Theorem lmodsubdi 14791

Description: Scalar multiplication distributive law for subtraction. (Contributed by NM, 2-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodsubdi.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lmodsubdi.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lmodsubdi.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lmodsubdi.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
lmodsubdi.m	⊢ − = (-g‘𝑊)
lmodsubdi.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lmodsubdi.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)
lmodsubdi.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lmodsubdi.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
lmodsubdi	⊢ (𝜑 → (𝐴 · (𝑋 − 𝑌)) = ((𝐴 · 𝑋) − (𝐴 · 𝑌)))

Proof of Theorem lmodsubdi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodsubdi.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
2		lmodsubdi.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
3		lmodsubdi.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
4		lmodsubdi.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
5		eqid 2238	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
6		lmodsubdi.m	. . . . 5 ⊢ − = (-g‘𝑊)
7		lmodsubdi.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
8		lmodsubdi.t	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
9		eqid 2238	. . . . 5 ⊢ (invg‘𝐹) = (invg‘𝐹)
10		eqid 2238	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝐹) = (1r‘𝐹)
11	4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	lmodvsubval2 14789	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋 − 𝑌) = (𝑋(+g‘𝑊)(((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) · 𝑌)))
12	1, 2, 3, 11	syl3anc 1278	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑌) = (𝑋(+g‘𝑊)(((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) · 𝑌)))
13	12	oveq2d 6104	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · (𝑋 − 𝑌)) = (𝐴 · (𝑋(+g‘𝑊)(((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) · 𝑌))))
14		lmodsubdi.k	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
15		eqid 2238	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝐹) = (.r‘𝐹)
16	7	lmodring 14741	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Ring)
17	1, 16	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Ring)
18		lmodsubdi.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)
19	14, 15, 10, 9, 17, 18	ringnegr 14465	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴(.r‘𝐹)((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹))) = ((invg‘𝐹)‘𝐴))
20	14, 15, 10, 9, 17, 18	ringnegl 14464	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹))(.r‘𝐹)𝐴) = ((invg‘𝐹)‘𝐴))
21	19, 20	eqtr4d 2274	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴(.r‘𝐹)((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹))) = (((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹))(.r‘𝐹)𝐴))
22	21	oveq1d 6103	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴(.r‘𝐹)((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹))) · 𝑌) = ((((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹))(.r‘𝐹)𝐴) · 𝑌))
23		ringgrp 14413	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ Ring → 𝐹 ∈ Grp)
24	17, 23	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Grp)
25	14, 10	ringidcl 14433	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ Ring → (1r‘𝐹) ∈ 𝐾)
26	17, 25	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐹) ∈ 𝐾)
27	14, 9	grpinvcl 13913	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ Grp ∧ (1r‘𝐹) ∈ 𝐾) → ((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) ∈ 𝐾)
28	24, 26, 27	syl2anc 415	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) ∈ 𝐾)
29	4, 7, 8, 14, 15	lmodvsass 14760	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ ((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → ((𝐴(.r‘𝐹)((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹))) · 𝑌) = (𝐴 · (((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) · 𝑌)))
30	1, 18, 28, 3, 29	syl13anc 1280	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴(.r‘𝐹)((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹))) · 𝑌) = (𝐴 · (((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) · 𝑌)))
31	4, 7, 8, 14, 15	lmodvsass 14760	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → ((((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹))(.r‘𝐹)𝐴) · 𝑌) = (((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) · (𝐴 · 𝑌)))
32	1, 28, 18, 3, 31	syl13anc 1280	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹))(.r‘𝐹)𝐴) · 𝑌) = (((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) · (𝐴 · 𝑌)))
33	22, 30, 32	3eqtr3d 2279	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · (((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) · 𝑌)) = (((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) · (𝐴 · 𝑌)))
34	33	oveq2d 6104	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋)(+g‘𝑊)(𝐴 · (((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) · 𝑌))) = ((𝐴 · 𝑋)(+g‘𝑊)(((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) · (𝐴 · 𝑌))))
35	4, 7, 8, 14	lmodvscl 14751	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) · 𝑌) ∈ 𝑉)
36	1, 28, 3, 35	syl3anc 1278	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) · 𝑌) ∈ 𝑉)
37	4, 5, 7, 8, 14	lmodvsdi 14758	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) · 𝑌) ∈ 𝑉)) → (𝐴 · (𝑋(+g‘𝑊)(((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) · 𝑌))) = ((𝐴 · 𝑋)(+g‘𝑊)(𝐴 · (((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) · 𝑌))))
38	1, 18, 2, 36, 37	syl13anc 1280	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · (𝑋(+g‘𝑊)(((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) · 𝑌))) = ((𝐴 · 𝑋)(+g‘𝑊)(𝐴 · (((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) · 𝑌))))
39	4, 7, 8, 14	lmodvscl 14751	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉)
40	1, 18, 2, 39	syl3anc 1278	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉)
41	4, 7, 8, 14	lmodvscl 14751	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝐴 · 𝑌) ∈ 𝑉)
42	1, 18, 3, 41	syl3anc 1278	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝑌) ∈ 𝑉)
43	4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	lmodvsubval2 14789	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 · 𝑌) ∈ 𝑉) → ((𝐴 · 𝑋) − (𝐴 · 𝑌)) = ((𝐴 · 𝑋)(+g‘𝑊)(((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) · (𝐴 · 𝑌))))
44	1, 40, 42, 43	syl3anc 1278	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) − (𝐴 · 𝑌)) = ((𝐴 · 𝑋)(+g‘𝑊)(((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) · (𝐴 · 𝑌))))
45	34, 38, 44	3eqtr4rd 2282	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) − (𝐴 · 𝑌)) = (𝐴 · (𝑋(+g‘𝑊)(((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) · 𝑌))))
46	13, 45	eqtr4d 2274	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · (𝑋 − 𝑌)) = ((𝐴 · 𝑋) − (𝐴 · 𝑌)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ‘cfv 5380  (class class class)co 6088  Basecbs 13411  +_gcplusg 13491  ._rcmulr 13492  Scalarcsca 13494   ·_𝑠 cvsca 13495  Grpcgrp 13865  inv_gcminusg 13866  -_gcsg 13867  1_rcur 14370  Ringcrg 14408  LModclmod 14733

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1cn 8279  ax-1re 8280  ax-icn 8281  ax-addcl 8282  ax-addrcl 8283  ax-mulcl 8284  ax-addcom 8286  ax-addass 8288  ax-i2m1 8291  ax-0lt1 8292  ax-0id 8294  ax-rnegex 8295  ax-pre-ltirr 8298  ax-pre-ltadd 8302

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-pnf 8369  df-mnf 8370  df-ltxr 8372  df-inn 9315  df-2 9373  df-3 9374  df-4 9375  df-5 9376  df-6 9377  df-ndx 13414  df-slot 13415  df-base 13417  df-sets 13418  df-plusg 13504  df-mulr 13505  df-sca 13507  df-vsca 13508  df-0g 13672  df-mgm 13736  df-sgrp 13777  df-mnd 13790  df-grp 13868  df-minusg 13869  df-sbg 13870  df-mgp 14326  df-ur 14371  df-ring 14410  df-lmod 14735

This theorem is used by: (None)