ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mulcanenq0ec GIF version

Theorem mulcanenq0ec 7443
Description: Lemma for distributive law: cancellation of common factor. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
mulcanenq0ec ((๐ด โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ถ โˆˆ N) โ†’ [โŸจ(๐ด ยทo ๐ต), (๐ด ยทo ๐ถ)โŸฉ] ~Q0 = [โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉ] ~Q0 )

Proof of Theorem mulcanenq0ec
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 enq0er 7433 . . 3 ~Q0 Er (ฯ‰ ร— N)
21a1i 9 . 2 ((๐ด โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ถ โˆˆ N) โ†’ ~Q0 Er (ฯ‰ ร— N))
3 pinn 7307 . . . . 5 (๐ด โˆˆ N โ†’ ๐ด โˆˆ ฯ‰)
433ad2ant1 1018 . . . 4 ((๐ด โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ถ โˆˆ N) โ†’ ๐ด โˆˆ ฯ‰)
5 simp2 998 . . . 4 ((๐ด โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ถ โˆˆ N) โ†’ ๐ต โˆˆ ฯ‰)
6 pinn 7307 . . . . 5 (๐ถ โˆˆ N โ†’ ๐ถ โˆˆ ฯ‰)
763ad2ant3 1020 . . . 4 ((๐ด โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ถ โˆˆ N) โ†’ ๐ถ โˆˆ ฯ‰)
8 nnmcom 6489 . . . . 5 ((๐‘ฅ โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โ†’ (๐‘ฅ ยทo ๐‘ฆ) = (๐‘ฆ ยทo ๐‘ฅ))
98adantl 277 . . . 4 (((๐ด โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ถ โˆˆ N) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰)) โ†’ (๐‘ฅ ยทo ๐‘ฆ) = (๐‘ฆ ยทo ๐‘ฅ))
10 nnmass 6487 . . . . 5 ((๐‘ฅ โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ง โˆˆ ฯ‰) โ†’ ((๐‘ฅ ยทo ๐‘ฆ) ยทo ๐‘ง) = (๐‘ฅ ยทo (๐‘ฆ ยทo ๐‘ง)))
1110adantl 277 . . . 4 (((๐ด โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ถ โˆˆ N) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ง โˆˆ ฯ‰)) โ†’ ((๐‘ฅ ยทo ๐‘ฆ) ยทo ๐‘ง) = (๐‘ฅ ยทo (๐‘ฆ ยทo ๐‘ง)))
124, 5, 7, 9, 11caov32d 6054 . . 3 ((๐ด โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ถ โˆˆ N) โ†’ ((๐ด ยทo ๐ต) ยทo ๐ถ) = ((๐ด ยทo ๐ถ) ยทo ๐ต))
13 nnmcl 6481 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ต โˆˆ ฯ‰) โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ ฯ‰)
143, 13sylan 283 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ ฯ‰) โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ ฯ‰)
15 mulpiord 7315 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ N โˆง ๐ถ โˆˆ N) โ†’ (๐ด ยทN ๐ถ) = (๐ด ยทo ๐ถ))
16 mulclpi 7326 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ N โˆง ๐ถ โˆˆ N) โ†’ (๐ด ยทN ๐ถ) โˆˆ N)
1715, 16eqeltrrd 2255 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ N โˆง ๐ถ โˆˆ N) โ†’ (๐ด ยทo ๐ถ) โˆˆ N)
1814, 17anim12i 338 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ ฯ‰) โˆง (๐ด โˆˆ N โˆง ๐ถ โˆˆ N)) โ†’ ((๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ ฯ‰ โˆง (๐ด ยทo ๐ถ) โˆˆ N))
19 simpr 110 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ N โˆง ๐ด โˆˆ N) โˆง (๐ต โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ถ โˆˆ N)) โ†’ (๐ต โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ถ โˆˆ N))
2019an4s 588 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ ฯ‰) โˆง (๐ด โˆˆ N โˆง ๐ถ โˆˆ N)) โ†’ (๐ต โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ถ โˆˆ N))
2118, 20jca 306 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ ฯ‰) โˆง (๐ด โˆˆ N โˆง ๐ถ โˆˆ N)) โ†’ (((๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ ฯ‰ โˆง (๐ด ยทo ๐ถ) โˆˆ N) โˆง (๐ต โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ถ โˆˆ N)))
22213impdi 1293 . . . 4 ((๐ด โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ถ โˆˆ N) โ†’ (((๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ ฯ‰ โˆง (๐ด ยทo ๐ถ) โˆˆ N) โˆง (๐ต โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ถ โˆˆ N)))
23 enq0breq 7434 . . . 4 ((((๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ ฯ‰ โˆง (๐ด ยทo ๐ถ) โˆˆ N) โˆง (๐ต โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ถ โˆˆ N)) โ†’ (โŸจ(๐ด ยทo ๐ต), (๐ด ยทo ๐ถ)โŸฉ ~Q0 โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉ โ†” ((๐ด ยทo ๐ต) ยทo ๐ถ) = ((๐ด ยทo ๐ถ) ยทo ๐ต)))
2422, 23syl 14 . . 3 ((๐ด โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ถ โˆˆ N) โ†’ (โŸจ(๐ด ยทo ๐ต), (๐ด ยทo ๐ถ)โŸฉ ~Q0 โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉ โ†” ((๐ด ยทo ๐ต) ยทo ๐ถ) = ((๐ด ยทo ๐ถ) ยทo ๐ต)))
2512, 24mpbird 167 . 2 ((๐ด โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ถ โˆˆ N) โ†’ โŸจ(๐ด ยทo ๐ต), (๐ด ยทo ๐ถ)โŸฉ ~Q0 โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉ)
262, 25erthi 6580 1 ((๐ด โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ถ โˆˆ N) โ†’ [โŸจ(๐ด ยทo ๐ต), (๐ด ยทo ๐ถ)โŸฉ] ~Q0 = [โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉ] ~Q0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โ†” wb 105   โˆง w3a 978   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148  โŸจcop 3595   class class class wbr 4003  ฯ‰com 4589   ร— cxp 4624  (class class class)co 5874   ยทo comu 6414   Er wer 6531  [cec 6532  Ncnpi 7270   ยทN cmi 7272   ~Q0 ceq0 7284
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-iord 4366  df-on 4368  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-irdg 6370  df-oadd 6420  df-omul 6421  df-er 6534  df-ec 6536  df-ni 7302  df-mi 7304  df-enq0 7422
This theorem is referenced by:  nnanq0  7456  distrnq0  7457
  Copyright terms: Public domain W3C validator