ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  bcval GIF version

Theorem bcval 10446
Description: Value of the binomial coefficient, 𝑁 choose 𝐾. Definition of binomial coefficient in [Gleason] p. 295. As suggested by Gleason, we define it to be 0 when 0 ≤ 𝐾𝑁 does not hold. See bcval2 10447 for the value in the standard domain. (Contributed by NM, 10-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
bcval ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁C𝐾) = if(𝐾 ∈ (0...𝑁), ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾))), 0))

Proof of Theorem bcval
Dummy variables 𝑘 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iftrue 3447 . . . . 5 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → if(𝐾 ∈ (0...𝑁), ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾))), 0) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾))))
21adantl 273 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → if(𝐾 ∈ (0...𝑁), ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾))), 0) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾))))
3 simpll 501 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
43faccld 10433 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
54nnzd 9126 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (!‘𝑁) ∈ ℤ)
6 fznn0sub 9788 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁𝐾) ∈ ℕ0)
76adantl 273 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁𝐾) ∈ ℕ0)
87faccld 10433 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (!‘(𝑁𝐾)) ∈ ℕ)
9 elfznn0 9845 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)
109adantl 273 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝐾 ∈ ℕ0)
1110faccld 10433 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (!‘𝐾) ∈ ℕ)
128, 11nnmulcld 8729 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾)) ∈ ℕ)
13 znq 9368 . . . . 5 (((!‘𝑁) ∈ ℤ ∧ ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾)) ∈ ℕ) → ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾))) ∈ ℚ)
145, 12, 13syl2anc 406 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾))) ∈ ℚ)
152, 14eqeltrd 2192 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → if(𝐾 ∈ (0...𝑁), ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾))), 0) ∈ ℚ)
16 iffalse 3450 . . . . 5 𝐾 ∈ (0...𝑁) → if(𝐾 ∈ (0...𝑁), ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾))), 0) = 0)
17 0z 9019 . . . . . 6 0 ∈ ℤ
18 zq 9370 . . . . . 6 (0 ∈ ℤ → 0 ∈ ℚ)
1917, 18ax-mp 5 . . . . 5 0 ∈ ℚ
2016, 19syl6eqel 2206 . . . 4 𝐾 ∈ (0...𝑁) → if(𝐾 ∈ (0...𝑁), ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾))), 0) ∈ ℚ)
2120adantl 273 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → if(𝐾 ∈ (0...𝑁), ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾))), 0) ∈ ℚ)
22 simpr 109 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℤ)
23 0zd 9020 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) → 0 ∈ ℤ)
24 simpl 108 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
2524nn0zd 9125 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
26 fzdcel 9771 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID 𝐾 ∈ (0...𝑁))
2722, 23, 25, 26syl3anc 1199 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) → DECID 𝐾 ∈ (0...𝑁))
28 exmiddc 804 . . . 4 (DECID 𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∨ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)))
2927, 28syl 14 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∨ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)))
3015, 21, 29mpjaodan 770 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) → if(𝐾 ∈ (0...𝑁), ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾))), 0) ∈ ℚ)
31 oveq2 5748 . . . . 5 (𝑛 = 𝑁 → (0...𝑛) = (0...𝑁))
3231eleq2d 2185 . . . 4 (𝑛 = 𝑁 → (𝑘 ∈ (0...𝑛) ↔ 𝑘 ∈ (0...𝑁)))
33 fveq2 5387 . . . . 5 (𝑛 = 𝑁 → (!‘𝑛) = (!‘𝑁))
34 oveq1 5747 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑁 → (𝑛𝑘) = (𝑁𝑘))
3534fveq2d 5391 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑁 → (!‘(𝑛𝑘)) = (!‘(𝑁𝑘)))
3635oveq1d 5755 . . . . 5 (𝑛 = 𝑁 → ((!‘(𝑛𝑘)) · (!‘𝑘)) = ((!‘(𝑁𝑘)) · (!‘𝑘)))
3733, 36oveq12d 5758 . . . 4 (𝑛 = 𝑁 → ((!‘𝑛) / ((!‘(𝑛𝑘)) · (!‘𝑘))) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁𝑘)) · (!‘𝑘))))
3832, 37ifbieq1d 3462 . . 3 (𝑛 = 𝑁 → if(𝑘 ∈ (0...𝑛), ((!‘𝑛) / ((!‘(𝑛𝑘)) · (!‘𝑘))), 0) = if(𝑘 ∈ (0...𝑁), ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁𝑘)) · (!‘𝑘))), 0))
39 eleq1 2178 . . . 4 (𝑘 = 𝐾 → (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↔ 𝐾 ∈ (0...𝑁)))
40 oveq2 5748 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝐾 → (𝑁𝑘) = (𝑁𝐾))
4140fveq2d 5391 . . . . . 6 (𝑘 = 𝐾 → (!‘(𝑁𝑘)) = (!‘(𝑁𝐾)))
42 fveq2 5387 . . . . . 6 (𝑘 = 𝐾 → (!‘𝑘) = (!‘𝐾))
4341, 42oveq12d 5758 . . . . 5 (𝑘 = 𝐾 → ((!‘(𝑁𝑘)) · (!‘𝑘)) = ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾)))
4443oveq2d 5756 . . . 4 (𝑘 = 𝐾 → ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁𝑘)) · (!‘𝑘))) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾))))
4539, 44ifbieq1d 3462 . . 3 (𝑘 = 𝐾 → if(𝑘 ∈ (0...𝑁), ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁𝑘)) · (!‘𝑘))), 0) = if(𝐾 ∈ (0...𝑁), ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾))), 0))
46 df-bc 10445 . . 3 C = (𝑛 ∈ ℕ0, 𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ (0...𝑛), ((!‘𝑛) / ((!‘(𝑛𝑘)) · (!‘𝑘))), 0))
4738, 45, 46ovmpog 5871 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ ∧ if(𝐾 ∈ (0...𝑁), ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾))), 0) ∈ ℚ) → (𝑁C𝐾) = if(𝐾 ∈ (0...𝑁), ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾))), 0))
4830, 47mpd3an3 1299 1 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁C𝐾) = if(𝐾 ∈ (0...𝑁), ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾))), 0))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wo 680  DECID wdc 802   = wceq 1314  wcel 1463  ifcif 3442  cfv 5091  (class class class)co 5740  0cc0 7584   · cmul 7589  cmin 7897   / cdiv 8395  cn 8680  0cn0 8931  cz 9008  cq 9363  ...cfz 9741  !cfa 10422  Ccbc 10444
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4011  ax-sep 4014  ax-nul 4022  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-iinf 4470  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1cn 7677  ax-1re 7678  ax-icn 7679  ax-addcl 7680  ax-addrcl 7681  ax-mulcl 7682  ax-mulrcl 7683  ax-addcom 7684  ax-mulcom 7685  ax-addass 7686  ax-mulass 7687  ax-distr 7688  ax-i2m1 7689  ax-0lt1 7690  ax-1rid 7691  ax-0id 7692  ax-rnegex 7693  ax-precex 7694  ax-cnre 7695  ax-pre-ltirr 7696  ax-pre-ltwlin 7697  ax-pre-lttrn 7698  ax-pre-apti 7699  ax-pre-ltadd 7700  ax-pre-mulgt0 7701  ax-pre-mulext 7702
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rmo 2399  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-nul 3332  df-if 3443  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-iun 3783  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-tr 3995  df-id 4183  df-po 4186  df-iso 4187  df-iord 4256  df-on 4258  df-ilim 4259  df-suc 4261  df-iom 4473  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-fv 5099  df-riota 5696  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-1st 6004  df-2nd 6005  df-recs 6168  df-frec 6254  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-ltxr 7769  df-le 7770  df-sub 7899  df-neg 7900  df-reap 8300  df-ap 8307  df-div 8396  df-inn 8681  df-n0 8932  df-z 9009  df-uz 9279  df-q 9364  df-fz 9742  df-seqfrec 10170  df-fac 10423  df-bc 10445
This theorem is referenced by:  bcval2  10447  bcval3  10448
  Copyright terms: Public domain W3C validator