ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nq0m0r GIF version

Theorem nq0m0r 7228
Description: Multiplication with zero for nonnegative fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
nq0m0r (𝐴Q0 → (0Q0 ·Q0 𝐴) = 0Q0)

Proof of Theorem nq0m0r
Dummy variables 𝑣 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nq0nn 7214 . 2 (𝐴Q0 → ∃𝑤𝑣((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 ))
2 df-0nq0 7198 . . . . . 6 0Q0 = [⟨∅, 1o⟩] ~Q0
3 oveq12 5749 . . . . . 6 ((0Q0 = [⟨∅, 1o⟩] ~Q0𝐴 = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 ) → (0Q0 ·Q0 𝐴) = ([⟨∅, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 ))
42, 3mpan 418 . . . . 5 (𝐴 = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 → (0Q0 ·Q0 𝐴) = ([⟨∅, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 ))
5 peano1 4476 . . . . . 6 ∅ ∈ ω
6 1pi 7087 . . . . . 6 1oN
7 mulnnnq0 7222 . . . . . 6 (((∅ ∈ ω ∧ 1oN) ∧ (𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣N)) → ([⟨∅, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 ) = [⟨(∅ ·o 𝑤), (1o ·o 𝑣)⟩] ~Q0 )
85, 6, 7mpanl12 430 . . . . 5 ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣N) → ([⟨∅, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 ) = [⟨(∅ ·o 𝑤), (1o ·o 𝑣)⟩] ~Q0 )
94, 8sylan9eqr 2170 . . . 4 (((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 ) → (0Q0 ·Q0 𝐴) = [⟨(∅ ·o 𝑤), (1o ·o 𝑣)⟩] ~Q0 )
10 nnm0r 6341 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 ∈ ω → (∅ ·o 𝑤) = ∅)
1110oveq1d 5755 . . . . . . . . . 10 (𝑤 ∈ ω → ((∅ ·o 𝑤) ·o 1o) = (∅ ·o 1o))
12 1onn 6382 . . . . . . . . . . 11 1o ∈ ω
13 nnm0r 6341 . . . . . . . . . . 11 (1o ∈ ω → (∅ ·o 1o) = ∅)
1412, 13ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (∅ ·o 1o) = ∅
1511, 14syl6eq 2164 . . . . . . . . 9 (𝑤 ∈ ω → ((∅ ·o 𝑤) ·o 1o) = ∅)
1615adantr 272 . . . . . . . 8 ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣N) → ((∅ ·o 𝑤) ·o 1o) = ∅)
17 mulpiord 7089 . . . . . . . . . . . 12 ((1oN𝑣N) → (1o ·N 𝑣) = (1o ·o 𝑣))
18 mulclpi 7100 . . . . . . . . . . . 12 ((1oN𝑣N) → (1o ·N 𝑣) ∈ N)
1917, 18eqeltrrd 2193 . . . . . . . . . . 11 ((1oN𝑣N) → (1o ·o 𝑣) ∈ N)
206, 19mpan 418 . . . . . . . . . 10 (𝑣N → (1o ·o 𝑣) ∈ N)
21 pinn 7081 . . . . . . . . . 10 ((1o ·o 𝑣) ∈ N → (1o ·o 𝑣) ∈ ω)
22 nnm0 6337 . . . . . . . . . 10 ((1o ·o 𝑣) ∈ ω → ((1o ·o 𝑣) ·o ∅) = ∅)
2320, 21, 223syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑣N → ((1o ·o 𝑣) ·o ∅) = ∅)
2423adantl 273 . . . . . . . 8 ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣N) → ((1o ·o 𝑣) ·o ∅) = ∅)
2516, 24eqtr4d 2151 . . . . . . 7 ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣N) → ((∅ ·o 𝑤) ·o 1o) = ((1o ·o 𝑣) ·o ∅))
2610, 5syl6eqel 2206 . . . . . . . 8 (𝑤 ∈ ω → (∅ ·o 𝑤) ∈ ω)
27 enq0eceq 7209 . . . . . . . . 9 ((((∅ ·o 𝑤) ∈ ω ∧ (1o ·o 𝑣) ∈ N) ∧ (∅ ∈ ω ∧ 1oN)) → ([⟨(∅ ·o 𝑤), (1o ·o 𝑣)⟩] ~Q0 = [⟨∅, 1o⟩] ~Q0 ↔ ((∅ ·o 𝑤) ·o 1o) = ((1o ·o 𝑣) ·o ∅)))
285, 6, 27mpanr12 433 . . . . . . . 8 (((∅ ·o 𝑤) ∈ ω ∧ (1o ·o 𝑣) ∈ N) → ([⟨(∅ ·o 𝑤), (1o ·o 𝑣)⟩] ~Q0 = [⟨∅, 1o⟩] ~Q0 ↔ ((∅ ·o 𝑤) ·o 1o) = ((1o ·o 𝑣) ·o ∅)))
2926, 20, 28syl2an 285 . . . . . . 7 ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣N) → ([⟨(∅ ·o 𝑤), (1o ·o 𝑣)⟩] ~Q0 = [⟨∅, 1o⟩] ~Q0 ↔ ((∅ ·o 𝑤) ·o 1o) = ((1o ·o 𝑣) ·o ∅)))
3025, 29mpbird 166 . . . . . 6 ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣N) → [⟨(∅ ·o 𝑤), (1o ·o 𝑣)⟩] ~Q0 = [⟨∅, 1o⟩] ~Q0 )
3130, 2syl6eqr 2166 . . . . 5 ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣N) → [⟨(∅ ·o 𝑤), (1o ·o 𝑣)⟩] ~Q0 = 0Q0)
3231adantr 272 . . . 4 (((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 ) → [⟨(∅ ·o 𝑤), (1o ·o 𝑣)⟩] ~Q0 = 0Q0)
339, 32eqtrd 2148 . . 3 (((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 ) → (0Q0 ·Q0 𝐴) = 0Q0)
3433exlimivv 1850 . 2 (∃𝑤𝑣((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 ) → (0Q0 ·Q0 𝐴) = 0Q0)
351, 34syl 14 1 (𝐴Q0 → (0Q0 ·Q0 𝐴) = 0Q0)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104   = wceq 1314  wex 1451  wcel 1463  c0 3331  cop 3498  ωcom 4472  (class class class)co 5740  1oc1o 6272   ·o comu 6277  [cec 6393  Ncnpi 7044   ·N cmi 7046   ~Q0 ceq0 7058  Q0cnq0 7059  0Q0c0q0 7060   ·Q0 cmq0 7062
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4011  ax-sep 4014  ax-nul 4022  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-iinf 4470
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-nul 3332  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-iun 3783  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-tr 3995  df-id 4183  df-iord 4256  df-on 4258  df-suc 4261  df-iom 4473  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-fv 5099  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-1st 6004  df-2nd 6005  df-recs 6168  df-irdg 6233  df-1o 6279  df-oadd 6283  df-omul 6284  df-er 6395  df-ec 6397  df-qs 6401  df-ni 7076  df-mi 7078  df-enq0 7196  df-nq0 7197  df-0nq0 7198  df-mq0 7200
This theorem is referenced by:  prarloclem5  7272
  Copyright terms: Public domain W3C validator