Theorem nq0m0r 7469

Description: Multiplication with zero for nonnegative fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nq0m0r	⊢ (𝐴 ∈ Q0 → (0Q0 ·Q0 𝐴) = 0Q0)

Proof of Theorem nq0m0r

Dummy variables 𝑣 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nq0nn 7455	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Q0 → ∃𝑤∃𝑣((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 ))
2		df-0nq0 7439	. . . . . 6 ⊢ 0Q0 = [⟨∅, 1o⟩] ~Q0
3		oveq12 5897	. . . . . 6 ⊢ ((0Q0 = [⟨∅, 1o⟩] ~Q0 ∧ 𝐴 = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 ) → (0Q0 ·Q0 𝐴) = ([⟨∅, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 ))
4	2, 3	mpan 424	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 → (0Q0 ·Q0 𝐴) = ([⟨∅, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 ))
5		peano1 4605	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ ω
6		1pi 7328	. . . . . 6 ⊢ 1o ∈ N
7		mulnnnq0 7463	. . . . . 6 ⊢ (((∅ ∈ ω ∧ 1o ∈ N) ∧ (𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N)) → ([⟨∅, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 ) = [⟨(∅ ·o 𝑤), (1o ·o 𝑣)⟩] ~Q0 )
8	5, 6, 7	mpanl12 436	. . . . 5 ⊢ ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N) → ([⟨∅, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 ) = [⟨(∅ ·o 𝑤), (1o ·o 𝑣)⟩] ~Q0 )
9	4, 8	sylan9eqr 2242	. . . 4 ⊢ (((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 ) → (0Q0 ·Q0 𝐴) = [⟨(∅ ·o 𝑤), (1o ·o 𝑣)⟩] ~Q0 )
10		nnm0r 6494	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 ∈ ω → (∅ ·o 𝑤) = ∅)
11	10	oveq1d 5903	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 ∈ ω → ((∅ ·o 𝑤) ·o 1o) = (∅ ·o 1o))
12		1onn 6535	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1o ∈ ω
13		nnm0r 6494	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1o ∈ ω → (∅ ·o 1o) = ∅)
14	12, 13	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∅ ·o 1o) = ∅
15	11, 14	eqtrdi 2236	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 ∈ ω → ((∅ ·o 𝑤) ·o 1o) = ∅)
16	15	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N) → ((∅ ·o 𝑤) ·o 1o) = ∅)
17		mulpiord 7330	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1o ∈ N ∧ 𝑣 ∈ N) → (1o ·N 𝑣) = (1o ·o 𝑣))
18		mulclpi 7341	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1o ∈ N ∧ 𝑣 ∈ N) → (1o ·N 𝑣) ∈ N)
19	17, 18	eqeltrrd 2265	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1o ∈ N ∧ 𝑣 ∈ N) → (1o ·o 𝑣) ∈ N)
20	6, 19	mpan 424	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 ∈ N → (1o ·o 𝑣) ∈ N)
21		pinn 7322	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1o ·o 𝑣) ∈ N → (1o ·o 𝑣) ∈ ω)
22		nnm0 6490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1o ·o 𝑣) ∈ ω → ((1o ·o 𝑣) ·o ∅) = ∅)
23	20, 21, 22	3syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 ∈ N → ((1o ·o 𝑣) ·o ∅) = ∅)
24	23	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N) → ((1o ·o 𝑣) ·o ∅) = ∅)
25	16, 24	eqtr4d 2223	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N) → ((∅ ·o 𝑤) ·o 1o) = ((1o ·o 𝑣) ·o ∅))
26	10, 5	eqeltrdi 2278	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 ∈ ω → (∅ ·o 𝑤) ∈ ω)
27		enq0eceq 7450	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((∅ ·o 𝑤) ∈ ω ∧ (1o ·o 𝑣) ∈ N) ∧ (∅ ∈ ω ∧ 1o ∈ N)) → ([⟨(∅ ·o 𝑤), (1o ·o 𝑣)⟩] ~Q0 = [⟨∅, 1o⟩] ~Q0 ↔ ((∅ ·o 𝑤) ·o 1o) = ((1o ·o 𝑣) ·o ∅)))
28	5, 6, 27	mpanr12 439	. . . . . . . 8 ⊢ (((∅ ·o 𝑤) ∈ ω ∧ (1o ·o 𝑣) ∈ N) → ([⟨(∅ ·o 𝑤), (1o ·o 𝑣)⟩] ~Q0 = [⟨∅, 1o⟩] ~Q0 ↔ ((∅ ·o 𝑤) ·o 1o) = ((1o ·o 𝑣) ·o ∅)))
29	26, 20, 28	syl2an 289	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N) → ([⟨(∅ ·o 𝑤), (1o ·o 𝑣)⟩] ~Q0 = [⟨∅, 1o⟩] ~Q0 ↔ ((∅ ·o 𝑤) ·o 1o) = ((1o ·o 𝑣) ·o ∅)))
30	25, 29	mpbird 167	. . . . . 6 ⊢ ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N) → [⟨(∅ ·o 𝑤), (1o ·o 𝑣)⟩] ~Q0 = [⟨∅, 1o⟩] ~Q0 )
31	30, 2	eqtr4di 2238	. . . . 5 ⊢ ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N) → [⟨(∅ ·o 𝑤), (1o ·o 𝑣)⟩] ~Q0 = 0Q0)
32	31	adantr 276	. . . 4 ⊢ (((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 ) → [⟨(∅ ·o 𝑤), (1o ·o 𝑣)⟩] ~Q0 = 0Q0)
33	9, 32	eqtrd 2220	. . 3 ⊢ (((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 ) → (0Q0 ·Q0 𝐴) = 0Q0)
34	33	exlimivv 1906	. 2 ⊢ (∃𝑤∃𝑣((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 ) → (0Q0 ·Q0 𝐴) = 0Q0)
35	1, 34	syl 14	1 ⊢ (𝐴 ∈ Q0 → (0Q0 ·Q0 𝐴) = 0Q0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1363  ∃wex 1502   ∈ wcel 2158  ∅c0 3434  ⟨cop 3607  ωcom 4601  (class class class)co 5888  1_oc1o 6424   ·_o comu 6429  [cec 6547  Ncnpi 7285   ·_N cmi 7287   ~_Q0 ceq0 7299  Q₀cnq0 7300  0_Q0c0q0 7301   ·_Q0 cmq0 7303

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-id 4305  df-iord 4378  df-on 4380  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6155  df-2nd 6156  df-recs 6320  df-irdg 6385  df-1o 6431  df-oadd 6435  df-omul 6436  df-er 6549  df-ec 6551  df-qs 6555  df-ni 7317  df-mi 7319  df-enq0 7437  df-nq0 7438  df-0nq0 7439  df-mq0 7441

This theorem is referenced by:  prarloclem5  7513