Theorem bcval 10527

Description: Value of the binomial coefficient, 𝑁 choose 𝐾. Definition of binomial coefficient in [Gleason] p. 295. As suggested by Gleason, we define it to be 0 when 0 ≤ 𝐾 ≤ 𝑁 does not hold. See bcval2 10528 for the value in the standard domain. (Contributed by NM, 10-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
bcval	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁C𝐾) = if(𝐾 ∈ (0...𝑁), ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾))), 0))

Proof of Theorem bcval

Dummy variables 𝑘 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iftrue 3484	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → if(𝐾 ∈ (0...𝑁), ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾))), 0) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾))))
2	1	adantl 275	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → if(𝐾 ∈ (0...𝑁), ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾))), 0) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾))))
3		simpll 519	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
4	3	faccld 10514	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
5	4	nnzd 9196	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (!‘𝑁) ∈ ℤ)
6		fznn0sub 9868	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ0)
7	6	adantl 275	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ0)
8	7	faccld 10514	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (!‘(𝑁 − 𝐾)) ∈ ℕ)
9		elfznn0 9925	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)
10	9	adantl 275	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝐾 ∈ ℕ0)
11	10	faccld 10514	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (!‘𝐾) ∈ ℕ)
12	8, 11	nnmulcld 8793	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)) ∈ ℕ)
13		znq 9443	. . . . 5 ⊢ (((!‘𝑁) ∈ ℤ ∧ ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)) ∈ ℕ) → ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾))) ∈ ℚ)
14	5, 12, 13	syl2anc 409	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾))) ∈ ℚ)
15	2, 14	eqeltrd 2217	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → if(𝐾 ∈ (0...𝑁), ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾))), 0) ∈ ℚ)
16		iffalse 3487	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁) → if(𝐾 ∈ (0...𝑁), ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾))), 0) = 0)
17		0z 9089	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℤ
18		zq 9445	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ ℤ → 0 ∈ ℚ)
19	17, 18	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℚ
20	16, 19	eqeltrdi 2231	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁) → if(𝐾 ∈ (0...𝑁), ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾))), 0) ∈ ℚ)
21	20	adantl 275	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → if(𝐾 ∈ (0...𝑁), ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾))), 0) ∈ ℚ)
22		simpr 109	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℤ)
23		0zd 9090	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 0 ∈ ℤ)
24		simpl 108	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
25	24	nn0zd 9195	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
26		fzdcel 9851	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID 𝐾 ∈ (0...𝑁))
27	22, 23, 25, 26	syl3anc 1217	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → DECID 𝐾 ∈ (0...𝑁))
28		exmiddc 822	. . . 4 ⊢ (DECID 𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∨ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)))
29	27, 28	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∨ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)))
30	15, 21, 29	mpjaodan 788	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → if(𝐾 ∈ (0...𝑁), ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾))), 0) ∈ ℚ)
31		oveq2 5790	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (0...𝑛) = (0...𝑁))
32	31	eleq2d 2210	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑘 ∈ (0...𝑛) ↔ 𝑘 ∈ (0...𝑁)))
33		fveq2 5429	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (!‘𝑛) = (!‘𝑁))
34		oveq1 5789	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑛 − 𝑘) = (𝑁 − 𝑘))
35	34	fveq2d 5433	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (!‘(𝑛 − 𝑘)) = (!‘(𝑁 − 𝑘)))
36	35	oveq1d 5797	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((!‘(𝑛 − 𝑘)) · (!‘𝑘)) = ((!‘(𝑁 − 𝑘)) · (!‘𝑘)))
37	33, 36	oveq12d 5800	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((!‘𝑛) / ((!‘(𝑛 − 𝑘)) · (!‘𝑘))) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝑘)) · (!‘𝑘))))
38	32, 37	ifbieq1d 3499	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → if(𝑘 ∈ (0...𝑛), ((!‘𝑛) / ((!‘(𝑛 − 𝑘)) · (!‘𝑘))), 0) = if(𝑘 ∈ (0...𝑁), ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝑘)) · (!‘𝑘))), 0))
39		eleq1 2203	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↔ 𝐾 ∈ (0...𝑁)))
40		oveq2 5790	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → (𝑁 − 𝑘) = (𝑁 − 𝐾))
41	40	fveq2d 5433	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → (!‘(𝑁 − 𝑘)) = (!‘(𝑁 − 𝐾)))
42		fveq2 5429	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → (!‘𝑘) = (!‘𝐾))
43	41, 42	oveq12d 5800	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → ((!‘(𝑁 − 𝑘)) · (!‘𝑘)) = ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)))
44	43	oveq2d 5798	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝑘)) · (!‘𝑘))) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾))))
45	39, 44	ifbieq1d 3499	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → if(𝑘 ∈ (0...𝑁), ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝑘)) · (!‘𝑘))), 0) = if(𝐾 ∈ (0...𝑁), ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾))), 0))
46		df-bc 10526	. . 3 ⊢ C = (𝑛 ∈ ℕ0, 𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ (0...𝑛), ((!‘𝑛) / ((!‘(𝑛 − 𝑘)) · (!‘𝑘))), 0))
47	38, 45, 46	ovmpog 5913	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ if(𝐾 ∈ (0...𝑁), ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾))), 0) ∈ ℚ) → (𝑁C𝐾) = if(𝐾 ∈ (0...𝑁), ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾))), 0))
48	30, 47	mpd3an3 1317	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁C𝐾) = if(𝐾 ∈ (0...𝑁), ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾))), 0))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ∨ wo 698  DECID wdc 820   = wceq 1332   ∈ wcel 1481  ifcif 3479  ‘cfv 5131  (class class class)co 5782  0cc0 7644   · cmul 7649   − cmin 7957   / cdiv 8456  ℕcn 8744  ℕ₀cn0 9001  ℤcz 9078  ℚcq 9438  ...cfz 9821  !cfa 10503  Ccbc 10525

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-iinf 4510  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-mulrcl 7743  ax-addcom 7744  ax-mulcom 7745  ax-addass 7746  ax-mulass 7747  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-1rid 7751  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-precex 7754  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-apti 7759  ax-pre-ltadd 7760  ax-pre-mulgt0 7761  ax-pre-mulext 7762

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-if 3480  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-tr 4035  df-id 4223  df-po 4226  df-iso 4227  df-iord 4296  df-on 4298  df-ilim 4299  df-suc 4301  df-iom 4513  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-recs 6210  df-frec 6296  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960  df-reap 8361  df-ap 8368  df-div 8457  df-inn 8745  df-n0 9002  df-z 9079  df-uz 9351  df-q 9439  df-fz 9822  df-seqfrec 10250  df-fac 10504  df-bc 10526

This theorem is referenced by:  bcval2  10528  bcval3  10529