ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  lssclg GIF version
Theorem lssclg 13456
Description: Closure property of a subspace. (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lsscl.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
lsscl.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΉ)
lsscl.p + = (+gβ€˜π‘Š)
lsscl.t Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
lsscl.s 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
lssclg ((π‘Š ∈ 𝐢 ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ)) β†’ ((𝑍 Β· 𝑋) + π‘Œ) ∈ π‘ˆ)
Proof of Theorem lssclg
Dummy variables π‘₯ π‘Ž 𝑏 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp2 998 . . . 4 ((π‘Š ∈ 𝐢 ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ)) β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
2 lsscl.f . . . . . 6 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
3 lsscl.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜πΉ)
4 eqid 2177 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘Š) = (Baseβ€˜π‘Š)
5 lsscl.p . . . . . 6 + = (+gβ€˜π‘Š)
6 lsscl.t . . . . . 6 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
7 lsscl.s . . . . . 6 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
82, 3, 4, 5, 6, 7islssm 13450 . . . . 5 (π‘Š ∈ 𝐢 β†’ (π‘ˆ ∈ 𝑆 ↔ (π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜π‘Š) ∧ βˆƒπ‘— 𝑗 ∈ π‘ˆ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘Ž ∈ π‘ˆ βˆ€π‘ ∈ π‘ˆ ((π‘₯ Β· π‘Ž) + 𝑏) ∈ π‘ˆ)))
983ad2ant1 1018 . . . 4 ((π‘Š ∈ 𝐢 ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ)) β†’ (π‘ˆ ∈ 𝑆 ↔ (π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜π‘Š) ∧ βˆƒπ‘— 𝑗 ∈ π‘ˆ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘Ž ∈ π‘ˆ βˆ€π‘ ∈ π‘ˆ ((π‘₯ Β· π‘Ž) + 𝑏) ∈ π‘ˆ)))
101, 9mpbid 147 . . 3 ((π‘Š ∈ 𝐢 ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ)) β†’ (π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜π‘Š) ∧ βˆƒπ‘— 𝑗 ∈ π‘ˆ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘Ž ∈ π‘ˆ βˆ€π‘ ∈ π‘ˆ ((π‘₯ Β· π‘Ž) + 𝑏) ∈ π‘ˆ))
1110simp3d 1011 . 2 ((π‘Š ∈ 𝐢 ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘Ž ∈ π‘ˆ βˆ€π‘ ∈ π‘ˆ ((π‘₯ Β· π‘Ž) + 𝑏) ∈ π‘ˆ)
12 oveq1 5884 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑍 β†’ (π‘₯ Β· π‘Ž) = (𝑍 Β· π‘Ž))
1312oveq1d 5892 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑍 β†’ ((π‘₯ Β· π‘Ž) + 𝑏) = ((𝑍 Β· π‘Ž) + 𝑏))
1413eleq1d 2246 . . . 4 (π‘₯ = 𝑍 β†’ (((π‘₯ Β· π‘Ž) + 𝑏) ∈ π‘ˆ ↔ ((𝑍 Β· π‘Ž) + 𝑏) ∈ π‘ˆ))
15 oveq2 5885 . . . . . 6 (π‘Ž = 𝑋 β†’ (𝑍 Β· π‘Ž) = (𝑍 Β· 𝑋))
1615oveq1d 5892 . . . . 5 (π‘Ž = 𝑋 β†’ ((𝑍 Β· π‘Ž) + 𝑏) = ((𝑍 Β· 𝑋) + 𝑏))
1716eleq1d 2246 . . . 4 (π‘Ž = 𝑋 β†’ (((𝑍 Β· π‘Ž) + 𝑏) ∈ π‘ˆ ↔ ((𝑍 Β· 𝑋) + 𝑏) ∈ π‘ˆ))
18 oveq2 5885 . . . . 5 (𝑏 = π‘Œ β†’ ((𝑍 Β· 𝑋) + 𝑏) = ((𝑍 Β· 𝑋) + π‘Œ))
1918eleq1d 2246 . . . 4 (𝑏 = π‘Œ β†’ (((𝑍 Β· 𝑋) + 𝑏) ∈ π‘ˆ ↔ ((𝑍 Β· 𝑋) + π‘Œ) ∈ π‘ˆ))
2014, 17, 19rspc3v 2859 . . 3 ((𝑍 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘Ž ∈ π‘ˆ βˆ€π‘ ∈ π‘ˆ ((π‘₯ Β· π‘Ž) + 𝑏) ∈ π‘ˆ β†’ ((𝑍 Β· 𝑋) + π‘Œ) ∈ π‘ˆ))
21203ad2ant3 1020 . 2 ((π‘Š ∈ 𝐢 ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ)) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘Ž ∈ π‘ˆ βˆ€π‘ ∈ π‘ˆ ((π‘₯ Β· π‘Ž) + 𝑏) ∈ π‘ˆ β†’ ((𝑍 Β· 𝑋) + π‘Œ) ∈ π‘ˆ))
2211, 21mpd 13 1 ((π‘Š ∈ 𝐢 ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ)) β†’ ((𝑍 Β· 𝑋) + π‘Œ) ∈ π‘ˆ)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 105   ∧ w3a 978   = wceq 1353  βˆƒwex 1492   ∈ wcel 2148  βˆ€wral 2455   βŠ† wss 3131  β€˜cfv 5218  (class class class)co 5877  Basecbs 12464  +gcplusg 12538  Scalarcsca 12541   ·𝑠 cvsca 12542  LSubSpclss 13447
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1re 7907  ax-addrcl 7910
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-fv 5226  df-ov 5880  df-inn 8922  df-ndx 12467  df-slot 12468  df-base 12470  df-lssm 13448
This theorem is referenced by:  lssvacl  13457  lssvsubcl  13458  lssvscl  13467  islss3  13471  lssintclm  13476
  Copyright terms: Public domain W3C validator