Theorem lss1 14042

Description: The set of vectors in a left module is a subspace. (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lssss.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lssss.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lss1	⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑉 ∈ 𝑆)

Proof of Theorem lss1

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑗 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2205	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊))
2		eqidd 2205	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
3		lssss.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
4	3	a1i 9	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑉 = (Base‘𝑊))
5		eqidd 2205	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊))
6		eqidd 2205	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊))
7		lssss.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
8	7	a1i 9	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 = (LSubSp‘𝑊))
9		ssidd 3213	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑉 ⊆ 𝑉)
10		eqid 2204	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
11	3, 10	lmod0vcl 13997	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (0g‘𝑊) ∈ 𝑉)
12		elex2 2787	. . 3 ⊢ ((0g‘𝑊) ∈ 𝑉 → ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑉)
13	11, 12	syl 14	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑉)
14		simpl 109	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) → 𝑊 ∈ LMod)
15		eqid 2204	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
16		eqid 2204	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
17		eqid 2204	. . . . 5 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
18	3, 15, 16, 17	lmodvscl 13985	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎) ∈ 𝑉)
19	18	3adant3r3 1216	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎) ∈ 𝑉)
20		simpr3 1007	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) → 𝑏 ∈ 𝑉)
21		eqid 2204	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
22	3, 21	lmodvacl 13982	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎) ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) ∈ 𝑉)
23	14, 19, 20, 22	syl3anc 1249	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) → ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) ∈ 𝑉)
24		lmodgrp 13974	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
25	1, 2, 4, 5, 6, 8, 9, 13, 23, 24	islssmd 14039	1 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑉 ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 980   = wceq 1372  ∃wex 1514   ∈ wcel 2175  ‘cfv 5268  (class class class)co 5934  Basecbs 12751  +_gcplusg 12828  Scalarcsca 12831   ·_𝑠 cvsca 12832  0_gc0g 13006  Grpcgrp 13250  LModclmod 13967  LSubSpclss 14032

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4478  ax-cnex 7998  ax-resscn 7999  ax-1re 8001  ax-addrcl 8004

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rmo 2491  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-id 4338  df-xp 4679  df-rel 4680  df-cnv 4681  df-co 4682  df-dm 4683  df-rn 4684  df-res 4685  df-iota 5229  df-fun 5270  df-fn 5271  df-fv 5276  df-riota 5889  df-ov 5937  df-inn 9019  df-2 9077  df-3 9078  df-4 9079  df-5 9080  df-6 9081  df-ndx 12754  df-slot 12755  df-base 12757  df-plusg 12841  df-mulr 12842  df-sca 12844  df-vsca 12845  df-0g 13008  df-mgm 13106  df-sgrp 13152  df-mnd 13167  df-grp 13253  df-lmod 13969  df-lssm 14033

This theorem is referenced by:  lssuni  14043  islss3  14059  lspf  14069  lspval  14070  lidl1  14170