Theorem sumsplitdc 12177

Description: Split a sum into two parts. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Aug-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
sumsplit.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
sumsplit.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
sumsplit.3	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)
sumsplit.4	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ 𝑍)
sumsplitdc.a	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → DECID 𝑘 ∈ 𝐴)
sumsplitdc.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → DECID 𝑘 ∈ 𝐵)
sumsplit.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))
sumsplit.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0))
sumsplit.7	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)) → 𝐶 ∈ ℂ)
sumsplit.8	⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
sumsplit.9	⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )

Assertion

Ref	Expression
sumsplitdc	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)𝐶 = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 + Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍

Allowed substitution hint:   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem sumsplitdc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumsplit.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ 𝑍)
2		sumsplitdc.a	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → DECID 𝑘 ∈ 𝐴)
3		sumsplitdc.b	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → DECID 𝑘 ∈ 𝐵)
4	2, 3	dcun 3634	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → DECID 𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵))
5	4	ralrimiva 2623	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝑍 DECID 𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵))
6		sumsplit.7	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)) → 𝐶 ∈ ℂ)
7	6	ralrimiva 2623	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)𝐶 ∈ ℂ)
8		sumsplit.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
9		sumsplit.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
10	9	eqimssi 3304	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 ⊆ (ℤ≥‘𝑀)
11	10	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
12	9	eleq2i 2305	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 ↔ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
13	12	biimpri 133	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑘 ∈ 𝑍)
14	13	orcd 745	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑘 ∈ 𝑍 ∨ ¬ 𝑘 ∈ 𝑍))
15		df-dc 847	. . . . . . . 8 ⊢ (DECID 𝑘 ∈ 𝑍 ↔ (𝑘 ∈ 𝑍 ∨ ¬ 𝑘 ∈ 𝑍))
16	14, 15	sylibr 134	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → DECID 𝑘 ∈ 𝑍)
17	16	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → DECID 𝑘 ∈ 𝑍)
18	17	ralrimiva 2623	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑘 ∈ 𝑍)
19	8, 11, 18	3jca 1208	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑘 ∈ 𝑍))
20	19	orcd 745	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)DECID 𝑘 ∈ 𝑍) ∨ 𝑍 ∈ Fin))
21	1, 5, 7, 20	isumss2 12138	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝑍 if(𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵), 𝐶, 0))
22		sumsplit.5	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))
23		elun1 3396	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 → 𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵))
24	23, 6	sylan2 286	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
25	24	adantlr 481	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
26		0cnd 8309	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ ¬ 𝑘 ∈ 𝐴) → 0 ∈ ℂ)
27	25, 26, 2	ifcldadc 3667	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) ∈ ℂ)
28		sumsplit.6	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0))
29		elun2 3397	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐵 → 𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵))
30	29, 6	sylan2 286	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)
31	30	adantlr 481	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)
32		0cnd 8309	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ ¬ 𝑘 ∈ 𝐵) → 0 ∈ ℂ)
33	31, 32, 3	ifcldadc 3667	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0) ∈ ℂ)
34		sumsplit.8	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
35		sumsplit.9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
36	9, 8, 22, 27, 28, 33, 34, 35	isumadd 12176	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝑍 (if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) + if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0)) = (Σ𝑘 ∈ 𝑍 if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) + Σ𝑘 ∈ 𝑍 if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0)))
37	24	addridd 8465	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐶 + 0) = 𝐶)
38		iftrue 3642	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) = 𝐶)
39	38	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) = 𝐶)
40		noel 3525	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ¬ 𝑘 ∈ ∅
41		sumsplit.3	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)
42	41	eleq2d 2308	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) ↔ 𝑘 ∈ ∅))
43		elin 3412	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) ↔ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵))
44	42, 43	bitr3di 195	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ∅ ↔ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵)))
45	40, 44	mtbii 685	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵))
46		imnan 701	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑘 ∈ 𝐵) ↔ ¬ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵))
47	45, 46	sylibr 134	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 → ¬ 𝑘 ∈ 𝐵))
48	47	imp 124	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑘 ∈ 𝐵)
49	48	iffalsed 3647	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0) = 0)
50	39, 49	oveq12d 6093	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) + if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0)) = (𝐶 + 0))
51		iftrue 3642	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) → if(𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵), 𝐶, 0) = 𝐶)
52	23, 51	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 → if(𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵), 𝐶, 0) = 𝐶)
53	52	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → if(𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵), 𝐶, 0) = 𝐶)
54	37, 50, 53	3eqtr4rd 2282	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → if(𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵), 𝐶, 0) = (if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) + if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0)))
55	54	adantlr 481	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → if(𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵), 𝐶, 0) = (if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) + if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0)))
56	33	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ ¬ 𝑘 ∈ 𝐴) → if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0) ∈ ℂ)
57	56	addlidd 8466	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ ¬ 𝑘 ∈ 𝐴) → (0 + if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0)) = if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0))
58		iffalse 3645	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝑘 ∈ 𝐴 → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) = 0)
59	58	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑘 ∈ 𝐴) → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) = 0)
60	59	oveq1d 6090	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑘 ∈ 𝐴) → (if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) + if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0)) = (0 + if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0)))
61	60	adantlr 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ ¬ 𝑘 ∈ 𝐴) → (if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) + if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0)) = (0 + if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0)))
62		elun 3370	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↔ (𝑘 ∈ 𝐴 ∨ 𝑘 ∈ 𝐵))
63		biorf 756	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 𝑘 ∈ 𝐴 → (𝑘 ∈ 𝐵 ↔ (𝑘 ∈ 𝐴 ∨ 𝑘 ∈ 𝐵)))
64	62, 63	bitr4id 199	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝑘 ∈ 𝐴 → (𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↔ 𝑘 ∈ 𝐵))
65	64	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↔ 𝑘 ∈ 𝐵))
66	65	ifbid 3659	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑘 ∈ 𝐴) → if(𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵), 𝐶, 0) = if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0))
67	66	adantlr 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ ¬ 𝑘 ∈ 𝐴) → if(𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵), 𝐶, 0) = if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0))
68	57, 61, 67	3eqtr4rd 2282	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ ¬ 𝑘 ∈ 𝐴) → if(𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵), 𝐶, 0) = (if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) + if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0)))
69		exmiddc 848	. . . . . 6 ⊢ (DECID 𝑘 ∈ 𝐴 → (𝑘 ∈ 𝐴 ∨ ¬ 𝑘 ∈ 𝐴))
70	2, 69	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝑘 ∈ 𝐴 ∨ ¬ 𝑘 ∈ 𝐴))
71	55, 68, 70	mpjaodan 810	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → if(𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵), 𝐶, 0) = (if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) + if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0)))
72	71	sumeq2dv 12112	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝑍 if(𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵), 𝐶, 0) = Σ𝑘 ∈ 𝑍 (if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) + if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0)))
73	1	unssad 3406	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑍)
74	2	ralrimiva 2623	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝑍 DECID 𝑘 ∈ 𝐴)
75	24	ralrimiva 2623	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ ℂ)
76	73, 74, 75, 20	isumss2 12138	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝑍 if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0))
77	1	unssbd 3407	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝑍)
78	3	ralrimiva 2623	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝑍 DECID 𝑘 ∈ 𝐵)
79	30	ralrimiva 2623	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ ℂ)
80	77, 78, 79, 20	isumss2 12138	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝑍 if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0))
81	76, 80	oveq12d 6093	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 + Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶) = (Σ𝑘 ∈ 𝑍 if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) + Σ𝑘 ∈ 𝑍 if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 0)))
82	36, 72, 81	3eqtr4rd 2282	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 + Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶) = Σ𝑘 ∈ 𝑍 if(𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵), 𝐶, 0))
83	21, 82	eqtr4d 2274	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)𝐶 = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 + Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 720  DECID wdc 846   ∧ w3a 1009   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528   ∪ cun 3218   ∩ cin 3219   ⊆ wss 3220  ∅c0 3520  ifcif 3635  dom cdm 4769  ‘cfv 5372  (class class class)co 6075  Fincfn 7012  ℂcc 8167  0cc0 8169   + caddc 8172  ℤcz 9623  ℤ_≥cuz 9900  seqcseq 10862   ⇝ cli 12022  Σcsu 12097

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-mulrcl 8268  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-precex 8279  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285  ax-pre-mulgt0 8286  ax-pre-mulext 8287  ax-arch 8288  ax-caucvg 8289

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-po 4436  df-iso 4437  df-iord 4506  df-on 4508  df-ilim 4509  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-isom 5381  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-irdg 6631  df-frec 6652  df-1o 6677  df-oadd 6681  df-er 6797  df-en 7013  df-dom 7014  df-fin 7015  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-reap 8893  df-ap 8900  df-div 8993  df-inn 9284  df-2 9342  df-3 9343  df-4 9344  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-q 9999  df-rp 10034  df-fz 10391  df-fzo 10528  df-seqfrec 10863  df-exp 10954  df-ihash 11193  df-cj 11585  df-re 11586  df-im 11587  df-rsqrt 11742  df-abs 11743  df-clim 12023  df-sumdc 12098

This theorem is referenced by: (None)