Theorem nn0pnfge0 9983

Description: If a number is a nonnegative integer or positive infinity, it is greater than or equal to 0. (Contributed by Alexander van der Vekens, 6-Jan-2018.)

Assertion

Ref	Expression
nn0pnfge0	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∨ 𝑁 = +∞) → 0 ≤ 𝑁)

Proof of Theorem nn0pnfge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0ge0 9390	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)
2		0lepnf 9982	. . 3 ⊢ 0 ≤ +∞
3		breq2 4086	. . 3 ⊢ (𝑁 = +∞ → (0 ≤ 𝑁 ↔ 0 ≤ +∞))
4	2, 3	mpbiri 168	. 2 ⊢ (𝑁 = +∞ → 0 ≤ 𝑁)
5	1, 4	jaoi 721	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∨ 𝑁 = +∞) → 0 ≤ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 713   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4082  0cc0 7995  +∞cpnf 8174   ≤ cle 8178  ℕ₀cn0 9365

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-i2m1 8100  ax-0lt1 8101  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-ltwlin 8108  ax-pre-lttrn 8109  ax-pre-ltadd 8111

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-br 4083  df-opab 4145  df-xp 4724  df-cnv 4726  df-iota 5277  df-fv 5325  df-ov 6003  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-xr 8181  df-ltxr 8182  df-le 8183  df-inn 9107  df-n0 9366

This theorem is referenced by: (None)