Theorem nq0m0r 7288

Description: Multiplication with zero for nonnegative fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nq0m0r	⊢ (𝐴 ∈ Q0 → (0Q0 ·Q0 𝐴) = 0Q0)

Proof of Theorem nq0m0r

Dummy variables 𝑣 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nq0nn 7274	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Q0 → ∃𝑤∃𝑣((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 ))
2		df-0nq0 7258	. . . . . 6 ⊢ 0Q0 = [⟨∅, 1o⟩] ~Q0
3		oveq12 5791	. . . . . 6 ⊢ ((0Q0 = [⟨∅, 1o⟩] ~Q0 ∧ 𝐴 = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 ) → (0Q0 ·Q0 𝐴) = ([⟨∅, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 ))
4	2, 3	mpan 421	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 → (0Q0 ·Q0 𝐴) = ([⟨∅, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 ))
5		peano1 4516	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ ω
6		1pi 7147	. . . . . 6 ⊢ 1o ∈ N
7		mulnnnq0 7282	. . . . . 6 ⊢ (((∅ ∈ ω ∧ 1o ∈ N) ∧ (𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N)) → ([⟨∅, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 ) = [⟨(∅ ·o 𝑤), (1o ·o 𝑣)⟩] ~Q0 )
8	5, 6, 7	mpanl12 433	. . . . 5 ⊢ ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N) → ([⟨∅, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 ) = [⟨(∅ ·o 𝑤), (1o ·o 𝑣)⟩] ~Q0 )
9	4, 8	sylan9eqr 2195	. . . 4 ⊢ (((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 ) → (0Q0 ·Q0 𝐴) = [⟨(∅ ·o 𝑤), (1o ·o 𝑣)⟩] ~Q0 )
10		nnm0r 6383	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 ∈ ω → (∅ ·o 𝑤) = ∅)
11	10	oveq1d 5797	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 ∈ ω → ((∅ ·o 𝑤) ·o 1o) = (∅ ·o 1o))
12		1onn 6424	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1o ∈ ω
13		nnm0r 6383	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1o ∈ ω → (∅ ·o 1o) = ∅)
14	12, 13	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∅ ·o 1o) = ∅
15	11, 14	eqtrdi 2189	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 ∈ ω → ((∅ ·o 𝑤) ·o 1o) = ∅)
16	15	adantr 274	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N) → ((∅ ·o 𝑤) ·o 1o) = ∅)
17		mulpiord 7149	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1o ∈ N ∧ 𝑣 ∈ N) → (1o ·N 𝑣) = (1o ·o 𝑣))
18		mulclpi 7160	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1o ∈ N ∧ 𝑣 ∈ N) → (1o ·N 𝑣) ∈ N)
19	17, 18	eqeltrrd 2218	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1o ∈ N ∧ 𝑣 ∈ N) → (1o ·o 𝑣) ∈ N)
20	6, 19	mpan 421	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 ∈ N → (1o ·o 𝑣) ∈ N)
21		pinn 7141	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1o ·o 𝑣) ∈ N → (1o ·o 𝑣) ∈ ω)
22		nnm0 6379	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1o ·o 𝑣) ∈ ω → ((1o ·o 𝑣) ·o ∅) = ∅)
23	20, 21, 22	3syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 ∈ N → ((1o ·o 𝑣) ·o ∅) = ∅)
24	23	adantl 275	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N) → ((1o ·o 𝑣) ·o ∅) = ∅)
25	16, 24	eqtr4d 2176	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N) → ((∅ ·o 𝑤) ·o 1o) = ((1o ·o 𝑣) ·o ∅))
26	10, 5	eqeltrdi 2231	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 ∈ ω → (∅ ·o 𝑤) ∈ ω)
27		enq0eceq 7269	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((∅ ·o 𝑤) ∈ ω ∧ (1o ·o 𝑣) ∈ N) ∧ (∅ ∈ ω ∧ 1o ∈ N)) → ([⟨(∅ ·o 𝑤), (1o ·o 𝑣)⟩] ~Q0 = [⟨∅, 1o⟩] ~Q0 ↔ ((∅ ·o 𝑤) ·o 1o) = ((1o ·o 𝑣) ·o ∅)))
28	5, 6, 27	mpanr12 436	. . . . . . . 8 ⊢ (((∅ ·o 𝑤) ∈ ω ∧ (1o ·o 𝑣) ∈ N) → ([⟨(∅ ·o 𝑤), (1o ·o 𝑣)⟩] ~Q0 = [⟨∅, 1o⟩] ~Q0 ↔ ((∅ ·o 𝑤) ·o 1o) = ((1o ·o 𝑣) ·o ∅)))
29	26, 20, 28	syl2an 287	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N) → ([⟨(∅ ·o 𝑤), (1o ·o 𝑣)⟩] ~Q0 = [⟨∅, 1o⟩] ~Q0 ↔ ((∅ ·o 𝑤) ·o 1o) = ((1o ·o 𝑣) ·o ∅)))
30	25, 29	mpbird 166	. . . . . 6 ⊢ ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N) → [⟨(∅ ·o 𝑤), (1o ·o 𝑣)⟩] ~Q0 = [⟨∅, 1o⟩] ~Q0 )
31	30, 2	eqtr4di 2191	. . . . 5 ⊢ ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N) → [⟨(∅ ·o 𝑤), (1o ·o 𝑣)⟩] ~Q0 = 0Q0)
32	31	adantr 274	. . . 4 ⊢ (((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 ) → [⟨(∅ ·o 𝑤), (1o ·o 𝑣)⟩] ~Q0 = 0Q0)
33	9, 32	eqtrd 2173	. . 3 ⊢ (((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 ) → (0Q0 ·Q0 𝐴) = 0Q0)
34	33	exlimivv 1869	. 2 ⊢ (∃𝑤∃𝑣((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 ) → (0Q0 ·Q0 𝐴) = 0Q0)
35	1, 34	syl 14	1 ⊢ (𝐴 ∈ Q0 → (0Q0 ·Q0 𝐴) = 0Q0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1332  ∃wex 1469   ∈ wcel 1481  ∅c0 3368  ⟨cop 3535  ωcom 4512  (class class class)co 5782  1_oc1o 6314   ·_o comu 6319  [cec 6435  Ncnpi 7104   ·_N cmi 7106   ~_Q0 ceq0 7118  Q₀cnq0 7119  0_Q0c0q0 7120   ·_Q0 cmq0 7122

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-iinf 4510

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-tr 4035  df-id 4223  df-iord 4296  df-on 4298  df-suc 4301  df-iom 4513  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-recs 6210  df-irdg 6275  df-1o 6321  df-oadd 6325  df-omul 6326  df-er 6437  df-ec 6439  df-qs 6443  df-ni 7136  df-mi 7138  df-enq0 7256  df-nq0 7257  df-0nq0 7258  df-mq0 7260

This theorem is referenced by:  prarloclem5  7332