ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elioc2 GIF version

Theorem elioc2 9286
Description: Membership in an open-below, closed-above real interval. (Contributed by Paul Chapman, 30-Dec-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
elioc2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶𝐶𝐵)))

Proof of Theorem elioc2
StepHypRef Expression
1 rexr 7477 . . 3 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
2 elioc1 9272 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐶𝐶𝐵)))
31, 2sylan2 280 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐶𝐶𝐵)))
4 mnfxr 7488 . . . . . . . 8 -∞ ∈ ℝ*
54a1i 9 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐶𝐶𝐵)) → -∞ ∈ ℝ*)
6 simpll 496 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐶𝐶𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
7 simpr1 947 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐶𝐶𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ*)
8 mnfle 9194 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ* → -∞ ≤ 𝐴)
98ad2antrr 472 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐶𝐶𝐵)) → -∞ ≤ 𝐴)
10 simpr2 948 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐶𝐶𝐵)) → 𝐴 < 𝐶)
115, 6, 7, 9, 10xrlelttrd 9207 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐶𝐶𝐵)) → -∞ < 𝐶)
121ad2antlr 473 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐶𝐶𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
13 pnfxr 7484 . . . . . . . 8 +∞ ∈ ℝ*
1413a1i 9 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐶𝐶𝐵)) → +∞ ∈ ℝ*)
15 simpr3 949 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐶𝐶𝐵)) → 𝐶𝐵)
16 ltpnf 9183 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 < +∞)
1716ad2antlr 473 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐶𝐶𝐵)) → 𝐵 < +∞)
187, 12, 14, 15, 17xrlelttrd 9207 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐶𝐶𝐵)) → 𝐶 < +∞)
19 xrrebnd 9213 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ ℝ* → (𝐶 ∈ ℝ ↔ (-∞ < 𝐶𝐶 < +∞)))
207, 19syl 14 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐶𝐶𝐵)) → (𝐶 ∈ ℝ ↔ (-∞ < 𝐶𝐶 < +∞)))
2111, 18, 20mpbir2and 888 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐶𝐶𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ)
2221, 10, 153jca 1121 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐶𝐶𝐵)) → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶𝐶𝐵))
2322ex 113 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐶 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐶𝐶𝐵) → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶𝐶𝐵)))
24 rexr 7477 . . . 4 (𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ∈ ℝ*)
25243anim1i 1127 . . 3 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶𝐶𝐵) → (𝐶 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐶𝐶𝐵))
2623, 25impbid1 140 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐶 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐶𝐶𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶𝐶𝐵)))
273, 26bitrd 186 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶𝐶𝐵)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wb 103  w3a 922  wcel 1436   class class class wbr 3820  (class class class)co 5613  cr 7293  +∞cpnf 7463  -∞cmnf 7464  *cxr 7465   < clt 7466  cle 7467  (,]cioc 9239
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-sep 3932  ax-pow 3984  ax-pr 4010  ax-un 4234  ax-setind 4326  ax-cnex 7380  ax-resscn 7381  ax-pre-ltirr 7401  ax-pre-ltwlin 7402  ax-pre-lttrn 7403
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 923  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-nel 2347  df-ral 2360  df-rex 2361  df-rab 2364  df-v 2617  df-sbc 2830  df-dif 2990  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-pw 3417  df-sn 3437  df-pr 3438  df-op 3440  df-uni 3637  df-br 3821  df-opab 3875  df-id 4094  df-po 4097  df-iso 4098  df-xp 4417  df-rel 4418  df-cnv 4419  df-co 4420  df-dm 4421  df-iota 4946  df-fun 4983  df-fv 4989  df-ov 5616  df-oprab 5617  df-mpt2 5618  df-pnf 7468  df-mnf 7469  df-xr 7470  df-ltxr 7471  df-le 7472  df-ioc 9243
This theorem is referenced by:  iocssre  9303
  Copyright terms: Public domain W3C validator