ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  bcval GIF version

Theorem bcval 10728
Description: Value of the binomial coefficient, ๐‘ choose ๐พ. Definition of binomial coefficient in [Gleason] p. 295. As suggested by Gleason, we define it to be 0 when 0 โ‰ค ๐พ โ‰ค ๐‘ does not hold. See bcval2 10729 for the value in the standard domain. (Contributed by NM, 10-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
bcval ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘C๐พ) = if(๐พ โˆˆ (0...๐‘), ((!โ€˜๐‘) / ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ))), 0))

Proof of Theorem bcval
Dummy variables ๐‘˜ ๐‘› are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iftrue 3539 . . . . 5 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ if(๐พ โˆˆ (0...๐‘), ((!โ€˜๐‘) / ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ))), 0) = ((!โ€˜๐‘) / ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ))))
21adantl 277 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ if(๐พ โˆˆ (0...๐‘), ((!โ€˜๐‘) / ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ))), 0) = ((!โ€˜๐‘) / ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ))))
3 simpll 527 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
43faccld 10715 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„•)
54nnzd 9373 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„ค)
6 fznn0sub 10056 . . . . . . . 8 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐พ) โˆˆ โ„•0)
76adantl 277 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐พ) โˆˆ โ„•0)
87faccld 10715 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) โˆˆ โ„•)
9 elfznn0 10113 . . . . . . . 8 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„•0)
109adantl 277 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„•0)
1110faccld 10715 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ (!โ€˜๐พ) โˆˆ โ„•)
128, 11nnmulcld 8967 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ)) โˆˆ โ„•)
13 znq 9623 . . . . 5 (((!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„ค โˆง ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ)) โˆˆ โ„•) โ†’ ((!โ€˜๐‘) / ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ))) โˆˆ โ„š)
145, 12, 13syl2anc 411 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ ((!โ€˜๐‘) / ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ))) โˆˆ โ„š)
152, 14eqeltrd 2254 . . 3 (((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ if(๐พ โˆˆ (0...๐‘), ((!โ€˜๐‘) / ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ))), 0) โˆˆ โ„š)
16 iffalse 3542 . . . . 5 (ยฌ ๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ if(๐พ โˆˆ (0...๐‘), ((!โ€˜๐‘) / ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ))), 0) = 0)
17 0z 9263 . . . . . 6 0 โˆˆ โ„ค
18 zq 9625 . . . . . 6 (0 โˆˆ โ„ค โ†’ 0 โˆˆ โ„š)
1917, 18ax-mp 5 . . . . 5 0 โˆˆ โ„š
2016, 19eqeltrdi 2268 . . . 4 (ยฌ ๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ if(๐พ โˆˆ (0...๐‘), ((!โ€˜๐‘) / ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ))), 0) โˆˆ โ„š)
2120adantl 277 . . 3 (((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ยฌ ๐พ โˆˆ (0...๐‘)) โ†’ if(๐พ โˆˆ (0...๐‘), ((!โ€˜๐‘) / ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ))), 0) โˆˆ โ„š)
22 simpr 110 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„ค)
23 0zd 9264 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ 0 โˆˆ โ„ค)
24 simpl 109 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
2524nn0zd 9372 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
26 fzdcel 10039 . . . . 5 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง 0 โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ DECID ๐พ โˆˆ (0...๐‘))
2722, 23, 25, 26syl3anc 1238 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ DECID ๐พ โˆˆ (0...๐‘))
28 exmiddc 836 . . . 4 (DECID ๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โˆจ ยฌ ๐พ โˆˆ (0...๐‘)))
2927, 28syl 14 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โˆจ ยฌ ๐พ โˆˆ (0...๐‘)))
3015, 21, 29mpjaodan 798 . 2 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ if(๐พ โˆˆ (0...๐‘), ((!โ€˜๐‘) / ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ))), 0) โˆˆ โ„š)
31 oveq2 5882 . . . . 5 (๐‘› = ๐‘ โ†’ (0...๐‘›) = (0...๐‘))
3231eleq2d 2247 . . . 4 (๐‘› = ๐‘ โ†’ (๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›) โ†” ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)))
33 fveq2 5515 . . . . 5 (๐‘› = ๐‘ โ†’ (!โ€˜๐‘›) = (!โ€˜๐‘))
34 oveq1 5881 . . . . . . 7 (๐‘› = ๐‘ โ†’ (๐‘› โˆ’ ๐‘˜) = (๐‘ โˆ’ ๐‘˜))
3534fveq2d 5519 . . . . . 6 (๐‘› = ๐‘ โ†’ (!โ€˜(๐‘› โˆ’ ๐‘˜)) = (!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘˜)))
3635oveq1d 5889 . . . . 5 (๐‘› = ๐‘ โ†’ ((!โ€˜(๐‘› โˆ’ ๐‘˜)) ยท (!โ€˜๐‘˜)) = ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘˜)) ยท (!โ€˜๐‘˜)))
3733, 36oveq12d 5892 . . . 4 (๐‘› = ๐‘ โ†’ ((!โ€˜๐‘›) / ((!โ€˜(๐‘› โˆ’ ๐‘˜)) ยท (!โ€˜๐‘˜))) = ((!โ€˜๐‘) / ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘˜)) ยท (!โ€˜๐‘˜))))
3832, 37ifbieq1d 3556 . . 3 (๐‘› = ๐‘ โ†’ if(๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›), ((!โ€˜๐‘›) / ((!โ€˜(๐‘› โˆ’ ๐‘˜)) ยท (!โ€˜๐‘˜))), 0) = if(๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘), ((!โ€˜๐‘) / ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘˜)) ยท (!โ€˜๐‘˜))), 0))
39 eleq1 2240 . . . 4 (๐‘˜ = ๐พ โ†’ (๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘) โ†” ๐พ โˆˆ (0...๐‘)))
40 oveq2 5882 . . . . . . 7 (๐‘˜ = ๐พ โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘˜) = (๐‘ โˆ’ ๐พ))
4140fveq2d 5519 . . . . . 6 (๐‘˜ = ๐พ โ†’ (!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘˜)) = (!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)))
42 fveq2 5515 . . . . . 6 (๐‘˜ = ๐พ โ†’ (!โ€˜๐‘˜) = (!โ€˜๐พ))
4341, 42oveq12d 5892 . . . . 5 (๐‘˜ = ๐พ โ†’ ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘˜)) ยท (!โ€˜๐‘˜)) = ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ)))
4443oveq2d 5890 . . . 4 (๐‘˜ = ๐พ โ†’ ((!โ€˜๐‘) / ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘˜)) ยท (!โ€˜๐‘˜))) = ((!โ€˜๐‘) / ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ))))
4539, 44ifbieq1d 3556 . . 3 (๐‘˜ = ๐พ โ†’ if(๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘), ((!โ€˜๐‘) / ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘˜)) ยท (!โ€˜๐‘˜))), 0) = if(๐พ โˆˆ (0...๐‘), ((!โ€˜๐‘) / ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ))), 0))
46 df-bc 10727 . . 3 C = (๐‘› โˆˆ โ„•0, ๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›), ((!โ€˜๐‘›) / ((!โ€˜(๐‘› โˆ’ ๐‘˜)) ยท (!โ€˜๐‘˜))), 0))
4738, 45, 46ovmpog 6008 . 2 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค โˆง if(๐พ โˆˆ (0...๐‘), ((!โ€˜๐‘) / ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ))), 0) โˆˆ โ„š) โ†’ (๐‘C๐พ) = if(๐พ โˆˆ (0...๐‘), ((!โ€˜๐‘) / ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ))), 0))
4830, 47mpd3an3 1338 1 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘C๐พ) = if(๐พ โˆˆ (0...๐‘), ((!โ€˜๐‘) / ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐พ)) ยท (!โ€˜๐พ))), 0))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โˆจ wo 708  DECID wdc 834   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148  ifcif 3534  โ€˜cfv 5216  (class class class)co 5874  0cc0 7810   ยท cmul 7815   โˆ’ cmin 8127   / cdiv 8628  โ„•cn 8918  โ„•0cn0 9175  โ„คcz 9252  โ„šcq 9618  ...cfz 10007  !cfa 10704  Ccbc 10726
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-iord 4366  df-on 4368  df-ilim 4369  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-frec 6391  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-ltxr 7996  df-le 7997  df-sub 8129  df-neg 8130  df-reap 8531  df-ap 8538  df-div 8629  df-inn 8919  df-n0 9176  df-z 9253  df-uz 9528  df-q 9619  df-fz 10008  df-seqfrec 10445  df-fac 10705  df-bc 10727
This theorem is referenced by:  bcval2  10729  bcval3  10730
  Copyright terms: Public domain W3C validator