Theorem lss1 13994

Description: The set of vectors in a left module is a subspace. (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lssss.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lssss.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lss1	⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑉 ∈ 𝑆)

Proof of Theorem lss1

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑗 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2197	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊))
2		eqidd 2197	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
3		lssss.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
4	3	a1i 9	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑉 = (Base‘𝑊))
5		eqidd 2197	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊))
6		eqidd 2197	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊))
7		lssss.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
8	7	a1i 9	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 = (LSubSp‘𝑊))
9		ssidd 3205	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑉 ⊆ 𝑉)
10		eqid 2196	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
11	3, 10	lmod0vcl 13949	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (0g‘𝑊) ∈ 𝑉)
12		elex2 2779	. . 3 ⊢ ((0g‘𝑊) ∈ 𝑉 → ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑉)
13	11, 12	syl 14	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑉)
14		simpl 109	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) → 𝑊 ∈ LMod)
15		eqid 2196	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
16		eqid 2196	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
17		eqid 2196	. . . . 5 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
18	3, 15, 16, 17	lmodvscl 13937	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎) ∈ 𝑉)
19	18	3adant3r3 1216	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎) ∈ 𝑉)
20		simpr3 1007	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) → 𝑏 ∈ 𝑉)
21		eqid 2196	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
22	3, 21	lmodvacl 13934	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎) ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) ∈ 𝑉)
23	14, 19, 20, 22	syl3anc 1249	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) → ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) ∈ 𝑉)
24		lmodgrp 13926	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
25	1, 2, 4, 5, 6, 8, 9, 13, 23, 24	islssmd 13991	1 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑉 ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 980   = wceq 1364  ∃wex 1506   ∈ wcel 2167  ‘cfv 5259  (class class class)co 5925  Basecbs 12703  +_gcplusg 12780  Scalarcsca 12783   ·_𝑠 cvsca 12784  0_gc0g 12958  Grpcgrp 13202  LModclmod 13919  LSubSpclss 13984

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1re 7990  ax-addrcl 7993

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-inn 9008  df-2 9066  df-3 9067  df-4 9068  df-5 9069  df-6 9070  df-ndx 12706  df-slot 12707  df-base 12709  df-plusg 12793  df-mulr 12794  df-sca 12796  df-vsca 12797  df-0g 12960  df-mgm 13058  df-sgrp 13104  df-mnd 13119  df-grp 13205  df-lmod 13921  df-lssm 13985

This theorem is referenced by:  lssuni  13995  islss3  14011  lspf  14021  lspval  14022  lidl1  14122