ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  sumsplitdc GIF version

Theorem sumsplitdc 11152
Description: Split a sum into two parts. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Aug-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
sumsplit.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
sumsplit.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
sumsplit.3 (𝜑 → (𝐴𝐵) = ∅)
sumsplit.4 (𝜑 → (𝐴𝐵) ⊆ 𝑍)
sumsplitdc.a ((𝜑𝑘𝑍) → DECID 𝑘𝐴)
sumsplitdc.b ((𝜑𝑘𝑍) → DECID 𝑘𝐵)
sumsplit.5 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = if(𝑘𝐴, 𝐶, 0))
sumsplit.6 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) = if(𝑘𝐵, 𝐶, 0))
sumsplit.7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴𝐵)) → 𝐶 ∈ ℂ)
sumsplit.8 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
sumsplit.9 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
Assertion
Ref Expression
sumsplitdc (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝐴𝐵)𝐶 = (Σ𝑘𝐴 𝐶 + Σ𝑘𝐵 𝐶))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍
Allowed substitution hint:   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem sumsplitdc
StepHypRef Expression
1 sumsplit.4 . . 3 (𝜑 → (𝐴𝐵) ⊆ 𝑍)
2 sumsplitdc.a . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → DECID 𝑘𝐴)
3 sumsplitdc.b . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → DECID 𝑘𝐵)
42, 3dcun 3441 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → DECID 𝑘 ∈ (𝐴𝐵))
54ralrimiva 2480 . . 3 (𝜑 → ∀𝑘𝑍 DECID 𝑘 ∈ (𝐴𝐵))
6 sumsplit.7 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴𝐵)) → 𝐶 ∈ ℂ)
76ralrimiva 2480 . . 3 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝐴𝐵)𝐶 ∈ ℂ)
8 sumsplit.2 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
9 sumsplit.1 . . . . . . 7 𝑍 = (ℤ𝑀)
109eqimssi 3121 . . . . . 6 𝑍 ⊆ (ℤ𝑀)
1110a1i 9 . . . . 5 (𝜑𝑍 ⊆ (ℤ𝑀))
129eleq2i 2182 . . . . . . . . . 10 (𝑘𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
1312biimpri 132 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑘𝑍)
1413orcd 705 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑘𝑍 ∨ ¬ 𝑘𝑍))
15 df-dc 803 . . . . . . . 8 (DECID 𝑘𝑍 ↔ (𝑘𝑍 ∨ ¬ 𝑘𝑍))
1614, 15sylibr 133 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → DECID 𝑘𝑍)
1716adantl 273 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → DECID 𝑘𝑍)
1817ralrimiva 2480 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑘𝑍)
198, 11, 183jca 1144 . . . 4 (𝜑 → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑘𝑍))
2019orcd 705 . . 3 (𝜑 → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑘𝑍) ∨ 𝑍 ∈ Fin))
211, 5, 7, 20isumss2 11113 . 2 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝐴𝐵)𝐶 = Σ𝑘𝑍 if(𝑘 ∈ (𝐴𝐵), 𝐶, 0))
22 sumsplit.5 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = if(𝑘𝐴, 𝐶, 0))
23 elun1 3211 . . . . . . 7 (𝑘𝐴𝑘 ∈ (𝐴𝐵))
2423, 6sylan2 282 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
2524adantlr 466 . . . . 5 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
26 0cnd 7723 . . . . 5 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ ¬ 𝑘𝐴) → 0 ∈ ℂ)
2725, 26, 2ifcldadc 3469 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) ∈ ℂ)
28 sumsplit.6 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) = if(𝑘𝐵, 𝐶, 0))
29 elun2 3212 . . . . . . 7 (𝑘𝐵𝑘 ∈ (𝐴𝐵))
3029, 6sylan2 282 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)
3130adantlr 466 . . . . 5 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑘𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)
32 0cnd 7723 . . . . 5 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ ¬ 𝑘𝐵) → 0 ∈ ℂ)
3331, 32, 3ifcldadc 3469 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → if(𝑘𝐵, 𝐶, 0) ∈ ℂ)
34 sumsplit.8 . . . 4 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
35 sumsplit.9 . . . 4 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
369, 8, 22, 27, 28, 33, 34, 35isumadd 11151 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘𝑍 (if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) + if(𝑘𝐵, 𝐶, 0)) = (Σ𝑘𝑍 if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) + Σ𝑘𝑍 if(𝑘𝐵, 𝐶, 0)))
3724addid1d 7875 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐶 + 0) = 𝐶)
38 iftrue 3447 . . . . . . . . 9 (𝑘𝐴 → if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) = 𝐶)
3938adantl 273 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐴) → if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) = 𝐶)
40 noel 3335 . . . . . . . . . . . 12 ¬ 𝑘 ∈ ∅
41 elin 3227 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ (𝐴𝐵) ↔ (𝑘𝐴𝑘𝐵))
42 sumsplit.3 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐴𝐵) = ∅)
4342eleq2d 2185 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝐴𝐵) ↔ 𝑘 ∈ ∅))
4441, 43syl5rbbr 194 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑘 ∈ ∅ ↔ (𝑘𝐴𝑘𝐵)))
4540, 44mtbii 646 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ¬ (𝑘𝐴𝑘𝐵))
46 imnan 662 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘𝐴 → ¬ 𝑘𝐵) ↔ ¬ (𝑘𝐴𝑘𝐵))
4745, 46sylibr 133 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑘𝐴 → ¬ 𝑘𝐵))
4847imp 123 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝐴) → ¬ 𝑘𝐵)
4948iffalsed 3452 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐴) → if(𝑘𝐵, 𝐶, 0) = 0)
5039, 49oveq12d 5758 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → (if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) + if(𝑘𝐵, 𝐶, 0)) = (𝐶 + 0))
51 iftrue 3447 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (𝐴𝐵) → if(𝑘 ∈ (𝐴𝐵), 𝐶, 0) = 𝐶)
5223, 51syl 14 . . . . . . . 8 (𝑘𝐴 → if(𝑘 ∈ (𝐴𝐵), 𝐶, 0) = 𝐶)
5352adantl 273 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → if(𝑘 ∈ (𝐴𝐵), 𝐶, 0) = 𝐶)
5437, 50, 533eqtr4rd 2159 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → if(𝑘 ∈ (𝐴𝐵), 𝐶, 0) = (if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) + if(𝑘𝐵, 𝐶, 0)))
5554adantlr 466 . . . . 5 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑘𝐴) → if(𝑘 ∈ (𝐴𝐵), 𝐶, 0) = (if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) + if(𝑘𝐵, 𝐶, 0)))
5633adantr 272 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ ¬ 𝑘𝐴) → if(𝑘𝐵, 𝐶, 0) ∈ ℂ)
5756addid2d 7876 . . . . . 6 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ ¬ 𝑘𝐴) → (0 + if(𝑘𝐵, 𝐶, 0)) = if(𝑘𝐵, 𝐶, 0))
58 iffalse 3450 . . . . . . . . 9 𝑘𝐴 → if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) = 0)
5958adantl 273 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑘𝐴) → if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) = 0)
6059oveq1d 5755 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑘𝐴) → (if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) + if(𝑘𝐵, 𝐶, 0)) = (0 + if(𝑘𝐵, 𝐶, 0)))
6160adantlr 466 . . . . . 6 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ ¬ 𝑘𝐴) → (if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) + if(𝑘𝐵, 𝐶, 0)) = (0 + if(𝑘𝐵, 𝐶, 0)))
62 biorf 716 . . . . . . . . . 10 𝑘𝐴 → (𝑘𝐵 ↔ (𝑘𝐴𝑘𝐵)))
63 elun 3185 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (𝐴𝐵) ↔ (𝑘𝐴𝑘𝐵))
6462, 63syl6rbbr 198 . . . . . . . . 9 𝑘𝐴 → (𝑘 ∈ (𝐴𝐵) ↔ 𝑘𝐵))
6564adantl 273 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑘𝐴) → (𝑘 ∈ (𝐴𝐵) ↔ 𝑘𝐵))
6665ifbid 3461 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑘𝐴) → if(𝑘 ∈ (𝐴𝐵), 𝐶, 0) = if(𝑘𝐵, 𝐶, 0))
6766adantlr 466 . . . . . 6 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ ¬ 𝑘𝐴) → if(𝑘 ∈ (𝐴𝐵), 𝐶, 0) = if(𝑘𝐵, 𝐶, 0))
6857, 61, 673eqtr4rd 2159 . . . . 5 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ ¬ 𝑘𝐴) → if(𝑘 ∈ (𝐴𝐵), 𝐶, 0) = (if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) + if(𝑘𝐵, 𝐶, 0)))
69 exmiddc 804 . . . . . 6 (DECID 𝑘𝐴 → (𝑘𝐴 ∨ ¬ 𝑘𝐴))
702, 69syl 14 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝑘𝐴 ∨ ¬ 𝑘𝐴))
7155, 68, 70mpjaodan 770 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → if(𝑘 ∈ (𝐴𝐵), 𝐶, 0) = (if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) + if(𝑘𝐵, 𝐶, 0)))
7271sumeq2dv 11088 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘𝑍 if(𝑘 ∈ (𝐴𝐵), 𝐶, 0) = Σ𝑘𝑍 (if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) + if(𝑘𝐵, 𝐶, 0)))
731unssad 3221 . . . . 5 (𝜑𝐴𝑍)
742ralrimiva 2480 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑘𝑍 DECID 𝑘𝐴)
7524ralrimiva 2480 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑘𝐴 𝐶 ∈ ℂ)
7673, 74, 75, 20isumss2 11113 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐶 = Σ𝑘𝑍 if(𝑘𝐴, 𝐶, 0))
771unssbd 3222 . . . . 5 (𝜑𝐵𝑍)
783ralrimiva 2480 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑘𝑍 DECID 𝑘𝐵)
7930ralrimiva 2480 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑘𝐵 𝐶 ∈ ℂ)
8077, 78, 79, 20isumss2 11113 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑘𝑍 if(𝑘𝐵, 𝐶, 0))
8176, 80oveq12d 5758 . . 3 (𝜑 → (Σ𝑘𝐴 𝐶 + Σ𝑘𝐵 𝐶) = (Σ𝑘𝑍 if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) + Σ𝑘𝑍 if(𝑘𝐵, 𝐶, 0)))
8236, 72, 813eqtr4rd 2159 . 2 (𝜑 → (Σ𝑘𝐴 𝐶 + Σ𝑘𝐵 𝐶) = Σ𝑘𝑍 if(𝑘 ∈ (𝐴𝐵), 𝐶, 0))
8321, 82eqtr4d 2151 1 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝐴𝐵)𝐶 = (Σ𝑘𝐴 𝐶 + Σ𝑘𝐵 𝐶))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wb 104  wo 680  DECID wdc 802  w3a 945   = wceq 1314  wcel 1463  wral 2391  cun 3037  cin 3038  wss 3039  c0 3331  ifcif 3442  dom cdm 4507  cfv 5091  (class class class)co 5740  Fincfn 6600  cc 7582  0cc0 7584   + caddc 7587  cz 9008  cuz 9278  seqcseq 10169  cli 10998  Σcsu 11073
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4011  ax-sep 4014  ax-nul 4022  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-iinf 4470  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1cn 7677  ax-1re 7678  ax-icn 7679  ax-addcl 7680  ax-addrcl 7681  ax-mulcl 7682  ax-mulrcl 7683  ax-addcom 7684  ax-mulcom 7685  ax-addass 7686  ax-mulass 7687  ax-distr 7688  ax-i2m1 7689  ax-0lt1 7690  ax-1rid 7691  ax-0id 7692  ax-rnegex 7693  ax-precex 7694  ax-cnre 7695  ax-pre-ltirr 7696  ax-pre-ltwlin 7697  ax-pre-lttrn 7698  ax-pre-apti 7699  ax-pre-ltadd 7700  ax-pre-mulgt0 7701  ax-pre-mulext 7702  ax-arch 7703  ax-caucvg 7704
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rmo 2399  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-nul 3332  df-if 3443  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-iun 3783  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-tr 3995  df-id 4183  df-po 4186  df-iso 4187  df-iord 4256  df-on 4258  df-ilim 4259  df-suc 4261  df-iom 4473  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-fv 5099  df-isom 5100  df-riota 5696  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-1st 6004  df-2nd 6005  df-recs 6168  df-irdg 6233  df-frec 6254  df-1o 6279  df-oadd 6283  df-er 6395  df-en 6601  df-dom 6602  df-fin 6603  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-ltxr 7769  df-le 7770  df-sub 7899  df-neg 7900  df-reap 8300  df-ap 8307  df-div 8396  df-inn 8681  df-2 8739  df-3 8740  df-4 8741  df-n0 8932  df-z 9009  df-uz 9279  df-q 9364  df-rp 9394  df-fz 9742  df-fzo 9871  df-seqfrec 10170  df-exp 10244  df-ihash 10473  df-cj 10565  df-re 10566  df-im 10567  df-rsqrt 10721  df-abs 10722  df-clim 10999  df-sumdc 11074
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator