Theorem nq0m0r 7576

Description: Multiplication with zero for nonnegative fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nq0m0r	⊢ (𝐴 ∈ Q0 → (0Q0 ·Q0 𝐴) = 0Q0)

Proof of Theorem nq0m0r

Dummy variables 𝑣 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nq0nn 7562	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Q0 → ∃𝑤∃𝑣((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 ))
2		df-0nq0 7546	. . . . . 6 ⊢ 0Q0 = [⟨∅, 1o⟩] ~Q0
3		oveq12 5960	. . . . . 6 ⊢ ((0Q0 = [⟨∅, 1o⟩] ~Q0 ∧ 𝐴 = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 ) → (0Q0 ·Q0 𝐴) = ([⟨∅, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 ))
4	2, 3	mpan 424	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 → (0Q0 ·Q0 𝐴) = ([⟨∅, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 ))
5		peano1 4646	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ ω
6		1pi 7435	. . . . . 6 ⊢ 1o ∈ N
7		mulnnnq0 7570	. . . . . 6 ⊢ (((∅ ∈ ω ∧ 1o ∈ N) ∧ (𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N)) → ([⟨∅, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 ) = [⟨(∅ ·o 𝑤), (1o ·o 𝑣)⟩] ~Q0 )
8	5, 6, 7	mpanl12 436	. . . . 5 ⊢ ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N) → ([⟨∅, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 ) = [⟨(∅ ·o 𝑤), (1o ·o 𝑣)⟩] ~Q0 )
9	4, 8	sylan9eqr 2261	. . . 4 ⊢ (((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 ) → (0Q0 ·Q0 𝐴) = [⟨(∅ ·o 𝑤), (1o ·o 𝑣)⟩] ~Q0 )
10		nnm0r 6572	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 ∈ ω → (∅ ·o 𝑤) = ∅)
11	10	oveq1d 5966	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 ∈ ω → ((∅ ·o 𝑤) ·o 1o) = (∅ ·o 1o))
12		1onn 6613	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1o ∈ ω
13		nnm0r 6572	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1o ∈ ω → (∅ ·o 1o) = ∅)
14	12, 13	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∅ ·o 1o) = ∅
15	11, 14	eqtrdi 2255	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 ∈ ω → ((∅ ·o 𝑤) ·o 1o) = ∅)
16	15	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N) → ((∅ ·o 𝑤) ·o 1o) = ∅)
17		mulpiord 7437	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1o ∈ N ∧ 𝑣 ∈ N) → (1o ·N 𝑣) = (1o ·o 𝑣))
18		mulclpi 7448	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1o ∈ N ∧ 𝑣 ∈ N) → (1o ·N 𝑣) ∈ N)
19	17, 18	eqeltrrd 2284	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1o ∈ N ∧ 𝑣 ∈ N) → (1o ·o 𝑣) ∈ N)
20	6, 19	mpan 424	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 ∈ N → (1o ·o 𝑣) ∈ N)
21		pinn 7429	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1o ·o 𝑣) ∈ N → (1o ·o 𝑣) ∈ ω)
22		nnm0 6568	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1o ·o 𝑣) ∈ ω → ((1o ·o 𝑣) ·o ∅) = ∅)
23	20, 21, 22	3syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 ∈ N → ((1o ·o 𝑣) ·o ∅) = ∅)
24	23	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N) → ((1o ·o 𝑣) ·o ∅) = ∅)
25	16, 24	eqtr4d 2242	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N) → ((∅ ·o 𝑤) ·o 1o) = ((1o ·o 𝑣) ·o ∅))
26	10, 5	eqeltrdi 2297	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 ∈ ω → (∅ ·o 𝑤) ∈ ω)
27		enq0eceq 7557	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((∅ ·o 𝑤) ∈ ω ∧ (1o ·o 𝑣) ∈ N) ∧ (∅ ∈ ω ∧ 1o ∈ N)) → ([⟨(∅ ·o 𝑤), (1o ·o 𝑣)⟩] ~Q0 = [⟨∅, 1o⟩] ~Q0 ↔ ((∅ ·o 𝑤) ·o 1o) = ((1o ·o 𝑣) ·o ∅)))
28	5, 6, 27	mpanr12 439	. . . . . . . 8 ⊢ (((∅ ·o 𝑤) ∈ ω ∧ (1o ·o 𝑣) ∈ N) → ([⟨(∅ ·o 𝑤), (1o ·o 𝑣)⟩] ~Q0 = [⟨∅, 1o⟩] ~Q0 ↔ ((∅ ·o 𝑤) ·o 1o) = ((1o ·o 𝑣) ·o ∅)))
29	26, 20, 28	syl2an 289	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N) → ([⟨(∅ ·o 𝑤), (1o ·o 𝑣)⟩] ~Q0 = [⟨∅, 1o⟩] ~Q0 ↔ ((∅ ·o 𝑤) ·o 1o) = ((1o ·o 𝑣) ·o ∅)))
30	25, 29	mpbird 167	. . . . . 6 ⊢ ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N) → [⟨(∅ ·o 𝑤), (1o ·o 𝑣)⟩] ~Q0 = [⟨∅, 1o⟩] ~Q0 )
31	30, 2	eqtr4di 2257	. . . . 5 ⊢ ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N) → [⟨(∅ ·o 𝑤), (1o ·o 𝑣)⟩] ~Q0 = 0Q0)
32	31	adantr 276	. . . 4 ⊢ (((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 ) → [⟨(∅ ·o 𝑤), (1o ·o 𝑣)⟩] ~Q0 = 0Q0)
33	9, 32	eqtrd 2239	. . 3 ⊢ (((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 ) → (0Q0 ·Q0 𝐴) = 0Q0)
34	33	exlimivv 1921	. 2 ⊢ (∃𝑤∃𝑣((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 ) → (0Q0 ·Q0 𝐴) = 0Q0)
35	1, 34	syl 14	1 ⊢ (𝐴 ∈ Q0 → (0Q0 ·Q0 𝐴) = 0Q0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1373  ∃wex 1516   ∈ wcel 2177  ∅c0 3461  ⟨cop 3637  ωcom 4642  (class class class)co 5951  1_oc1o 6502   ·_o comu 6507  [cec 6625  Ncnpi 7392   ·_N cmi 7394   ~_Q0 ceq0 7406  Q₀cnq0 7407  0_Q0c0q0 7408   ·_Q0 cmq0 7410

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4163  ax-sep 4166  ax-nul 4174  ax-pow 4222  ax-pr 4257  ax-un 4484  ax-setind 4589  ax-iinf 4640

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3000  df-csb 3095  df-dif 3169  df-un 3171  df-in 3173  df-ss 3180  df-nul 3462  df-pw 3619  df-sn 3640  df-pr 3641  df-op 3643  df-uni 3853  df-int 3888  df-iun 3931  df-br 4048  df-opab 4110  df-mpt 4111  df-tr 4147  df-id 4344  df-iord 4417  df-on 4419  df-suc 4422  df-iom 4643  df-xp 4685  df-rel 4686  df-cnv 4687  df-co 4688  df-dm 4689  df-rn 4690  df-res 4691  df-ima 4692  df-iota 5237  df-fun 5278  df-fn 5279  df-f 5280  df-f1 5281  df-fo 5282  df-f1o 5283  df-fv 5284  df-ov 5954  df-oprab 5955  df-mpo 5956  df-1st 6233  df-2nd 6234  df-recs 6398  df-irdg 6463  df-1o 6509  df-oadd 6513  df-omul 6514  df-er 6627  df-ec 6629  df-qs 6633  df-ni 7424  df-mi 7426  df-enq0 7544  df-nq0 7545  df-0nq0 7546  df-mq0 7548

This theorem is referenced by:  prarloclem5  7620