ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  lmodsubdi GIF version
Theorem lmodsubdi 13497
Description: Scalar multiplication distributive law for subtraction. (Contributed by NM, 2-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lmodsubdi.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lmodsubdi.t Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
lmodsubdi.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
lmodsubdi.k 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
lmodsubdi.m βˆ’ = (-gβ€˜π‘Š)
lmodsubdi.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
lmodsubdi.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝐾)
lmodsubdi.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
lmodsubdi.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
Assertion
Ref Expression
lmodsubdi (πœ‘ β†’ (𝐴 Β· (𝑋 βˆ’ π‘Œ)) = ((𝐴 Β· 𝑋) βˆ’ (𝐴 Β· π‘Œ)))
Proof of Theorem lmodsubdi
StepHypRef Expression
1 lmodsubdi.w . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
2 lmodsubdi.x . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
3 lmodsubdi.y . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
4 lmodsubdi.v . . . . 5 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
5 eqid 2187 . . . . 5 (+gβ€˜π‘Š) = (+gβ€˜π‘Š)
6 lmodsubdi.m . . . . 5 βˆ’ = (-gβ€˜π‘Š)
7 lmodsubdi.f . . . . 5 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
8 lmodsubdi.t . . . . 5 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
9 eqid 2187 . . . . 5 (invgβ€˜πΉ) = (invgβ€˜πΉ)
10 eqid 2187 . . . . 5 (1rβ€˜πΉ) = (1rβ€˜πΉ)
114, 5, 6, 7, 8, 9, 10lmodvsubval2 13495 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (𝑋 βˆ’ π‘Œ) = (𝑋(+gβ€˜π‘Š)(((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) Β· π‘Œ)))
121, 2, 3, 11syl3anc 1248 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑋 βˆ’ π‘Œ) = (𝑋(+gβ€˜π‘Š)(((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) Β· π‘Œ)))
1312oveq2d 5904 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐴 Β· (𝑋 βˆ’ π‘Œ)) = (𝐴 Β· (𝑋(+gβ€˜π‘Š)(((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) Β· π‘Œ))))
14 lmodsubdi.k . . . . . . . 8 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
15 eqid 2187 . . . . . . . 8 (.rβ€˜πΉ) = (.rβ€˜πΉ)
167lmodring 13448 . . . . . . . . 9 (π‘Š ∈ LMod β†’ 𝐹 ∈ Ring)
171, 16syl 14 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ Ring)
18 lmodsubdi.a . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝐾)
1914, 15, 10, 9, 17, 18ringnegr 13287 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐴(.rβ€˜πΉ)((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ))) = ((invgβ€˜πΉ)β€˜π΄))
2014, 15, 10, 9, 17, 18ringnegl 13286 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ))(.rβ€˜πΉ)𝐴) = ((invgβ€˜πΉ)β€˜π΄))
2119, 20eqtr4d 2223 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐴(.rβ€˜πΉ)((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ))) = (((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ))(.rβ€˜πΉ)𝐴))
2221oveq1d 5903 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐴(.rβ€˜πΉ)((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ))) Β· π‘Œ) = ((((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ))(.rβ€˜πΉ)𝐴) Β· π‘Œ))
23 ringgrp 13238 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ Ring β†’ 𝐹 ∈ Grp)
2417, 23syl 14 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ Grp)
2514, 10ringidcl 13257 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ Ring β†’ (1rβ€˜πΉ) ∈ 𝐾)
2617, 25syl 14 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜πΉ) ∈ 𝐾)
2714, 9grpinvcl 12942 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ Grp ∧ (1rβ€˜πΉ) ∈ 𝐾) β†’ ((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) ∈ 𝐾)
2824, 26, 27syl2anc 411 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) ∈ 𝐾)
294, 7, 8, 14, 15lmodvsass 13466 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ ((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ ((𝐴(.rβ€˜πΉ)((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ))) Β· π‘Œ) = (𝐴 Β· (((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) Β· π‘Œ)))
301, 18, 28, 3, 29syl13anc 1250 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐴(.rβ€˜πΉ)((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ))) Β· π‘Œ) = (𝐴 Β· (((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) Β· π‘Œ)))
314, 7, 8, 14, 15lmodvsass 13466 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ ((((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ))(.rβ€˜πΉ)𝐴) Β· π‘Œ) = (((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) Β· (𝐴 Β· π‘Œ)))
321, 28, 18, 3, 31syl13anc 1250 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ))(.rβ€˜πΉ)𝐴) Β· π‘Œ) = (((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) Β· (𝐴 Β· π‘Œ)))
3322, 30, 323eqtr3d 2228 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴 Β· (((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) Β· π‘Œ)) = (((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) Β· (𝐴 Β· π‘Œ)))
3433oveq2d 5904 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐴 Β· 𝑋)(+gβ€˜π‘Š)(𝐴 Β· (((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) Β· π‘Œ))) = ((𝐴 Β· 𝑋)(+gβ€˜π‘Š)(((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) Β· (𝐴 Β· π‘Œ))))
354, 7, 8, 14lmodvscl 13458 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ ((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) Β· π‘Œ) ∈ 𝑉)
361, 28, 3, 35syl3anc 1248 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) Β· π‘Œ) ∈ 𝑉)
374, 5, 7, 8, 14lmodvsdi 13464 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) Β· π‘Œ) ∈ 𝑉)) β†’ (𝐴 Β· (𝑋(+gβ€˜π‘Š)(((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) Β· π‘Œ))) = ((𝐴 Β· 𝑋)(+gβ€˜π‘Š)(𝐴 Β· (((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) Β· π‘Œ))))
381, 18, 2, 36, 37syl13anc 1250 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐴 Β· (𝑋(+gβ€˜π‘Š)(((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) Β· π‘Œ))) = ((𝐴 Β· 𝑋)(+gβ€˜π‘Š)(𝐴 Β· (((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) Β· π‘Œ))))
394, 7, 8, 14lmodvscl 13458 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (𝐴 Β· 𝑋) ∈ 𝑉)
401, 18, 2, 39syl3anc 1248 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴 Β· 𝑋) ∈ 𝑉)
414, 7, 8, 14lmodvscl 13458 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (𝐴 Β· π‘Œ) ∈ 𝑉)
421, 18, 3, 41syl3anc 1248 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴 Β· π‘Œ) ∈ 𝑉)
434, 5, 6, 7, 8, 9, 10lmodvsubval2 13495 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (𝐴 Β· 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 Β· π‘Œ) ∈ 𝑉) β†’ ((𝐴 Β· 𝑋) βˆ’ (𝐴 Β· π‘Œ)) = ((𝐴 Β· 𝑋)(+gβ€˜π‘Š)(((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) Β· (𝐴 Β· π‘Œ))))
441, 40, 42, 43syl3anc 1248 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐴 Β· 𝑋) βˆ’ (𝐴 Β· π‘Œ)) = ((𝐴 Β· 𝑋)(+gβ€˜π‘Š)(((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) Β· (𝐴 Β· π‘Œ))))
4534, 38, 443eqtr4rd 2231 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐴 Β· 𝑋) βˆ’ (𝐴 Β· π‘Œ)) = (𝐴 Β· (𝑋(+gβ€˜π‘Š)(((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) Β· π‘Œ))))
4613, 45eqtr4d 2223 1 (πœ‘ β†’ (𝐴 Β· (𝑋 βˆ’ π‘Œ)) = ((𝐴 Β· 𝑋) βˆ’ (𝐴 Β· π‘Œ)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1363   ∈ wcel 2158  β€˜cfv 5228  (class class class)co 5888  Basecbs 12475  +gcplusg 12550  .rcmulr 12551  Scalarcsca 12553   ·𝑠 cvsca 12554  Grpcgrp 12896  invgcminusg 12897  -gcsg 12898  1rcur 13196  Ringcrg 13233  LModclmod 13440
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1cn 7917  ax-1re 7918  ax-icn 7919  ax-addcl 7920  ax-addrcl 7921  ax-mulcl 7922  ax-addcom 7924  ax-addass 7926  ax-i2m1 7929  ax-0lt1 7930  ax-0id 7932  ax-rnegex 7933  ax-pre-ltirr 7936  ax-pre-ltadd 7940
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-id 4305  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6154  df-2nd 6155  df-pnf 8007  df-mnf 8008  df-ltxr 8010  df-inn 8933  df-2 8991  df-3 8992  df-4 8993  df-5 8994  df-6 8995  df-ndx 12478  df-slot 12479  df-base 12481  df-sets 12482  df-plusg 12563  df-mulr 12564  df-sca 12566  df-vsca 12567  df-0g 12724  df-mgm 12793  df-sgrp 12826  df-mnd 12837  df-grp 12899  df-minusg 12900  df-sbg 12901  df-mgp 13163  df-ur 13197  df-ring 13235  df-lmod 13442
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator