Theorem bcval 10721

Description: Value of the binomial coefficient, 𝑁 choose 𝐾. Definition of binomial coefficient in [Gleason] p. 295. As suggested by Gleason, we define it to be 0 when 0 ≤ 𝐾 ≤ 𝑁 does not hold. See bcval2 10722 for the value in the standard domain. (Contributed by NM, 10-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
bcval	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁C𝐾) = if(𝐾 ∈ (0...𝑁), ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾))), 0))

Proof of Theorem bcval

Dummy variables 𝑘 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iftrue 3539	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → if(𝐾 ∈ (0...𝑁), ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾))), 0) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾))))
2	1	adantl 277	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → if(𝐾 ∈ (0...𝑁), ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾))), 0) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾))))
3		simpll 527	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
4	3	faccld 10708	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
5	4	nnzd 9369	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (!‘𝑁) ∈ ℤ)
6		fznn0sub 10051	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ0)
7	6	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ0)
8	7	faccld 10708	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (!‘(𝑁 − 𝐾)) ∈ ℕ)
9		elfznn0 10108	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)
10	9	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝐾 ∈ ℕ0)
11	10	faccld 10708	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (!‘𝐾) ∈ ℕ)
12	8, 11	nnmulcld 8963	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)) ∈ ℕ)
13		znq 9619	. . . . 5 ⊢ (((!‘𝑁) ∈ ℤ ∧ ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)) ∈ ℕ) → ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾))) ∈ ℚ)
14	5, 12, 13	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾))) ∈ ℚ)
15	2, 14	eqeltrd 2254	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → if(𝐾 ∈ (0...𝑁), ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾))), 0) ∈ ℚ)
16		iffalse 3542	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁) → if(𝐾 ∈ (0...𝑁), ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾))), 0) = 0)
17		0z 9259	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℤ
18		zq 9621	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ ℤ → 0 ∈ ℚ)
19	17, 18	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℚ
20	16, 19	eqeltrdi 2268	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁) → if(𝐾 ∈ (0...𝑁), ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾))), 0) ∈ ℚ)
21	20	adantl 277	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → if(𝐾 ∈ (0...𝑁), ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾))), 0) ∈ ℚ)
22		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℤ)
23		0zd 9260	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 0 ∈ ℤ)
24		simpl 109	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
25	24	nn0zd 9368	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
26		fzdcel 10034	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID 𝐾 ∈ (0...𝑁))
27	22, 23, 25, 26	syl3anc 1238	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → DECID 𝐾 ∈ (0...𝑁))
28		exmiddc 836	. . . 4 ⊢ (DECID 𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∨ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)))
29	27, 28	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∨ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)))
30	15, 21, 29	mpjaodan 798	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → if(𝐾 ∈ (0...𝑁), ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾))), 0) ∈ ℚ)
31		oveq2 5879	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (0...𝑛) = (0...𝑁))
32	31	eleq2d 2247	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑘 ∈ (0...𝑛) ↔ 𝑘 ∈ (0...𝑁)))
33		fveq2 5513	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (!‘𝑛) = (!‘𝑁))
34		oveq1 5878	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑛 − 𝑘) = (𝑁 − 𝑘))
35	34	fveq2d 5517	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (!‘(𝑛 − 𝑘)) = (!‘(𝑁 − 𝑘)))
36	35	oveq1d 5886	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((!‘(𝑛 − 𝑘)) · (!‘𝑘)) = ((!‘(𝑁 − 𝑘)) · (!‘𝑘)))
37	33, 36	oveq12d 5889	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((!‘𝑛) / ((!‘(𝑛 − 𝑘)) · (!‘𝑘))) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝑘)) · (!‘𝑘))))
38	32, 37	ifbieq1d 3556	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → if(𝑘 ∈ (0...𝑛), ((!‘𝑛) / ((!‘(𝑛 − 𝑘)) · (!‘𝑘))), 0) = if(𝑘 ∈ (0...𝑁), ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝑘)) · (!‘𝑘))), 0))
39		eleq1 2240	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↔ 𝐾 ∈ (0...𝑁)))
40		oveq2 5879	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → (𝑁 − 𝑘) = (𝑁 − 𝐾))
41	40	fveq2d 5517	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → (!‘(𝑁 − 𝑘)) = (!‘(𝑁 − 𝐾)))
42		fveq2 5513	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → (!‘𝑘) = (!‘𝐾))
43	41, 42	oveq12d 5889	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → ((!‘(𝑁 − 𝑘)) · (!‘𝑘)) = ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾)))
44	43	oveq2d 5887	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝑘)) · (!‘𝑘))) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾))))
45	39, 44	ifbieq1d 3556	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → if(𝑘 ∈ (0...𝑁), ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝑘)) · (!‘𝑘))), 0) = if(𝐾 ∈ (0...𝑁), ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾))), 0))
46		df-bc 10720	. . 3 ⊢ C = (𝑛 ∈ ℕ0, 𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ (0...𝑛), ((!‘𝑛) / ((!‘(𝑛 − 𝑘)) · (!‘𝑘))), 0))
47	38, 45, 46	ovmpog 6005	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ if(𝐾 ∈ (0...𝑁), ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾))), 0) ∈ ℚ) → (𝑁C𝐾) = if(𝐾 ∈ (0...𝑁), ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾))), 0))
48	30, 47	mpd3an3 1338	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁C𝐾) = if(𝐾 ∈ (0...𝑁), ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝐾)) · (!‘𝐾))), 0))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 708  DECID wdc 834   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  ifcif 3534  ‘cfv 5214  (class class class)co 5871  0cc0 7807   · cmul 7812   − cmin 8123   / cdiv 8624  ℕcn 8914  ℕ₀cn0 9171  ℤcz 9248  ℚcq 9614  ...cfz 10003  !cfa 10697  Ccbc 10719

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4117  ax-sep 4120  ax-nul 4128  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-setind 4535  ax-iinf 4586  ax-cnex 7898  ax-resscn 7899  ax-1cn 7900  ax-1re 7901  ax-icn 7902  ax-addcl 7903  ax-addrcl 7904  ax-mulcl 7905  ax-mulrcl 7906  ax-addcom 7907  ax-mulcom 7908  ax-addass 7909  ax-mulass 7910  ax-distr 7911  ax-i2m1 7912  ax-0lt1 7913  ax-1rid 7914  ax-0id 7915  ax-rnegex 7916  ax-precex 7917  ax-cnre 7918  ax-pre-ltirr 7919  ax-pre-ltwlin 7920  ax-pre-lttrn 7921  ax-pre-apti 7922  ax-pre-ltadd 7923  ax-pre-mulgt0 7924  ax-pre-mulext 7925

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4003  df-opab 4064  df-mpt 4065  df-tr 4101  df-id 4292  df-po 4295  df-iso 4296  df-iord 4365  df-on 4367  df-ilim 4368  df-suc 4370  df-iom 4589  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-rn 4636  df-res 4637  df-ima 4638  df-iota 5176  df-fun 5216  df-fn 5217  df-f 5218  df-f1 5219  df-fo 5220  df-f1o 5221  df-fv 5222  df-riota 5827  df-ov 5874  df-oprab 5875  df-mpo 5876  df-1st 6137  df-2nd 6138  df-recs 6302  df-frec 6388  df-pnf 7989  df-mnf 7990  df-xr 7991  df-ltxr 7992  df-le 7993  df-sub 8125  df-neg 8126  df-reap 8527  df-ap 8534  df-div 8625  df-inn 8915  df-n0 9172  df-z 9249  df-uz 9524  df-q 9615  df-fz 10004  df-seqfrec 10440  df-fac 10698  df-bc 10720

This theorem is referenced by:  bcval2  10722  bcval3  10723