ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  sumsplitdc GIF version

Theorem sumsplitdc 11472
Description: Split a sum into two parts. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Aug-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
sumsplit.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
sumsplit.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
sumsplit.3 (𝜑 → (𝐴𝐵) = ∅)
sumsplit.4 (𝜑 → (𝐴𝐵) ⊆ 𝑍)
sumsplitdc.a ((𝜑𝑘𝑍) → DECID 𝑘𝐴)
sumsplitdc.b ((𝜑𝑘𝑍) → DECID 𝑘𝐵)
sumsplit.5 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = if(𝑘𝐴, 𝐶, 0))
sumsplit.6 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) = if(𝑘𝐵, 𝐶, 0))
sumsplit.7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴𝐵)) → 𝐶 ∈ ℂ)
sumsplit.8 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
sumsplit.9 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
Assertion
Ref Expression
sumsplitdc (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝐴𝐵)𝐶 = (Σ𝑘𝐴 𝐶 + Σ𝑘𝐵 𝐶))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍
Allowed substitution hint:   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem sumsplitdc
StepHypRef Expression
1 sumsplit.4 . . 3 (𝜑 → (𝐴𝐵) ⊆ 𝑍)
2 sumsplitdc.a . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → DECID 𝑘𝐴)
3 sumsplitdc.b . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → DECID 𝑘𝐵)
42, 3dcun 3548 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → DECID 𝑘 ∈ (𝐴𝐵))
54ralrimiva 2563 . . 3 (𝜑 → ∀𝑘𝑍 DECID 𝑘 ∈ (𝐴𝐵))
6 sumsplit.7 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴𝐵)) → 𝐶 ∈ ℂ)
76ralrimiva 2563 . . 3 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝐴𝐵)𝐶 ∈ ℂ)
8 sumsplit.2 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
9 sumsplit.1 . . . . . . 7 𝑍 = (ℤ𝑀)
109eqimssi 3226 . . . . . 6 𝑍 ⊆ (ℤ𝑀)
1110a1i 9 . . . . 5 (𝜑𝑍 ⊆ (ℤ𝑀))
129eleq2i 2256 . . . . . . . . . 10 (𝑘𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
1312biimpri 133 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑘𝑍)
1413orcd 734 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑘𝑍 ∨ ¬ 𝑘𝑍))
15 df-dc 836 . . . . . . . 8 (DECID 𝑘𝑍 ↔ (𝑘𝑍 ∨ ¬ 𝑘𝑍))
1614, 15sylibr 134 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → DECID 𝑘𝑍)
1716adantl 277 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → DECID 𝑘𝑍)
1817ralrimiva 2563 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑘𝑍)
198, 11, 183jca 1179 . . . 4 (𝜑 → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑘𝑍))
2019orcd 734 . . 3 (𝜑 → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑀)DECID 𝑘𝑍) ∨ 𝑍 ∈ Fin))
211, 5, 7, 20isumss2 11433 . 2 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝐴𝐵)𝐶 = Σ𝑘𝑍 if(𝑘 ∈ (𝐴𝐵), 𝐶, 0))
22 sumsplit.5 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = if(𝑘𝐴, 𝐶, 0))
23 elun1 3317 . . . . . . 7 (𝑘𝐴𝑘 ∈ (𝐴𝐵))
2423, 6sylan2 286 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
2524adantlr 477 . . . . 5 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
26 0cnd 7980 . . . . 5 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ ¬ 𝑘𝐴) → 0 ∈ ℂ)
2725, 26, 2ifcldadc 3578 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) ∈ ℂ)
28 sumsplit.6 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) = if(𝑘𝐵, 𝐶, 0))
29 elun2 3318 . . . . . . 7 (𝑘𝐵𝑘 ∈ (𝐴𝐵))
3029, 6sylan2 286 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)
3130adantlr 477 . . . . 5 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑘𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)
32 0cnd 7980 . . . . 5 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ ¬ 𝑘𝐵) → 0 ∈ ℂ)
3331, 32, 3ifcldadc 3578 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → if(𝑘𝐵, 𝐶, 0) ∈ ℂ)
34 sumsplit.8 . . . 4 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
35 sumsplit.9 . . . 4 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
369, 8, 22, 27, 28, 33, 34, 35isumadd 11471 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘𝑍 (if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) + if(𝑘𝐵, 𝐶, 0)) = (Σ𝑘𝑍 if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) + Σ𝑘𝑍 if(𝑘𝐵, 𝐶, 0)))
3724addridd 8136 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐶 + 0) = 𝐶)
38 iftrue 3554 . . . . . . . . 9 (𝑘𝐴 → if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) = 𝐶)
3938adantl 277 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐴) → if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) = 𝐶)
40 noel 3441 . . . . . . . . . . . 12 ¬ 𝑘 ∈ ∅
41 sumsplit.3 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐴𝐵) = ∅)
4241eleq2d 2259 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝐴𝐵) ↔ 𝑘 ∈ ∅))
43 elin 3333 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ (𝐴𝐵) ↔ (𝑘𝐴𝑘𝐵))
4442, 43bitr3di 195 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑘 ∈ ∅ ↔ (𝑘𝐴𝑘𝐵)))
4540, 44mtbii 675 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ¬ (𝑘𝐴𝑘𝐵))
46 imnan 691 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘𝐴 → ¬ 𝑘𝐵) ↔ ¬ (𝑘𝐴𝑘𝐵))
4745, 46sylibr 134 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑘𝐴 → ¬ 𝑘𝐵))
4847imp 124 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝐴) → ¬ 𝑘𝐵)
4948iffalsed 3559 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐴) → if(𝑘𝐵, 𝐶, 0) = 0)
5039, 49oveq12d 5914 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → (if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) + if(𝑘𝐵, 𝐶, 0)) = (𝐶 + 0))
51 iftrue 3554 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (𝐴𝐵) → if(𝑘 ∈ (𝐴𝐵), 𝐶, 0) = 𝐶)
5223, 51syl 14 . . . . . . . 8 (𝑘𝐴 → if(𝑘 ∈ (𝐴𝐵), 𝐶, 0) = 𝐶)
5352adantl 277 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → if(𝑘 ∈ (𝐴𝐵), 𝐶, 0) = 𝐶)
5437, 50, 533eqtr4rd 2233 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → if(𝑘 ∈ (𝐴𝐵), 𝐶, 0) = (if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) + if(𝑘𝐵, 𝐶, 0)))
5554adantlr 477 . . . . 5 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑘𝐴) → if(𝑘 ∈ (𝐴𝐵), 𝐶, 0) = (if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) + if(𝑘𝐵, 𝐶, 0)))
5633adantr 276 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ ¬ 𝑘𝐴) → if(𝑘𝐵, 𝐶, 0) ∈ ℂ)
5756addlidd 8137 . . . . . 6 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ ¬ 𝑘𝐴) → (0 + if(𝑘𝐵, 𝐶, 0)) = if(𝑘𝐵, 𝐶, 0))
58 iffalse 3557 . . . . . . . . 9 𝑘𝐴 → if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) = 0)
5958adantl 277 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑘𝐴) → if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) = 0)
6059oveq1d 5911 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑘𝐴) → (if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) + if(𝑘𝐵, 𝐶, 0)) = (0 + if(𝑘𝐵, 𝐶, 0)))
6160adantlr 477 . . . . . 6 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ ¬ 𝑘𝐴) → (if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) + if(𝑘𝐵, 𝐶, 0)) = (0 + if(𝑘𝐵, 𝐶, 0)))
62 elun 3291 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (𝐴𝐵) ↔ (𝑘𝐴𝑘𝐵))
63 biorf 745 . . . . . . . . . 10 𝑘𝐴 → (𝑘𝐵 ↔ (𝑘𝐴𝑘𝐵)))
6462, 63bitr4id 199 . . . . . . . . 9 𝑘𝐴 → (𝑘 ∈ (𝐴𝐵) ↔ 𝑘𝐵))
6564adantl 277 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑘𝐴) → (𝑘 ∈ (𝐴𝐵) ↔ 𝑘𝐵))
6665ifbid 3570 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑘𝐴) → if(𝑘 ∈ (𝐴𝐵), 𝐶, 0) = if(𝑘𝐵, 𝐶, 0))
6766adantlr 477 . . . . . 6 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ ¬ 𝑘𝐴) → if(𝑘 ∈ (𝐴𝐵), 𝐶, 0) = if(𝑘𝐵, 𝐶, 0))
6857, 61, 673eqtr4rd 2233 . . . . 5 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ ¬ 𝑘𝐴) → if(𝑘 ∈ (𝐴𝐵), 𝐶, 0) = (if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) + if(𝑘𝐵, 𝐶, 0)))
69 exmiddc 837 . . . . . 6 (DECID 𝑘𝐴 → (𝑘𝐴 ∨ ¬ 𝑘𝐴))
702, 69syl 14 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝑘𝐴 ∨ ¬ 𝑘𝐴))
7155, 68, 70mpjaodan 799 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → if(𝑘 ∈ (𝐴𝐵), 𝐶, 0) = (if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) + if(𝑘𝐵, 𝐶, 0)))
7271sumeq2dv 11408 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘𝑍 if(𝑘 ∈ (𝐴𝐵), 𝐶, 0) = Σ𝑘𝑍 (if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) + if(𝑘𝐵, 𝐶, 0)))
731unssad 3327 . . . . 5 (𝜑𝐴𝑍)
742ralrimiva 2563 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑘𝑍 DECID 𝑘𝐴)
7524ralrimiva 2563 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑘𝐴 𝐶 ∈ ℂ)
7673, 74, 75, 20isumss2 11433 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐶 = Σ𝑘𝑍 if(𝑘𝐴, 𝐶, 0))
771unssbd 3328 . . . . 5 (𝜑𝐵𝑍)
783ralrimiva 2563 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑘𝑍 DECID 𝑘𝐵)
7930ralrimiva 2563 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑘𝐵 𝐶 ∈ ℂ)
8077, 78, 79, 20isumss2 11433 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑘𝑍 if(𝑘𝐵, 𝐶, 0))
8176, 80oveq12d 5914 . . 3 (𝜑 → (Σ𝑘𝐴 𝐶 + Σ𝑘𝐵 𝐶) = (Σ𝑘𝑍 if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) + Σ𝑘𝑍 if(𝑘𝐵, 𝐶, 0)))
8236, 72, 813eqtr4rd 2233 . 2 (𝜑 → (Σ𝑘𝐴 𝐶 + Σ𝑘𝐵 𝐶) = Σ𝑘𝑍 if(𝑘 ∈ (𝐴𝐵), 𝐶, 0))
8321, 82eqtr4d 2225 1 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝐴𝐵)𝐶 = (Σ𝑘𝐴 𝐶 + Σ𝑘𝐵 𝐶))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 104  wb 105  wo 709  DECID wdc 835  w3a 980   = wceq 1364  wcel 2160  wral 2468  cun 3142  cin 3143  wss 3144  c0 3437  ifcif 3549  dom cdm 4644  cfv 5235  (class class class)co 5896  Fincfn 6766  cc 7839  0cc0 7841   + caddc 7844  cz 9283  cuz 9558  seqcseq 10476  cli 11318  Σcsu 11393
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605  ax-cnex 7932  ax-resscn 7933  ax-1cn 7934  ax-1re 7935  ax-icn 7936  ax-addcl 7937  ax-addrcl 7938  ax-mulcl 7939  ax-mulrcl 7940  ax-addcom 7941  ax-mulcom 7942  ax-addass 7943  ax-mulass 7944  ax-distr 7945  ax-i2m1 7946  ax-0lt1 7947  ax-1rid 7948  ax-0id 7949  ax-rnegex 7950  ax-precex 7951  ax-cnre 7952  ax-pre-ltirr 7953  ax-pre-ltwlin 7954  ax-pre-lttrn 7955  ax-pre-apti 7956  ax-pre-ltadd 7957  ax-pre-mulgt0 7958  ax-pre-mulext 7959  ax-arch 7960  ax-caucvg 7961
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-iord 4384  df-on 4386  df-ilim 4387  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-isom 5244  df-riota 5852  df-ov 5899  df-oprab 5900  df-mpo 5901  df-1st 6165  df-2nd 6166  df-recs 6330  df-irdg 6395  df-frec 6416  df-1o 6441  df-oadd 6445  df-er 6559  df-en 6767  df-dom 6768  df-fin 6769  df-pnf 8024  df-mnf 8025  df-xr 8026  df-ltxr 8027  df-le 8028  df-sub 8160  df-neg 8161  df-reap 8562  df-ap 8569  df-div 8660  df-inn 8950  df-2 9008  df-3 9009  df-4 9010  df-n0 9207  df-z 9284  df-uz 9559  df-q 9650  df-rp 9684  df-fz 10039  df-fzo 10173  df-seqfrec 10477  df-exp 10551  df-ihash 10788  df-cj 10883  df-re 10884  df-im 10885  df-rsqrt 11039  df-abs 11040  df-clim 11319  df-sumdc 11394
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator