![]() |
Intuitionistic Logic Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > mulcompig | GIF version |
Description: Multiplication of positive integers is commutative. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Aug-2019.) |
Ref | Expression |
---|---|
mulcompig | โข ((๐ด โ N โง ๐ต โ N) โ (๐ด ยทN ๐ต) = (๐ต ยทN ๐ด)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | pinn 7327 | . . 3 โข (๐ด โ N โ ๐ด โ ฯ) | |
2 | pinn 7327 | . . 3 โข (๐ต โ N โ ๐ต โ ฯ) | |
3 | nnmcom 6508 | . . 3 โข ((๐ด โ ฯ โง ๐ต โ ฯ) โ (๐ด ยทo ๐ต) = (๐ต ยทo ๐ด)) | |
4 | 1, 2, 3 | syl2an 289 | . 2 โข ((๐ด โ N โง ๐ต โ N) โ (๐ด ยทo ๐ต) = (๐ต ยทo ๐ด)) |
5 | mulpiord 7335 | . 2 โข ((๐ด โ N โง ๐ต โ N) โ (๐ด ยทN ๐ต) = (๐ด ยทo ๐ต)) | |
6 | mulpiord 7335 | . . 3 โข ((๐ต โ N โง ๐ด โ N) โ (๐ต ยทN ๐ด) = (๐ต ยทo ๐ด)) | |
7 | 6 | ancoms 268 | . 2 โข ((๐ด โ N โง ๐ต โ N) โ (๐ต ยทN ๐ด) = (๐ต ยทo ๐ด)) |
8 | 4, 5, 7 | 3eqtr4d 2232 | 1 โข ((๐ด โ N โง ๐ต โ N) โ (๐ด ยทN ๐ต) = (๐ต ยทN ๐ด)) |
Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 104 = wceq 1364 โ wcel 2160 ฯcom 4604 (class class class)co 5891 ยทo comu 6433 Ncnpi 7290 ยทN cmi 7292 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1458 ax-7 1459 ax-gen 1460 ax-ie1 1504 ax-ie2 1505 ax-8 1515 ax-10 1516 ax-11 1517 ax-i12 1518 ax-bndl 1520 ax-4 1521 ax-17 1537 ax-i9 1541 ax-ial 1545 ax-i5r 1546 ax-13 2162 ax-14 2163 ax-ext 2171 ax-coll 4133 ax-sep 4136 ax-nul 4144 ax-pow 4189 ax-pr 4224 ax-un 4448 ax-setind 4551 ax-iinf 4602 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-3an 982 df-tru 1367 df-fal 1370 df-nf 1472 df-sb 1774 df-eu 2041 df-mo 2042 df-clab 2176 df-cleq 2182 df-clel 2185 df-nfc 2321 df-ne 2361 df-ral 2473 df-rex 2474 df-reu 2475 df-rab 2477 df-v 2754 df-sbc 2978 df-csb 3073 df-dif 3146 df-un 3148 df-in 3150 df-ss 3157 df-nul 3438 df-pw 3592 df-sn 3613 df-pr 3614 df-op 3616 df-uni 3825 df-int 3860 df-iun 3903 df-br 4019 df-opab 4080 df-mpt 4081 df-tr 4117 df-id 4308 df-iord 4381 df-on 4383 df-suc 4386 df-iom 4605 df-xp 4647 df-rel 4648 df-cnv 4649 df-co 4650 df-dm 4651 df-rn 4652 df-res 4653 df-ima 4654 df-iota 5193 df-fun 5233 df-fn 5234 df-f 5235 df-f1 5236 df-fo 5237 df-f1o 5238 df-fv 5239 df-ov 5894 df-oprab 5895 df-mpo 5896 df-1st 6159 df-2nd 6160 df-recs 6324 df-irdg 6389 df-oadd 6439 df-omul 6440 df-ni 7322 df-mi 7324 |
This theorem is referenced by: dfplpq2 7372 enqbreq2 7375 enqer 7376 addcmpblnq 7385 mulcmpblnq 7386 ordpipqqs 7392 addcomnqg 7399 addassnqg 7400 mulcomnqg 7401 mulcanenq 7403 distrnqg 7405 mulidnq 7407 recexnq 7408 nqtri3or 7414 ltsonq 7416 ltanqg 7418 ltmnqg 7419 ltexnqq 7426 archnqq 7435 prarloclemarch2 7437 ltnnnq 7441 prarloclemlt 7511 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |