ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mulcanenq0ec GIF version

Theorem mulcanenq0ec 7260
Description: Lemma for distributive law: cancellation of common factor. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
mulcanenq0ec ((𝐴N𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶N) → [⟨(𝐴 ·o 𝐵), (𝐴 ·o 𝐶)⟩] ~Q0 = [⟨𝐵, 𝐶⟩] ~Q0 )

Proof of Theorem mulcanenq0ec
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 enq0er 7250 . . 3 ~Q0 Er (ω × N)
21a1i 9 . 2 ((𝐴N𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶N) → ~Q0 Er (ω × N))
3 pinn 7124 . . . . 5 (𝐴N𝐴 ∈ ω)
433ad2ant1 1002 . . . 4 ((𝐴N𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶N) → 𝐴 ∈ ω)
5 simp2 982 . . . 4 ((𝐴N𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶N) → 𝐵 ∈ ω)
6 pinn 7124 . . . . 5 (𝐶N𝐶 ∈ ω)
763ad2ant3 1004 . . . 4 ((𝐴N𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶N) → 𝐶 ∈ ω)
8 nnmcom 6385 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝑥 ·o 𝑦) = (𝑦 ·o 𝑥))
98adantl 275 . . . 4 (((𝐴N𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶N) ∧ (𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω)) → (𝑥 ·o 𝑦) = (𝑦 ·o 𝑥))
10 nnmass 6383 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → ((𝑥 ·o 𝑦) ·o 𝑧) = (𝑥 ·o (𝑦 ·o 𝑧)))
1110adantl 275 . . . 4 (((𝐴N𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶N) ∧ (𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω)) → ((𝑥 ·o 𝑦) ·o 𝑧) = (𝑥 ·o (𝑦 ·o 𝑧)))
124, 5, 7, 9, 11caov32d 5951 . . 3 ((𝐴N𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶N) → ((𝐴 ·o 𝐵) ·o 𝐶) = ((𝐴 ·o 𝐶) ·o 𝐵))
13 nnmcl 6377 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ·o 𝐵) ∈ ω)
143, 13sylan 281 . . . . . . 7 ((𝐴N𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ·o 𝐵) ∈ ω)
15 mulpiord 7132 . . . . . . . 8 ((𝐴N𝐶N) → (𝐴 ·N 𝐶) = (𝐴 ·o 𝐶))
16 mulclpi 7143 . . . . . . . 8 ((𝐴N𝐶N) → (𝐴 ·N 𝐶) ∈ N)
1715, 16eqeltrrd 2217 . . . . . . 7 ((𝐴N𝐶N) → (𝐴 ·o 𝐶) ∈ N)
1814, 17anim12i 336 . . . . . 6 (((𝐴N𝐵 ∈ ω) ∧ (𝐴N𝐶N)) → ((𝐴 ·o 𝐵) ∈ ω ∧ (𝐴 ·o 𝐶) ∈ N))
19 simpr 109 . . . . . . 7 (((𝐴N𝐴N) ∧ (𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶N)) → (𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶N))
2019an4s 577 . . . . . 6 (((𝐴N𝐵 ∈ ω) ∧ (𝐴N𝐶N)) → (𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶N))
2118, 20jca 304 . . . . 5 (((𝐴N𝐵 ∈ ω) ∧ (𝐴N𝐶N)) → (((𝐴 ·o 𝐵) ∈ ω ∧ (𝐴 ·o 𝐶) ∈ N) ∧ (𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶N)))
22213impdi 1271 . . . 4 ((𝐴N𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶N) → (((𝐴 ·o 𝐵) ∈ ω ∧ (𝐴 ·o 𝐶) ∈ N) ∧ (𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶N)))
23 enq0breq 7251 . . . 4 ((((𝐴 ·o 𝐵) ∈ ω ∧ (𝐴 ·o 𝐶) ∈ N) ∧ (𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶N)) → (⟨(𝐴 ·o 𝐵), (𝐴 ·o 𝐶)⟩ ~Q0𝐵, 𝐶⟩ ↔ ((𝐴 ·o 𝐵) ·o 𝐶) = ((𝐴 ·o 𝐶) ·o 𝐵)))
2422, 23syl 14 . . 3 ((𝐴N𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶N) → (⟨(𝐴 ·o 𝐵), (𝐴 ·o 𝐶)⟩ ~Q0𝐵, 𝐶⟩ ↔ ((𝐴 ·o 𝐵) ·o 𝐶) = ((𝐴 ·o 𝐶) ·o 𝐵)))
2512, 24mpbird 166 . 2 ((𝐴N𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶N) → ⟨(𝐴 ·o 𝐵), (𝐴 ·o 𝐶)⟩ ~Q0𝐵, 𝐶⟩)
262, 25erthi 6475 1 ((𝐴N𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶N) → [⟨(𝐴 ·o 𝐵), (𝐴 ·o 𝐶)⟩] ~Q0 = [⟨𝐵, 𝐶⟩] ~Q0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104  w3a 962   = wceq 1331  wcel 1480  cop 3530   class class class wbr 3929  ωcom 4504   × cxp 4537  (class class class)co 5774   ·o comu 6311   Er wer 6426  [cec 6427  Ncnpi 7087   ·N cmi 7089   ~Q0 ceq0 7101
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-oadd 6317  df-omul 6318  df-er 6429  df-ec 6431  df-ni 7119  df-mi 7121  df-enq0 7239
This theorem is referenced by:  nnanq0  7273  distrnq0  7274
  Copyright terms: Public domain W3C validator