Theorem faclbnd6 10926

Description: Geometric lower bound for the factorial function, where N is usually held constant. (Contributed by Paul Chapman, 28-Dec-2007.)

Assertion

Ref	Expression
faclbnd6	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑀)) ≤ (!‘(𝑁 + 𝑀)))

Proof of Theorem faclbnd6

Dummy variables 𝑚 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 5975	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 0 → ((𝑁 + 1)↑𝑚) = ((𝑁 + 1)↑0))
2	1	oveq2d 5983	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 0 → ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑚)) = ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑0)))
3		oveq2 5975	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 0 → (𝑁 + 𝑚) = (𝑁 + 0))
4	3	fveq2d 5603	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 0 → (!‘(𝑁 + 𝑚)) = (!‘(𝑁 + 0)))
5	2, 4	breq12d 4072	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 0 → (((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑚)) ≤ (!‘(𝑁 + 𝑚)) ↔ ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑0)) ≤ (!‘(𝑁 + 0))))
6	5	imbi2d 230	. . 3 ⊢ (𝑚 = 0 → ((𝑁 ∈ ℕ0 → ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑚)) ≤ (!‘(𝑁 + 𝑚))) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑0)) ≤ (!‘(𝑁 + 0)))))
7		oveq2 5975	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → ((𝑁 + 1)↑𝑚) = ((𝑁 + 1)↑𝑘))
8	7	oveq2d 5983	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑚)) = ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)))
9		oveq2 5975	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (𝑁 + 𝑚) = (𝑁 + 𝑘))
10	9	fveq2d 5603	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (!‘(𝑁 + 𝑚)) = (!‘(𝑁 + 𝑘)))
11	8, 10	breq12d 4072	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑚)) ≤ (!‘(𝑁 + 𝑚)) ↔ ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)) ≤ (!‘(𝑁 + 𝑘))))
12	11	imbi2d 230	. . 3 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → ((𝑁 ∈ ℕ0 → ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑚)) ≤ (!‘(𝑁 + 𝑚))) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)) ≤ (!‘(𝑁 + 𝑘)))))
13		oveq2 5975	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = (𝑘 + 1) → ((𝑁 + 1)↑𝑚) = ((𝑁 + 1)↑(𝑘 + 1)))
14	13	oveq2d 5983	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = (𝑘 + 1) → ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑚)) = ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑(𝑘 + 1))))
15		oveq2 5975	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = (𝑘 + 1) → (𝑁 + 𝑚) = (𝑁 + (𝑘 + 1)))
16	15	fveq2d 5603	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = (𝑘 + 1) → (!‘(𝑁 + 𝑚)) = (!‘(𝑁 + (𝑘 + 1))))
17	14, 16	breq12d 4072	. . . 4 ⊢ (𝑚 = (𝑘 + 1) → (((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑚)) ≤ (!‘(𝑁 + 𝑚)) ↔ ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑(𝑘 + 1))) ≤ (!‘(𝑁 + (𝑘 + 1)))))
18	17	imbi2d 230	. . 3 ⊢ (𝑚 = (𝑘 + 1) → ((𝑁 ∈ ℕ0 → ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑚)) ≤ (!‘(𝑁 + 𝑚))) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑(𝑘 + 1))) ≤ (!‘(𝑁 + (𝑘 + 1))))))
19		oveq2 5975	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → ((𝑁 + 1)↑𝑚) = ((𝑁 + 1)↑𝑀))
20	19	oveq2d 5983	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑚)) = ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑀)))
21		oveq2 5975	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (𝑁 + 𝑚) = (𝑁 + 𝑀))
22	21	fveq2d 5603	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (!‘(𝑁 + 𝑚)) = (!‘(𝑁 + 𝑀)))
23	20, 22	breq12d 4072	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑚)) ≤ (!‘(𝑁 + 𝑚)) ↔ ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑀)) ≤ (!‘(𝑁 + 𝑀))))
24	23	imbi2d 230	. . 3 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → ((𝑁 ∈ ℕ0 → ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑚)) ≤ (!‘(𝑁 + 𝑚))) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑀)) ≤ (!‘(𝑁 + 𝑀)))))
25		faccl 10917	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
26	25	nnred 9084	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℝ)
27	26	leidd 8622	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ≤ (!‘𝑁))
28		nn0cn 9340	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℂ)
29		peano2cn 8242	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
30	28, 29	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
31	30	exp0d 10849	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1)↑0) = 1)
32	31	oveq2d 5983	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑0)) = ((!‘𝑁) · 1))
33	25	nncnd 9085	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℂ)
34	33	mulridd 8124	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((!‘𝑁) · 1) = (!‘𝑁))
35	32, 34	eqtrd 2240	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑0)) = (!‘𝑁))
36	28	addridd 8256	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 0) = 𝑁)
37	36	fveq2d 5603	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑁 + 0)) = (!‘𝑁))
38	27, 35, 37	3brtr4d 4091	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑0)) ≤ (!‘(𝑁 + 0)))
39	26	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑁) ∈ ℝ)
40		peano2nn0 9370	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
41	40	nn0red 9384	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
42		reexpcl 10738	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 + 1) ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑁 + 1)↑𝑘) ∈ ℝ)
43	41, 42	sylan 283	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑁 + 1)↑𝑘) ∈ ℝ)
44	39, 43	remulcld 8138	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)) ∈ ℝ)
45		nnnn0 9337	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((!‘𝑁) ∈ ℕ → (!‘𝑁) ∈ ℕ0)
46	45	nn0ge0d 9386	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((!‘𝑁) ∈ ℕ → 0 ≤ (!‘𝑁))
47	25, 46	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ (!‘𝑁))
48	47	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (!‘𝑁))
49	41	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
50		simpr 110	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
51	40	nn0ge0d 9386	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ (𝑁 + 1))
52	51	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (𝑁 + 1))
53	49, 50, 52	expge0d 10873	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ≤ ((𝑁 + 1)↑𝑘))
54	39, 43, 48, 53	mulge0d 8729	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ≤ ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)))
55	44, 54	jca 306	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘))))
56		nn0addcl 9365	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 𝑘) ∈ ℕ0)
57		faccl 10917	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 + 𝑘) ∈ ℕ0 → (!‘(𝑁 + 𝑘)) ∈ ℕ)
58	56, 57	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘(𝑁 + 𝑘)) ∈ ℕ)
59	58	nnred 9084	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘(𝑁 + 𝑘)) ∈ ℝ)
60		nn0re 9339	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
61		peano2nn0 9370	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
62	61	nn0red 9384	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
63		readdcl 8086	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℝ) → (𝑁 + (𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
64	60, 62, 63	syl2an 289	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 + (𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
65	49, 52, 64	jca31 309	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝑁 + 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑁 + 1)) ∧ (𝑁 + (𝑘 + 1)) ∈ ℝ))
66	55, 59, 65	jca31 309	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘))) ∧ (!‘(𝑁 + 𝑘)) ∈ ℝ) ∧ (((𝑁 + 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑁 + 1)) ∧ (𝑁 + (𝑘 + 1)) ∈ ℝ)))
67	66	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)) ≤ (!‘(𝑁 + 𝑘))) → (((((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘))) ∧ (!‘(𝑁 + 𝑘)) ∈ ℝ) ∧ (((𝑁 + 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑁 + 1)) ∧ (𝑁 + (𝑘 + 1)) ∈ ℝ)))
68		simpr 110	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)) ≤ (!‘(𝑁 + 𝑘))) → ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)) ≤ (!‘(𝑁 + 𝑘)))
69	36	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 0) = 𝑁)
70		nn0ge0 9355	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑘)
71	70	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 𝑘)
72		nn0re 9339	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℝ)
73	72	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℝ)
74	60	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
75		0re 8107	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 ∈ ℝ
76		leadd2 8539	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑘 ↔ (𝑁 + 0) ≤ (𝑁 + 𝑘)))
77	75, 76	mp3an1 1337	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑘 ↔ (𝑁 + 0) ≤ (𝑁 + 𝑘)))
78	73, 74, 77	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (0 ≤ 𝑘 ↔ (𝑁 + 0) ≤ (𝑁 + 𝑘)))
79	71, 78	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 0) ≤ (𝑁 + 𝑘))
80	69, 79	eqbrtrrd 4083	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑁 ≤ (𝑁 + 𝑘))
81	56	nn0red 9384	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 𝑘) ∈ ℝ)
82		1re 8106	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ ℝ
83		leadd1 8538	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 + 𝑘) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑁 ≤ (𝑁 + 𝑘) ↔ (𝑁 + 1) ≤ ((𝑁 + 𝑘) + 1)))
84	82, 83	mp3an3 1339	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 + 𝑘) ∈ ℝ) → (𝑁 ≤ (𝑁 + 𝑘) ↔ (𝑁 + 1) ≤ ((𝑁 + 𝑘) + 1)))
85	74, 81, 84	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 ≤ (𝑁 + 𝑘) ↔ (𝑁 + 1) ≤ ((𝑁 + 𝑘) + 1)))
86	80, 85	mpbid 147	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ≤ ((𝑁 + 𝑘) + 1))
87		nn0cn 9340	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℂ)
88		ax-1cn 8053	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℂ
89		addass 8090	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 + 𝑘) + 1) = (𝑁 + (𝑘 + 1)))
90	88, 89	mp3an3 1339	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((𝑁 + 𝑘) + 1) = (𝑁 + (𝑘 + 1)))
91	28, 87, 90	syl2an 289	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑁 + 𝑘) + 1) = (𝑁 + (𝑘 + 1)))
92	86, 91	breqtrd 4085	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ≤ (𝑁 + (𝑘 + 1)))
93	92	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)) ≤ (!‘(𝑁 + 𝑘))) → (𝑁 + 1) ≤ (𝑁 + (𝑘 + 1)))
94	68, 93	jca 306	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)) ≤ (!‘(𝑁 + 𝑘))) → (((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)) ≤ (!‘(𝑁 + 𝑘)) ∧ (𝑁 + 1) ≤ (𝑁 + (𝑘 + 1))))
95		lemul12a 8970	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘))) ∧ (!‘(𝑁 + 𝑘)) ∈ ℝ) ∧ (((𝑁 + 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑁 + 1)) ∧ (𝑁 + (𝑘 + 1)) ∈ ℝ)) → ((((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)) ≤ (!‘(𝑁 + 𝑘)) ∧ (𝑁 + 1) ≤ (𝑁 + (𝑘 + 1))) → (((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)) · (𝑁 + 1)) ≤ ((!‘(𝑁 + 𝑘)) · (𝑁 + (𝑘 + 1)))))
96	67, 94, 95	sylc 62	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)) ≤ (!‘(𝑁 + 𝑘))) → (((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)) · (𝑁 + 1)) ≤ ((!‘(𝑁 + 𝑘)) · (𝑁 + (𝑘 + 1))))
97		expp1 10728	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 + 1) ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑁 + 1)↑(𝑘 + 1)) = (((𝑁 + 1)↑𝑘) · (𝑁 + 1)))
98	30, 97	sylan 283	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑁 + 1)↑(𝑘 + 1)) = (((𝑁 + 1)↑𝑘) · (𝑁 + 1)))
99	98	oveq2d 5983	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑(𝑘 + 1))) = ((!‘𝑁) · (((𝑁 + 1)↑𝑘) · (𝑁 + 1))))
100	33	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑁) ∈ ℂ)
101		expcl 10739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 + 1) ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑁 + 1)↑𝑘) ∈ ℂ)
102	30, 101	sylan 283	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑁 + 1)↑𝑘) ∈ ℂ)
103	30	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
104	100, 102, 103	mulassd 8131	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)) · (𝑁 + 1)) = ((!‘𝑁) · (((𝑁 + 1)↑𝑘) · (𝑁 + 1))))
105	99, 104	eqtr4d 2243	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑(𝑘 + 1))) = (((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)) · (𝑁 + 1)))
106	105	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)) ≤ (!‘(𝑁 + 𝑘))) → ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑(𝑘 + 1))) = (((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)) · (𝑁 + 1)))
107		facp1 10912	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 + 𝑘) ∈ ℕ0 → (!‘((𝑁 + 𝑘) + 1)) = ((!‘(𝑁 + 𝑘)) · ((𝑁 + 𝑘) + 1)))
108	56, 107	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘((𝑁 + 𝑘) + 1)) = ((!‘(𝑁 + 𝑘)) · ((𝑁 + 𝑘) + 1)))
109	91	fveq2d 5603	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘((𝑁 + 𝑘) + 1)) = (!‘(𝑁 + (𝑘 + 1))))
110	91	oveq2d 5983	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((!‘(𝑁 + 𝑘)) · ((𝑁 + 𝑘) + 1)) = ((!‘(𝑁 + 𝑘)) · (𝑁 + (𝑘 + 1))))
111	108, 109, 110	3eqtr3d 2248	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘(𝑁 + (𝑘 + 1))) = ((!‘(𝑁 + 𝑘)) · (𝑁 + (𝑘 + 1))))
112	111	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)) ≤ (!‘(𝑁 + 𝑘))) → (!‘(𝑁 + (𝑘 + 1))) = ((!‘(𝑁 + 𝑘)) · (𝑁 + (𝑘 + 1))))
113	96, 106, 112	3brtr4d 4091	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)) ≤ (!‘(𝑁 + 𝑘))) → ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑(𝑘 + 1))) ≤ (!‘(𝑁 + (𝑘 + 1))))
114	113	ex 115	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)) ≤ (!‘(𝑁 + 𝑘)) → ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑(𝑘 + 1))) ≤ (!‘(𝑁 + (𝑘 + 1)))))
115	114	expcom 116	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)) ≤ (!‘(𝑁 + 𝑘)) → ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑(𝑘 + 1))) ≤ (!‘(𝑁 + (𝑘 + 1))))))
116	115	a2d 26	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑁 ∈ ℕ0 → ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)) ≤ (!‘(𝑁 + 𝑘))) → (𝑁 ∈ ℕ0 → ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑(𝑘 + 1))) ≤ (!‘(𝑁 + (𝑘 + 1))))))
117	6, 12, 18, 24, 38, 116	nn0ind 9522	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ0 → ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑀)) ≤ (!‘(𝑁 + 𝑀))))
118	117	impcom 125	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑀)) ≤ (!‘(𝑁 + 𝑀)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1373   ∈ wcel 2178   class class class wbr 4059  ‘cfv 5290  (class class class)co 5967  ℂcc 7958  ℝcr 7959  0cc0 7960  1c1 7961   + caddc 7963   · cmul 7965   ≤ cle 8143  ℕcn 9071  ℕ₀cn0 9330  ↑cexp 10720  !cfa 10907

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-iinf 4654  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-mulrcl 8059  ax-addcom 8060  ax-mulcom 8061  ax-addass 8062  ax-mulass 8063  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-1rid 8067  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-precex 8070  ax-cnre 8071  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltwlin 8073  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-apti 8075  ax-pre-ltadd 8076  ax-pre-mulgt0 8077  ax-pre-mulext 8078

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rmo 2494  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-if 3580  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-tr 4159  df-id 4358  df-po 4361  df-iso 4362  df-iord 4431  df-on 4433  df-ilim 4434  df-suc 4436  df-iom 4657  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-recs 6414  df-frec 6500  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148  df-sub 8280  df-neg 8281  df-reap 8683  df-ap 8690  df-div 8781  df-inn 9072  df-n0 9331  df-z 9408  df-uz 9684  df-seqfrec 10630  df-exp 10721  df-fac 10908

This theorem is referenced by:  eftlub  12116