Theorem lssclg 14638

Description: Closure property of a subspace. (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsscl.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lsscl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
lsscl.p	⊢ + = (+g‘𝑊)
lsscl.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lsscl.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lssclg	⊢ ((𝑊 ∈ 𝐶 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈)) → ((𝑍 · 𝑋) + 𝑌) ∈ 𝑈)

Proof of Theorem lssclg

Dummy variables 𝑥 𝑎 𝑏 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 1025	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝐶 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈)) → 𝑈 ∈ 𝑆)
2		lsscl.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
3		lsscl.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
4		eqid 2234	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
5		lsscl.p	. . . . . 6 ⊢ + = (+g‘𝑊)
6		lsscl.t	. . . . . 6 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
7		lsscl.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
8	2, 3, 4, 5, 6, 7	islssmg 14632	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐶 → (𝑈 ∈ 𝑆 ↔ (𝑈 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑈 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝑈 ∀𝑏 ∈ 𝑈 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈)))
9	8	3ad2ant1 1045	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝐶 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈)) → (𝑈 ∈ 𝑆 ↔ (𝑈 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑈 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝑈 ∀𝑏 ∈ 𝑈 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈)))
10	1, 9	mpbid 147	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝐶 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈)) → (𝑈 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑈 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝑈 ∀𝑏 ∈ 𝑈 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈))
11	10	simp3d 1038	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝐶 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈)) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝑈 ∀𝑏 ∈ 𝑈 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈)
12		oveq1 6065	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑍 → (𝑥 · 𝑎) = (𝑍 · 𝑎))
13	12	oveq1d 6073	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑍 → ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) = ((𝑍 · 𝑎) + 𝑏))
14	13	eleq1d 2303	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑍 → (((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈 ↔ ((𝑍 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈))
15		oveq2 6066	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑋 → (𝑍 · 𝑎) = (𝑍 · 𝑋))
16	15	oveq1d 6073	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑋 → ((𝑍 · 𝑎) + 𝑏) = ((𝑍 · 𝑋) + 𝑏))
17	16	eleq1d 2303	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑋 → (((𝑍 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈 ↔ ((𝑍 · 𝑋) + 𝑏) ∈ 𝑈))
18		oveq2 6066	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝑌 → ((𝑍 · 𝑋) + 𝑏) = ((𝑍 · 𝑋) + 𝑌))
19	18	eleq1d 2303	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝑌 → (((𝑍 · 𝑋) + 𝑏) ∈ 𝑈 ↔ ((𝑍 · 𝑋) + 𝑌) ∈ 𝑈))
20	14, 17, 19	rspc3v 2940	. . 3 ⊢ ((𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝑈 ∀𝑏 ∈ 𝑈 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈 → ((𝑍 · 𝑋) + 𝑌) ∈ 𝑈))
21	20	3ad2ant3 1047	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝐶 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈)) → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝑈 ∀𝑏 ∈ 𝑈 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈 → ((𝑍 · 𝑋) + 𝑌) ∈ 𝑈))
22	11, 21	mpd 13	1 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝐶 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈)) → ((𝑍 · 𝑋) + 𝑌) ∈ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   ∧ w3a 1005   = wceq 1398  ∃wex 1541   ∈ wcel 2205  ∀wral 2522   ⊆ wss 3214  ‘cfv 5357  (class class class)co 6058  Basecbs 13296  +_gcplusg 13374  Scalarcsca 13377   ·_𝑠 cvsca 13378  LSubSpclss 14626

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1re 8237  ax-addrcl 8240

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-fv 5365  df-ov 6061  df-inn 9255  df-ndx 13299  df-slot 13300  df-base 13302  df-lssm 14627

This theorem is referenced by:  lssvacl  14639  lssvsubcl  14640  lssvscl  14649  islss3  14653  lssintclm  14658