Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nq0m0r GIF version

Theorem nq0m0r 7359
 Description: Multiplication with zero for nonnegative fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
nq0m0r (𝐴Q0 → (0Q0 ·Q0 𝐴) = 0Q0)

Proof of Theorem nq0m0r
Dummy variables 𝑣 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nq0nn 7345 . 2 (𝐴Q0 → ∃𝑤𝑣((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 ))
2 df-0nq0 7329 . . . . . 6 0Q0 = [⟨∅, 1o⟩] ~Q0
3 oveq12 5827 . . . . . 6 ((0Q0 = [⟨∅, 1o⟩] ~Q0𝐴 = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 ) → (0Q0 ·Q0 𝐴) = ([⟨∅, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 ))
42, 3mpan 421 . . . . 5 (𝐴 = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 → (0Q0 ·Q0 𝐴) = ([⟨∅, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 ))
5 peano1 4551 . . . . . 6 ∅ ∈ ω
6 1pi 7218 . . . . . 6 1oN
7 mulnnnq0 7353 . . . . . 6 (((∅ ∈ ω ∧ 1oN) ∧ (𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣N)) → ([⟨∅, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 ) = [⟨(∅ ·o 𝑤), (1o ·o 𝑣)⟩] ~Q0 )
85, 6, 7mpanl12 433 . . . . 5 ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣N) → ([⟨∅, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 ) = [⟨(∅ ·o 𝑤), (1o ·o 𝑣)⟩] ~Q0 )
94, 8sylan9eqr 2212 . . . 4 (((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 ) → (0Q0 ·Q0 𝐴) = [⟨(∅ ·o 𝑤), (1o ·o 𝑣)⟩] ~Q0 )
10 nnm0r 6419 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 ∈ ω → (∅ ·o 𝑤) = ∅)
1110oveq1d 5833 . . . . . . . . . 10 (𝑤 ∈ ω → ((∅ ·o 𝑤) ·o 1o) = (∅ ·o 1o))
12 1onn 6460 . . . . . . . . . . 11 1o ∈ ω
13 nnm0r 6419 . . . . . . . . . . 11 (1o ∈ ω → (∅ ·o 1o) = ∅)
1412, 13ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (∅ ·o 1o) = ∅
1511, 14eqtrdi 2206 . . . . . . . . 9 (𝑤 ∈ ω → ((∅ ·o 𝑤) ·o 1o) = ∅)
1615adantr 274 . . . . . . . 8 ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣N) → ((∅ ·o 𝑤) ·o 1o) = ∅)
17 mulpiord 7220 . . . . . . . . . . . 12 ((1oN𝑣N) → (1o ·N 𝑣) = (1o ·o 𝑣))
18 mulclpi 7231 . . . . . . . . . . . 12 ((1oN𝑣N) → (1o ·N 𝑣) ∈ N)
1917, 18eqeltrrd 2235 . . . . . . . . . . 11 ((1oN𝑣N) → (1o ·o 𝑣) ∈ N)
206, 19mpan 421 . . . . . . . . . 10 (𝑣N → (1o ·o 𝑣) ∈ N)
21 pinn 7212 . . . . . . . . . 10 ((1o ·o 𝑣) ∈ N → (1o ·o 𝑣) ∈ ω)
22 nnm0 6415 . . . . . . . . . 10 ((1o ·o 𝑣) ∈ ω → ((1o ·o 𝑣) ·o ∅) = ∅)
2320, 21, 223syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑣N → ((1o ·o 𝑣) ·o ∅) = ∅)
2423adantl 275 . . . . . . . 8 ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣N) → ((1o ·o 𝑣) ·o ∅) = ∅)
2516, 24eqtr4d 2193 . . . . . . 7 ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣N) → ((∅ ·o 𝑤) ·o 1o) = ((1o ·o 𝑣) ·o ∅))
2610, 5eqeltrdi 2248 . . . . . . . 8 (𝑤 ∈ ω → (∅ ·o 𝑤) ∈ ω)
27 enq0eceq 7340 . . . . . . . . 9 ((((∅ ·o 𝑤) ∈ ω ∧ (1o ·o 𝑣) ∈ N) ∧ (∅ ∈ ω ∧ 1oN)) → ([⟨(∅ ·o 𝑤), (1o ·o 𝑣)⟩] ~Q0 = [⟨∅, 1o⟩] ~Q0 ↔ ((∅ ·o 𝑤) ·o 1o) = ((1o ·o 𝑣) ·o ∅)))
285, 6, 27mpanr12 436 . . . . . . . 8 (((∅ ·o 𝑤) ∈ ω ∧ (1o ·o 𝑣) ∈ N) → ([⟨(∅ ·o 𝑤), (1o ·o 𝑣)⟩] ~Q0 = [⟨∅, 1o⟩] ~Q0 ↔ ((∅ ·o 𝑤) ·o 1o) = ((1o ·o 𝑣) ·o ∅)))
2926, 20, 28syl2an 287 . . . . . . 7 ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣N) → ([⟨(∅ ·o 𝑤), (1o ·o 𝑣)⟩] ~Q0 = [⟨∅, 1o⟩] ~Q0 ↔ ((∅ ·o 𝑤) ·o 1o) = ((1o ·o 𝑣) ·o ∅)))
3025, 29mpbird 166 . . . . . 6 ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣N) → [⟨(∅ ·o 𝑤), (1o ·o 𝑣)⟩] ~Q0 = [⟨∅, 1o⟩] ~Q0 )
3130, 2eqtr4di 2208 . . . . 5 ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣N) → [⟨(∅ ·o 𝑤), (1o ·o 𝑣)⟩] ~Q0 = 0Q0)
3231adantr 274 . . . 4 (((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 ) → [⟨(∅ ·o 𝑤), (1o ·o 𝑣)⟩] ~Q0 = 0Q0)
339, 32eqtrd 2190 . . 3 (((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 ) → (0Q0 ·Q0 𝐴) = 0Q0)
3433exlimivv 1876 . 2 (∃𝑤𝑣((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣N) ∧ 𝐴 = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 ) → (0Q0 ·Q0 𝐴) = 0Q0)
351, 34syl 14 1 (𝐴Q0 → (0Q0 ·Q0 𝐴) = 0Q0)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1335  ∃wex 1472   ∈ wcel 2128  ∅c0 3394  ⟨cop 3563  ωcom 4547  (class class class)co 5818  1oc1o 6350   ·o comu 6355  [cec 6471  Ncnpi 7175   ·N cmi 7177   ~Q0 ceq0 7189  Q0cnq0 7190  0Q0c0q0 7191   ·Q0 cmq0 7193 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4134  ax-pr 4168  ax-un 4392  ax-setind 4494  ax-iinf 4545 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-id 4252  df-iord 4325  df-on 4327  df-suc 4330  df-iom 4548  df-xp 4589  df-rel 4590  df-cnv 4591  df-co 4592  df-dm 4593  df-rn 4594  df-res 4595  df-ima 4596  df-iota 5132  df-fun 5169  df-fn 5170  df-f 5171  df-f1 5172  df-fo 5173  df-f1o 5174  df-fv 5175  df-ov 5821  df-oprab 5822  df-mpo 5823  df-1st 6082  df-2nd 6083  df-recs 6246  df-irdg 6311  df-1o 6357  df-oadd 6361  df-omul 6362  df-er 6473  df-ec 6475  df-qs 6479  df-ni 7207  df-mi 7209  df-enq0 7327  df-nq0 7328  df-0nq0 7329  df-mq0 7331 This theorem is referenced by:  prarloclem5  7403
 Copyright terms: Public domain W3C validator