Theorem lep1 9121

Description: A number is less than or equal to itself plus 1. (Contributed by NM, 5-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
lep1	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≤ (𝐴 + 1))

Proof of Theorem lep1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltp1 9120	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 < (𝐴 + 1))
2		peano2re 8411	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
3		ltle 8363	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℝ) → (𝐴 < (𝐴 + 1) → 𝐴 ≤ (𝐴 + 1)))
4	2, 3	mpdan 421	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < (𝐴 + 1) → 𝐴 ≤ (𝐴 + 1)))
5	1, 4	mpd 13	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≤ (𝐴 + 1))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2205   class class class wbr 4111  (class class class)co 6052  ℝcr 8128  1c1 8130   + caddc 8132   < clt 8310   ≤ cle 8311

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-cnex 8220  ax-resscn 8221  ax-1cn 8222  ax-1re 8223  ax-icn 8224  ax-addcl 8225  ax-addrcl 8226  ax-mulcl 8227  ax-addcom 8229  ax-addass 8231  ax-i2m1 8234  ax-0lt1 8235  ax-0id 8237  ax-rnegex 8238  ax-pre-ltirr 8241  ax-pre-lttrn 8243  ax-pre-ltadd 8245

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-br 4112  df-opab 4174  df-xp 4757  df-cnv 4759  df-iota 5314  df-fv 5362  df-ov 6055  df-pnf 8312  df-mnf 8313  df-xr 8314  df-ltxr 8315  df-le 8316

This theorem is referenced by:  p1le  9125  lep1d  9207  peano2uz2  9688