ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  lmodsubdi GIF version
Theorem lmodsubdi 13627
Description: Scalar multiplication distributive law for subtraction. (Contributed by NM, 2-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lmodsubdi.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lmodsubdi.t Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
lmodsubdi.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
lmodsubdi.k 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
lmodsubdi.m βˆ’ = (-gβ€˜π‘Š)
lmodsubdi.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
lmodsubdi.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝐾)
lmodsubdi.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
lmodsubdi.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
Assertion
Ref Expression
lmodsubdi (πœ‘ β†’ (𝐴 Β· (𝑋 βˆ’ π‘Œ)) = ((𝐴 Β· 𝑋) βˆ’ (𝐴 Β· π‘Œ)))
Proof of Theorem lmodsubdi
StepHypRef Expression
1 lmodsubdi.w . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
2 lmodsubdi.x . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
3 lmodsubdi.y . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
4 lmodsubdi.v . . . . 5 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
5 eqid 2189 . . . . 5 (+gβ€˜π‘Š) = (+gβ€˜π‘Š)
6 lmodsubdi.m . . . . 5 βˆ’ = (-gβ€˜π‘Š)
7 lmodsubdi.f . . . . 5 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
8 lmodsubdi.t . . . . 5 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
9 eqid 2189 . . . . 5 (invgβ€˜πΉ) = (invgβ€˜πΉ)
10 eqid 2189 . . . . 5 (1rβ€˜πΉ) = (1rβ€˜πΉ)
114, 5, 6, 7, 8, 9, 10lmodvsubval2 13625 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (𝑋 βˆ’ π‘Œ) = (𝑋(+gβ€˜π‘Š)(((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) Β· π‘Œ)))
121, 2, 3, 11syl3anc 1249 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑋 βˆ’ π‘Œ) = (𝑋(+gβ€˜π‘Š)(((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) Β· π‘Œ)))
1312oveq2d 5907 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐴 Β· (𝑋 βˆ’ π‘Œ)) = (𝐴 Β· (𝑋(+gβ€˜π‘Š)(((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) Β· π‘Œ))))
14 lmodsubdi.k . . . . . . . 8 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
15 eqid 2189 . . . . . . . 8 (.rβ€˜πΉ) = (.rβ€˜πΉ)
167lmodring 13578 . . . . . . . . 9 (π‘Š ∈ LMod β†’ 𝐹 ∈ Ring)
171, 16syl 14 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ Ring)
18 lmodsubdi.a . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝐾)
1914, 15, 10, 9, 17, 18ringnegr 13371 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐴(.rβ€˜πΉ)((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ))) = ((invgβ€˜πΉ)β€˜π΄))
2014, 15, 10, 9, 17, 18ringnegl 13370 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ))(.rβ€˜πΉ)𝐴) = ((invgβ€˜πΉ)β€˜π΄))
2119, 20eqtr4d 2225 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐴(.rβ€˜πΉ)((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ))) = (((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ))(.rβ€˜πΉ)𝐴))
2221oveq1d 5906 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐴(.rβ€˜πΉ)((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ))) Β· π‘Œ) = ((((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ))(.rβ€˜πΉ)𝐴) Β· π‘Œ))
23 ringgrp 13322 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ Ring β†’ 𝐹 ∈ Grp)
2417, 23syl 14 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ Grp)
2514, 10ringidcl 13341 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ Ring β†’ (1rβ€˜πΉ) ∈ 𝐾)
2617, 25syl 14 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜πΉ) ∈ 𝐾)
2714, 9grpinvcl 12964 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ Grp ∧ (1rβ€˜πΉ) ∈ 𝐾) β†’ ((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) ∈ 𝐾)
2824, 26, 27syl2anc 411 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) ∈ 𝐾)
294, 7, 8, 14, 15lmodvsass 13596 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ ((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ ((𝐴(.rβ€˜πΉ)((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ))) Β· π‘Œ) = (𝐴 Β· (((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) Β· π‘Œ)))
301, 18, 28, 3, 29syl13anc 1251 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐴(.rβ€˜πΉ)((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ))) Β· π‘Œ) = (𝐴 Β· (((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) Β· π‘Œ)))
314, 7, 8, 14, 15lmodvsass 13596 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) ∈ 𝐾 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ ((((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ))(.rβ€˜πΉ)𝐴) Β· π‘Œ) = (((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) Β· (𝐴 Β· π‘Œ)))
321, 28, 18, 3, 31syl13anc 1251 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ))(.rβ€˜πΉ)𝐴) Β· π‘Œ) = (((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) Β· (𝐴 Β· π‘Œ)))
3322, 30, 323eqtr3d 2230 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴 Β· (((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) Β· π‘Œ)) = (((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) Β· (𝐴 Β· π‘Œ)))
3433oveq2d 5907 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐴 Β· 𝑋)(+gβ€˜π‘Š)(𝐴 Β· (((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) Β· π‘Œ))) = ((𝐴 Β· 𝑋)(+gβ€˜π‘Š)(((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) Β· (𝐴 Β· π‘Œ))))
354, 7, 8, 14lmodvscl 13588 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ ((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) Β· π‘Œ) ∈ 𝑉)
361, 28, 3, 35syl3anc 1249 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) Β· π‘Œ) ∈ 𝑉)
374, 5, 7, 8, 14lmodvsdi 13594 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) Β· π‘Œ) ∈ 𝑉)) β†’ (𝐴 Β· (𝑋(+gβ€˜π‘Š)(((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) Β· π‘Œ))) = ((𝐴 Β· 𝑋)(+gβ€˜π‘Š)(𝐴 Β· (((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) Β· π‘Œ))))
381, 18, 2, 36, 37syl13anc 1251 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐴 Β· (𝑋(+gβ€˜π‘Š)(((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) Β· π‘Œ))) = ((𝐴 Β· 𝑋)(+gβ€˜π‘Š)(𝐴 Β· (((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) Β· π‘Œ))))
394, 7, 8, 14lmodvscl 13588 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (𝐴 Β· 𝑋) ∈ 𝑉)
401, 18, 2, 39syl3anc 1249 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴 Β· 𝑋) ∈ 𝑉)
414, 7, 8, 14lmodvscl 13588 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (𝐴 Β· π‘Œ) ∈ 𝑉)
421, 18, 3, 41syl3anc 1249 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴 Β· π‘Œ) ∈ 𝑉)
434, 5, 6, 7, 8, 9, 10lmodvsubval2 13625 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (𝐴 Β· 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 Β· π‘Œ) ∈ 𝑉) β†’ ((𝐴 Β· 𝑋) βˆ’ (𝐴 Β· π‘Œ)) = ((𝐴 Β· 𝑋)(+gβ€˜π‘Š)(((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) Β· (𝐴 Β· π‘Œ))))
441, 40, 42, 43syl3anc 1249 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐴 Β· 𝑋) βˆ’ (𝐴 Β· π‘Œ)) = ((𝐴 Β· 𝑋)(+gβ€˜π‘Š)(((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) Β· (𝐴 Β· π‘Œ))))
4534, 38, 443eqtr4rd 2233 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐴 Β· 𝑋) βˆ’ (𝐴 Β· π‘Œ)) = (𝐴 Β· (𝑋(+gβ€˜π‘Š)(((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) Β· π‘Œ))))
4613, 45eqtr4d 2225 1 (πœ‘ β†’ (𝐴 Β· (𝑋 βˆ’ π‘Œ)) = ((𝐴 Β· 𝑋) βˆ’ (𝐴 Β· π‘Œ)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1364   ∈ wcel 2160  β€˜cfv 5231  (class class class)co 5891  Basecbs 12486  +gcplusg 12561  .rcmulr 12562  Scalarcsca 12564   ·𝑠 cvsca 12565  Grpcgrp 12917  invgcminusg 12918  -gcsg 12919  1rcur 13280  Ringcrg 13317  LModclmod 13570
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-cnex 7921  ax-resscn 7922  ax-1cn 7923  ax-1re 7924  ax-icn 7925  ax-addcl 7926  ax-addrcl 7927  ax-mulcl 7928  ax-addcom 7930  ax-addass 7932  ax-i2m1 7935  ax-0lt1 7936  ax-0id 7938  ax-rnegex 7939  ax-pre-ltirr 7942  ax-pre-ltadd 7946
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4308  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-f1 5236  df-fo 5237  df-f1o 5238  df-fv 5239  df-riota 5847  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-1st 6159  df-2nd 6160  df-pnf 8013  df-mnf 8014  df-ltxr 8016  df-inn 8939  df-2 8997  df-3 8998  df-4 8999  df-5 9000  df-6 9001  df-ndx 12489  df-slot 12490  df-base 12492  df-sets 12493  df-plusg 12574  df-mulr 12575  df-sca 12577  df-vsca 12578  df-0g 12735  df-mgm 12804  df-sgrp 12837  df-mnd 12850  df-grp 12920  df-minusg 12921  df-sbg 12922  df-mgp 13242  df-ur 13281  df-ring 13319  df-lmod 13572
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator