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Theorem fldivp1 13105

Description: The difference between the floors of adjacent fractions is either 1 or 0. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Mar-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
fldivp1	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((⌊‘((𝑀 + 1) / 𝑁)) − (⌊‘(𝑀 / 𝑁))) = if(𝑁 ∥ (𝑀 + 1), 1, 0))

**Proof of Theorem fldivp1**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnz 9642	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
2		nnne0 9311	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
3		peano2z 9659	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
4	3	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
5		dvdsval2 12535	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ∧ (𝑀 + 1) ∈ ℤ) → (𝑁 ∥ (𝑀 + 1) ↔ ((𝑀 + 1) / 𝑁) ∈ ℤ))
6	1, 2, 4, 5	syl2an23an 1340	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 ∥ (𝑀 + 1) ↔ ((𝑀 + 1) / 𝑁) ∈ ℤ))
7	6	biimpa 296	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∥ (𝑀 + 1)) → ((𝑀 + 1) / 𝑁) ∈ ℤ)
8		flid 10697	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 + 1) / 𝑁) ∈ ℤ → (⌊‘((𝑀 + 1) / 𝑁)) = ((𝑀 + 1) / 𝑁))
9	7, 8	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∥ (𝑀 + 1)) → (⌊‘((𝑀 + 1) / 𝑁)) = ((𝑀 + 1) / 𝑁))
10		nnm1nn0 9583	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ₀)
11	10	nn0red 9600	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
12	10	nn0ge0d 9602	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ (𝑁 − 1))
13		nnre 9290	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
14		nngt0 9308	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
15		divge0 9193	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 − 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑁 − 1)) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → 0 ≤ ((𝑁 − 1) / 𝑁))
16	11, 12, 13, 14, 15	syl22anc 1279	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ ((𝑁 − 1) / 𝑁))
17	16	ad2antlr 493	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∥ (𝑀 + 1)) → 0 ≤ ((𝑁 − 1) / 𝑁))
18	13	ltm1d 9252	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) < 𝑁)
19		nncn 9291	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
20	19	mulridd 8333	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 · 1) = 𝑁)
21	18, 20	breqtrrd 4153	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) < (𝑁 · 1))
22		1red 8331	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
23		ltdivmul 9196	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 − 1) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → (((𝑁 − 1) / 𝑁) < 1 ↔ (𝑁 − 1) < (𝑁 · 1)))
24	11, 22, 13, 14, 23	syl112anc 1282	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 − 1) / 𝑁) < 1 ↔ (𝑁 − 1) < (𝑁 · 1)))
25	21, 24	mpbird 167	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1) / 𝑁) < 1)
26	25	ad2antlr 493	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∥ (𝑀 + 1)) → ((𝑁 − 1) / 𝑁) < 1)
27	10	nn0zd 9745	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
28		znq 10003	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 − 1) / 𝑁) ∈ ℚ)
29	27, 28	mpancom 426	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1) / 𝑁) ∈ ℚ)
30	29	ad2antlr 493	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∥ (𝑀 + 1)) → ((𝑁 − 1) / 𝑁) ∈ ℚ)
31		flqbi2 10704	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 + 1) / 𝑁) ∈ ℤ ∧ ((𝑁 − 1) / 𝑁) ∈ ℚ) → ((⌊‘(((𝑀 + 1) / 𝑁) + ((𝑁 − 1) / 𝑁))) = ((𝑀 + 1) / 𝑁) ↔ (0 ≤ ((𝑁 − 1) / 𝑁) ∧ ((𝑁 − 1) / 𝑁) < 1)))
32	7, 30, 31	syl2anc 415	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∥ (𝑀 + 1)) → ((⌊‘(((𝑀 + 1) / 𝑁) + ((𝑁 − 1) / 𝑁))) = ((𝑀 + 1) / 𝑁) ↔ (0 ≤ ((𝑁 − 1) / 𝑁) ∧ ((𝑁 − 1) / 𝑁) < 1)))
33	17, 26, 32	mpbir2and 957	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∥ (𝑀 + 1)) → (⌊‘(((𝑀 + 1) / 𝑁) + ((𝑁 − 1) / 𝑁))) = ((𝑀 + 1) / 𝑁))
34	9, 33	eqtr4d 2274	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∥ (𝑀 + 1)) → (⌊‘((𝑀 + 1) / 𝑁)) = (⌊‘(((𝑀 + 1) / 𝑁) + ((𝑁 − 1) / 𝑁))))
35		zcn 9628	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
36	35	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℂ)
37	19	adantl 277	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℂ)
38		nnap0 9312	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 # 0)
39	38	adantl 277	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 # 0)
40	36, 37, 37, 39	divdirapd 9149	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 + 𝑁) / 𝑁) = ((𝑀 / 𝑁) + (𝑁 / 𝑁)))
41		ax-1cn 8262	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℂ
42	41	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
43	36, 42, 37	ppncand 8667	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 + 1) + (𝑁 − 1)) = (𝑀 + 𝑁))
44	43	oveq1d 6090	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑀 + 1) + (𝑁 − 1)) / 𝑁) = ((𝑀 + 𝑁) / 𝑁))
45	4	zcnd 9748	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 + 1) ∈ ℂ)
46		subcl 8515	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
47	19, 41, 46	sylancl 417	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
48	47	adantl 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
49	45, 48, 37, 39	divdirapd 9149	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑀 + 1) + (𝑁 − 1)) / 𝑁) = (((𝑀 + 1) / 𝑁) + ((𝑁 − 1) / 𝑁)))
50	44, 49	eqtr3d 2273	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 + 𝑁) / 𝑁) = (((𝑀 + 1) / 𝑁) + ((𝑁 − 1) / 𝑁)))
51	37, 39	dividapd 9106	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 / 𝑁) = 1)
52	51	oveq2d 6091	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 / 𝑁) + (𝑁 / 𝑁)) = ((𝑀 / 𝑁) + 1))
53	40, 50, 52	3eqtr3d 2279	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑀 + 1) / 𝑁) + ((𝑁 − 1) / 𝑁)) = ((𝑀 / 𝑁) + 1))
54	53	fveq2d 5694	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘(((𝑀 + 1) / 𝑁) + ((𝑁 − 1) / 𝑁))) = (⌊‘((𝑀 / 𝑁) + 1)))
55	54	adantr 276	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∥ (𝑀 + 1)) → (⌊‘(((𝑀 + 1) / 𝑁) + ((𝑁 − 1) / 𝑁))) = (⌊‘((𝑀 / 𝑁) + 1)))
56		znq 10003	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 / 𝑁) ∈ ℚ)
57		1z 9649	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℤ
58		flqaddz 10710	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 / 𝑁) ∈ ℚ ∧ 1 ∈ ℤ) → (⌊‘((𝑀 / 𝑁) + 1)) = ((⌊‘(𝑀 / 𝑁)) + 1))
59	56, 57, 58	sylancl 417	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘((𝑀 / 𝑁) + 1)) = ((⌊‘(𝑀 / 𝑁)) + 1))
60	59	adantr 276	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∥ (𝑀 + 1)) → (⌊‘((𝑀 / 𝑁) + 1)) = ((⌊‘(𝑀 / 𝑁)) + 1))
61	34, 55, 60	3eqtrrd 2276	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∥ (𝑀 + 1)) → ((⌊‘(𝑀 / 𝑁)) + 1) = (⌊‘((𝑀 + 1) / 𝑁)))
62		znq 10003	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 + 1) / 𝑁) ∈ ℚ)
63	3, 62	sylan 283	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 + 1) / 𝑁) ∈ ℚ)
64	63	flqcld 10690	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘((𝑀 + 1) / 𝑁)) ∈ ℤ)
65	64	zcnd 9748	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘((𝑀 + 1) / 𝑁)) ∈ ℂ)
66	56	flqcld 10690	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝑀 / 𝑁)) ∈ ℤ)
67	66	zcnd 9748	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝑀 / 𝑁)) ∈ ℂ)
68	65, 67, 42	subaddd 8645	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((⌊‘((𝑀 + 1) / 𝑁)) − (⌊‘(𝑀 / 𝑁))) = 1 ↔ ((⌊‘(𝑀 / 𝑁)) + 1) = (⌊‘((𝑀 + 1) / 𝑁))))
69	68	adantr 276	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∥ (𝑀 + 1)) → (((⌊‘((𝑀 + 1) / 𝑁)) − (⌊‘(𝑀 / 𝑁))) = 1 ↔ ((⌊‘(𝑀 / 𝑁)) + 1) = (⌊‘((𝑀 + 1) / 𝑁))))
70	61, 69	mpbird 167	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∥ (𝑀 + 1)) → ((⌊‘((𝑀 + 1) / 𝑁)) − (⌊‘(𝑀 / 𝑁))) = 1)
71		iftrue 3642	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∥ (𝑀 + 1) → if(𝑁 ∥ (𝑀 + 1), 1, 0) = 1)
72	71	adantl 277	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∥ (𝑀 + 1)) → if(𝑁 ∥ (𝑀 + 1), 1, 0) = 1)
73	70, 72	eqtr4d 2274	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∥ (𝑀 + 1)) → ((⌊‘((𝑀 + 1) / 𝑁)) − (⌊‘(𝑀 / 𝑁))) = if(𝑁 ∥ (𝑀 + 1), 1, 0))
74		zmodcl 10759	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 + 1) mod 𝑁) ∈ ℕ₀)
75	3, 74	sylan 283	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 + 1) mod 𝑁) ∈ ℕ₀)
76	75	nn0red 9600	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 + 1) mod 𝑁) ∈ ℝ)
77		1re 8315	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ
78		resubcl 8580	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑀 + 1) mod 𝑁) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (((𝑀 + 1) mod 𝑁) − 1) ∈ ℝ)
79	76, 77, 78	sylancl 417	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑀 + 1) mod 𝑁) − 1) ∈ ℝ)
80	79	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑁 ∥ (𝑀 + 1)) → (((𝑀 + 1) mod 𝑁) − 1) ∈ ℝ)
81	75	nn0zd 9745	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 + 1) mod 𝑁) ∈ ℤ)
82		elnndc 9991	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑀 + 1) mod 𝑁) ∈ ℤ → DECID ((𝑀 + 1) mod 𝑁) ∈ ℕ)
83	81, 82	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → DECID ((𝑀 + 1) mod 𝑁) ∈ ℕ)
84		elnn0 9544	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑀 + 1) mod 𝑁) ∈ ℕ₀ ↔ (((𝑀 + 1) mod 𝑁) ∈ ℕ ∨ ((𝑀 + 1) mod 𝑁) = 0))
85	75, 84	sylib 122	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑀 + 1) mod 𝑁) ∈ ℕ ∨ ((𝑀 + 1) mod 𝑁) = 0))
86	85	ord 736	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (¬ ((𝑀 + 1) mod 𝑁) ∈ ℕ → ((𝑀 + 1) mod 𝑁) = 0))
87		id 19	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ)
88		dvdsval3 12536	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑀 + 1) ∈ ℤ) → (𝑁 ∥ (𝑀 + 1) ↔ ((𝑀 + 1) mod 𝑁) = 0))
89	87, 3, 88	syl2anr 290	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 ∥ (𝑀 + 1) ↔ ((𝑀 + 1) mod 𝑁) = 0))
90	86, 89	sylibrd 169	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (¬ ((𝑀 + 1) mod 𝑁) ∈ ℕ → 𝑁 ∥ (𝑀 + 1)))
91		con1dc 868	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (DECID ((𝑀 + 1) mod 𝑁) ∈ ℕ → ((¬ ((𝑀 + 1) mod 𝑁) ∈ ℕ → 𝑁 ∥ (𝑀 + 1)) → (¬ 𝑁 ∥ (𝑀 + 1) → ((𝑀 + 1) mod 𝑁) ∈ ℕ)))
92	83, 90, 91	sylc 62	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (¬ 𝑁 ∥ (𝑀 + 1) → ((𝑀 + 1) mod 𝑁) ∈ ℕ))
93	92	imp 124	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑁 ∥ (𝑀 + 1)) → ((𝑀 + 1) mod 𝑁) ∈ ℕ)
94		nnm1nn0 9583	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 + 1) mod 𝑁) ∈ ℕ → (((𝑀 + 1) mod 𝑁) − 1) ∈ ℕ₀)
95	93, 94	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑁 ∥ (𝑀 + 1)) → (((𝑀 + 1) mod 𝑁) − 1) ∈ ℕ₀)
96	95	nn0ge0d 9602	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑁 ∥ (𝑀 + 1)) → 0 ≤ (((𝑀 + 1) mod 𝑁) − 1))
97	13, 14	jca 306	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁))
98	97	ad2antlr 493	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑁 ∥ (𝑀 + 1)) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁))
99		divge0 9193	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝑀 + 1) mod 𝑁) − 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (((𝑀 + 1) mod 𝑁) − 1)) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → 0 ≤ ((((𝑀 + 1) mod 𝑁) − 1) / 𝑁))
100	80, 96, 98, 99	syl21anc 1277	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑁 ∥ (𝑀 + 1)) → 0 ≤ ((((𝑀 + 1) mod 𝑁) − 1) / 𝑁))
101	13	adantl 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ)
102	76	ltm1d 9252	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑀 + 1) mod 𝑁) − 1) < ((𝑀 + 1) mod 𝑁))
103		zq 10005	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 + 1) ∈ ℤ → (𝑀 + 1) ∈ ℚ)
104	3, 103	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 + 1) ∈ ℚ)
105	104	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 + 1) ∈ ℚ)
106		nnq 10012	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℚ)
107	106	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℚ)
108	14	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 < 𝑁)
109		modqlt 10748	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 + 1) ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑁) → ((𝑀 + 1) mod 𝑁) < 𝑁)
110	105, 107, 108, 109	syl3anc 1278	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 + 1) mod 𝑁) < 𝑁)
111	79, 76, 101, 102, 110	lttrd 8442	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑀 + 1) mod 𝑁) − 1) < 𝑁)
112	37	mulridd 8333	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 · 1) = 𝑁)
113	111, 112	breqtrrd 4153	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑀 + 1) mod 𝑁) − 1) < (𝑁 · 1))
114		1red 8331	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ)
115		ltdivmul 9196	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑀 + 1) mod 𝑁) − 1) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → (((((𝑀 + 1) mod 𝑁) − 1) / 𝑁) < 1 ↔ (((𝑀 + 1) mod 𝑁) − 1) < (𝑁 · 1)))
116	79, 114, 101, 108, 115	syl112anc 1282	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((((𝑀 + 1) mod 𝑁) − 1) / 𝑁) < 1 ↔ (((𝑀 + 1) mod 𝑁) − 1) < (𝑁 · 1)))
117	113, 116	mpbird 167	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝑀 + 1) mod 𝑁) − 1) / 𝑁) < 1)
118	117	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑁 ∥ (𝑀 + 1)) → ((((𝑀 + 1) mod 𝑁) − 1) / 𝑁) < 1)
119		peano2zm 9661	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 + 1) mod 𝑁) ∈ ℤ → (((𝑀 + 1) mod 𝑁) − 1) ∈ ℤ)
120	81, 119	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑀 + 1) mod 𝑁) − 1) ∈ ℤ)
121		znq 10003	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑀 + 1) mod 𝑁) − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝑀 + 1) mod 𝑁) − 1) / 𝑁) ∈ ℚ)
122	120, 121	sylancom 424	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝑀 + 1) mod 𝑁) − 1) / 𝑁) ∈ ℚ)
123		flqbi2 10704	. . . . . . . 8 ⊢ (((⌊‘((𝑀 + 1) / 𝑁)) ∈ ℤ ∧ ((((𝑀 + 1) mod 𝑁) − 1) / 𝑁) ∈ ℚ) → ((⌊‘((⌊‘((𝑀 + 1) / 𝑁)) + ((((𝑀 + 1) mod 𝑁) − 1) / 𝑁))) = (⌊‘((𝑀 + 1) / 𝑁)) ↔ (0 ≤ ((((𝑀 + 1) mod 𝑁) − 1) / 𝑁) ∧ ((((𝑀 + 1) mod 𝑁) − 1) / 𝑁) < 1)))
124	64, 122, 123	syl2anc 415	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((⌊‘((⌊‘((𝑀 + 1) / 𝑁)) + ((((𝑀 + 1) mod 𝑁) − 1) / 𝑁))) = (⌊‘((𝑀 + 1) / 𝑁)) ↔ (0 ≤ ((((𝑀 + 1) mod 𝑁) − 1) / 𝑁) ∧ ((((𝑀 + 1) mod 𝑁) − 1) / 𝑁) < 1)))
125	124	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑁 ∥ (𝑀 + 1)) → ((⌊‘((⌊‘((𝑀 + 1) / 𝑁)) + ((((𝑀 + 1) mod 𝑁) − 1) / 𝑁))) = (⌊‘((𝑀 + 1) / 𝑁)) ↔ (0 ≤ ((((𝑀 + 1) mod 𝑁) − 1) / 𝑁) ∧ ((((𝑀 + 1) mod 𝑁) − 1) / 𝑁) < 1)))
126	100, 118, 125	mpbir2and 957	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑁 ∥ (𝑀 + 1)) → (⌊‘((⌊‘((𝑀 + 1) / 𝑁)) + ((((𝑀 + 1) mod 𝑁) − 1) / 𝑁))) = (⌊‘((𝑀 + 1) / 𝑁)))
127		modqval 10739	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑀 + 1) ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑁) → ((𝑀 + 1) mod 𝑁) = ((𝑀 + 1) − (𝑁 · (⌊‘((𝑀 + 1) / 𝑁)))))
128	105, 107, 108, 127	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 + 1) mod 𝑁) = ((𝑀 + 1) − (𝑁 · (⌊‘((𝑀 + 1) / 𝑁)))))
129	128	oveq1d 6090	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑀 + 1) mod 𝑁) − 1) = (((𝑀 + 1) − (𝑁 · (⌊‘((𝑀 + 1) / 𝑁)))) − 1))
130	37, 65	mulcld 8336	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 · (⌊‘((𝑀 + 1) / 𝑁))) ∈ ℂ)
131	45, 42, 130	sub32d 8659	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑀 + 1) − 1) − (𝑁 · (⌊‘((𝑀 + 1) / 𝑁)))) = (((𝑀 + 1) − (𝑁 · (⌊‘((𝑀 + 1) / 𝑁)))) − 1))
132		pncan 8522	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑀 + 1) − 1) = 𝑀)
133	36, 41, 132	sylancl 417	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 + 1) − 1) = 𝑀)
134	133	oveq1d 6090	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑀 + 1) − 1) − (𝑁 · (⌊‘((𝑀 + 1) / 𝑁)))) = (𝑀 − (𝑁 · (⌊‘((𝑀 + 1) / 𝑁)))))
135	129, 131, 134	3eqtr2d 2277	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑀 + 1) mod 𝑁) − 1) = (𝑀 − (𝑁 · (⌊‘((𝑀 + 1) / 𝑁)))))
136	135	oveq1d 6090	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝑀 + 1) mod 𝑁) − 1) / 𝑁) = ((𝑀 − (𝑁 · (⌊‘((𝑀 + 1) / 𝑁)))) / 𝑁))
137	36, 130, 37, 39	divsubdirapd 9150	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 − (𝑁 · (⌊‘((𝑀 + 1) / 𝑁)))) / 𝑁) = ((𝑀 / 𝑁) − ((𝑁 · (⌊‘((𝑀 + 1) / 𝑁))) / 𝑁)))
138	65, 37, 39	divcanap3d 9115	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 · (⌊‘((𝑀 + 1) / 𝑁))) / 𝑁) = (⌊‘((𝑀 + 1) / 𝑁)))
139	138	oveq2d 6091	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 / 𝑁) − ((𝑁 · (⌊‘((𝑀 + 1) / 𝑁))) / 𝑁)) = ((𝑀 / 𝑁) − (⌊‘((𝑀 + 1) / 𝑁))))
140	136, 137, 139	3eqtrrd 2276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 / 𝑁) − (⌊‘((𝑀 + 1) / 𝑁))) = ((((𝑀 + 1) mod 𝑁) − 1) / 𝑁))
141		zre 9627	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
142		nndivre 9319	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 / 𝑁) ∈ ℝ)
143	141, 142	sylan 283	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 / 𝑁) ∈ ℝ)
144	143	recnd 8344	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 / 𝑁) ∈ ℂ)
145		nndivre 9319	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑀 + 1) mod 𝑁) − 1) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝑀 + 1) mod 𝑁) − 1) / 𝑁) ∈ ℝ)
146	79, 145	sylancom 424	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝑀 + 1) mod 𝑁) − 1) / 𝑁) ∈ ℝ)
147	146	recnd 8344	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝑀 + 1) mod 𝑁) − 1) / 𝑁) ∈ ℂ)
148	144, 65, 147	subaddd 8645	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑀 / 𝑁) − (⌊‘((𝑀 + 1) / 𝑁))) = ((((𝑀 + 1) mod 𝑁) − 1) / 𝑁) ↔ ((⌊‘((𝑀 + 1) / 𝑁)) + ((((𝑀 + 1) mod 𝑁) − 1) / 𝑁)) = (𝑀 / 𝑁)))
149	140, 148	mpbid 147	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((⌊‘((𝑀 + 1) / 𝑁)) + ((((𝑀 + 1) mod 𝑁) − 1) / 𝑁)) = (𝑀 / 𝑁))
150	149	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑁 ∥ (𝑀 + 1)) → ((⌊‘((𝑀 + 1) / 𝑁)) + ((((𝑀 + 1) mod 𝑁) − 1) / 𝑁)) = (𝑀 / 𝑁))
151	150	fveq2d 5694	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑁 ∥ (𝑀 + 1)) → (⌊‘((⌊‘((𝑀 + 1) / 𝑁)) + ((((𝑀 + 1) mod 𝑁) − 1) / 𝑁))) = (⌊‘(𝑀 / 𝑁)))
152	126, 151	eqtr3d 2273	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑁 ∥ (𝑀 + 1)) → (⌊‘((𝑀 + 1) / 𝑁)) = (⌊‘(𝑀 / 𝑁)))
153	65, 67	subeq0ad 8637	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((⌊‘((𝑀 + 1) / 𝑁)) − (⌊‘(𝑀 / 𝑁))) = 0 ↔ (⌊‘((𝑀 + 1) / 𝑁)) = (⌊‘(𝑀 / 𝑁))))
154	153	adantr 276	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑁 ∥ (𝑀 + 1)) → (((⌊‘((𝑀 + 1) / 𝑁)) − (⌊‘(𝑀 / 𝑁))) = 0 ↔ (⌊‘((𝑀 + 1) / 𝑁)) = (⌊‘(𝑀 / 𝑁))))
155	152, 154	mpbird 167	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑁 ∥ (𝑀 + 1)) → ((⌊‘((𝑀 + 1) / 𝑁)) − (⌊‘(𝑀 / 𝑁))) = 0)
156		iffalse 3645	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑁 ∥ (𝑀 + 1) → if(𝑁 ∥ (𝑀 + 1), 1, 0) = 0)
157	156	adantl 277	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑁 ∥ (𝑀 + 1)) → if(𝑁 ∥ (𝑀 + 1), 1, 0) = 0)
158	155, 157	eqtr4d 2274	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑁 ∥ (𝑀 + 1)) → ((⌊‘((𝑀 + 1) / 𝑁)) − (⌊‘(𝑀 / 𝑁))) = if(𝑁 ∥ (𝑀 + 1), 1, 0))
159		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ)
160		dvdsdc 12543	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑀 + 1) ∈ ℤ) → DECID 𝑁 ∥ (𝑀 + 1))
161	159, 4, 160	syl2anc 415	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → DECID 𝑁 ∥ (𝑀 + 1))
162		exmiddc 848	. . 3 ⊢ (DECID 𝑁 ∥ (𝑀 + 1) → (𝑁 ∥ (𝑀 + 1) ∨ ¬ 𝑁 ∥ (𝑀 + 1)))
163	161, 162	syl 14	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 ∥ (𝑀 + 1) ∨ ¬ 𝑁 ∥ (𝑀 + 1)))
164	73, 158, 163	mpjaodan 810	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((⌊‘((𝑀 + 1) / 𝑁)) − (⌊‘(𝑀 / 𝑁))) = if(𝑁 ∥ (𝑀 + 1), 1, 0))

Colors of variables: wff set class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ∧ wa 104 ↔ wb 105 ∨ wo 720 DECID wdc 846 = wceq 1402 ∈ wcel 2209 ≠ wne 2420 ifcif 3635 class class class wbr 4125 ‘cfv 5372 (class class class)co 6075 ℂcc 8167 ℝcr 8168 0cc0 8169 1c1 8170 + caddc 8172 · cmul 8174 < clt 8350 ≤ cle 8351 − cmin 8487 # cap 8899 / cdiv 8992 ℕcn 9283 ℕ₀cn0 9542 ℤcz 9623 ℚcq 9998 ⌊cfl 10681 mod cmo 10737 ∥ cdvds 12532

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 623 ax-in2 624 ax-io 721 ax-5 1500 ax-7 1501 ax-gen 1502 ax-ie1 1546 ax-ie2 1547 ax-8 1557 ax-10 1558 ax-11 1559 ax-i12 1560 ax-bndl 1562 ax-4 1563 ax-17 1579 ax-i9 1583 ax-ial 1587 ax-i5r 1588 ax-14 2212 ax-ext 2220 ax-sep 4244 ax-pow 4306 ax-pr 4341 ax-un 4573 ax-setind 4679 ax-cnex 8260 ax-resscn 8261 ax-1cn 8262 ax-1re 8263 ax-icn 8264 ax-addcl 8265 ax-addrcl 8266 ax-mulcl 8267 ax-mulrcl 8268 ax-addcom 8269 ax-mulcom 8270 ax-addass 8271 ax-mulass 8272 ax-distr 8273 ax-i2m1 8274 ax-0lt1 8275 ax-1rid 8276 ax-0id 8277 ax-rnegex 8278 ax-precex 8279 ax-cnre 8280 ax-pre-ltirr 8281 ax-pre-ltwlin 8282 ax-pre-lttrn 8283 ax-pre-apti 8284 ax-pre-ltadd 8285 ax-pre-mulgt0 8286 ax-pre-mulext 8287 ax-arch 8288

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 843 df-dc 847 df-3or 1010 df-3an 1011 df-tru 1405 df-fal 1408 df-nf 1514 df-sb 1816 df-eu 2089 df-mo 2090 df-clab 2225 df-cleq 2231 df-clel 2234 df-nfc 2381 df-ne 2421 df-nel 2516 df-ral 2533 df-rex 2534 df-reu 2535 df-rmo 2536 df-rab 2537 df-v 2823 df-sbc 3052 df-csb 3148 df-dif 3222 df-un 3224 df-in 3226 df-ss 3233 df-if 3636 df-pw 3687 df-sn 3711 df-pr 3712 df-op 3714 df-uni 3931 df-int 3966 df-iun 4009 df-br 4126 df-opab 4188 df-mpt 4189 df-id 4433 df-po 4436 df-iso 4437 df-xp 4775 df-rel 4776 df-cnv 4777 df-co 4778 df-dm 4779 df-rn 4780 df-res 4781 df-ima 4782 df-iota 5332 df-fun 5374 df-fn 5375 df-f 5376 df-fv 5380 df-riota 6028 df-ov 6078 df-oprab 6079 df-mpo 6080 df-1st 6364 df-2nd 6365 df-pnf 8352 df-mnf 8353 df-xr 8354 df-ltxr 8355 df-le 8356 df-sub 8489 df-neg 8490 df-reap 8893 df-ap 8900 df-div 8993 df-inn 9284 df-n0 9543 df-z 9624 df-uz 9901 df-q 9999 df-rp 10034 df-fl 10683 df-mod 10738 df-dvds 12533

This theorem is referenced by: pcfac 13107

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