Theorem lssclg 13863

Description: Closure property of a subspace. (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsscl.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lsscl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
lsscl.p	⊢ + = (+g‘𝑊)
lsscl.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lsscl.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lssclg	⊢ ((𝑊 ∈ 𝐶 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈)) → ((𝑍 · 𝑋) + 𝑌) ∈ 𝑈)

Proof of Theorem lssclg

Dummy variables 𝑥 𝑎 𝑏 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 1000	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝐶 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈)) → 𝑈 ∈ 𝑆)
2		lsscl.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
3		lsscl.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
4		eqid 2193	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
5		lsscl.p	. . . . . 6 ⊢ + = (+g‘𝑊)
6		lsscl.t	. . . . . 6 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
7		lsscl.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
8	2, 3, 4, 5, 6, 7	islssmg 13857	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐶 → (𝑈 ∈ 𝑆 ↔ (𝑈 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑈 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝑈 ∀𝑏 ∈ 𝑈 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈)))
9	8	3ad2ant1 1020	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝐶 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈)) → (𝑈 ∈ 𝑆 ↔ (𝑈 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑈 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝑈 ∀𝑏 ∈ 𝑈 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈)))
10	1, 9	mpbid 147	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝐶 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈)) → (𝑈 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑈 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝑈 ∀𝑏 ∈ 𝑈 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈))
11	10	simp3d 1013	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝐶 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈)) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝑈 ∀𝑏 ∈ 𝑈 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈)
12		oveq1 5926	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑍 → (𝑥 · 𝑎) = (𝑍 · 𝑎))
13	12	oveq1d 5934	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑍 → ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) = ((𝑍 · 𝑎) + 𝑏))
14	13	eleq1d 2262	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑍 → (((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈 ↔ ((𝑍 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈))
15		oveq2 5927	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑋 → (𝑍 · 𝑎) = (𝑍 · 𝑋))
16	15	oveq1d 5934	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑋 → ((𝑍 · 𝑎) + 𝑏) = ((𝑍 · 𝑋) + 𝑏))
17	16	eleq1d 2262	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑋 → (((𝑍 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈 ↔ ((𝑍 · 𝑋) + 𝑏) ∈ 𝑈))
18		oveq2 5927	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝑌 → ((𝑍 · 𝑋) + 𝑏) = ((𝑍 · 𝑋) + 𝑌))
19	18	eleq1d 2262	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝑌 → (((𝑍 · 𝑋) + 𝑏) ∈ 𝑈 ↔ ((𝑍 · 𝑋) + 𝑌) ∈ 𝑈))
20	14, 17, 19	rspc3v 2881	. . 3 ⊢ ((𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝑈 ∀𝑏 ∈ 𝑈 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈 → ((𝑍 · 𝑋) + 𝑌) ∈ 𝑈))
21	20	3ad2ant3 1022	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝐶 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈)) → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝑈 ∀𝑏 ∈ 𝑈 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈 → ((𝑍 · 𝑋) + 𝑌) ∈ 𝑈))
22	11, 21	mpd 13	1 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝐶 ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈)) → ((𝑍 · 𝑋) + 𝑌) ∈ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   ∧ w3a 980   = wceq 1364  ∃wex 1503   ∈ wcel 2164  ∀wral 2472   ⊆ wss 3154  ‘cfv 5255  (class class class)co 5919  Basecbs 12621  +_gcplusg 12698  Scalarcsca 12701   ·_𝑠 cvsca 12702  LSubSpclss 13851

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1re 7968  ax-addrcl 7971

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-fv 5263  df-ov 5922  df-inn 8985  df-ndx 12624  df-slot 12625  df-base 12627  df-lssm 13852

This theorem is referenced by:  lssvacl  13864  lssvsubcl  13865  lssvscl  13874  islss3  13878  lssintclm  13883