Theorem sumsplitdc 11424

Description: Split a sum into two parts. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Aug-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
sumsplit.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
sumsplit.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
sumsplit.3	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)
sumsplit.4	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ 𝑍)
sumsplitdc.a	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → DECID 𝑘 ∈ 𝐴)
sumsplitdc.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → DECID 𝑘 ∈ 𝐵)
sumsplit.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))
sumsplit.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0))
sumsplit.7	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)) → 𝐶 ∈ ℂ)
sumsplit.8	⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
sumsplit.9	⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )

Assertion

Ref	Expression
sumsplitdc	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)𝐶 = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 + Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍

Allowed substitution hint:   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem sumsplitdc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumsplit.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ 𝑍)
2		sumsplitdc.a	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → DECID 𝑘 ∈ 𝐴)
3		sumsplitdc.b	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → DECID 𝑘 ∈ 𝐵)
4	2, 3	dcun 3533	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → DECID 𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵))
5	4	ralrimiva 2550	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝑍 DECID 𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵))
6		sumsplit.7	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)) → 𝐶 ∈ ℂ)
7	6	ralrimiva 2550	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)𝐶 ∈ ℂ)
8		sumsplit.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
9		sumsplit.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
10	9	eqimssi 3211	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 ⊆ (ℤ≥‘𝑀)
11	10	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
12	9	eleq2i 2244	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 ↔ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
13	12	biimpri 133	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑘 ∈ 𝑍)
14	13	orcd 733	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑘 ∈ 𝑍 ∨ ¬ 𝑘 ∈ 𝑍))
15		df-dc 835	. . . . . . . 8 ⊢ (DECID 𝑘 ∈ 𝑍 ↔ (𝑘 ∈ 𝑍 ∨ ¬ 𝑘 ∈ 𝑍))
16	14, 15	sylibr 134	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → DECID 𝑘 ∈ 𝑍)
17	16	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → DECID 𝑘 ∈ 𝑍)
18	17	ralrimiva 2550	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑘 ∈ 𝑍)
19	8, 11, 18	3jca 1177	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑘 ∈ 𝑍))
20	19	orcd 733	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑘 ∈ 𝑍) ∨ 𝑍 ∈ Fin))
21	1, 5, 7, 20	isumss2 11385	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝑍 if(𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵), 𝐶, 0))
22		sumsplit.5	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))
23		elun1 3302	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 → 𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵))
24	23, 6	sylan2 286	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
25	24	adantlr 477	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
26		0cnd 7941	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ ¬ 𝑘 ∈ 𝐴) → 0 ∈ ℂ)
27	25, 26, 2	ifcldadc 3563	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) ∈ ℂ)
28		sumsplit.6	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0))
29		elun2 3303	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐵 → 𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵))
30	29, 6	sylan2 286	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)
31	30	adantlr 477	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)
32		0cnd 7941	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ ¬ 𝑘 ∈ 𝐵) → 0 ∈ ℂ)
33	31, 32, 3	ifcldadc 3563	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0) ∈ ℂ)
34		sumsplit.8	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
35		sumsplit.9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
36	9, 8, 22, 27, 28, 33, 34, 35	isumadd 11423	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝑍 (if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) + if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0)) = (Σ𝑘 ∈ 𝑍 if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) + Σ𝑘 ∈ 𝑍 if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0)))
37	24	addid1d 8096	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐶 + 0) = 𝐶)
38		iftrue 3539	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) = 𝐶)
39	38	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) = 𝐶)
40		noel 3426	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ¬ 𝑘 ∈ ∅
41		sumsplit.3	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)
42	41	eleq2d 2247	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) ↔ 𝑘 ∈ ∅))
43		elin 3318	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) ↔ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵))
44	42, 43	bitr3di 195	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ∅ ↔ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵)))
45	40, 44	mtbii 674	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵))
46		imnan 690	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑘 ∈ 𝐵) ↔ ¬ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵))
47	45, 46	sylibr 134	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑘 ∈ 𝐵))
48	47	imp 124	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑘 ∈ 𝐵)
49	48	iffalsed 3544	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0) = 0)
50	39, 49	oveq12d 5887	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) + if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0)) = (𝐶 + 0))
51		iftrue 3539	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) → if(𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵), 𝐶, 0) = 𝐶)
52	23, 51	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 → if(𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵), 𝐶, 0) = 𝐶)
53	52	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → if(𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵), 𝐶, 0) = 𝐶)
54	37, 50, 53	3eqtr4rd 2221	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → if(𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵), 𝐶, 0) = (if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) + if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0)))
55	54	adantlr 477	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → if(𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵), 𝐶, 0) = (if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) + if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0)))
56	33	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ ¬ 𝑘 ∈ 𝐴) → if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0) ∈ ℂ)
57	56	addid2d 8097	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ ¬ 𝑘 ∈ 𝐴) → (0 + if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0)) = if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0))
58		iffalse 3542	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝑘 ∈ 𝐴 → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) = 0)
59	58	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑘 ∈ 𝐴) → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) = 0)
60	59	oveq1d 5884	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑘 ∈ 𝐴) → (if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) + if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0)) = (0 + if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0)))
61	60	adantlr 477	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ ¬ 𝑘 ∈ 𝐴) → (if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) + if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0)) = (0 + if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0)))
62		elun 3276	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↔ (𝑘 ∈ 𝐴 ∨ 𝑘 ∈ 𝐵))
63		biorf 744	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 𝑘 ∈ 𝐴 → (𝑘 ∈ 𝐵 ↔ (𝑘 ∈ 𝐴 ∨ 𝑘 ∈ 𝐵)))
64	62, 63	bitr4id 199	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝑘 ∈ 𝐴 → (𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↔ 𝑘 ∈ 𝐵))
65	64	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↔ 𝑘 ∈ 𝐵))
66	65	ifbid 3555	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑘 ∈ 𝐴) → if(𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵), 𝐶, 0) = if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0))
67	66	adantlr 477	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ ¬ 𝑘 ∈ 𝐴) → if(𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵), 𝐶, 0) = if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0))
68	57, 61, 67	3eqtr4rd 2221	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ ¬ 𝑘 ∈ 𝐴) → if(𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵), 𝐶, 0) = (if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) + if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0)))
69		exmiddc 836	. . . . . 6 ⊢ (DECID 𝑘 ∈ 𝐴 → (𝑘 ∈ 𝐴 ∨ ¬ 𝑘 ∈ 𝐴))
70	2, 69	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝑘 ∈ 𝐴 ∨ ¬ 𝑘 ∈ 𝐴))
71	55, 68, 70	mpjaodan 798	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → if(𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵), 𝐶, 0) = (if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) + if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0)))
72	71	sumeq2dv 11360	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝑍 if(𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵), 𝐶, 0) = Σ𝑘 ∈ 𝑍 (if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) + if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0)))
73	1	unssad 3312	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑍)
74	2	ralrimiva 2550	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝑍 DECID 𝑘 ∈ 𝐴)
75	24	ralrimiva 2550	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ ℂ)
76	73, 74, 75, 20	isumss2 11385	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝑍 if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))
77	1	unssbd 3313	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝑍)
78	3	ralrimiva 2550	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝑍 DECID 𝑘 ∈ 𝐵)
79	30	ralrimiva 2550	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ ℂ)
80	77, 78, 79, 20	isumss2 11385	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝑍 if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0))
81	76, 80	oveq12d 5887	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 + Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶) = (Σ𝑘 ∈ 𝑍 if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) + Σ𝑘 ∈ 𝑍 if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0)))
82	36, 72, 81	3eqtr4rd 2221	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 + Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶) = Σ𝑘 ∈ 𝑍 if(𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵), 𝐶, 0))
83	21, 82	eqtr4d 2213	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)𝐶 = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 + Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 708  DECID wdc 834   ∧ w3a 978   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  ∀wral 2455   ∪ cun 3127   ∩ cin 3128   ⊆ wss 3129  ∅c0 3422  ifcif 3534  dom cdm 4623  ‘cfv 5212  (class class class)co 5869  Fincfn 6734  ℂcc 7800  0cc0 7802   + caddc 7805  ℤcz 9242  ℤ_≥cuz 9517  seqcseq 10431   ⇝ cli 11270  Σcsu 11345

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-mulrcl 7901  ax-addcom 7902  ax-mulcom 7903  ax-addass 7904  ax-mulass 7905  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-1rid 7909  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-precex 7912  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918  ax-pre-mulgt0 7919  ax-pre-mulext 7920  ax-arch 7921  ax-caucvg 7922

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-isom 5221  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-irdg 6365  df-frec 6386  df-1o 6411  df-oadd 6415  df-er 6529  df-en 6735  df-dom 6736  df-fin 6737  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-reap 8522  df-ap 8529  df-div 8619  df-inn 8909  df-2 8967  df-3 8968  df-4 8969  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-q 9609  df-rp 9641  df-fz 9996  df-fzo 10129  df-seqfrec 10432  df-exp 10506  df-ihash 10740  df-cj 10835  df-re 10836  df-im 10837  df-rsqrt 10991  df-abs 10992  df-clim 11271  df-sumdc 11346

This theorem is referenced by: (None)