Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mulcanenq0ec GIF version

Theorem mulcanenq0ec 7101
 Description: Lemma for distributive law: cancellation of common factor. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
mulcanenq0ec ((𝐴N𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶N) → [⟨(𝐴 ·o 𝐵), (𝐴 ·o 𝐶)⟩] ~Q0 = [⟨𝐵, 𝐶⟩] ~Q0 )

Proof of Theorem mulcanenq0ec
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 enq0er 7091 . . 3 ~Q0 Er (ω × N)
21a1i 9 . 2 ((𝐴N𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶N) → ~Q0 Er (ω × N))
3 pinn 6965 . . . . 5 (𝐴N𝐴 ∈ ω)
433ad2ant1 967 . . . 4 ((𝐴N𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶N) → 𝐴 ∈ ω)
5 simp2 947 . . . 4 ((𝐴N𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶N) → 𝐵 ∈ ω)
6 pinn 6965 . . . . 5 (𝐶N𝐶 ∈ ω)
763ad2ant3 969 . . . 4 ((𝐴N𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶N) → 𝐶 ∈ ω)
8 nnmcom 6290 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝑥 ·o 𝑦) = (𝑦 ·o 𝑥))
98adantl 272 . . . 4 (((𝐴N𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶N) ∧ (𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω)) → (𝑥 ·o 𝑦) = (𝑦 ·o 𝑥))
10 nnmass 6288 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → ((𝑥 ·o 𝑦) ·o 𝑧) = (𝑥 ·o (𝑦 ·o 𝑧)))
1110adantl 272 . . . 4 (((𝐴N𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶N) ∧ (𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω)) → ((𝑥 ·o 𝑦) ·o 𝑧) = (𝑥 ·o (𝑦 ·o 𝑧)))
124, 5, 7, 9, 11caov32d 5863 . . 3 ((𝐴N𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶N) → ((𝐴 ·o 𝐵) ·o 𝐶) = ((𝐴 ·o 𝐶) ·o 𝐵))
13 nnmcl 6282 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ·o 𝐵) ∈ ω)
143, 13sylan 278 . . . . . . 7 ((𝐴N𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ·o 𝐵) ∈ ω)
15 mulpiord 6973 . . . . . . . 8 ((𝐴N𝐶N) → (𝐴 ·N 𝐶) = (𝐴 ·o 𝐶))
16 mulclpi 6984 . . . . . . . 8 ((𝐴N𝐶N) → (𝐴 ·N 𝐶) ∈ N)
1715, 16eqeltrrd 2172 . . . . . . 7 ((𝐴N𝐶N) → (𝐴 ·o 𝐶) ∈ N)
1814, 17anim12i 332 . . . . . 6 (((𝐴N𝐵 ∈ ω) ∧ (𝐴N𝐶N)) → ((𝐴 ·o 𝐵) ∈ ω ∧ (𝐴 ·o 𝐶) ∈ N))
19 simpr 109 . . . . . . 7 (((𝐴N𝐴N) ∧ (𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶N)) → (𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶N))
2019an4s 556 . . . . . 6 (((𝐴N𝐵 ∈ ω) ∧ (𝐴N𝐶N)) → (𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶N))
2118, 20jca 301 . . . . 5 (((𝐴N𝐵 ∈ ω) ∧ (𝐴N𝐶N)) → (((𝐴 ·o 𝐵) ∈ ω ∧ (𝐴 ·o 𝐶) ∈ N) ∧ (𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶N)))
22213impdi 1236 . . . 4 ((𝐴N𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶N) → (((𝐴 ·o 𝐵) ∈ ω ∧ (𝐴 ·o 𝐶) ∈ N) ∧ (𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶N)))
23 enq0breq 7092 . . . 4 ((((𝐴 ·o 𝐵) ∈ ω ∧ (𝐴 ·o 𝐶) ∈ N) ∧ (𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶N)) → (⟨(𝐴 ·o 𝐵), (𝐴 ·o 𝐶)⟩ ~Q0𝐵, 𝐶⟩ ↔ ((𝐴 ·o 𝐵) ·o 𝐶) = ((𝐴 ·o 𝐶) ·o 𝐵)))
2422, 23syl 14 . . 3 ((𝐴N𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶N) → (⟨(𝐴 ·o 𝐵), (𝐴 ·o 𝐶)⟩ ~Q0𝐵, 𝐶⟩ ↔ ((𝐴 ·o 𝐵) ·o 𝐶) = ((𝐴 ·o 𝐶) ·o 𝐵)))
2512, 24mpbird 166 . 2 ((𝐴N𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶N) → ⟨(𝐴 ·o 𝐵), (𝐴 ·o 𝐶)⟩ ~Q0𝐵, 𝐶⟩)
262, 25erthi 6378 1 ((𝐴N𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶N) → [⟨(𝐴 ·o 𝐵), (𝐴 ·o 𝐶)⟩] ~Q0 = [⟨𝐵, 𝐶⟩] ~Q0 )
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∧ w3a 927   = wceq 1296   ∈ wcel 1445  ⟨cop 3469   class class class wbr 3867  ωcom 4433   × cxp 4465  (class class class)co 5690   ·o comu 6217   Er wer 6329  [cec 6330  Ncnpi 6928   ·N cmi 6930   ~Q0 ceq0 6942 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-coll 3975  ax-sep 3978  ax-nul 3986  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-setind 4381  ax-iinf 4431 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 784  df-3or 928  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-ral 2375  df-rex 2376  df-reu 2377  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-csb 2948  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-nul 3303  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-int 3711  df-iun 3754  df-br 3868  df-opab 3922  df-mpt 3923  df-tr 3959  df-id 4144  df-iord 4217  df-on 4219  df-suc 4222  df-iom 4434  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-rn 4478  df-res 4479  df-ima 4480  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fn 5052  df-f 5053  df-f1 5054  df-fo 5055  df-f1o 5056  df-fv 5057  df-ov 5693  df-oprab 5694  df-mpt2 5695  df-1st 5949  df-2nd 5950  df-recs 6108  df-irdg 6173  df-oadd 6223  df-omul 6224  df-er 6332  df-ec 6334  df-ni 6960  df-mi 6962  df-enq0 7080 This theorem is referenced by:  nnanq0  7114  distrnq0  7115
 Copyright terms: Public domain W3C validator