ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  bcval GIF version

Theorem bcval 10122
Description: Value of the binomial coefficient, 𝑁 choose 𝐾. Definition of binomial coefficient in [Gleason] p. 295. As suggested by Gleason, we define it to be 0 when 0 ≤ 𝐾𝑁 does not hold. See bcval2 10123 for the value in the standard domain. (Contributed by NM, 10-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
bcval ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁C𝐾) = if(𝐾 ∈ (0...𝑁), ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾))), 0))

Proof of Theorem bcval
Dummy variables 𝑘 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iftrue 3394 . . . . 5 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → if(𝐾 ∈ (0...𝑁), ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾))), 0) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾))))
21adantl 271 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → if(𝐾 ∈ (0...𝑁), ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾))), 0) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾))))
3 simpll 496 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
43faccld 10109 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
54nnzd 8837 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (!‘𝑁) ∈ ℤ)
6 fznn0sub 9439 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁𝐾) ∈ ℕ0)
76adantl 271 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁𝐾) ∈ ℕ0)
87faccld 10109 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (!‘(𝑁𝐾)) ∈ ℕ)
9 elfznn0 9495 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)
109adantl 271 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝐾 ∈ ℕ0)
1110faccld 10109 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (!‘𝐾) ∈ ℕ)
128, 11nnmulcld 8442 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾)) ∈ ℕ)
13 znq 9078 . . . . 5 (((!‘𝑁) ∈ ℤ ∧ ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾)) ∈ ℕ) → ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾))) ∈ ℚ)
145, 12, 13syl2anc 403 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾))) ∈ ℚ)
152, 14eqeltrd 2164 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → if(𝐾 ∈ (0...𝑁), ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾))), 0) ∈ ℚ)
16 iffalse 3397 . . . . 5 𝐾 ∈ (0...𝑁) → if(𝐾 ∈ (0...𝑁), ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾))), 0) = 0)
17 0z 8731 . . . . . 6 0 ∈ ℤ
18 zq 9080 . . . . . 6 (0 ∈ ℤ → 0 ∈ ℚ)
1917, 18ax-mp 7 . . . . 5 0 ∈ ℚ
2016, 19syl6eqel 2178 . . . 4 𝐾 ∈ (0...𝑁) → if(𝐾 ∈ (0...𝑁), ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾))), 0) ∈ ℚ)
2120adantl 271 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → if(𝐾 ∈ (0...𝑁), ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾))), 0) ∈ ℚ)
22 simpr 108 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℤ)
23 0zd 8732 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) → 0 ∈ ℤ)
24 simpl 107 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
2524nn0zd 8836 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
26 fzdcel 9423 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID 𝐾 ∈ (0...𝑁))
2722, 23, 25, 26syl3anc 1174 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) → DECID 𝐾 ∈ (0...𝑁))
28 exmiddc 782 . . . 4 (DECID 𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∨ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)))
2927, 28syl 14 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∨ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)))
3015, 21, 29mpjaodan 747 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) → if(𝐾 ∈ (0...𝑁), ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾))), 0) ∈ ℚ)
31 oveq2 5642 . . . . 5 (𝑛 = 𝑁 → (0...𝑛) = (0...𝑁))
3231eleq2d 2157 . . . 4 (𝑛 = 𝑁 → (𝑘 ∈ (0...𝑛) ↔ 𝑘 ∈ (0...𝑁)))
33 fveq2 5289 . . . . 5 (𝑛 = 𝑁 → (!‘𝑛) = (!‘𝑁))
34 oveq1 5641 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑁 → (𝑛𝑘) = (𝑁𝑘))
3534fveq2d 5293 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑁 → (!‘(𝑛𝑘)) = (!‘(𝑁𝑘)))
3635oveq1d 5649 . . . . 5 (𝑛 = 𝑁 → ((!‘(𝑛𝑘)) · (!‘𝑘)) = ((!‘(𝑁𝑘)) · (!‘𝑘)))
3733, 36oveq12d 5652 . . . 4 (𝑛 = 𝑁 → ((!‘𝑛) / ((!‘(𝑛𝑘)) · (!‘𝑘))) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁𝑘)) · (!‘𝑘))))
3832, 37ifbieq1d 3409 . . 3 (𝑛 = 𝑁 → if(𝑘 ∈ (0...𝑛), ((!‘𝑛) / ((!‘(𝑛𝑘)) · (!‘𝑘))), 0) = if(𝑘 ∈ (0...𝑁), ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁𝑘)) · (!‘𝑘))), 0))
39 eleq1 2150 . . . 4 (𝑘 = 𝐾 → (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↔ 𝐾 ∈ (0...𝑁)))
40 oveq2 5642 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝐾 → (𝑁𝑘) = (𝑁𝐾))
4140fveq2d 5293 . . . . . 6 (𝑘 = 𝐾 → (!‘(𝑁𝑘)) = (!‘(𝑁𝐾)))
42 fveq2 5289 . . . . . 6 (𝑘 = 𝐾 → (!‘𝑘) = (!‘𝐾))
4341, 42oveq12d 5652 . . . . 5 (𝑘 = 𝐾 → ((!‘(𝑁𝑘)) · (!‘𝑘)) = ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾)))
4443oveq2d 5650 . . . 4 (𝑘 = 𝐾 → ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁𝑘)) · (!‘𝑘))) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾))))
4539, 44ifbieq1d 3409 . . 3 (𝑘 = 𝐾 → if(𝑘 ∈ (0...𝑁), ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁𝑘)) · (!‘𝑘))), 0) = if(𝐾 ∈ (0...𝑁), ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾))), 0))
46 df-bc 10121 . . 3 C = (𝑛 ∈ ℕ0, 𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ (0...𝑛), ((!‘𝑛) / ((!‘(𝑛𝑘)) · (!‘𝑘))), 0))
4738, 45, 46ovmpt2g 5761 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ ∧ if(𝐾 ∈ (0...𝑁), ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾))), 0) ∈ ℚ) → (𝑁C𝐾) = if(𝐾 ∈ (0...𝑁), ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾))), 0))
4830, 47mpd3an3 1274 1 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁C𝐾) = if(𝐾 ∈ (0...𝑁), ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾))), 0))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 102  wo 664  DECID wdc 780   = wceq 1289  wcel 1438  ifcif 3389  cfv 5002  (class class class)co 5634  0cc0 7329   · cmul 7334  cmin 7632   / cdiv 8113  cn 8394  0cn0 8643  cz 8720  cq 9073  ...cfz 9393  !cfa 10098  Ccbc 10120
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3946  ax-sep 3949  ax-nul 3957  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-iinf 4393  ax-cnex 7415  ax-resscn 7416  ax-1cn 7417  ax-1re 7418  ax-icn 7419  ax-addcl 7420  ax-addrcl 7421  ax-mulcl 7422  ax-mulrcl 7423  ax-addcom 7424  ax-mulcom 7425  ax-addass 7426  ax-mulass 7427  ax-distr 7428  ax-i2m1 7429  ax-0lt1 7430  ax-1rid 7431  ax-0id 7432  ax-rnegex 7433  ax-precex 7434  ax-cnre 7435  ax-pre-ltirr 7436  ax-pre-ltwlin 7437  ax-pre-lttrn 7438  ax-pre-apti 7439  ax-pre-ltadd 7440  ax-pre-mulgt0 7441  ax-pre-mulext 7442
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-csb 2932  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-nul 3285  df-if 3390  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-iun 3727  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-tr 3929  df-id 4111  df-po 4114  df-iso 4115  df-iord 4184  df-on 4186  df-ilim 4187  df-suc 4189  df-iom 4396  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-f1 5007  df-fo 5008  df-f1o 5009  df-fv 5010  df-riota 5590  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-1st 5893  df-2nd 5894  df-recs 6052  df-frec 6138  df-pnf 7503  df-mnf 7504  df-xr 7505  df-ltxr 7506  df-le 7507  df-sub 7634  df-neg 7635  df-reap 8028  df-ap 8035  df-div 8114  df-inn 8395  df-n0 8644  df-z 8721  df-uz 8989  df-q 9074  df-fz 9394  df-iseq 9818  df-fac 10099  df-bc 10121
This theorem is referenced by:  bcval2  10123  bcval3  10124
  Copyright terms: Public domain W3C validator