ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  bcval GIF version

Theorem bcval 10729
Description: Value of the binomial coefficient, ๐‘ choose ๐พ. Definition of binomial coefficient in [Gleason] p. 295. As suggested by Gleason, we define it to be 0 when 0 โ‰ค ๐พ โ‰ค ๐‘ does not hold. See bcval2 10730 for the value in the standard domain. (Contributed by NM, 10-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
bcval ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘C๐พ) = if(๐พ โˆˆ (0...๐‘), ((!โ€˜๐‘) / ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ))), 0))

Proof of Theorem bcval
Dummy variables ๐‘˜ ๐‘› are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iftrue 3540 . . . . 5 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ if(๐พ โˆˆ (0...๐‘), ((!โ€˜๐‘) / ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ))), 0) = ((!โ€˜๐‘) / ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ))))
21adantl 277 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ if(๐พ โˆˆ (0...๐‘), ((!โ€˜๐‘) / ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ))), 0) = ((!โ€˜๐‘) / ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ))))
3 simpll 527 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
43faccld 10716 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„•)
54nnzd 9374 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„ค)
6 fznn0sub 10057 . . . . . . . 8 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐พ) โˆˆ โ„•0)
76adantl 277 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐พ) โˆˆ โ„•0)
87faccld 10716 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) โˆˆ โ„•)
9 elfznn0 10114 . . . . . . . 8 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„•0)
109adantl 277 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„•0)
1110faccld 10716 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (!โ€˜๐พ) โˆˆ โ„•)
128, 11nnmulcld 8968 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ)) โˆˆ โ„•)
13 znq 9624 . . . . 5 (((!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„ค โˆง ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ)) โˆˆ โ„•) โ†’ ((!โ€˜๐‘) / ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ))) โˆˆ โ„š)
145, 12, 13syl2anc 411 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ ((!โ€˜๐‘) / ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ))) โˆˆ โ„š)
152, 14eqeltrd 2254 . . 3 (((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ if(๐พ โˆˆ (0...๐‘), ((!โ€˜๐‘) / ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ))), 0) โˆˆ โ„š)
16 iffalse 3543 . . . . 5 (ยฌ ๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ if(๐พ โˆˆ (0...๐‘), ((!โ€˜๐‘) / ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ))), 0) = 0)
17 0z 9264 . . . . . 6 0 โˆˆ โ„ค
18 zq 9626 . . . . . 6 (0 โˆˆ โ„ค โ†’ 0 โˆˆ โ„š)
1917, 18ax-mp 5 . . . . 5 0 โˆˆ โ„š
2016, 19eqeltrdi 2268 . . . 4 (ยฌ ๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ if(๐พ โˆˆ (0...๐‘), ((!โ€˜๐‘) / ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ))), 0) โˆˆ โ„š)
2120adantl 277 . . 3 (((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ยฌ ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ if(๐พ โˆˆ (0...๐‘), ((!โ€˜๐‘) / ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ))), 0) โˆˆ โ„š)
22 simpr 110 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„ค)
23 0zd 9265 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ 0 โˆˆ โ„ค)
24 simpl 109 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
2524nn0zd 9373 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
26 fzdcel 10040 . . . . 5 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง 0 โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ DECID ๐พ โˆˆ (0...๐‘))
2722, 23, 25, 26syl3anc 1238 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ DECID ๐พ โˆˆ (0...๐‘))
28 exmiddc 836 . . . 4 (DECID ๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โˆจ ยฌ ๐พ โˆˆ (0...๐‘)))
2927, 28syl 14 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โˆจ ยฌ ๐พ โˆˆ (0...๐‘)))
3015, 21, 29mpjaodan 798 . 2 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ if(๐พ โˆˆ (0...๐‘), ((!โ€˜๐‘) / ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ))), 0) โˆˆ โ„š)
31 oveq2 5883 . . . . 5 (๐‘› = ๐‘ โ†’ (0...๐‘›) = (0...๐‘))
3231eleq2d 2247 . . . 4 (๐‘› = ๐‘ โ†’ (๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›) โ†” ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)))
33 fveq2 5516 . . . . 5 (๐‘› = ๐‘ โ†’ (!โ€˜๐‘›) = (!โ€˜๐‘))
34 oveq1 5882 . . . . . . 7 (๐‘› = ๐‘ โ†’ (๐‘› โˆ’ ๐‘˜) = (๐‘ โˆ’ ๐‘˜))
3534fveq2d 5520 . . . . . 6 (๐‘› = ๐‘ โ†’ (!โ€˜(๐‘› โˆ’ ๐‘˜)) = (!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘˜)))
3635oveq1d 5890 . . . . 5 (๐‘› = ๐‘ โ†’ ((!โ€˜(๐‘› โˆ’ ๐‘˜)) ยท (!โ€˜๐‘˜)) = ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘˜)) ยท (!โ€˜๐‘˜)))
3733, 36oveq12d 5893 . . . 4 (๐‘› = ๐‘ โ†’ ((!โ€˜๐‘›) / ((!โ€˜(๐‘› โˆ’ ๐‘˜)) ยท (!โ€˜๐‘˜))) = ((!โ€˜๐‘) / ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘˜)) ยท (!โ€˜๐‘˜))))
3832, 37ifbieq1d 3557 . . 3 (๐‘› = ๐‘ โ†’ if(๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›), ((!โ€˜๐‘›) / ((!โ€˜(๐‘› โˆ’ ๐‘˜)) ยท (!โ€˜๐‘˜))), 0) = if(๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘), ((!โ€˜๐‘) / ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘˜)) ยท (!โ€˜๐‘˜))), 0))
39 eleq1 2240 . . . 4 (๐‘˜ = ๐พ โ†’ (๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘) โ†” ๐พ โˆˆ (0...๐‘)))
40 oveq2 5883 . . . . . . 7 (๐‘˜ = ๐พ โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘˜) = (๐‘ โˆ’ ๐พ))
4140fveq2d 5520 . . . . . 6 (๐‘˜ = ๐พ โ†’ (!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘˜)) = (!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)))
42 fveq2 5516 . . . . . 6 (๐‘˜ = ๐พ โ†’ (!โ€˜๐‘˜) = (!โ€˜๐พ))
4341, 42oveq12d 5893 . . . . 5 (๐‘˜ = ๐พ โ†’ ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘˜)) ยท (!โ€˜๐‘˜)) = ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ)))
4443oveq2d 5891 . . . 4 (๐‘˜ = ๐พ โ†’ ((!โ€˜๐‘) / ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘˜)) ยท (!โ€˜๐‘˜))) = ((!โ€˜๐‘) / ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ))))
4539, 44ifbieq1d 3557 . . 3 (๐‘˜ = ๐พ โ†’ if(๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘), ((!โ€˜๐‘) / ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘˜)) ยท (!โ€˜๐‘˜))), 0) = if(๐พ โˆˆ (0...๐‘), ((!โ€˜๐‘) / ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ))), 0))
46 df-bc 10728 . . 3 C = (๐‘› โˆˆ โ„•0, ๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›), ((!โ€˜๐‘›) / ((!โ€˜(๐‘› โˆ’ ๐‘˜)) ยท (!โ€˜๐‘˜))), 0))
4738, 45, 46ovmpog 6009 . 2 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค โˆง if(๐พ โˆˆ (0...๐‘), ((!โ€˜๐‘) / ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ))), 0) โˆˆ โ„š) โ†’ (๐‘C๐พ) = if(๐พ โˆˆ (0...๐‘), ((!โ€˜๐‘) / ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ))), 0))
4830, 47mpd3an3 1338 1 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘C๐พ) = if(๐พ โˆˆ (0...๐‘), ((!โ€˜๐‘) / ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ))), 0))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โˆจ wo 708  DECID wdc 834   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148  ifcif 3535  โ€˜cfv 5217  (class class class)co 5875  0cc0 7811   ยท cmul 7816   โˆ’ cmin 8128   / cdiv 8629  โ„•cn 8919  โ„•0cn0 9176  โ„คcz 9253  โ„šcq 9619  ...cfz 10008  !cfa 10705  Ccbc 10727
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-mulrcl 7910  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-mulass 7914  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-1rid 7918  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-precex 7921  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927  ax-pre-mulgt0 7928  ax-pre-mulext 7929
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-if 3536  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-iord 4367  df-on 4369  df-ilim 4370  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-frec 6392  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-reap 8532  df-ap 8539  df-div 8630  df-inn 8920  df-n0 9177  df-z 9254  df-uz 9529  df-q 9620  df-fz 10009  df-seqfrec 10446  df-fac 10706  df-bc 10728
This theorem is referenced by:  bcval2  10730  bcval3  10731
  Copyright terms: Public domain W3C validator