Theorem mulcompig 7486

Description: Multiplication of positive integers is commutative. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Aug-2019.)

Assertion

Ref	Expression
mulcompig	⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 ·N 𝐵) = (𝐵 ·N 𝐴))

Proof of Theorem mulcompig

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pinn 7464	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ N → 𝐴 ∈ ω)
2		pinn 7464	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ N → 𝐵 ∈ ω)
3		nnmcom 6605	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ·o 𝐵) = (𝐵 ·o 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2an 289	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 ·o 𝐵) = (𝐵 ·o 𝐴))
5		mulpiord 7472	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 ·N 𝐵) = (𝐴 ·o 𝐵))
6		mulpiord 7472	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ N ∧ 𝐴 ∈ N) → (𝐵 ·N 𝐴) = (𝐵 ·o 𝐴))
7	6	ancoms 268	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐵 ·N 𝐴) = (𝐵 ·o 𝐴))
8	4, 5, 7	3eqtr4d 2252	1 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 ·N 𝐵) = (𝐵 ·N 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1375   ∈ wcel 2180  ωcom 4659  (class class class)co 5974   ·_o comu 6530  Ncnpi 7427   ·_N cmi 7429

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 713  ax-5 1473  ax-7 1474  ax-gen 1475  ax-ie1 1519  ax-ie2 1520  ax-8 1530  ax-10 1531  ax-11 1532  ax-i12 1533  ax-bndl 1535  ax-4 1536  ax-17 1552  ax-i9 1556  ax-ial 1560  ax-i5r 1561  ax-13 2182  ax-14 2183  ax-ext 2191  ax-coll 4178  ax-sep 4181  ax-nul 4189  ax-pow 4237  ax-pr 4272  ax-un 4501  ax-setind 4606  ax-iinf 4657

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 985  df-tru 1378  df-fal 1381  df-nf 1487  df-sb 1789  df-eu 2060  df-mo 2061  df-clab 2196  df-cleq 2202  df-clel 2205  df-nfc 2341  df-ne 2381  df-ral 2493  df-rex 2494  df-reu 2495  df-rab 2497  df-v 2781  df-sbc 3009  df-csb 3105  df-dif 3179  df-un 3181  df-in 3183  df-ss 3190  df-nul 3472  df-pw 3631  df-sn 3652  df-pr 3653  df-op 3655  df-uni 3868  df-int 3903  df-iun 3946  df-br 4063  df-opab 4125  df-mpt 4126  df-tr 4162  df-id 4361  df-iord 4434  df-on 4436  df-suc 4439  df-iom 4660  df-xp 4702  df-rel 4703  df-cnv 4704  df-co 4705  df-dm 4706  df-rn 4707  df-res 4708  df-ima 4709  df-iota 5254  df-fun 5296  df-fn 5297  df-f 5298  df-f1 5299  df-fo 5300  df-f1o 5301  df-fv 5302  df-ov 5977  df-oprab 5978  df-mpo 5979  df-1st 6256  df-2nd 6257  df-recs 6421  df-irdg 6486  df-oadd 6536  df-omul 6537  df-ni 7459  df-mi 7461

This theorem is referenced by:  dfplpq2  7509  enqbreq2  7512  enqer  7513  addcmpblnq  7522  mulcmpblnq  7523  ordpipqqs  7529  addcomnqg  7536  addassnqg  7537  mulcomnqg  7538  mulcanenq  7540  distrnqg  7542  mulidnq  7544  recexnq  7545  nqtri3or  7551  ltsonq  7553  ltanqg  7555  ltmnqg  7556  ltexnqq  7563  archnqq  7572  prarloclemarch2  7574  ltnnnq  7578  prarloclemlt  7648