ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mulcompig GIF version

Theorem mulcompig 7153
Description: Multiplication of positive integers is commutative. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Aug-2019.)
Assertion
Ref Expression
mulcompig ((𝐴N𝐵N) → (𝐴 ·N 𝐵) = (𝐵 ·N 𝐴))

Proof of Theorem mulcompig
StepHypRef Expression
1 pinn 7131 . . 3 (𝐴N𝐴 ∈ ω)
2 pinn 7131 . . 3 (𝐵N𝐵 ∈ ω)
3 nnmcom 6385 . . 3 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ·o 𝐵) = (𝐵 ·o 𝐴))
41, 2, 3syl2an 287 . 2 ((𝐴N𝐵N) → (𝐴 ·o 𝐵) = (𝐵 ·o 𝐴))
5 mulpiord 7139 . 2 ((𝐴N𝐵N) → (𝐴 ·N 𝐵) = (𝐴 ·o 𝐵))
6 mulpiord 7139 . . 3 ((𝐵N𝐴N) → (𝐵 ·N 𝐴) = (𝐵 ·o 𝐴))
76ancoms 266 . 2 ((𝐴N𝐵N) → (𝐵 ·N 𝐴) = (𝐵 ·o 𝐴))
84, 5, 73eqtr4d 2182 1 ((𝐴N𝐵N) → (𝐴 ·N 𝐵) = (𝐵 ·N 𝐴))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103   = wceq 1331  wcel 1480  ωcom 4504  (class class class)co 5774   ·o comu 6311  Ncnpi 7094   ·N cmi 7096
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-oadd 6317  df-omul 6318  df-ni 7126  df-mi 7128
This theorem is referenced by:  dfplpq2  7176  enqbreq2  7179  enqer  7180  addcmpblnq  7189  mulcmpblnq  7190  ordpipqqs  7196  addcomnqg  7203  addassnqg  7204  mulcomnqg  7205  mulcanenq  7207  distrnqg  7209  mulidnq  7211  recexnq  7212  nqtri3or  7218  ltsonq  7220  ltanqg  7222  ltmnqg  7223  ltexnqq  7230  archnqq  7239  prarloclemarch2  7241  ltnnnq  7245  prarloclemlt  7315
  Copyright terms: Public domain W3C validator