![]() |
Intuitionistic Logic Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > mulcompig | GIF version |
Description: Multiplication of positive integers is commutative. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Aug-2019.) |
Ref | Expression |
---|---|
mulcompig | โข ((๐ด โ N โง ๐ต โ N) โ (๐ด ยทN ๐ต) = (๐ต ยทN ๐ด)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | pinn 7321 | . . 3 โข (๐ด โ N โ ๐ด โ ฯ) | |
2 | pinn 7321 | . . 3 โข (๐ต โ N โ ๐ต โ ฯ) | |
3 | nnmcom 6503 | . . 3 โข ((๐ด โ ฯ โง ๐ต โ ฯ) โ (๐ด ยทo ๐ต) = (๐ต ยทo ๐ด)) | |
4 | 1, 2, 3 | syl2an 289 | . 2 โข ((๐ด โ N โง ๐ต โ N) โ (๐ด ยทo ๐ต) = (๐ต ยทo ๐ด)) |
5 | mulpiord 7329 | . 2 โข ((๐ด โ N โง ๐ต โ N) โ (๐ด ยทN ๐ต) = (๐ด ยทo ๐ต)) | |
6 | mulpiord 7329 | . . 3 โข ((๐ต โ N โง ๐ด โ N) โ (๐ต ยทN ๐ด) = (๐ต ยทo ๐ด)) | |
7 | 6 | ancoms 268 | . 2 โข ((๐ด โ N โง ๐ต โ N) โ (๐ต ยทN ๐ด) = (๐ต ยทo ๐ด)) |
8 | 4, 5, 7 | 3eqtr4d 2230 | 1 โข ((๐ด โ N โง ๐ต โ N) โ (๐ด ยทN ๐ต) = (๐ต ยทN ๐ด)) |
Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 104 = wceq 1363 โ wcel 2158 ฯcom 4601 (class class class)co 5888 ยทo comu 6428 Ncnpi 7284 ยทN cmi 7286 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1457 ax-7 1458 ax-gen 1459 ax-ie1 1503 ax-ie2 1504 ax-8 1514 ax-10 1515 ax-11 1516 ax-i12 1517 ax-bndl 1519 ax-4 1520 ax-17 1536 ax-i9 1540 ax-ial 1544 ax-i5r 1545 ax-13 2160 ax-14 2161 ax-ext 2169 ax-coll 4130 ax-sep 4133 ax-nul 4141 ax-pow 4186 ax-pr 4221 ax-un 4445 ax-setind 4548 ax-iinf 4599 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-3an 981 df-tru 1366 df-fal 1369 df-nf 1471 df-sb 1773 df-eu 2039 df-mo 2040 df-clab 2174 df-cleq 2180 df-clel 2183 df-nfc 2318 df-ne 2358 df-ral 2470 df-rex 2471 df-reu 2472 df-rab 2474 df-v 2751 df-sbc 2975 df-csb 3070 df-dif 3143 df-un 3145 df-in 3147 df-ss 3154 df-nul 3435 df-pw 3589 df-sn 3610 df-pr 3611 df-op 3613 df-uni 3822 df-int 3857 df-iun 3900 df-br 4016 df-opab 4077 df-mpt 4078 df-tr 4114 df-id 4305 df-iord 4378 df-on 4380 df-suc 4383 df-iom 4602 df-xp 4644 df-rel 4645 df-cnv 4646 df-co 4647 df-dm 4648 df-rn 4649 df-res 4650 df-ima 4651 df-iota 5190 df-fun 5230 df-fn 5231 df-f 5232 df-f1 5233 df-fo 5234 df-f1o 5235 df-fv 5236 df-ov 5891 df-oprab 5892 df-mpo 5893 df-1st 6154 df-2nd 6155 df-recs 6319 df-irdg 6384 df-oadd 6434 df-omul 6435 df-ni 7316 df-mi 7318 |
This theorem is referenced by: dfplpq2 7366 enqbreq2 7369 enqer 7370 addcmpblnq 7379 mulcmpblnq 7380 ordpipqqs 7386 addcomnqg 7393 addassnqg 7394 mulcomnqg 7395 mulcanenq 7397 distrnqg 7399 mulidnq 7401 recexnq 7402 nqtri3or 7408 ltsonq 7410 ltanqg 7412 ltmnqg 7413 ltexnqq 7420 archnqq 7429 prarloclemarch2 7431 ltnnnq 7435 prarloclemlt 7505 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |