ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nq0m0r GIF version

Theorem nq0m0r 7013
Description: Multiplication with zero for nonnegative fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
nq0m0r (𝐴Q0 → (0Q0 ·Q0 𝐴) = 0Q0)

Proof of Theorem nq0m0r
Dummy variables 𝑣 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nq0nn 6999 . 2 (𝐴Q0 → ∃𝑤𝑣((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 ))
2 df-0nq0 6983 . . . . . 6 0Q0 = [⟨∅, 1𝑜⟩] ~Q0
3 oveq12 5661 . . . . . 6 ((0Q0 = [⟨∅, 1𝑜⟩] ~Q0𝐴 = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 ) → (0Q0 ·Q0 𝐴) = ([⟨∅, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 ))
42, 3mpan 415 . . . . 5 (𝐴 = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 → (0Q0 ·Q0 𝐴) = ([⟨∅, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 ))
5 peano1 4409 . . . . . 6 ∅ ∈ ω
6 1pi 6872 . . . . . 6 1𝑜N
7 mulnnnq0 7007 . . . . . 6 (((∅ ∈ ω ∧ 1𝑜N) ∧ (𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣N)) → ([⟨∅, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 ) = [⟨(∅ ·𝑜 𝑤), (1𝑜 ·𝑜 𝑣)⟩] ~Q0 )
85, 6, 7mpanl12 427 . . . . 5 ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣N) → ([⟨∅, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 ) = [⟨(∅ ·𝑜 𝑤), (1𝑜 ·𝑜 𝑣)⟩] ~Q0 )
94, 8sylan9eqr 2142 . . . 4 (((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 ) → (0Q0 ·Q0 𝐴) = [⟨(∅ ·𝑜 𝑤), (1𝑜 ·𝑜 𝑣)⟩] ~Q0 )
10 nnm0r 6240 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 ∈ ω → (∅ ·𝑜 𝑤) = ∅)
1110oveq1d 5667 . . . . . . . . . 10 (𝑤 ∈ ω → ((∅ ·𝑜 𝑤) ·𝑜 1𝑜) = (∅ ·𝑜 1𝑜))
12 1onn 6277 . . . . . . . . . . 11 1𝑜 ∈ ω
13 nnm0r 6240 . . . . . . . . . . 11 (1𝑜 ∈ ω → (∅ ·𝑜 1𝑜) = ∅)
1412, 13ax-mp 7 . . . . . . . . . 10 (∅ ·𝑜 1𝑜) = ∅
1511, 14syl6eq 2136 . . . . . . . . 9 (𝑤 ∈ ω → ((∅ ·𝑜 𝑤) ·𝑜 1𝑜) = ∅)
1615adantr 270 . . . . . . . 8 ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣N) → ((∅ ·𝑜 𝑤) ·𝑜 1𝑜) = ∅)
17 mulpiord 6874 . . . . . . . . . . . 12 ((1𝑜N𝑣N) → (1𝑜 ·N 𝑣) = (1𝑜 ·𝑜 𝑣))
18 mulclpi 6885 . . . . . . . . . . . 12 ((1𝑜N𝑣N) → (1𝑜 ·N 𝑣) ∈ N)
1917, 18eqeltrrd 2165 . . . . . . . . . . 11 ((1𝑜N𝑣N) → (1𝑜 ·𝑜 𝑣) ∈ N)
206, 19mpan 415 . . . . . . . . . 10 (𝑣N → (1𝑜 ·𝑜 𝑣) ∈ N)
21 pinn 6866 . . . . . . . . . 10 ((1𝑜 ·𝑜 𝑣) ∈ N → (1𝑜 ·𝑜 𝑣) ∈ ω)
22 nnm0 6236 . . . . . . . . . 10 ((1𝑜 ·𝑜 𝑣) ∈ ω → ((1𝑜 ·𝑜 𝑣) ·𝑜 ∅) = ∅)
2320, 21, 223syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑣N → ((1𝑜 ·𝑜 𝑣) ·𝑜 ∅) = ∅)
2423adantl 271 . . . . . . . 8 ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣N) → ((1𝑜 ·𝑜 𝑣) ·𝑜 ∅) = ∅)
2516, 24eqtr4d 2123 . . . . . . 7 ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣N) → ((∅ ·𝑜 𝑤) ·𝑜 1𝑜) = ((1𝑜 ·𝑜 𝑣) ·𝑜 ∅))
2610, 5syl6eqel 2178 . . . . . . . 8 (𝑤 ∈ ω → (∅ ·𝑜 𝑤) ∈ ω)
27 enq0eceq 6994 . . . . . . . . 9 ((((∅ ·𝑜 𝑤) ∈ ω ∧ (1𝑜 ·𝑜 𝑣) ∈ N) ∧ (∅ ∈ ω ∧ 1𝑜N)) → ([⟨(∅ ·𝑜 𝑤), (1𝑜 ·𝑜 𝑣)⟩] ~Q0 = [⟨∅, 1𝑜⟩] ~Q0 ↔ ((∅ ·𝑜 𝑤) ·𝑜 1𝑜) = ((1𝑜 ·𝑜 𝑣) ·𝑜 ∅)))
285, 6, 27mpanr12 430 . . . . . . . 8 (((∅ ·𝑜 𝑤) ∈ ω ∧ (1𝑜 ·𝑜 𝑣) ∈ N) → ([⟨(∅ ·𝑜 𝑤), (1𝑜 ·𝑜 𝑣)⟩] ~Q0 = [⟨∅, 1𝑜⟩] ~Q0 ↔ ((∅ ·𝑜 𝑤) ·𝑜 1𝑜) = ((1𝑜 ·𝑜 𝑣) ·𝑜 ∅)))
2926, 20, 28syl2an 283 . . . . . . 7 ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣N) → ([⟨(∅ ·𝑜 𝑤), (1𝑜 ·𝑜 𝑣)⟩] ~Q0 = [⟨∅, 1𝑜⟩] ~Q0 ↔ ((∅ ·𝑜 𝑤) ·𝑜 1𝑜) = ((1𝑜 ·𝑜 𝑣) ·𝑜 ∅)))
3025, 29mpbird 165 . . . . . 6 ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣N) → [⟨(∅ ·𝑜 𝑤), (1𝑜 ·𝑜 𝑣)⟩] ~Q0 = [⟨∅, 1𝑜⟩] ~Q0 )
3130, 2syl6eqr 2138 . . . . 5 ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣N) → [⟨(∅ ·𝑜 𝑤), (1𝑜 ·𝑜 𝑣)⟩] ~Q0 = 0Q0)
3231adantr 270 . . . 4 (((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 ) → [⟨(∅ ·𝑜 𝑤), (1𝑜 ·𝑜 𝑣)⟩] ~Q0 = 0Q0)
339, 32eqtrd 2120 . . 3 (((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 ) → (0Q0 ·Q0 𝐴) = 0Q0)
3433exlimivv 1824 . 2 (∃𝑤𝑣((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 ) → (0Q0 ·Q0 𝐴) = 0Q0)
351, 34syl 14 1 (𝐴Q0 → (0Q0 ·Q0 𝐴) = 0Q0)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wb 103   = wceq 1289  wex 1426  wcel 1438  c0 3286  cop 3449  ωcom 4405  (class class class)co 5652  1𝑜c1o 6174   ·𝑜 comu 6179  [cec 6288  Ncnpi 6829   ·N cmi 6831   ~Q0 ceq0 6843  Q0cnq0 6844  0Q0c0q0 6845   ·Q0 cmq0 6847
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3954  ax-sep 3957  ax-nul 3965  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-iinf 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-iun 3732  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-tr 3937  df-id 4120  df-iord 4193  df-on 4195  df-suc 4198  df-iom 4406  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-fo 5021  df-f1o 5022  df-fv 5023  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-1st 5911  df-2nd 5912  df-recs 6070  df-irdg 6135  df-1o 6181  df-oadd 6185  df-omul 6186  df-er 6290  df-ec 6292  df-qs 6296  df-ni 6861  df-mi 6863  df-enq0 6981  df-nq0 6982  df-0nq0 6983  df-mq0 6985
This theorem is referenced by:  prarloclem5  7057
  Copyright terms: Public domain W3C validator