Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  sumsplitdc GIF version

Theorem sumsplitdc 11306
 Description: Split a sum into two parts. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Aug-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
sumsplit.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
sumsplit.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
sumsplit.3 (𝜑 → (𝐴𝐵) = ∅)
sumsplit.4 (𝜑 → (𝐴𝐵) ⊆ 𝑍)
sumsplitdc.a ((𝜑𝑘𝑍) → DECID 𝑘𝐴)
sumsplitdc.b ((𝜑𝑘𝑍) → DECID 𝑘𝐵)
sumsplit.5 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = if(𝑘𝐴, 𝐶, 0))
sumsplit.6 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) = if(𝑘𝐵, 𝐶, 0))
sumsplit.7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴𝐵)) → 𝐶 ∈ ℂ)
sumsplit.8 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
sumsplit.9 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
Assertion
Ref Expression
sumsplitdc (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝐴𝐵)𝐶 = (Σ𝑘𝐴 𝐶 + Σ𝑘𝐵 𝐶))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍
Allowed substitution hint:   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem sumsplitdc
StepHypRef Expression
1 sumsplit.4 . . 3 (𝜑 → (𝐴𝐵) ⊆ 𝑍)
2 sumsplitdc.a . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → DECID 𝑘𝐴)
3 sumsplitdc.b . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → DECID 𝑘𝐵)
42, 3dcun 3500 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → DECID 𝑘 ∈ (𝐴𝐵))
54ralrimiva 2527 . . 3 (𝜑 → ∀𝑘𝑍 DECID 𝑘 ∈ (𝐴𝐵))
6 sumsplit.7 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴𝐵)) → 𝐶 ∈ ℂ)
76ralrimiva 2527 . . 3 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝐴𝐵)𝐶 ∈ ℂ)
8 sumsplit.2 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
9 sumsplit.1 . . . . . . 7 𝑍 = (ℤ𝑀)
109eqimssi 3180 . . . . . 6 𝑍 ⊆ (ℤ𝑀)
1110a1i 9 . . . . 5 (𝜑𝑍 ⊆ (ℤ𝑀))
129eleq2i 2221 . . . . . . . . . 10 (𝑘𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
1312biimpri 132 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑘𝑍)
1413orcd 723 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑘𝑍 ∨ ¬ 𝑘𝑍))
15 df-dc 821 . . . . . . . 8 (DECID 𝑘𝑍 ↔ (𝑘𝑍 ∨ ¬ 𝑘𝑍))
1614, 15sylibr 133 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → DECID 𝑘𝑍)
1716adantl 275 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → DECID 𝑘𝑍)
1817ralrimiva 2527 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑘𝑍)
198, 11, 183jca 1162 . . . 4 (𝜑 → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑘𝑍))
2019orcd 723 . . 3 (𝜑 → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑘𝑍) ∨ 𝑍 ∈ Fin))
211, 5, 7, 20isumss2 11267 . 2 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝐴𝐵)𝐶 = Σ𝑘𝑍 if(𝑘 ∈ (𝐴𝐵), 𝐶, 0))
22 sumsplit.5 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = if(𝑘𝐴, 𝐶, 0))
23 elun1 3270 . . . . . . 7 (𝑘𝐴𝑘 ∈ (𝐴𝐵))
2423, 6sylan2 284 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
2524adantlr 469 . . . . 5 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
26 0cnd 7850 . . . . 5 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ ¬ 𝑘𝐴) → 0 ∈ ℂ)
2725, 26, 2ifcldadc 3530 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) ∈ ℂ)
28 sumsplit.6 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) = if(𝑘𝐵, 𝐶, 0))
29 elun2 3271 . . . . . . 7 (𝑘𝐵𝑘 ∈ (𝐴𝐵))
3029, 6sylan2 284 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)
3130adantlr 469 . . . . 5 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑘𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)
32 0cnd 7850 . . . . 5 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ ¬ 𝑘𝐵) → 0 ∈ ℂ)
3331, 32, 3ifcldadc 3530 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → if(𝑘𝐵, 𝐶, 0) ∈ ℂ)
34 sumsplit.8 . . . 4 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
35 sumsplit.9 . . . 4 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
369, 8, 22, 27, 28, 33, 34, 35isumadd 11305 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘𝑍 (if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) + if(𝑘𝐵, 𝐶, 0)) = (Σ𝑘𝑍 if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) + Σ𝑘𝑍 if(𝑘𝐵, 𝐶, 0)))
3724addid1d 8003 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐶 + 0) = 𝐶)
38 iftrue 3506 . . . . . . . . 9 (𝑘𝐴 → if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) = 𝐶)
3938adantl 275 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐴) → if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) = 𝐶)
40 noel 3394 . . . . . . . . . . . 12 ¬ 𝑘 ∈ ∅
41 sumsplit.3 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐴𝐵) = ∅)
4241eleq2d 2224 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝐴𝐵) ↔ 𝑘 ∈ ∅))
43 elin 3286 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ (𝐴𝐵) ↔ (𝑘𝐴𝑘𝐵))
4442, 43bitr3di 194 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑘 ∈ ∅ ↔ (𝑘𝐴𝑘𝐵)))
4540, 44mtbii 664 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ¬ (𝑘𝐴𝑘𝐵))
46 imnan 680 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘𝐴 → ¬ 𝑘𝐵) ↔ ¬ (𝑘𝐴𝑘𝐵))
4745, 46sylibr 133 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑘𝐴 → ¬ 𝑘𝐵))
4847imp 123 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝐴) → ¬ 𝑘𝐵)
4948iffalsed 3511 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐴) → if(𝑘𝐵, 𝐶, 0) = 0)
5039, 49oveq12d 5832 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → (if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) + if(𝑘𝐵, 𝐶, 0)) = (𝐶 + 0))
51 iftrue 3506 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (𝐴𝐵) → if(𝑘 ∈ (𝐴𝐵), 𝐶, 0) = 𝐶)
5223, 51syl 14 . . . . . . . 8 (𝑘𝐴 → if(𝑘 ∈ (𝐴𝐵), 𝐶, 0) = 𝐶)
5352adantl 275 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → if(𝑘 ∈ (𝐴𝐵), 𝐶, 0) = 𝐶)
5437, 50, 533eqtr4rd 2198 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → if(𝑘 ∈ (𝐴𝐵), 𝐶, 0) = (if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) + if(𝑘𝐵, 𝐶, 0)))
5554adantlr 469 . . . . 5 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑘𝐴) → if(𝑘 ∈ (𝐴𝐵), 𝐶, 0) = (if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) + if(𝑘𝐵, 𝐶, 0)))
5633adantr 274 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ ¬ 𝑘𝐴) → if(𝑘𝐵, 𝐶, 0) ∈ ℂ)
5756addid2d 8004 . . . . . 6 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ ¬ 𝑘𝐴) → (0 + if(𝑘𝐵, 𝐶, 0)) = if(𝑘𝐵, 𝐶, 0))
58 iffalse 3509 . . . . . . . . 9 𝑘𝐴 → if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) = 0)
5958adantl 275 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑘𝐴) → if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) = 0)
6059oveq1d 5829 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑘𝐴) → (if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) + if(𝑘𝐵, 𝐶, 0)) = (0 + if(𝑘𝐵, 𝐶, 0)))
6160adantlr 469 . . . . . 6 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ ¬ 𝑘𝐴) → (if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) + if(𝑘𝐵, 𝐶, 0)) = (0 + if(𝑘𝐵, 𝐶, 0)))
62 elun 3244 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (𝐴𝐵) ↔ (𝑘𝐴𝑘𝐵))
63 biorf 734 . . . . . . . . . 10 𝑘𝐴 → (𝑘𝐵 ↔ (𝑘𝐴𝑘𝐵)))
6462, 63bitr4id 198 . . . . . . . . 9 𝑘𝐴 → (𝑘 ∈ (𝐴𝐵) ↔ 𝑘𝐵))
6564adantl 275 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑘𝐴) → (𝑘 ∈ (𝐴𝐵) ↔ 𝑘𝐵))
6665ifbid 3522 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑘𝐴) → if(𝑘 ∈ (𝐴𝐵), 𝐶, 0) = if(𝑘𝐵, 𝐶, 0))
6766adantlr 469 . . . . . 6 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ ¬ 𝑘𝐴) → if(𝑘 ∈ (𝐴𝐵), 𝐶, 0) = if(𝑘𝐵, 𝐶, 0))
6857, 61, 673eqtr4rd 2198 . . . . 5 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ ¬ 𝑘𝐴) → if(𝑘 ∈ (𝐴𝐵), 𝐶, 0) = (if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) + if(𝑘𝐵, 𝐶, 0)))
69 exmiddc 822 . . . . . 6 (DECID 𝑘𝐴 → (𝑘𝐴 ∨ ¬ 𝑘𝐴))
702, 69syl 14 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝑘𝐴 ∨ ¬ 𝑘𝐴))
7155, 68, 70mpjaodan 788 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → if(𝑘 ∈ (𝐴𝐵), 𝐶, 0) = (if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) + if(𝑘𝐵, 𝐶, 0)))
7271sumeq2dv 11242 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘𝑍 if(𝑘 ∈ (𝐴𝐵), 𝐶, 0) = Σ𝑘𝑍 (if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) + if(𝑘𝐵, 𝐶, 0)))
731unssad 3280 . . . . 5 (𝜑𝐴𝑍)
742ralrimiva 2527 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑘𝑍 DECID 𝑘𝐴)
7524ralrimiva 2527 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑘𝐴 𝐶 ∈ ℂ)
7673, 74, 75, 20isumss2 11267 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐶 = Σ𝑘𝑍 if(𝑘𝐴, 𝐶, 0))
771unssbd 3281 . . . . 5 (𝜑𝐵𝑍)
783ralrimiva 2527 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑘𝑍 DECID 𝑘𝐵)
7930ralrimiva 2527 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑘𝐵 𝐶 ∈ ℂ)
8077, 78, 79, 20isumss2 11267 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑘𝑍 if(𝑘𝐵, 𝐶, 0))
8176, 80oveq12d 5832 . . 3 (𝜑 → (Σ𝑘𝐴 𝐶 + Σ𝑘𝐵 𝐶) = (Σ𝑘𝑍 if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) + Σ𝑘𝑍 if(𝑘𝐵, 𝐶, 0)))
8236, 72, 813eqtr4rd 2198 . 2 (𝜑 → (Σ𝑘𝐴 𝐶 + Σ𝑘𝐵 𝐶) = Σ𝑘𝑍 if(𝑘 ∈ (𝐴𝐵), 𝐶, 0))
8321, 82eqtr4d 2190 1 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝐴𝐵)𝐶 = (Σ𝑘𝐴 𝐶 + Σ𝑘𝐵 𝐶))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ wo 698  DECID wdc 820   ∧ w3a 963   = wceq 1332   ∈ wcel 2125  ∀wral 2432   ∪ cun 3096   ∩ cin 3097   ⊆ wss 3098  ∅c0 3390  ifcif 3501  dom cdm 4579  ‘cfv 5163  (class class class)co 5814  Fincfn 6674  ℂcc 7709  0cc0 7711   + caddc 7714  ℤcz 9146  ℤ≥cuz 9418  seqcseq 10322   ⇝ cli 11152  Σcsu 11227 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1481  ax-10 1482  ax-11 1483  ax-i12 1484  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1503  ax-i9 1507  ax-ial 1511  ax-i5r 1512  ax-13 2127  ax-14 2128  ax-ext 2136  ax-coll 4075  ax-sep 4078  ax-nul 4086  ax-pow 4130  ax-pr 4164  ax-un 4388  ax-setind 4490  ax-iinf 4541  ax-cnex 7802  ax-resscn 7803  ax-1cn 7804  ax-1re 7805  ax-icn 7806  ax-addcl 7807  ax-addrcl 7808  ax-mulcl 7809  ax-mulrcl 7810  ax-addcom 7811  ax-mulcom 7812  ax-addass 7813  ax-mulass 7814  ax-distr 7815  ax-i2m1 7816  ax-0lt1 7817  ax-1rid 7818  ax-0id 7819  ax-rnegex 7820  ax-precex 7821  ax-cnre 7822  ax-pre-ltirr 7823  ax-pre-ltwlin 7824  ax-pre-lttrn 7825  ax-pre-apti 7826  ax-pre-ltadd 7827  ax-pre-mulgt0 7828  ax-pre-mulext 7829  ax-arch 7830  ax-caucvg 7831 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1740  df-eu 2006  df-mo 2007  df-clab 2141  df-cleq 2147  df-clel 2150  df-nfc 2285  df-ne 2325  df-nel 2420  df-ral 2437  df-rex 2438  df-reu 2439  df-rmo 2440  df-rab 2441  df-v 2711  df-sbc 2934  df-csb 3028  df-dif 3100  df-un 3102  df-in 3104  df-ss 3111  df-nul 3391  df-if 3502  df-pw 3541  df-sn 3562  df-pr 3563  df-op 3565  df-uni 3769  df-int 3804  df-iun 3847  df-br 3962  df-opab 4022  df-mpt 4023  df-tr 4059  df-id 4248  df-po 4251  df-iso 4252  df-iord 4321  df-on 4323  df-ilim 4324  df-suc 4326  df-iom 4544  df-xp 4585  df-rel 4586  df-cnv 4587  df-co 4588  df-dm 4589  df-rn 4590  df-res 4591  df-ima 4592  df-iota 5128  df-fun 5165  df-fn 5166  df-f 5167  df-f1 5168  df-fo 5169  df-f1o 5170  df-fv 5171  df-isom 5172  df-riota 5770  df-ov 5817  df-oprab 5818  df-mpo 5819  df-1st 6078  df-2nd 6079  df-recs 6242  df-irdg 6307  df-frec 6328  df-1o 6353  df-oadd 6357  df-er 6469  df-en 6675  df-dom 6676  df-fin 6677  df-pnf 7893  df-mnf 7894  df-xr 7895  df-ltxr 7896  df-le 7897  df-sub 8027  df-neg 8028  df-reap 8429  df-ap 8436  df-div 8525  df-inn 8813  df-2 8871  df-3 8872  df-4 8873  df-n0 9070  df-z 9147  df-uz 9419  df-q 9507  df-rp 9539  df-fz 9891  df-fzo 10020  df-seqfrec 10323  df-exp 10397  df-ihash 10627  df-cj 10719  df-re 10720  df-im 10721  df-rsqrt 10875  df-abs 10876  df-clim 11153  df-sumdc 11228 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator