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Theorem addcmpblnq0 7366
Description: Lemma showing compatibility of addition on nonnegative fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
addcmpblnq0 ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵N) ∧ (𝐶 ∈ ω ∧ 𝐷N)) ∧ ((𝐹 ∈ ω ∧ 𝐺N) ∧ (𝑅 ∈ ω ∧ 𝑆N))) → (((𝐴 ·o 𝐷) = (𝐵 ·o 𝐶) ∧ (𝐹 ·o 𝑆) = (𝐺 ·o 𝑅)) → ⟨((𝐴 ·o 𝐺) +o (𝐵 ·o 𝐹)), (𝐵 ·o 𝐺)⟩ ~Q0 ⟨((𝐶 ·o 𝑆) +o (𝐷 ·o 𝑅)), (𝐷 ·o 𝑆)⟩))

Proof of Theorem addcmpblnq0
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nndi 6436 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (𝑥 ·o (𝑦 +o 𝑧)) = ((𝑥 ·o 𝑦) +o (𝑥 ·o 𝑧)))
21adantl 275 . . . . . . 7 (((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵N) ∧ (𝐶 ∈ ω ∧ 𝐷N)) ∧ ((𝐹 ∈ ω ∧ 𝐺N) ∧ (𝑅 ∈ ω ∧ 𝑆N))) ∧ (𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω)) → (𝑥 ·o (𝑦 +o 𝑧)) = ((𝑥 ·o 𝑦) +o (𝑥 ·o 𝑧)))
3 simplll 523 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵N) ∧ (𝐶 ∈ ω ∧ 𝐷N)) ∧ ((𝐹 ∈ ω ∧ 𝐺N) ∧ (𝑅 ∈ ω ∧ 𝑆N))) → 𝐴 ∈ ω)
4 simprlr 528 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵N) ∧ (𝐶 ∈ ω ∧ 𝐷N)) ∧ ((𝐹 ∈ ω ∧ 𝐺N) ∧ (𝑅 ∈ ω ∧ 𝑆N))) → 𝐺N)
5 pinn 7232 . . . . . . . . 9 (𝐺N𝐺 ∈ ω)
64, 5syl 14 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵N) ∧ (𝐶 ∈ ω ∧ 𝐷N)) ∧ ((𝐹 ∈ ω ∧ 𝐺N) ∧ (𝑅 ∈ ω ∧ 𝑆N))) → 𝐺 ∈ ω)
7 nnmcl 6431 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐺 ∈ ω) → (𝐴 ·o 𝐺) ∈ ω)
83, 6, 7syl2anc 409 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵N) ∧ (𝐶 ∈ ω ∧ 𝐷N)) ∧ ((𝐹 ∈ ω ∧ 𝐺N) ∧ (𝑅 ∈ ω ∧ 𝑆N))) → (𝐴 ·o 𝐺) ∈ ω)
9 simpllr 524 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵N) ∧ (𝐶 ∈ ω ∧ 𝐷N)) ∧ ((𝐹 ∈ ω ∧ 𝐺N) ∧ (𝑅 ∈ ω ∧ 𝑆N))) → 𝐵N)
10 pinn 7232 . . . . . . . . 9 (𝐵N𝐵 ∈ ω)
119, 10syl 14 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵N) ∧ (𝐶 ∈ ω ∧ 𝐷N)) ∧ ((𝐹 ∈ ω ∧ 𝐺N) ∧ (𝑅 ∈ ω ∧ 𝑆N))) → 𝐵 ∈ ω)
12 simprll 527 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵N) ∧ (𝐶 ∈ ω ∧ 𝐷N)) ∧ ((𝐹 ∈ ω ∧ 𝐺N) ∧ (𝑅 ∈ ω ∧ 𝑆N))) → 𝐹 ∈ ω)
13 nnmcl 6431 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ω ∧ 𝐹 ∈ ω) → (𝐵 ·o 𝐹) ∈ ω)
1411, 12, 13syl2anc 409 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵N) ∧ (𝐶 ∈ ω ∧ 𝐷N)) ∧ ((𝐹 ∈ ω ∧ 𝐺N) ∧ (𝑅 ∈ ω ∧ 𝑆N))) → (𝐵 ·o 𝐹) ∈ ω)
15 simplrr 526 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵N) ∧ (𝐶 ∈ ω ∧ 𝐷N)) ∧ ((𝐹 ∈ ω ∧ 𝐺N) ∧ (𝑅 ∈ ω ∧ 𝑆N))) → 𝐷N)
16 pinn 7232 . . . . . . . . 9 (𝐷N𝐷 ∈ ω)
1715, 16syl 14 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵N) ∧ (𝐶 ∈ ω ∧ 𝐷N)) ∧ ((𝐹 ∈ ω ∧ 𝐺N) ∧ (𝑅 ∈ ω ∧ 𝑆N))) → 𝐷 ∈ ω)
18 simprrr 530 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵N) ∧ (𝐶 ∈ ω ∧ 𝐷N)) ∧ ((𝐹 ∈ ω ∧ 𝐺N) ∧ (𝑅 ∈ ω ∧ 𝑆N))) → 𝑆N)
19 pinn 7232 . . . . . . . . 9 (𝑆N𝑆 ∈ ω)
2018, 19syl 14 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵N) ∧ (𝐶 ∈ ω ∧ 𝐷N)) ∧ ((𝐹 ∈ ω ∧ 𝐺N) ∧ (𝑅 ∈ ω ∧ 𝑆N))) → 𝑆 ∈ ω)
21 nnmcl 6431 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ ω ∧ 𝑆 ∈ ω) → (𝐷 ·o 𝑆) ∈ ω)
2217, 20, 21syl2anc 409 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵N) ∧ (𝐶 ∈ ω ∧ 𝐷N)) ∧ ((𝐹 ∈ ω ∧ 𝐺N) ∧ (𝑅 ∈ ω ∧ 𝑆N))) → (𝐷 ·o 𝑆) ∈ ω)
23 nnacl 6430 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝑥 +o 𝑦) ∈ ω)
2423adantl 275 . . . . . . 7 (((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵N) ∧ (𝐶 ∈ ω ∧ 𝐷N)) ∧ ((𝐹 ∈ ω ∧ 𝐺N) ∧ (𝑅 ∈ ω ∧ 𝑆N))) ∧ (𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω)) → (𝑥 +o 𝑦) ∈ ω)
25 nnmcom 6439 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝑥 ·o 𝑦) = (𝑦 ·o 𝑥))
2625adantl 275 . . . . . . 7 (((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵N) ∧ (𝐶 ∈ ω ∧ 𝐷N)) ∧ ((𝐹 ∈ ω ∧ 𝐺N) ∧ (𝑅 ∈ ω ∧ 𝑆N))) ∧ (𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω)) → (𝑥 ·o 𝑦) = (𝑦 ·o 𝑥))
272, 8, 14, 22, 24, 26caovdir2d 6000 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵N) ∧ (𝐶 ∈ ω ∧ 𝐷N)) ∧ ((𝐹 ∈ ω ∧ 𝐺N) ∧ (𝑅 ∈ ω ∧ 𝑆N))) → (((𝐴 ·o 𝐺) +o (𝐵 ·o 𝐹)) ·o (𝐷 ·o 𝑆)) = (((𝐴 ·o 𝐺) ·o (𝐷 ·o 𝑆)) +o ((𝐵 ·o 𝐹) ·o (𝐷 ·o 𝑆))))
28 nnmass 6437 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → ((𝑥 ·o 𝑦) ·o 𝑧) = (𝑥 ·o (𝑦 ·o 𝑧)))
2928adantl 275 . . . . . . . 8 (((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵N) ∧ (𝐶 ∈ ω ∧ 𝐷N)) ∧ ((𝐹 ∈ ω ∧ 𝐺N) ∧ (𝑅 ∈ ω ∧ 𝑆N))) ∧ (𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω)) → ((𝑥 ·o 𝑦) ·o 𝑧) = (𝑥 ·o (𝑦 ·o 𝑧)))
30 nnmcl 6431 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝑥 ·o 𝑦) ∈ ω)
3130adantl 275 . . . . . . . 8 (((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵N) ∧ (𝐶 ∈ ω ∧ 𝐷N)) ∧ ((𝐹 ∈ ω ∧ 𝐺N) ∧ (𝑅 ∈ ω ∧ 𝑆N))) ∧ (𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω)) → (𝑥 ·o 𝑦) ∈ ω)
323, 6, 17, 26, 29, 20, 31caov4d 6008 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵N) ∧ (𝐶 ∈ ω ∧ 𝐷N)) ∧ ((𝐹 ∈ ω ∧ 𝐺N) ∧ (𝑅 ∈ ω ∧ 𝑆N))) → ((𝐴 ·o 𝐺) ·o (𝐷 ·o 𝑆)) = ((𝐴 ·o 𝐷) ·o (𝐺 ·o 𝑆)))
3311, 12, 17, 26, 29, 20, 31caov4d 6008 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵N) ∧ (𝐶 ∈ ω ∧ 𝐷N)) ∧ ((𝐹 ∈ ω ∧ 𝐺N) ∧ (𝑅 ∈ ω ∧ 𝑆N))) → ((𝐵 ·o 𝐹) ·o (𝐷 ·o 𝑆)) = ((𝐵 ·o 𝐷) ·o (𝐹 ·o 𝑆)))
3432, 33oveq12d 5845 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵N) ∧ (𝐶 ∈ ω ∧ 𝐷N)) ∧ ((𝐹 ∈ ω ∧ 𝐺N) ∧ (𝑅 ∈ ω ∧ 𝑆N))) → (((𝐴 ·o 𝐺) ·o (𝐷 ·o 𝑆)) +o ((𝐵 ·o 𝐹) ·o (𝐷 ·o 𝑆))) = (((𝐴 ·o 𝐷) ·o (𝐺 ·o 𝑆)) +o ((𝐵 ·o 𝐷) ·o (𝐹 ·o 𝑆))))
3527, 34eqtrd 2190 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵N) ∧ (𝐶 ∈ ω ∧ 𝐷N)) ∧ ((𝐹 ∈ ω ∧ 𝐺N) ∧ (𝑅 ∈ ω ∧ 𝑆N))) → (((𝐴 ·o 𝐺) +o (𝐵 ·o 𝐹)) ·o (𝐷 ·o 𝑆)) = (((𝐴 ·o 𝐷) ·o (𝐺 ·o 𝑆)) +o ((𝐵 ·o 𝐷) ·o (𝐹 ·o 𝑆))))
36 oveq1 5834 . . . . . 6 ((𝐴 ·o 𝐷) = (𝐵 ·o 𝐶) → ((𝐴 ·o 𝐷) ·o (𝐺 ·o 𝑆)) = ((𝐵 ·o 𝐶) ·o (𝐺 ·o 𝑆)))
37 oveq2 5835 . . . . . 6 ((𝐹 ·o 𝑆) = (𝐺 ·o 𝑅) → ((𝐵 ·o 𝐷) ·o (𝐹 ·o 𝑆)) = ((𝐵 ·o 𝐷) ·o (𝐺 ·o 𝑅)))
3836, 37oveqan12d 5846 . . . . 5 (((𝐴 ·o 𝐷) = (𝐵 ·o 𝐶) ∧ (𝐹 ·o 𝑆) = (𝐺 ·o 𝑅)) → (((𝐴 ·o 𝐷) ·o (𝐺 ·o 𝑆)) +o ((𝐵 ·o 𝐷) ·o (𝐹 ·o 𝑆))) = (((𝐵 ·o 𝐶) ·o (𝐺 ·o 𝑆)) +o ((𝐵 ·o 𝐷) ·o (𝐺 ·o 𝑅))))
3935, 38sylan9eq 2210 . . . 4 (((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵N) ∧ (𝐶 ∈ ω ∧ 𝐷N)) ∧ ((𝐹 ∈ ω ∧ 𝐺N) ∧ (𝑅 ∈ ω ∧ 𝑆N))) ∧ ((𝐴 ·o 𝐷) = (𝐵 ·o 𝐶) ∧ (𝐹 ·o 𝑆) = (𝐺 ·o 𝑅))) → (((𝐴 ·o 𝐺) +o (𝐵 ·o 𝐹)) ·o (𝐷 ·o 𝑆)) = (((𝐵 ·o 𝐶) ·o (𝐺 ·o 𝑆)) +o ((𝐵 ·o 𝐷) ·o (𝐺 ·o 𝑅))))
40 nnmcl 6431 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ω ∧ 𝐺 ∈ ω) → (𝐵 ·o 𝐺) ∈ ω)
4111, 6, 40syl2anc 409 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵N) ∧ (𝐶 ∈ ω ∧ 𝐷N)) ∧ ((𝐹 ∈ ω ∧ 𝐺N) ∧ (𝑅 ∈ ω ∧ 𝑆N))) → (𝐵 ·o 𝐺) ∈ ω)
42 simplrl 525 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵N) ∧ (𝐶 ∈ ω ∧ 𝐷N)) ∧ ((𝐹 ∈ ω ∧ 𝐺N) ∧ (𝑅 ∈ ω ∧ 𝑆N))) → 𝐶 ∈ ω)
43 nnmcl 6431 . . . . . . . 8 ((𝐶 ∈ ω ∧ 𝑆 ∈ ω) → (𝐶 ·o 𝑆) ∈ ω)
4442, 20, 43syl2anc 409 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵N) ∧ (𝐶 ∈ ω ∧ 𝐷N)) ∧ ((𝐹 ∈ ω ∧ 𝐺N) ∧ (𝑅 ∈ ω ∧ 𝑆N))) → (𝐶 ·o 𝑆) ∈ ω)
45 simprrl 529 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵N) ∧ (𝐶 ∈ ω ∧ 𝐷N)) ∧ ((𝐹 ∈ ω ∧ 𝐺N) ∧ (𝑅 ∈ ω ∧ 𝑆N))) → 𝑅 ∈ ω)
46 nnmcl 6431 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ ω ∧ 𝑅 ∈ ω) → (𝐷 ·o 𝑅) ∈ ω)
4717, 45, 46syl2anc 409 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵N) ∧ (𝐶 ∈ ω ∧ 𝐷N)) ∧ ((𝐹 ∈ ω ∧ 𝐺N) ∧ (𝑅 ∈ ω ∧ 𝑆N))) → (𝐷 ·o 𝑅) ∈ ω)
48 nndi 6436 . . . . . . 7 (((𝐵 ·o 𝐺) ∈ ω ∧ (𝐶 ·o 𝑆) ∈ ω ∧ (𝐷 ·o 𝑅) ∈ ω) → ((𝐵 ·o 𝐺) ·o ((𝐶 ·o 𝑆) +o (𝐷 ·o 𝑅))) = (((𝐵 ·o 𝐺) ·o (𝐶 ·o 𝑆)) +o ((𝐵 ·o 𝐺) ·o (𝐷 ·o 𝑅))))
4941, 44, 47, 48syl3anc 1220 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵N) ∧ (𝐶 ∈ ω ∧ 𝐷N)) ∧ ((𝐹 ∈ ω ∧ 𝐺N) ∧ (𝑅 ∈ ω ∧ 𝑆N))) → ((𝐵 ·o 𝐺) ·o ((𝐶 ·o 𝑆) +o (𝐷 ·o 𝑅))) = (((𝐵 ·o 𝐺) ·o (𝐶 ·o 𝑆)) +o ((𝐵 ·o 𝐺) ·o (𝐷 ·o 𝑅))))
5011, 6, 42, 26, 29, 20, 31caov4d 6008 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵N) ∧ (𝐶 ∈ ω ∧ 𝐷N)) ∧ ((𝐹 ∈ ω ∧ 𝐺N) ∧ (𝑅 ∈ ω ∧ 𝑆N))) → ((𝐵 ·o 𝐺) ·o (𝐶 ·o 𝑆)) = ((𝐵 ·o 𝐶) ·o (𝐺 ·o 𝑆)))
5111, 6, 17, 26, 29, 45, 31caov4d 6008 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵N) ∧ (𝐶 ∈ ω ∧ 𝐷N)) ∧ ((𝐹 ∈ ω ∧ 𝐺N) ∧ (𝑅 ∈ ω ∧ 𝑆N))) → ((𝐵 ·o 𝐺) ·o (𝐷 ·o 𝑅)) = ((𝐵 ·o 𝐷) ·o (𝐺 ·o 𝑅)))
5250, 51oveq12d 5845 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵N) ∧ (𝐶 ∈ ω ∧ 𝐷N)) ∧ ((𝐹 ∈ ω ∧ 𝐺N) ∧ (𝑅 ∈ ω ∧ 𝑆N))) → (((𝐵 ·o 𝐺) ·o (𝐶 ·o 𝑆)) +o ((𝐵 ·o 𝐺) ·o (𝐷 ·o 𝑅))) = (((𝐵 ·o 𝐶) ·o (𝐺 ·o 𝑆)) +o ((𝐵 ·o 𝐷) ·o (𝐺 ·o 𝑅))))
5349, 52eqtrd 2190 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵N) ∧ (𝐶 ∈ ω ∧ 𝐷N)) ∧ ((𝐹 ∈ ω ∧ 𝐺N) ∧ (𝑅 ∈ ω ∧ 𝑆N))) → ((𝐵 ·o 𝐺) ·o ((𝐶 ·o 𝑆) +o (𝐷 ·o 𝑅))) = (((𝐵 ·o 𝐶) ·o (𝐺 ·o 𝑆)) +o ((𝐵 ·o 𝐷) ·o (𝐺 ·o 𝑅))))
5453adantr 274 . . . 4 (((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵N) ∧ (𝐶 ∈ ω ∧ 𝐷N)) ∧ ((𝐹 ∈ ω ∧ 𝐺N) ∧ (𝑅 ∈ ω ∧ 𝑆N))) ∧ ((𝐴 ·o 𝐷) = (𝐵 ·o 𝐶) ∧ (𝐹 ·o 𝑆) = (𝐺 ·o 𝑅))) → ((𝐵 ·o 𝐺) ·o ((𝐶 ·o 𝑆) +o (𝐷 ·o 𝑅))) = (((𝐵 ·o 𝐶) ·o (𝐺 ·o 𝑆)) +o ((𝐵 ·o 𝐷) ·o (𝐺 ·o 𝑅))))
5539, 54eqtr4d 2193 . . 3 (((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵N) ∧ (𝐶 ∈ ω ∧ 𝐷N)) ∧ ((𝐹 ∈ ω ∧ 𝐺N) ∧ (𝑅 ∈ ω ∧ 𝑆N))) ∧ ((𝐴 ·o 𝐷) = (𝐵 ·o 𝐶) ∧ (𝐹 ·o 𝑆) = (𝐺 ·o 𝑅))) → (((𝐴 ·o 𝐺) +o (𝐵 ·o 𝐹)) ·o (𝐷 ·o 𝑆)) = ((𝐵 ·o 𝐺) ·o ((𝐶 ·o 𝑆) +o (𝐷 ·o 𝑅))))
56 nnacl 6430 . . . . . 6 (((𝐴 ·o 𝐺) ∈ ω ∧ (𝐵 ·o 𝐹) ∈ ω) → ((𝐴 ·o 𝐺) +o (𝐵 ·o 𝐹)) ∈ ω)
578, 14, 56syl2anc 409 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵N) ∧ (𝐶 ∈ ω ∧ 𝐷N)) ∧ ((𝐹 ∈ ω ∧ 𝐺N) ∧ (𝑅 ∈ ω ∧ 𝑆N))) → ((𝐴 ·o 𝐺) +o (𝐵 ·o 𝐹)) ∈ ω)
58 mulpiord 7240 . . . . . . . 8 ((𝐵N𝐺N) → (𝐵 ·N 𝐺) = (𝐵 ·o 𝐺))
59 mulclpi 7251 . . . . . . . 8 ((𝐵N𝐺N) → (𝐵 ·N 𝐺) ∈ N)
6058, 59eqeltrrd 2235 . . . . . . 7 ((𝐵N𝐺N) → (𝐵 ·o 𝐺) ∈ N)
6160ad2ant2l 500 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵N) ∧ (𝐹 ∈ ω ∧ 𝐺N)) → (𝐵 ·o 𝐺) ∈ N)
6261ad2ant2r 501 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵N) ∧ (𝐶 ∈ ω ∧ 𝐷N)) ∧ ((𝐹 ∈ ω ∧ 𝐺N) ∧ (𝑅 ∈ ω ∧ 𝑆N))) → (𝐵 ·o 𝐺) ∈ N)
63 nnacl 6430 . . . . . 6 (((𝐶 ·o 𝑆) ∈ ω ∧ (𝐷 ·o 𝑅) ∈ ω) → ((𝐶 ·o 𝑆) +o (𝐷 ·o 𝑅)) ∈ ω)
6444, 47, 63syl2anc 409 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵N) ∧ (𝐶 ∈ ω ∧ 𝐷N)) ∧ ((𝐹 ∈ ω ∧ 𝐺N) ∧ (𝑅 ∈ ω ∧ 𝑆N))) → ((𝐶 ·o 𝑆) +o (𝐷 ·o 𝑅)) ∈ ω)
65 mulpiord 7240 . . . . . . . 8 ((𝐷N𝑆N) → (𝐷 ·N 𝑆) = (𝐷 ·o 𝑆))
66 mulclpi 7251 . . . . . . . 8 ((𝐷N𝑆N) → (𝐷 ·N 𝑆) ∈ N)
6765, 66eqeltrrd 2235 . . . . . . 7 ((𝐷N𝑆N) → (𝐷 ·o 𝑆) ∈ N)
6867ad2ant2l 500 . . . . . 6 (((𝐶 ∈ ω ∧ 𝐷N) ∧ (𝑅 ∈ ω ∧ 𝑆N)) → (𝐷 ·o 𝑆) ∈ N)
6968ad2ant2l 500 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵N) ∧ (𝐶 ∈ ω ∧ 𝐷N)) ∧ ((𝐹 ∈ ω ∧ 𝐺N) ∧ (𝑅 ∈ ω ∧ 𝑆N))) → (𝐷 ·o 𝑆) ∈ N)
70 enq0breq 7359 . . . . 5 (((((𝐴 ·o 𝐺) +o (𝐵 ·o 𝐹)) ∈ ω ∧ (𝐵 ·o 𝐺) ∈ N) ∧ (((𝐶 ·o 𝑆) +o (𝐷 ·o 𝑅)) ∈ ω ∧ (𝐷 ·o 𝑆) ∈ N)) → (⟨((𝐴 ·o 𝐺) +o (𝐵 ·o 𝐹)), (𝐵 ·o 𝐺)⟩ ~Q0 ⟨((𝐶 ·o 𝑆) +o (𝐷 ·o 𝑅)), (𝐷 ·o 𝑆)⟩ ↔ (((𝐴 ·o 𝐺) +o (𝐵 ·o 𝐹)) ·o (𝐷 ·o 𝑆)) = ((𝐵 ·o 𝐺) ·o ((𝐶 ·o 𝑆) +o (𝐷 ·o 𝑅)))))
7157, 62, 64, 69, 70syl22anc 1221 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵N) ∧ (𝐶 ∈ ω ∧ 𝐷N)) ∧ ((𝐹 ∈ ω ∧ 𝐺N) ∧ (𝑅 ∈ ω ∧ 𝑆N))) → (⟨((𝐴 ·o 𝐺) +o (𝐵 ·o 𝐹)), (𝐵 ·o 𝐺)⟩ ~Q0 ⟨((𝐶 ·o 𝑆) +o (𝐷 ·o 𝑅)), (𝐷 ·o 𝑆)⟩ ↔ (((𝐴 ·o 𝐺) +o (𝐵 ·o 𝐹)) ·o (𝐷 ·o 𝑆)) = ((𝐵 ·o 𝐺) ·o ((𝐶 ·o 𝑆) +o (𝐷 ·o 𝑅)))))
7271adantr 274 . . 3 (((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵N) ∧ (𝐶 ∈ ω ∧ 𝐷N)) ∧ ((𝐹 ∈ ω ∧ 𝐺N) ∧ (𝑅 ∈ ω ∧ 𝑆N))) ∧ ((𝐴 ·o 𝐷) = (𝐵 ·o 𝐶) ∧ (𝐹 ·o 𝑆) = (𝐺 ·o 𝑅))) → (⟨((𝐴 ·o 𝐺) +o (𝐵 ·o 𝐹)), (𝐵 ·o 𝐺)⟩ ~Q0 ⟨((𝐶 ·o 𝑆) +o (𝐷 ·o 𝑅)), (𝐷 ·o 𝑆)⟩ ↔ (((𝐴 ·o 𝐺) +o (𝐵 ·o 𝐹)) ·o (𝐷 ·o 𝑆)) = ((𝐵 ·o 𝐺) ·o ((𝐶 ·o 𝑆) +o (𝐷 ·o 𝑅)))))
7355, 72mpbird 166 . 2 (((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵N) ∧ (𝐶 ∈ ω ∧ 𝐷N)) ∧ ((𝐹 ∈ ω ∧ 𝐺N) ∧ (𝑅 ∈ ω ∧ 𝑆N))) ∧ ((𝐴 ·o 𝐷) = (𝐵 ·o 𝐶) ∧ (𝐹 ·o 𝑆) = (𝐺 ·o 𝑅))) → ⟨((𝐴 ·o 𝐺) +o (𝐵 ·o 𝐹)), (𝐵 ·o 𝐺)⟩ ~Q0 ⟨((𝐶 ·o 𝑆) +o (𝐷 ·o 𝑅)), (𝐷 ·o 𝑆)⟩)
7473ex 114 1 ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵N) ∧ (𝐶 ∈ ω ∧ 𝐷N)) ∧ ((𝐹 ∈ ω ∧ 𝐺N) ∧ (𝑅 ∈ ω ∧ 𝑆N))) → (((𝐴 ·o 𝐷) = (𝐵 ·o 𝐶) ∧ (𝐹 ·o 𝑆) = (𝐺 ·o 𝑅)) → ⟨((𝐴 ·o 𝐺) +o (𝐵 ·o 𝐹)), (𝐵 ·o 𝐺)⟩ ~Q0 ⟨((𝐶 ·o 𝑆) +o (𝐷 ·o 𝑅)), (𝐷 ·o 𝑆)⟩))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104  w3a 963   = wceq 1335  wcel 2128  cop 3564   class class class wbr 3967  ωcom 4552  (class class class)co 5827   +o coa 6363   ·o comu 6364  Ncnpi 7195   ·N cmi 7197   ~Q0 ceq0 7209
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4082  ax-sep 4085  ax-nul 4093  ax-pow 4138  ax-pr 4172  ax-un 4396  ax-setind 4499  ax-iinf 4550
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3396  df-pw 3546  df-sn 3567  df-pr 3568  df-op 3570  df-uni 3775  df-int 3810  df-iun 3853  df-br 3968  df-opab 4029  df-mpt 4030  df-tr 4066  df-id 4256  df-iord 4329  df-on 4331  df-suc 4334  df-iom 4553  df-xp 4595  df-rel 4596  df-cnv 4597  df-co 4598  df-dm 4599  df-rn 4600  df-res 4601  df-ima 4602  df-iota 5138  df-fun 5175  df-fn 5176  df-f 5177  df-f1 5178  df-fo 5179  df-f1o 5180  df-fv 5181  df-ov 5830  df-oprab 5831  df-mpo 5832  df-1st 6091  df-2nd 6092  df-recs 6255  df-irdg 6320  df-oadd 6370  df-omul 6371  df-ni 7227  df-mi 7229  df-enq0 7347
This theorem is referenced by:  addnq0mo  7370
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