ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mulcompig GIF version

Theorem mulcompig 7343
Description: Multiplication of positive integers is commutative. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Aug-2019.)
Assertion
Ref Expression
mulcompig ((๐ด โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ N) โ†’ (๐ด ยทN ๐ต) = (๐ต ยทN ๐ด))

Proof of Theorem mulcompig
StepHypRef Expression
1 pinn 7321 . . 3 (๐ด โˆˆ N โ†’ ๐ด โˆˆ ฯ‰)
2 pinn 7321 . . 3 (๐ต โˆˆ N โ†’ ๐ต โˆˆ ฯ‰)
3 nnmcom 6503 . . 3 ((๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ต โˆˆ ฯ‰) โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) = (๐ต ยทo ๐ด))
41, 2, 3syl2an 289 . 2 ((๐ด โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ N) โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) = (๐ต ยทo ๐ด))
5 mulpiord 7329 . 2 ((๐ด โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ N) โ†’ (๐ด ยทN ๐ต) = (๐ด ยทo ๐ต))
6 mulpiord 7329 . . 3 ((๐ต โˆˆ N โˆง ๐ด โˆˆ N) โ†’ (๐ต ยทN ๐ด) = (๐ต ยทo ๐ด))
76ancoms 268 . 2 ((๐ด โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ N) โ†’ (๐ต ยทN ๐ด) = (๐ต ยทo ๐ด))
84, 5, 73eqtr4d 2230 1 ((๐ด โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ N) โ†’ (๐ด ยทN ๐ต) = (๐ต ยทN ๐ด))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   = wceq 1363   โˆˆ wcel 2158  ฯ‰com 4601  (class class class)co 5888   ยทo comu 6428  Ncnpi 7284   ยทN cmi 7286
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-id 4305  df-iord 4378  df-on 4380  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6154  df-2nd 6155  df-recs 6319  df-irdg 6384  df-oadd 6434  df-omul 6435  df-ni 7316  df-mi 7318
This theorem is referenced by:  dfplpq2  7366  enqbreq2  7369  enqer  7370  addcmpblnq  7379  mulcmpblnq  7380  ordpipqqs  7386  addcomnqg  7393  addassnqg  7394  mulcomnqg  7395  mulcanenq  7397  distrnqg  7399  mulidnq  7401  recexnq  7402  nqtri3or  7408  ltsonq  7410  ltanqg  7412  ltmnqg  7413  ltexnqq  7420  archnqq  7429  prarloclemarch2  7431  ltnnnq  7435  prarloclemlt  7505
  Copyright terms: Public domain W3C validator