ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  sumsplitdc GIF version

Theorem sumsplitdc 11440
Description: Split a sum into two parts. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Aug-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
sumsplit.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
sumsplit.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
sumsplit.3 (𝜑 → (𝐴𝐵) = ∅)
sumsplit.4 (𝜑 → (𝐴𝐵) ⊆ 𝑍)
sumsplitdc.a ((𝜑𝑘𝑍) → DECID 𝑘𝐴)
sumsplitdc.b ((𝜑𝑘𝑍) → DECID 𝑘𝐵)
sumsplit.5 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = if(𝑘𝐴, 𝐶, 0))
sumsplit.6 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) = if(𝑘𝐵, 𝐶, 0))
sumsplit.7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴𝐵)) → 𝐶 ∈ ℂ)
sumsplit.8 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
sumsplit.9 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
Assertion
Ref Expression
sumsplitdc (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝐴𝐵)𝐶 = (Σ𝑘𝐴 𝐶 + Σ𝑘𝐵 𝐶))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍
Allowed substitution hint:   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem sumsplitdc
StepHypRef Expression
1 sumsplit.4 . . 3 (𝜑 → (𝐴𝐵) ⊆ 𝑍)
2 sumsplitdc.a . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → DECID 𝑘𝐴)
3 sumsplitdc.b . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → DECID 𝑘𝐵)
42, 3dcun 3534 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → DECID 𝑘 ∈ (𝐴𝐵))
54ralrimiva 2550 . . 3 (𝜑 → ∀𝑘𝑍 DECID 𝑘 ∈ (𝐴𝐵))
6 sumsplit.7 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴𝐵)) → 𝐶 ∈ ℂ)
76ralrimiva 2550 . . 3 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝐴𝐵)𝐶 ∈ ℂ)
8 sumsplit.2 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
9 sumsplit.1 . . . . . . 7 𝑍 = (ℤ𝑀)
109eqimssi 3212 . . . . . 6 𝑍 ⊆ (ℤ𝑀)
1110a1i 9 . . . . 5 (𝜑𝑍 ⊆ (ℤ𝑀))
129eleq2i 2244 . . . . . . . . . 10 (𝑘𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
1312biimpri 133 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑘𝑍)
1413orcd 733 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑘𝑍 ∨ ¬ 𝑘𝑍))
15 df-dc 835 . . . . . . . 8 (DECID 𝑘𝑍 ↔ (𝑘𝑍 ∨ ¬ 𝑘𝑍))
1614, 15sylibr 134 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → DECID 𝑘𝑍)
1716adantl 277 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → DECID 𝑘𝑍)
1817ralrimiva 2550 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑘𝑍)
198, 11, 183jca 1177 . . . 4 (𝜑 → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑘𝑍))
2019orcd 733 . . 3 (𝜑 → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑘𝑍) ∨ 𝑍 ∈ Fin))
211, 5, 7, 20isumss2 11401 . 2 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝐴𝐵)𝐶 = Σ𝑘𝑍 if(𝑘 ∈ (𝐴𝐵), 𝐶, 0))
22 sumsplit.5 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = if(𝑘𝐴, 𝐶, 0))
23 elun1 3303 . . . . . . 7 (𝑘𝐴𝑘 ∈ (𝐴𝐵))
2423, 6sylan2 286 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
2524adantlr 477 . . . . 5 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
26 0cnd 7950 . . . . 5 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ ¬ 𝑘𝐴) → 0 ∈ ℂ)
2725, 26, 2ifcldadc 3564 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) ∈ ℂ)
28 sumsplit.6 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) = if(𝑘𝐵, 𝐶, 0))
29 elun2 3304 . . . . . . 7 (𝑘𝐵𝑘 ∈ (𝐴𝐵))
3029, 6sylan2 286 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)
3130adantlr 477 . . . . 5 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑘𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)
32 0cnd 7950 . . . . 5 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ ¬ 𝑘𝐵) → 0 ∈ ℂ)
3331, 32, 3ifcldadc 3564 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → if(𝑘𝐵, 𝐶, 0) ∈ ℂ)
34 sumsplit.8 . . . 4 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
35 sumsplit.9 . . . 4 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
369, 8, 22, 27, 28, 33, 34, 35isumadd 11439 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘𝑍 (if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) + if(𝑘𝐵, 𝐶, 0)) = (Σ𝑘𝑍 if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) + Σ𝑘𝑍 if(𝑘𝐵, 𝐶, 0)))
3724addid1d 8106 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐶 + 0) = 𝐶)
38 iftrue 3540 . . . . . . . . 9 (𝑘𝐴 → if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) = 𝐶)
3938adantl 277 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐴) → if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) = 𝐶)
40 noel 3427 . . . . . . . . . . . 12 ¬ 𝑘 ∈ ∅
41 sumsplit.3 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐴𝐵) = ∅)
4241eleq2d 2247 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝐴𝐵) ↔ 𝑘 ∈ ∅))
43 elin 3319 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ (𝐴𝐵) ↔ (𝑘𝐴𝑘𝐵))
4442, 43bitr3di 195 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑘 ∈ ∅ ↔ (𝑘𝐴𝑘𝐵)))
4540, 44mtbii 674 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ¬ (𝑘𝐴𝑘𝐵))
46 imnan 690 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘𝐴 → ¬ 𝑘𝐵) ↔ ¬ (𝑘𝐴𝑘𝐵))
4745, 46sylibr 134 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑘𝐴 → ¬ 𝑘𝐵))
4847imp 124 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝐴) → ¬ 𝑘𝐵)
4948iffalsed 3545 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐴) → if(𝑘𝐵, 𝐶, 0) = 0)
5039, 49oveq12d 5893 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → (if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) + if(𝑘𝐵, 𝐶, 0)) = (𝐶 + 0))
51 iftrue 3540 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (𝐴𝐵) → if(𝑘 ∈ (𝐴𝐵), 𝐶, 0) = 𝐶)
5223, 51syl 14 . . . . . . . 8 (𝑘𝐴 → if(𝑘 ∈ (𝐴𝐵), 𝐶, 0) = 𝐶)
5352adantl 277 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → if(𝑘 ∈ (𝐴𝐵), 𝐶, 0) = 𝐶)
5437, 50, 533eqtr4rd 2221 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → if(𝑘 ∈ (𝐴𝐵), 𝐶, 0) = (if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) + if(𝑘𝐵, 𝐶, 0)))
5554adantlr 477 . . . . 5 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑘𝐴) → if(𝑘 ∈ (𝐴𝐵), 𝐶, 0) = (if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) + if(𝑘𝐵, 𝐶, 0)))
5633adantr 276 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ ¬ 𝑘𝐴) → if(𝑘𝐵, 𝐶, 0) ∈ ℂ)
5756addid2d 8107 . . . . . 6 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ ¬ 𝑘𝐴) → (0 + if(𝑘𝐵, 𝐶, 0)) = if(𝑘𝐵, 𝐶, 0))
58 iffalse 3543 . . . . . . . . 9 𝑘𝐴 → if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) = 0)
5958adantl 277 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑘𝐴) → if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) = 0)
6059oveq1d 5890 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑘𝐴) → (if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) + if(𝑘𝐵, 𝐶, 0)) = (0 + if(𝑘𝐵, 𝐶, 0)))
6160adantlr 477 . . . . . 6 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ ¬ 𝑘𝐴) → (if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) + if(𝑘𝐵, 𝐶, 0)) = (0 + if(𝑘𝐵, 𝐶, 0)))
62 elun 3277 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (𝐴𝐵) ↔ (𝑘𝐴𝑘𝐵))
63 biorf 744 . . . . . . . . . 10 𝑘𝐴 → (𝑘𝐵 ↔ (𝑘𝐴𝑘𝐵)))
6462, 63bitr4id 199 . . . . . . . . 9 𝑘𝐴 → (𝑘 ∈ (𝐴𝐵) ↔ 𝑘𝐵))
6564adantl 277 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑘𝐴) → (𝑘 ∈ (𝐴𝐵) ↔ 𝑘𝐵))
6665ifbid 3556 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑘𝐴) → if(𝑘 ∈ (𝐴𝐵), 𝐶, 0) = if(𝑘𝐵, 𝐶, 0))
6766adantlr 477 . . . . . 6 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ ¬ 𝑘𝐴) → if(𝑘 ∈ (𝐴𝐵), 𝐶, 0) = if(𝑘𝐵, 𝐶, 0))
6857, 61, 673eqtr4rd 2221 . . . . 5 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ ¬ 𝑘𝐴) → if(𝑘 ∈ (𝐴𝐵), 𝐶, 0) = (if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) + if(𝑘𝐵, 𝐶, 0)))
69 exmiddc 836 . . . . . 6 (DECID 𝑘𝐴 → (𝑘𝐴 ∨ ¬ 𝑘𝐴))
702, 69syl 14 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝑘𝐴 ∨ ¬ 𝑘𝐴))
7155, 68, 70mpjaodan 798 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → if(𝑘 ∈ (𝐴𝐵), 𝐶, 0) = (if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) + if(𝑘𝐵, 𝐶, 0)))
7271sumeq2dv 11376 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘𝑍 if(𝑘 ∈ (𝐴𝐵), 𝐶, 0) = Σ𝑘𝑍 (if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) + if(𝑘𝐵, 𝐶, 0)))
731unssad 3313 . . . . 5 (𝜑𝐴𝑍)
742ralrimiva 2550 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑘𝑍 DECID 𝑘𝐴)
7524ralrimiva 2550 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑘𝐴 𝐶 ∈ ℂ)
7673, 74, 75, 20isumss2 11401 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐶 = Σ𝑘𝑍 if(𝑘𝐴, 𝐶, 0))
771unssbd 3314 . . . . 5 (𝜑𝐵𝑍)
783ralrimiva 2550 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑘𝑍 DECID 𝑘𝐵)
7930ralrimiva 2550 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑘𝐵 𝐶 ∈ ℂ)
8077, 78, 79, 20isumss2 11401 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑘𝑍 if(𝑘𝐵, 𝐶, 0))
8176, 80oveq12d 5893 . . 3 (𝜑 → (Σ𝑘𝐴 𝐶 + Σ𝑘𝐵 𝐶) = (Σ𝑘𝑍 if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) + Σ𝑘𝑍 if(𝑘𝐵, 𝐶, 0)))
8236, 72, 813eqtr4rd 2221 . 2 (𝜑 → (Σ𝑘𝐴 𝐶 + Σ𝑘𝐵 𝐶) = Σ𝑘𝑍 if(𝑘 ∈ (𝐴𝐵), 𝐶, 0))
8321, 82eqtr4d 2213 1 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝐴𝐵)𝐶 = (Σ𝑘𝐴 𝐶 + Σ𝑘𝐵 𝐶))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 104  wb 105  wo 708  DECID wdc 834  w3a 978   = wceq 1353  wcel 2148  wral 2455  cun 3128  cin 3129  wss 3130  c0 3423  ifcif 3535  dom cdm 4627  cfv 5217  (class class class)co 5875  Fincfn 6740  cc 7809  0cc0 7811   + caddc 7814  cz 9253  cuz 9528  seqcseq 10445  cli 11286  Σcsu 11361
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-mulrcl 7910  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-mulass 7914  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-1rid 7918  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-precex 7921  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927  ax-pre-mulgt0 7928  ax-pre-mulext 7929  ax-arch 7930  ax-caucvg 7931
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-if 3536  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-iord 4367  df-on 4369  df-ilim 4370  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-isom 5226  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-irdg 6371  df-frec 6392  df-1o 6417  df-oadd 6421  df-er 6535  df-en 6741  df-dom 6742  df-fin 6743  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-reap 8532  df-ap 8539  df-div 8630  df-inn 8920  df-2 8978  df-3 8979  df-4 8980  df-n0 9177  df-z 9254  df-uz 9529  df-q 9620  df-rp 9654  df-fz 10009  df-fzo 10143  df-seqfrec 10446  df-exp 10520  df-ihash 10756  df-cj 10851  df-re 10852  df-im 10853  df-rsqrt 11007  df-abs 11008  df-clim 11287  df-sumdc 11362
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator