ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xrre2 GIF version

Theorem xrre2 9252
Description: An extended real between two others is real. (Contributed by NM, 6-Feb-2007.)
Assertion
Ref Expression
xrre2 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → 𝐵 ∈ ℝ)

Proof of Theorem xrre2
StepHypRef Expression
1 mnfle 9231 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ* → -∞ ≤ 𝐴)
21adantr 270 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → -∞ ≤ 𝐴)
3 mnfxr 7523 . . . . . . 7 -∞ ∈ ℝ*
4 xrlelttr 9240 . . . . . . 7 ((-∞ ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((-∞ ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵) → -∞ < 𝐵))
53, 4mp3an1 1260 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((-∞ ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵) → -∞ < 𝐵))
62, 5mpand 420 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 → -∞ < 𝐵))
763adant3 963 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 → -∞ < 𝐵))
8 pnfge 9228 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 ≤ +∞)
98adantl 271 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → 𝐶 ≤ +∞)
10 pnfxr 7519 . . . . . . 7 +∞ ∈ ℝ*
11 xrltletr 9241 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((𝐵 < 𝐶𝐶 ≤ +∞) → 𝐵 < +∞))
1210, 11mp3an3 1262 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐵 < 𝐶𝐶 ≤ +∞) → 𝐵 < +∞))
139, 12mpan2d 419 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐵 < 𝐶𝐵 < +∞))
14133adant1 961 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐵 < 𝐶𝐵 < +∞))
157, 14anim12d 328 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶) → (-∞ < 𝐵𝐵 < +∞)))
16 xrrebnd 9250 . . . 4 (𝐵 ∈ ℝ* → (𝐵 ∈ ℝ ↔ (-∞ < 𝐵𝐵 < +∞)))
17163ad2ant2 965 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐵 ∈ ℝ ↔ (-∞ < 𝐵𝐵 < +∞)))
1815, 17sylibrd 167 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶) → 𝐵 ∈ ℝ))
1918imp 122 1 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶)) → 𝐵 ∈ ℝ)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wb 103  w3a 924  wcel 1438   class class class wbr 3837  cr 7328  +∞cpnf 7498  -∞cmnf 7499  *cxr 7500   < clt 7501  cle 7502
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-cnex 7415  ax-resscn 7416  ax-pre-ltirr 7436  ax-pre-ltwlin 7437  ax-pre-lttrn 7438
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-rab 2368  df-v 2621  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-br 3838  df-opab 3892  df-po 4114  df-iso 4115  df-xp 4434  df-cnv 4436  df-pnf 7503  df-mnf 7504  df-xr 7505  df-ltxr 7506  df-le 7507
This theorem is referenced by:  elioore  9299
  Copyright terms: Public domain W3C validator