ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  lmfss GIF version

Theorem lmfss 13606
Description: Inclusion of a function having a limit (used to ensure the limit relation is a set, under our definition). (Contributed by NM, 7-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.)
Assertion
Ref Expression
lmfss ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃) β†’ 𝐹 βŠ† (β„‚ Γ— 𝑋))

Proof of Theorem lmfss
StepHypRef Expression
1 lmfpm 13605 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃) β†’ 𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚))
2 toponmax 13385 . . . . 5 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 ∈ 𝐽)
3 cnex 7931 . . . . 5 β„‚ ∈ V
4 elpmg 6660 . . . . 5 ((𝑋 ∈ 𝐽 ∧ β„‚ ∈ V) β†’ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚) ↔ (Fun 𝐹 ∧ 𝐹 βŠ† (β„‚ Γ— 𝑋))))
52, 3, 4sylancl 413 . . . 4 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚) ↔ (Fun 𝐹 ∧ 𝐹 βŠ† (β„‚ Γ— 𝑋))))
65adantr 276 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃) β†’ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚) ↔ (Fun 𝐹 ∧ 𝐹 βŠ† (β„‚ Γ— 𝑋))))
71, 6mpbid 147 . 2 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃) β†’ (Fun 𝐹 ∧ 𝐹 βŠ† (β„‚ Γ— 𝑋)))
87simprd 114 1 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃) β†’ 𝐹 βŠ† (β„‚ Γ— 𝑋))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2148  Vcvv 2737   βŠ† wss 3129   class class class wbr 4002   Γ— cxp 4623  Fun wfun 5208  β€˜cfv 5214  (class class class)co 5871   ↑pm cpm 6645  β„‚cc 7805  TopOnctopon 13370  β‡π‘‘clm 13549
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4120  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-setind 4535  ax-cnex 7898
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-iun 3888  df-br 4003  df-opab 4064  df-mpt 4065  df-id 4292  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-rn 4636  df-res 4637  df-ima 4638  df-iota 5176  df-fun 5216  df-fn 5217  df-f 5218  df-fv 5222  df-ov 5874  df-oprab 5875  df-mpo 5876  df-1st 6137  df-2nd 6138  df-pm 6647  df-top 13358  df-topon 13371  df-lm 13552
This theorem is referenced by:  lmss  13608
  Copyright terms: Public domain W3C validator