Theorem lss1 14671

Description: The set of vectors in a left module is a subspace. (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lssss.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lssss.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lss1	⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑉 ∈ 𝑆)

Proof of Theorem lss1

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑗 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2239	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊))
2		eqidd 2239	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
3		lssss.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
4	3	a1i 9	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑉 = (Base‘𝑊))
5		eqidd 2239	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊))
6		eqidd 2239	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊))
7		lssss.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
8	7	a1i 9	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 = (LSubSp‘𝑊))
9		ssidd 3269	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑉 ⊆ 𝑉)
10		eqid 2238	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
11	3, 10	lmod0vcl 14626	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (0g‘𝑊) ∈ 𝑉)
12		elex2 2838	. . 3 ⊢ ((0g‘𝑊) ∈ 𝑉 → ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑉)
13	11, 12	syl 14	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑉)
14		simpl 109	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) → 𝑊 ∈ LMod)
15		eqid 2238	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
16		eqid 2238	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
17		eqid 2238	. . . . 5 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
18	3, 15, 16, 17	lmodvscl 14614	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎) ∈ 𝑉)
19	18	3adant3r3 1245	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎) ∈ 𝑉)
20		simpr3 1036	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) → 𝑏 ∈ 𝑉)
21		eqid 2238	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
22	3, 21	lmodvacl 14611	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎) ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) ∈ 𝑉)
23	14, 19, 20, 22	syl3anc 1278	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) → ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) ∈ 𝑉)
24		lmodgrp 14603	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
25	1, 2, 4, 5, 6, 8, 9, 13, 23, 24	islssmd 14668	1 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑉 ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1009   = wceq 1402  ∃wex 1545   ∈ wcel 2209  ‘cfv 5372  (class class class)co 6075  Basecbs 13330  +_gcplusg 13408  Scalarcsca 13411   ·_𝑠 cvsca 13412  0_gc0g 13587  Grpcgrp 13782  LModclmod 14596  LSubSpclss 14661

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1re 8263  ax-addrcl 8266

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-inn 9284  df-2 9342  df-3 9343  df-4 9344  df-5 9345  df-6 9346  df-ndx 13333  df-slot 13334  df-base 13336  df-plusg 13421  df-mulr 13422  df-sca 13424  df-vsca 13425  df-0g 13589  df-mgm 13653  df-sgrp 13694  df-mnd 13707  df-grp 13785  df-lmod 14598  df-lssm 14662

This theorem is referenced by:  lssuni  14672  islss3  14688  lspf  14698  lspval  14699  lidl1  14799