Theorem bcval 10841

Description: Value of the binomial coefficient, 𝑁 choose 𝐾. Definition of binomial coefficient in [Gleason] p. 295. As suggested by Gleason, we define it to be 0 when 0 ≤ 𝐾 ≤ 𝑁 does not hold. See bcval2 10842 for the value in the standard domain. (Contributed by NM, 10-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
bcval	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁C𝐾) = if(𝐾 ∈ (0...𝑁), ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾))), 0))

Proof of Theorem bcval

Dummy variables 𝑘 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iftrue 3566	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → if(𝐾 ∈ (0...𝑁), ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾))), 0) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾))))
2	1	adantl 277	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → if(𝐾 ∈ (0...𝑁), ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾))), 0) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾))))
3		simpll 527	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
4	3	faccld 10828	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
5	4	nnzd 9447	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (!‘𝑁) ∈ ℤ)
6		fznn0sub 10132	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ0)
7	6	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ0)
8	7	faccld 10828	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (!‘(𝑁 − 𝐾)) ∈ ℕ)
9		elfznn0 10189	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)
10	9	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝐾 ∈ ℕ0)
11	10	faccld 10828	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (!‘𝐾) ∈ ℕ)
12	8, 11	nnmulcld 9039	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)) ∈ ℕ)
13		znq 9698	. . . . 5 ⊢ (((!‘𝑁) ∈ ℤ ∧ ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)) ∈ ℕ) → ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾))) ∈ ℚ)
14	5, 12, 13	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾))) ∈ ℚ)
15	2, 14	eqeltrd 2273	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → if(𝐾 ∈ (0...𝑁), ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾))), 0) ∈ ℚ)
16		iffalse 3569	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁) → if(𝐾 ∈ (0...𝑁), ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾))), 0) = 0)
17		0z 9337	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℤ
18		zq 9700	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ ℤ → 0 ∈ ℚ)
19	17, 18	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℚ
20	16, 19	eqeltrdi 2287	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁) → if(𝐾 ∈ (0...𝑁), ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾))), 0) ∈ ℚ)
21	20	adantl 277	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → if(𝐾 ∈ (0...𝑁), ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾))), 0) ∈ ℚ)
22		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℤ)
23		0zd 9338	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 0 ∈ ℤ)
24		simpl 109	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
25	24	nn0zd 9446	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
26		fzdcel 10115	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID 𝐾 ∈ (0...𝑁))
27	22, 23, 25, 26	syl3anc 1249	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → DECID 𝐾 ∈ (0...𝑁))
28		exmiddc 837	. . . 4 ⊢ (DECID 𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∨ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)))
29	27, 28	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∨ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)))
30	15, 21, 29	mpjaodan 799	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → if(𝐾 ∈ (0...𝑁), ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾))), 0) ∈ ℚ)
31		oveq2 5930	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (0...𝑛) = (0...𝑁))
32	31	eleq2d 2266	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑘 ∈ (0...𝑛) ↔ 𝑘 ∈ (0...𝑁)))
33		fveq2 5558	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (!‘𝑛) = (!‘𝑁))
34		oveq1 5929	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑛 − 𝑘) = (𝑁 − 𝑘))
35	34	fveq2d 5562	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (!‘(𝑛 − 𝑘)) = (!‘(𝑁 − 𝑘)))
36	35	oveq1d 5937	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((!‘(𝑛 − 𝑘)) · (!‘𝑘)) = ((!‘(𝑁 − 𝑘)) · (!‘𝑘)))
37	33, 36	oveq12d 5940	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((!‘𝑛) / ((!‘(𝑛 − 𝑘)) · (!‘𝑘))) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝑘)) · (!‘𝑘))))
38	32, 37	ifbieq1d 3583	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → if(𝑘 ∈ (0...𝑛), ((!‘𝑛) / ((!‘(𝑛 − 𝑘)) · (!‘𝑘))), 0) = if(𝑘 ∈ (0...𝑁), ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝑘)) · (!‘𝑘))), 0))
39		eleq1 2259	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↔ 𝐾 ∈ (0...𝑁)))
40		oveq2 5930	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → (𝑁 − 𝑘) = (𝑁 − 𝐾))
41	40	fveq2d 5562	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → (!‘(𝑁 − 𝑘)) = (!‘(𝑁 − 𝐾)))
42		fveq2 5558	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → (!‘𝑘) = (!‘𝐾))
43	41, 42	oveq12d 5940	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → ((!‘(𝑁 − 𝑘)) · (!‘𝑘)) = ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)))
44	43	oveq2d 5938	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝑘)) · (!‘𝑘))) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾))))
45	39, 44	ifbieq1d 3583	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → if(𝑘 ∈ (0...𝑁), ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝑘)) · (!‘𝑘))), 0) = if(𝐾 ∈ (0...𝑁), ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾))), 0))
46		df-bc 10840	. . 3 ⊢ C = (𝑛 ∈ ℕ0, 𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ (0...𝑛), ((!‘𝑛) / ((!‘(𝑛 − 𝑘)) · (!‘𝑘))), 0))
47	38, 45, 46	ovmpog 6057	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ if(𝐾 ∈ (0...𝑁), ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾))), 0) ∈ ℚ) → (𝑁C𝐾) = if(𝐾 ∈ (0...𝑁), ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾))), 0))
48	30, 47	mpd3an3 1349	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁C𝐾) = if(𝐾 ∈ (0...𝑁), ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾))), 0))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 709  DECID wdc 835   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  ifcif 3561  ‘cfv 5258  (class class class)co 5922  0cc0 7879   · cmul 7884   − cmin 8197   / cdiv 8699  ℕcn 8990  ℕ₀cn0 9249  ℤcz 9326  ℚcq 9693  ...cfz 10083  !cfa 10817  Ccbc 10839

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-mulrcl 7978  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-precex 7989  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995  ax-pre-mulgt0 7996  ax-pre-mulext 7997

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-frec 6449  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-reap 8602  df-ap 8609  df-div 8700  df-inn 8991  df-n0 9250  df-z 9327  df-uz 9602  df-q 9694  df-fz 10084  df-seqfrec 10540  df-fac 10818  df-bc 10840

This theorem is referenced by:  bcval2  10842  bcval3  10843