Theorem lmodsubdi 14273

Description: Scalar multiplication distributive law for subtraction. (Contributed by NM, 2-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodsubdi.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lmodsubdi.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lmodsubdi.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lmodsubdi.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
lmodsubdi.m	⊢ − = (-g‘𝑊)
lmodsubdi.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lmodsubdi.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)
lmodsubdi.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lmodsubdi.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
lmodsubdi	⊢ (𝜑 → (𝐴 · (𝑋 − 𝑌)) = ((𝐴 · 𝑋) − (𝐴 · 𝑌)))

Proof of Theorem lmodsubdi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodsubdi.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
2		lmodsubdi.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
3		lmodsubdi.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
4		lmodsubdi.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
5		eqid 2209	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
6		lmodsubdi.m	. . . . 5 ⊢ − = (-g‘𝑊)
7		lmodsubdi.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
8		lmodsubdi.t	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
9		eqid 2209	. . . . 5 ⊢ (invg‘𝐹) = (invg‘𝐹)
10		eqid 2209	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝐹) = (1r‘𝐹)
11	4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	lmodvsubval2 14271	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋 − 𝑌) = (𝑋(+g‘𝑊)(((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) · 𝑌)))
12	1, 2, 3, 11	syl3anc 1252	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑌) = (𝑋(+g‘𝑊)(((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) · 𝑌)))
13	12	oveq2d 5990	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · (𝑋 − 𝑌)) = (𝐴 · (𝑋(+g‘𝑊)(((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) · 𝑌))))
14		lmodsubdi.k	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
15		eqid 2209	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝐹) = (.r‘𝐹)
16	7	lmodring 14224	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Ring)
17	1, 16	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Ring)
18		lmodsubdi.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)
19	14, 15, 10, 9, 17, 18	ringnegr 13981	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴(.r‘𝐹)((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹))) = ((invg‘𝐹)‘𝐴))
20	14, 15, 10, 9, 17, 18	ringnegl 13980	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹))(.r‘𝐹)𝐴) = ((invg‘𝐹)‘𝐴))
21	19, 20	eqtr4d 2245	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴(.r‘𝐹)((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹))) = (((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹))(.r‘𝐹)𝐴))
22	21	oveq1d 5989	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴(.r‘𝐹)((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹))) · 𝑌) = ((((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹))(.r‘𝐹)𝐴) · 𝑌))
23		ringgrp 13930	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ Ring → 𝐹 ∈ Grp)
24	17, 23	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Grp)
25	14, 10	ringidcl 13949	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ Ring → (1r‘𝐹) ∈ 𝐾)
26	17, 25	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐹) ∈ 𝐾)
27	14, 9	grpinvcl 13547	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ Grp ∧ (1r‘𝐹) ∈ 𝐾) → ((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) ∈ 𝐾)
28	24, 26, 27	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) ∈ 𝐾)
29	4, 7, 8, 14, 15	lmodvsass 14242	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ ((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → ((𝐴(.r‘𝐹)((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹))) · 𝑌) = (𝐴 · (((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) · 𝑌)))
30	1, 18, 28, 3, 29	syl13anc 1254	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴(.r‘𝐹)((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹))) · 𝑌) = (𝐴 · (((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) · 𝑌)))
31	4, 7, 8, 14, 15	lmodvsass 14242	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → ((((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹))(.r‘𝐹)𝐴) · 𝑌) = (((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) · (𝐴 · 𝑌)))
32	1, 28, 18, 3, 31	syl13anc 1254	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹))(.r‘𝐹)𝐴) · 𝑌) = (((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) · (𝐴 · 𝑌)))
33	22, 30, 32	3eqtr3d 2250	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · (((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) · 𝑌)) = (((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) · (𝐴 · 𝑌)))
34	33	oveq2d 5990	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋)(+g‘𝑊)(𝐴 · (((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) · 𝑌))) = ((𝐴 · 𝑋)(+g‘𝑊)(((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) · (𝐴 · 𝑌))))
35	4, 7, 8, 14	lmodvscl 14234	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) · 𝑌) ∈ 𝑉)
36	1, 28, 3, 35	syl3anc 1252	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) · 𝑌) ∈ 𝑉)
37	4, 5, 7, 8, 14	lmodvsdi 14240	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) · 𝑌) ∈ 𝑉)) → (𝐴 · (𝑋(+g‘𝑊)(((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) · 𝑌))) = ((𝐴 · 𝑋)(+g‘𝑊)(𝐴 · (((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) · 𝑌))))
38	1, 18, 2, 36, 37	syl13anc 1254	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · (𝑋(+g‘𝑊)(((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) · 𝑌))) = ((𝐴 · 𝑋)(+g‘𝑊)(𝐴 · (((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) · 𝑌))))
39	4, 7, 8, 14	lmodvscl 14234	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉)
40	1, 18, 2, 39	syl3anc 1252	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉)
41	4, 7, 8, 14	lmodvscl 14234	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝐴 · 𝑌) ∈ 𝑉)
42	1, 18, 3, 41	syl3anc 1252	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝑌) ∈ 𝑉)
43	4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	lmodvsubval2 14271	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 · 𝑌) ∈ 𝑉) → ((𝐴 · 𝑋) − (𝐴 · 𝑌)) = ((𝐴 · 𝑋)(+g‘𝑊)(((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) · (𝐴 · 𝑌))))
44	1, 40, 42, 43	syl3anc 1252	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) − (𝐴 · 𝑌)) = ((𝐴 · 𝑋)(+g‘𝑊)(((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) · (𝐴 · 𝑌))))
45	34, 38, 44	3eqtr4rd 2253	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) − (𝐴 · 𝑌)) = (𝐴 · (𝑋(+g‘𝑊)(((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) · 𝑌))))
46	13, 45	eqtr4d 2245	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · (𝑋 − 𝑌)) = ((𝐴 · 𝑋) − (𝐴 · 𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1375   ∈ wcel 2180  ‘cfv 5294  (class class class)co 5974  Basecbs 12998  +_gcplusg 13076  ._rcmulr 13077  Scalarcsca 13079   ·_𝑠 cvsca 13080  Grpcgrp 13499  inv_gcminusg 13500  -_gcsg 13501  1_rcur 13888  Ringcrg 13925  LModclmod 14216

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 713  ax-5 1473  ax-7 1474  ax-gen 1475  ax-ie1 1519  ax-ie2 1520  ax-8 1530  ax-10 1531  ax-11 1532  ax-i12 1533  ax-bndl 1535  ax-4 1536  ax-17 1552  ax-i9 1556  ax-ial 1560  ax-i5r 1561  ax-13 2182  ax-14 2183  ax-ext 2191  ax-coll 4178  ax-sep 4181  ax-pow 4237  ax-pr 4272  ax-un 4501  ax-setind 4606  ax-cnex 8058  ax-resscn 8059  ax-1cn 8060  ax-1re 8061  ax-icn 8062  ax-addcl 8063  ax-addrcl 8064  ax-mulcl 8065  ax-addcom 8067  ax-addass 8069  ax-i2m1 8072  ax-0lt1 8073  ax-0id 8075  ax-rnegex 8076  ax-pre-ltirr 8079  ax-pre-ltadd 8083

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 985  df-tru 1378  df-fal 1381  df-nf 1487  df-sb 1789  df-eu 2060  df-mo 2061  df-clab 2196  df-cleq 2202  df-clel 2205  df-nfc 2341  df-ne 2381  df-nel 2476  df-ral 2493  df-rex 2494  df-reu 2495  df-rmo 2496  df-rab 2497  df-v 2781  df-sbc 3009  df-csb 3105  df-dif 3179  df-un 3181  df-in 3183  df-ss 3190  df-nul 3472  df-pw 3631  df-sn 3652  df-pr 3653  df-op 3655  df-uni 3868  df-int 3903  df-iun 3946  df-br 4063  df-opab 4125  df-mpt 4126  df-id 4361  df-xp 4702  df-rel 4703  df-cnv 4704  df-co 4705  df-dm 4706  df-rn 4707  df-res 4708  df-ima 4709  df-iota 5254  df-fun 5296  df-fn 5297  df-f 5298  df-f1 5299  df-fo 5300  df-f1o 5301  df-fv 5302  df-riota 5927  df-ov 5977  df-oprab 5978  df-mpo 5979  df-1st 6256  df-2nd 6257  df-pnf 8151  df-mnf 8152  df-ltxr 8154  df-inn 9079  df-2 9137  df-3 9138  df-4 9139  df-5 9140  df-6 9141  df-ndx 13001  df-slot 13002  df-base 13004  df-sets 13005  df-plusg 13089  df-mulr 13090  df-sca 13092  df-vsca 13093  df-0g 13257  df-mgm 13355  df-sgrp 13401  df-mnd 13416  df-grp 13502  df-minusg 13503  df-sbg 13504  df-mgp 13850  df-ur 13889  df-ring 13927  df-lmod 14218

This theorem is referenced by: (None)