Theorem negned 8410

Description: If two complex numbers are unequal, so are their negatives. Contrapositive of neg11d 8425. (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
negned.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
negned.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
negned	⊢ (𝜑 → -𝐴 ≠ -𝐵)

Proof of Theorem negned

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negned.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
2		negidd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3		negned.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
4	2, 3	neg11ad 8409	. . 3 ⊢ (𝜑 → (-𝐴 = -𝐵 ↔ 𝐴 = 𝐵))
5	4	necon3bid 2418	. 2 ⊢ (𝜑 → (-𝐴 ≠ -𝐵 ↔ 𝐴 ≠ 𝐵))
6	1, 5	mpbird 167	1 ⊢ (𝜑 → -𝐴 ≠ -𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2177   ≠ wne 2377  ℂcc 7953  -cneg 8274

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4173  ax-pow 4229  ax-pr 4264  ax-setind 4598  ax-resscn 8047  ax-1cn 8048  ax-icn 8050  ax-addcl 8051  ax-addrcl 8052  ax-mulcl 8053  ax-addcom 8055  ax-addass 8057  ax-distr 8059  ax-i2m1 8060  ax-0id 8063  ax-rnegex 8064  ax-cnre 8066

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3860  df-br 4055  df-opab 4117  df-id 4353  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-iota 5246  df-fun 5287  df-fv 5293  df-riota 5917  df-ov 5965  df-oprab 5966  df-mpo 5967  df-sub 8275  df-neg 8276

This theorem is referenced by: (None)