + 1))
59	56, 57, 58	sylancl 413	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘((𝑀 / 𝑁) + 1)) = ((⌊‘(𝑀 / 𝑁)) + 1))
60	59	adantr 276	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∥ (𝑀 + 1)) → (⌊‘((𝑀 / 𝑁) + 1)) = ((⌊‘(𝑀 / 𝑁)) + 1))
61	34, 55, 60	3eqtrrd 2272	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∥ (𝑀 + 1)) → ((⌊‘(𝑀 / 𝑁)) + 1) = (⌊‘((𝑀 + 1) / 𝑁)))
62		znq 9974	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 + 1) / 𝑁) ∈ ℚ)
63	3, 62	sylan 283	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 + 1) / 𝑁) ∈ ℚ)
64	63	flqcld 10661	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘((𝑀 + 1) / 𝑁)) ∈ ℤ)
65	64	zcnd 9719	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘((𝑀 + 1) / 𝑁)) ∈ ℂ)
66	56	flqcld 10661	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝑀 / 𝑁)) ∈ ℤ)
67	66	zcnd 9719	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝑀 / 𝑁)) ∈ ℂ)
68	65, 67, 42	subaddd 8618	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((⌊‘((𝑀 + 1) / 𝑁)) − (⌊‘(𝑀 / 𝑁))) = 1 ↔ ((⌊‘(𝑀 / 𝑁)) + 1) = (⌊‘((𝑀 + 1) / 𝑁))))
69	68	adantr 276	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∥ (𝑀 + 1)) → (((⌊‘((𝑀 + 1) / 𝑁)) − (⌊‘(𝑀 / 𝑁))) = 1 ↔ ((⌊‘(𝑀 / 𝑁)) + 1) = (⌊‘((𝑀 + 1) / 𝑁))))
70	61, 69	mpbird 167	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∥ (𝑀 + 1)) → ((⌊‘((𝑀 + 1) / 𝑁)) − (⌊‘(𝑀 / 𝑁))) = 1)
71		iftrue 3631	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∥ (𝑀 + 1) → if(𝑁 ∥ (𝑀 + 1), 1, 0) = 1)
72	71	adantl 277	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∥ (𝑀 + 1)) → if(𝑁 ∥ (𝑀 + 1), 1, 0) = 1)
73	70, 72	eqtr4d 2270	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∥ (𝑀 + 1)) → ((⌊‘((𝑀 + 1) / 𝑁)) − (⌊‘(𝑀 / 𝑁))) = if(𝑁 ∥ (𝑀 + 1), 1, 0))
74		zmodcl 10730	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 + 1) mod 𝑁) ∈ ℕ₀)
75	3, 74	sylan 283	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 + 1) mod 𝑁) ∈ ℕ₀)
76	75	nn0red 9571	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 + 1) mod 𝑁) ∈ ℝ)
77		1re 8289	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ
78		resubcl 8553	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑀 + 1) mod 𝑁) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (((𝑀 + 1) mod 𝑁) − 1) ∈ ℝ)
79	76, 77, 78	sylancl 413	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑀 + 1) mod 𝑁) − 1) ∈ ℝ)
80	79	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑁 ∥ (𝑀 + 1)) → (((𝑀 + 1) mod 𝑁) − 1) ∈ ℝ)
81	75	nn0zd 9716	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 + 1) mod 𝑁) ∈ ℤ)
82		elnndc 9962	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑀 + 1) mod 𝑁) ∈ ℤ → DECID ((𝑀 + 1) mod 𝑁) ∈ ℕ)
83	81, 82	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → DECID ((𝑀 + 1) mod 𝑁) ∈ ℕ)
84		elnn0 9515	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑀 + 1) mod 𝑁) ∈ ℕ₀ ↔ (((𝑀 + 1) mod 𝑁) ∈ ℕ ∨ ((𝑀 + 1) mod 𝑁) = 0))
85	75, 84	sylib 122	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑀 + 1) mod 𝑁) ∈ ℕ ∨ ((𝑀 + 1) mod 𝑁) = 0))
86	85	ord 732	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (¬ ((𝑀 + 1) mod 𝑁) ∈ ℕ → ((𝑀 + 1) mod 𝑁) = 0))
87		id 19	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ)
88		dvdsval3 12502	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑀 + 1) ∈ ℤ) → (𝑁 ∥ (𝑀 + 1) ↔ ((𝑀 + 1) mod 𝑁) = 0))
89	87, 3, 88	syl2anr 290	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 ∥ (𝑀 + 1) ↔ ((𝑀 + 1) mod 𝑁) = 0))
90	86, 89	sylibrd 169	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (¬ ((𝑀 + 1) mod 𝑁) ∈ ℕ → 𝑁 ∥ (𝑀 + 1)))
91		con1dc 864	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (DECID ((𝑀 + 1) mod 𝑁) ∈ ℕ → ((¬ ((𝑀 + 1) mod 𝑁) ∈ ℕ → 𝑁 ∥ (𝑀 + 1)) → (¬ 𝑁 ∥ (𝑀 + 1) → ((𝑀 + 1) mod 𝑁) ∈ ℕ)))
92	83, 90, 91	sylc 62	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (¬ 𝑁 ∥ (𝑀 + 1) → ((𝑀 + 1) mod 𝑁) ∈ ℕ))
93	92	imp 124	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑁 ∥ (𝑀 + 1)) → ((𝑀 + 1) mod 𝑁) ∈ ℕ)
94		nnm1nn0 9554	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 + 1) mod 𝑁) ∈ ℕ → (((𝑀 + 1) mod 𝑁) − 1) ∈ ℕ₀)
95	93, 94	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑁 ∥ (𝑀 + 1)) → (((𝑀 + 1) mod 𝑁) − 1) ∈ ℕ₀)
96	95	nn0ge0d 9573	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑁 ∥ (𝑀 + 1)) → 0 ≤ (((𝑀 + 1) mod 𝑁) − 1))
97	13, 14	jca 306	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁))
98	97	ad2antlr 489	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑁 ∥ (𝑀 + 1)) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁))
99		divge0 9164	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝑀 + 1) mod 𝑁) − 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (((𝑀 + 1) mod 𝑁) − 1)) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → 0 ≤ ((((𝑀 + 1) mod 𝑁) − 1) / 𝑁))
100	80, 96, 98, 99	syl21anc 1273	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑁 ∥ (𝑀 + 1)) → 0 ≤ ((((𝑀 + 1) mod 𝑁) − 1) / 𝑁))
101	13	adantl 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ)
102	76	ltm1d 9223	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑀 + 1) mod 𝑁) − 1) < ((𝑀 + 1) mod 𝑁))
103		zq 9976	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 + 1) ∈ ℤ → (𝑀 + 1) ∈ ℚ)
104	3, 103	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 + 1) ∈ ℚ)
105	104	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 + 1) ∈ ℚ)
106		nnq 9983	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℚ)
107	106	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℚ)
108	14	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 < 𝑁)
109		modqlt 10719	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 + 1) ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑁) → ((𝑀 + 1) mod 𝑁) < 𝑁)
110	105, 107, 108, 109	syl3anc 1274	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 + 1) mod 𝑁) < 𝑁)
111	79, 76, 101, 102, 110	lttrd 8415	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑀 + 1) mod 𝑁) − 1) < 𝑁)
112	37	mulridd 8307	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 · 1) = 𝑁)
113	111, 112	breqtrrd 4142	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑀 + 1) mod 𝑁) − 1) < (𝑁 · 1))
114		1red 8305	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ)
115		ltdivmul 9167	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑀 + 1) mod 𝑁) − 1) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → (((((𝑀 + 1) mod 𝑁) − 1) / 𝑁) < 1 ↔ (((𝑀 + 1) mod 𝑁) − 1) < (𝑁 · 1)))
116	79, 114, 101, 108, 115	syl112anc 1278	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((((𝑀 + 1) mod 𝑁) − 1) / 𝑁) < 1 ↔ (((𝑀 + 1) mod 𝑁) − 1) < (𝑁 · 1)))
117	113, 116	mpbird 167	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝑀 + 1) mod 𝑁) − 1) / 𝑁) < 1)
118	117	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑁 ∥ (𝑀 + 1)) → ((((𝑀 + 1) mod 𝑁) − 1) / 𝑁) < 1)
119		peano2zm 9632	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 + 1) mod 𝑁) ∈ ℤ → (((𝑀 + 1) mod 𝑁) − 1) ∈ ℤ)
120	81, 119	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑀 + 1) mod 𝑁) − 1) ∈ ℤ)
121		znq 9974	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑀 + 1) mod 𝑁) − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝑀 + 1) mod 𝑁) − 1) / 𝑁) ∈ ℚ)
122	120, 121	sylancom 420	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝑀 + 1) mod 𝑁) − 1) / 𝑁) ∈ ℚ)
123		flqbi2 10675	. . . . . . . 8 ⊢ (((⌊‘((𝑀 + 1) / 𝑁)) ∈ ℤ ∧ ((((𝑀 + 1) mod 𝑁) − 1) / 𝑁) ∈ ℚ) → ((⌊‘((⌊‘((𝑀 + 1) / 𝑁)) + ((((𝑀 + 1) mod 𝑁) − 1) / 𝑁))) = (⌊‘((𝑀 + 1) / 𝑁)) ↔ (0 ≤ ((((𝑀 + 1) mod 𝑁) − 1) / 𝑁) ∧ ((((𝑀 + 1) mod 𝑁) − 1) / 𝑁) < 1)))
124	64, 122, 123	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((⌊‘((⌊‘((𝑀 + 1) / 𝑁)) + ((((𝑀 + 1) mod 𝑁) − 1) / 𝑁))) = (⌊‘((𝑀 + 1) / 𝑁)) ↔ (0 ≤ ((((𝑀 + 1) mod 𝑁) − 1) / 𝑁) ∧ ((((𝑀 + 1) mod 𝑁) − 1) / 𝑁) < 1)))
125	124	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑁 ∥ (𝑀 + 1)) → ((⌊‘((⌊‘((𝑀 + 1) / 𝑁)) + ((((𝑀 + 1) mod 𝑁) − 1) / 𝑁))) = (⌊‘((𝑀 + 1) / 𝑁)) ↔ (0 ≤ ((((𝑀 + 1) mod 𝑁) − 1) / 𝑁) ∧ ((((𝑀 + 1) mod 𝑁) − 1) / 𝑁) < 1)))
126	100, 118, 125	mpbir2and 953	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑁 ∥ (𝑀 + 1)) → (⌊‘((⌊‘((𝑀 + 1) / 𝑁)) + ((((𝑀 + 1) mod 𝑁) − 1) / 𝑁))) = (⌊‘((𝑀 + 1) / 𝑁)))
127		modqval 10710	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑀 + 1) ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑁) → ((𝑀 + 1) mod 𝑁) = ((𝑀 + 1) − (𝑁 · (⌊‘((𝑀 + 1) / 𝑁)))))
128	105, 107, 108, 127	syl3anc 1274	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 + 1) mod 𝑁) = ((𝑀 + 1) − (𝑁 · (⌊‘((𝑀 + 1) / 𝑁)))))
129	128	oveq1d 6073	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑀 + 1) mod 𝑁) − 1) = (((𝑀 + 1) − (𝑁 · (⌊‘((𝑀 + 1) / 𝑁)))) − 1))
130	37, 65	mulcld 8310	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 · (⌊‘((𝑀 + 1) / 𝑁))) ∈ ℂ)
131	45, 42, 130	sub32d 8632	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑀 + 1) − 1) − (𝑁 · (⌊‘((𝑀 + 1) / 𝑁)))) = (((𝑀 + 1) − (𝑁 · (⌊‘((𝑀 + 1) / 𝑁)))) − 1))
132		pncan 8495	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑀 + 1) − 1) = 𝑀)
133	36, 41, 132	sylancl 413	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 + 1) − 1) = 𝑀)
134	133	oveq1d 6073	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑀 + 1) − 1) − (𝑁 · (⌊‘((𝑀 + 1) / 𝑁)))) = (𝑀 − (𝑁 · (⌊‘((𝑀 + 1) / 𝑁)))))
135	129, 131, 134	3eqtr2d 2273	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑀 + 1) mod 𝑁) − 1) = (𝑀 − (𝑁 · (⌊‘((𝑀 + 1) / 𝑁)))))
136	135	oveq1d 6073	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝑀 + 1) mod 𝑁) − 1) / 𝑁) = ((𝑀 − (𝑁 · (⌊‘((𝑀 + 1) / 𝑁)))) / 𝑁))
137	36, 130, 37, 39	divsubdirapd 9121	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 − (𝑁 · (⌊‘((𝑀 + 1) / 𝑁)))) / 𝑁) = ((𝑀 / 𝑁) − ((𝑁 · (⌊‘((𝑀 + 1) / 𝑁))) / 𝑁)))
138	65, 37, 39	divcanap3d 9086	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 · (⌊‘((𝑀 + 1) / 𝑁))) / 𝑁) = (⌊‘((𝑀 + 1) / 𝑁)))
139	138	oveq2d 6074	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 / 𝑁) − ((𝑁 · (⌊‘((𝑀 + 1) / 𝑁))) / 𝑁)) = ((𝑀 / 𝑁) − (⌊‘((𝑀 + 1) / 𝑁))))
140	136, 137, 139	3eqtrrd 2272	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 / 𝑁) − (⌊‘((𝑀 + 1) / 𝑁))) = ((((𝑀 + 1) mod 𝑁) − 1) / 𝑁))
141		zre 9598	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
142		nndivre 9290	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 / 𝑁) ∈ ℝ)
143	141, 142	sylan 283	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 / 𝑁) ∈ ℝ)
144	143	recnd 8318	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 / 𝑁) ∈ ℂ)
145		nndivre 9290	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑀 + 1) mod 𝑁) − 1) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝑀 + 1) mod 𝑁) − 1) / 𝑁) ∈ ℝ)
146	79, 145	sylancom 420	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝑀 + 1) mod 𝑁) − 1) / 𝑁) ∈ ℝ)
147	146	recnd 8318	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝑀 + 1) mod 𝑁) − 1) / 𝑁) ∈ ℂ)
148	144, 65, 147	subaddd 8618	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑀 / 𝑁) − (⌊‘((𝑀 + 1) / 𝑁))) = ((((𝑀 + 1) mod 𝑁) − 1) / 𝑁) ↔ ((⌊‘((𝑀 + 1) / 𝑁)) + ((((𝑀 + 1) mod 𝑁) − 1) / 𝑁)) = (𝑀 / 𝑁)))
149	140, 148	mpbid 147	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((⌊‘((𝑀 + 1) / 𝑁)) + ((((𝑀 + 1) mod 𝑁) − 1) / 𝑁)) = (𝑀 / 𝑁))
150	149	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑁 ∥ (𝑀 + 1)) → ((⌊‘((𝑀 + 1) / 𝑁)) + ((((𝑀 + 1) mod 𝑁) − 1) / 𝑁)) = (𝑀 / 𝑁))
151	150	fveq2d 5679	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑁 ∥ (𝑀 + 1)) → (⌊‘((⌊‘((𝑀 + 1) / 𝑁)) + ((((𝑀 + 1) mod 𝑁) − 1) / 𝑁))) = (⌊‘(𝑀 / 𝑁)))
152	126, 151	eqtr3d 2269	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑁 ∥ (𝑀 + 1)) → (⌊‘((𝑀 + 1) / 𝑁)) = (⌊‘(𝑀 / 𝑁)))
153	65, 67	subeq0ad 8610	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((⌊‘((𝑀 + 1) / 𝑁)) − (⌊‘(𝑀 / 𝑁))) = 0 ↔ (⌊‘((𝑀 + 1) / 𝑁)) = (⌊‘(𝑀 / 𝑁))))
154	153	adantr 276	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑁 ∥ (𝑀 + 1)) → (((⌊‘((𝑀 + 1) / 𝑁)) − (⌊‘(𝑀 / 𝑁))) = 0 ↔ (⌊‘((𝑀 + 1) / 𝑁)) = (⌊‘(𝑀 / 𝑁))))
155	152, 154	mpbird 167	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑁 ∥ (𝑀 + 1)) → ((⌊‘((𝑀 + 1) / 𝑁)) − (⌊‘(𝑀 / 𝑁))) = 0)
156		iffalse 3634	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑁 ∥ (𝑀 + 1) → if(𝑁 ∥ (𝑀 + 1), 1, 0) = 0)
157	156	adantl 277	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑁 ∥ (𝑀 + 1)) → if(𝑁 ∥ (𝑀 + 1), 1, 0) = 0)
158	155, 157	eqtr4d 2270	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑁 ∥ (𝑀 + 1)) → ((⌊‘((𝑀 + 1) / 𝑁)) − (⌊‘(𝑀 / 𝑁))) = if(𝑁 ∥ (𝑀 + 1), 1, 0))
159		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ)
160		dvdsdc 12509	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑀 + 1) ∈ ℤ) → DECID 𝑁 ∥ (𝑀 + 1))
161	159, 4, 160	syl2anc 411	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → DECID 𝑁 ∥ (𝑀 + 1))
162		exmiddc 844	. . 3 ⊢ (DECID 𝑁 ∥ (𝑀 + 1) → (𝑁 ∥ (𝑀 + 1) ∨ ¬ 𝑁 ∥ (𝑀 + 1)))
163	161, 162	syl 14	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 ∥ (𝑀 + 1) ∨ ¬ 𝑁 ∥ (𝑀 + 1)))
164	73, 158, 163	mpjaodan 806	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((⌊‘((𝑀 + 1) / 𝑁)) − (⌊‘(𝑀 / 𝑁))) = if(𝑁 ∥ (𝑀 + 1), 1, 0))

Colors of variables: wff set class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ∧ wa 104 ↔ wb 105 ∨ wo 716 DECID wdc 842 = wceq 1398 ∈ wcel 2205 ≠ wne 2414 ifcif 3624 class class class wbr 4114 ‘cfv 5357 (class class class)co 6058 ℂcc 8141 ℝcr 8142 0cc0 8143 1c1 8144 + caddc 8146 · cmul 8148 < clt 8324 ≤ cle 8325 − cmin 8460 # cap 8872 / cdiv 8963 ℕcn 9254 ℕ₀cn0 9513 ℤcz 9594 ℚcq 9969 ⌊cfl 10652 mod cmo 10708 ∥ cdvds 12498

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 619 ax-in2 620 ax-io 717 ax-5 1496 ax-7 1497 ax-gen 1498 ax-ie1 1542 ax-ie2 1543 ax-8 1553 ax-10 1554 ax-11 1555 ax-i12 1556 ax-bndl 1558 ax-4 1559 ax-17 1575 ax-i9 1579 ax-ial 1583 ax-i5r 1584 ax-13 2207 ax-14 2208 ax-ext 2216 ax-sep 4233 ax-pow 4292 ax-pr 4327 ax-un 4559 ax-setind 4664 ax-cnex 8234 ax-resscn 8235 ax-1cn 8236 ax-1re 8237 ax-icn 8238 ax-addcl 8239 ax-addrcl 8240 ax-mulcl 8241 ax-mulrcl 8242 ax-addcom 8243 ax-mulcom 8244 ax-addass 8245 ax-mulass 8246 ax-distr 8247 ax-i2m1 8248 ax-0lt1 8249 ax-1rid 8250 ax-0id 8251 ax-rnegex 8252 ax-precex 8253 ax-cnre 8254 ax-pre-ltirr 8255 ax-pre-ltwlin 8256 ax-pre-lttrn 8257 ax-pre-apti 8258 ax-pre-ltadd 8259 ax-pre-mulgt0 8260 ax-pre-mulext 8261 ax-arch 8262

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 839 df-dc 843 df-3or 1006 df-3an 1007 df-tru 1401 df-fal 1404 df-nf 1510 df-sb 1812 df-eu 2085 df-mo 2086 df-clab 2221 df-cleq 2227 df-clel 2230 df-nfc 2375 df-ne 2415 df-nel 2510 df-ral 2527 df-rex 2528 df-reu 2529 df-rmo 2530 df-rab 2531 df-v 2817 df-sbc 3046 df-csb 3142 df-dif 3216 df-un 3218 df-in 3220 df-ss 3227 df-if 3625 df-pw 3676 df-sn 3700 df-pr 3701 df-op 3703 df-uni 3920 df-int 3955 df-iun 3998 df-br 4115 df-opab 4177 df-mpt 4178 df-id 4419 df-po 4422 df-iso 4423 df-xp 4760 df-rel 4761 df-cnv 4762 df-co 4763 df-dm 4764 df-rn 4765 df-res 4766 df-ima 4767 df-iota 5317 df-fun 5359 df-fn 5360 df-f 5361 df-fv 5365 df-riota 6011 df-ov 6061 df-oprab 6062 df-mpo 6063 df-1st 6347 df-2nd 6348 df-pnf 8326 df-mnf 8327 df-xr 8328 df-ltxr 8329 df-le 8330 df-sub 8462 df-neg 8463 df-reap 8866 df-ap 8873 df-div 8964 df-inn 9255 df-n0 9514 df-z 9595 df-uz 9872 df-q 9970 df-rp 10005 df-fl 10654 df-mod 10709 df-dvds 12499

This theorem is referenced by: pcfac 13073

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