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Theorem faclbnd6 10665
Description: Geometric lower bound for the factorial function, where N is usually held constant. (Contributed by Paul Chapman, 28-Dec-2007.)
Assertion
Ref Expression
faclbnd6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑀)) ≤ (!‘(𝑁 + 𝑀)))

Proof of Theorem faclbnd6
Dummy variables 𝑚 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 5858 . . . . . 6 (𝑚 = 0 → ((𝑁 + 1)↑𝑚) = ((𝑁 + 1)↑0))
21oveq2d 5866 . . . . 5 (𝑚 = 0 → ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑚)) = ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑0)))
3 oveq2 5858 . . . . . 6 (𝑚 = 0 → (𝑁 + 𝑚) = (𝑁 + 0))
43fveq2d 5498 . . . . 5 (𝑚 = 0 → (!‘(𝑁 + 𝑚)) = (!‘(𝑁 + 0)))
52, 4breq12d 4000 . . . 4 (𝑚 = 0 → (((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑚)) ≤ (!‘(𝑁 + 𝑚)) ↔ ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑0)) ≤ (!‘(𝑁 + 0))))
65imbi2d 229 . . 3 (𝑚 = 0 → ((𝑁 ∈ ℕ0 → ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑚)) ≤ (!‘(𝑁 + 𝑚))) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑0)) ≤ (!‘(𝑁 + 0)))))
7 oveq2 5858 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑘 → ((𝑁 + 1)↑𝑚) = ((𝑁 + 1)↑𝑘))
87oveq2d 5866 . . . . 5 (𝑚 = 𝑘 → ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑚)) = ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)))
9 oveq2 5858 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑘 → (𝑁 + 𝑚) = (𝑁 + 𝑘))
109fveq2d 5498 . . . . 5 (𝑚 = 𝑘 → (!‘(𝑁 + 𝑚)) = (!‘(𝑁 + 𝑘)))
118, 10breq12d 4000 . . . 4 (𝑚 = 𝑘 → (((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑚)) ≤ (!‘(𝑁 + 𝑚)) ↔ ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)) ≤ (!‘(𝑁 + 𝑘))))
1211imbi2d 229 . . 3 (𝑚 = 𝑘 → ((𝑁 ∈ ℕ0 → ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑚)) ≤ (!‘(𝑁 + 𝑚))) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)) ≤ (!‘(𝑁 + 𝑘)))))
13 oveq2 5858 . . . . . 6 (𝑚 = (𝑘 + 1) → ((𝑁 + 1)↑𝑚) = ((𝑁 + 1)↑(𝑘 + 1)))
1413oveq2d 5866 . . . . 5 (𝑚 = (𝑘 + 1) → ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑚)) = ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑(𝑘 + 1))))
15 oveq2 5858 . . . . . 6 (𝑚 = (𝑘 + 1) → (𝑁 + 𝑚) = (𝑁 + (𝑘 + 1)))
1615fveq2d 5498 . . . . 5 (𝑚 = (𝑘 + 1) → (!‘(𝑁 + 𝑚)) = (!‘(𝑁 + (𝑘 + 1))))
1714, 16breq12d 4000 . . . 4 (𝑚 = (𝑘 + 1) → (((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑚)) ≤ (!‘(𝑁 + 𝑚)) ↔ ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑(𝑘 + 1))) ≤ (!‘(𝑁 + (𝑘 + 1)))))
1817imbi2d 229 . . 3 (𝑚 = (𝑘 + 1) → ((𝑁 ∈ ℕ0 → ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑚)) ≤ (!‘(𝑁 + 𝑚))) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑(𝑘 + 1))) ≤ (!‘(𝑁 + (𝑘 + 1))))))
19 oveq2 5858 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑀 → ((𝑁 + 1)↑𝑚) = ((𝑁 + 1)↑𝑀))
2019oveq2d 5866 . . . . 5 (𝑚 = 𝑀 → ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑚)) = ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑀)))
21 oveq2 5858 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑀 → (𝑁 + 𝑚) = (𝑁 + 𝑀))
2221fveq2d 5498 . . . . 5 (𝑚 = 𝑀 → (!‘(𝑁 + 𝑚)) = (!‘(𝑁 + 𝑀)))
2320, 22breq12d 4000 . . . 4 (𝑚 = 𝑀 → (((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑚)) ≤ (!‘(𝑁 + 𝑚)) ↔ ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑀)) ≤ (!‘(𝑁 + 𝑀))))
2423imbi2d 229 . . 3 (𝑚 = 𝑀 → ((𝑁 ∈ ℕ0 → ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑚)) ≤ (!‘(𝑁 + 𝑚))) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑀)) ≤ (!‘(𝑁 + 𝑀)))))
25 faccl 10656 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
2625nnred 8878 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℝ)
2726leidd 8420 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ≤ (!‘𝑁))
28 nn0cn 9132 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℂ)
29 peano2cn 8041 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
3028, 29syl 14 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
3130exp0d 10590 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1)↑0) = 1)
3231oveq2d 5866 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑0)) = ((!‘𝑁) · 1))
3325nncnd 8879 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℂ)
3433mulid1d 7924 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((!‘𝑁) · 1) = (!‘𝑁))
3532, 34eqtrd 2203 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑0)) = (!‘𝑁))
3628addid1d 8055 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 0) = 𝑁)
3736fveq2d 5498 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑁 + 0)) = (!‘𝑁))
3827, 35, 373brtr4d 4019 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑0)) ≤ (!‘(𝑁 + 0)))
3926adantr 274 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑁) ∈ ℝ)
40 peano2nn0 9162 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
4140nn0red 9176 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
42 reexpcl 10480 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 + 1) ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑁 + 1)↑𝑘) ∈ ℝ)
4341, 42sylan 281 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑁 + 1)↑𝑘) ∈ ℝ)
4439, 43remulcld 7937 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)) ∈ ℝ)
45 nnnn0 9129 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((!‘𝑁) ∈ ℕ → (!‘𝑁) ∈ ℕ0)
4645nn0ge0d 9178 . . . . . . . . . . . . . 14 ((!‘𝑁) ∈ ℕ → 0 ≤ (!‘𝑁))
4725, 46syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ (!‘𝑁))
4847adantr 274 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (!‘𝑁))
4941adantr 274 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
50 simpr 109 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
5140nn0ge0d 9178 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ (𝑁 + 1))
5251adantr 274 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (𝑁 + 1))
5349, 50, 52expge0d 10614 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ≤ ((𝑁 + 1)↑𝑘))
5439, 43, 48, 53mulge0d 8527 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ≤ ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)))
5544, 54jca 304 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘))))
56 nn0addcl 9157 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 𝑘) ∈ ℕ0)
57 faccl 10656 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 + 𝑘) ∈ ℕ0 → (!‘(𝑁 + 𝑘)) ∈ ℕ)
5856, 57syl 14 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘(𝑁 + 𝑘)) ∈ ℕ)
5958nnred 8878 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘(𝑁 + 𝑘)) ∈ ℝ)
60 nn0re 9131 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
61 peano2nn0 9162 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
6261nn0red 9176 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
63 readdcl 7887 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℝ) → (𝑁 + (𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
6460, 62, 63syl2an 287 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 + (𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
6549, 52, 64jca31 307 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝑁 + 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑁 + 1)) ∧ (𝑁 + (𝑘 + 1)) ∈ ℝ))
6655, 59, 65jca31 307 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (((((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘))) ∧ (!‘(𝑁 + 𝑘)) ∈ ℝ) ∧ (((𝑁 + 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑁 + 1)) ∧ (𝑁 + (𝑘 + 1)) ∈ ℝ)))
6766adantr 274 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)) ≤ (!‘(𝑁 + 𝑘))) → (((((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘))) ∧ (!‘(𝑁 + 𝑘)) ∈ ℝ) ∧ (((𝑁 + 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑁 + 1)) ∧ (𝑁 + (𝑘 + 1)) ∈ ℝ)))
68 simpr 109 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)) ≤ (!‘(𝑁 + 𝑘))) → ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)) ≤ (!‘(𝑁 + 𝑘)))
6936adantr 274 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 0) = 𝑁)
70 nn0ge0 9147 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑘)
7170adantl 275 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 𝑘)
72 nn0re 9131 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℝ)
7372adantl 275 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℝ)
7460adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
75 0re 7907 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ∈ ℝ
76 leadd2 8337 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑘 ↔ (𝑁 + 0) ≤ (𝑁 + 𝑘)))
7775, 76mp3an1 1319 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑘 ↔ (𝑁 + 0) ≤ (𝑁 + 𝑘)))
7873, 74, 77syl2anc 409 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (0 ≤ 𝑘 ↔ (𝑁 + 0) ≤ (𝑁 + 𝑘)))
7971, 78mpbid 146 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 0) ≤ (𝑁 + 𝑘))
8069, 79eqbrtrrd 4011 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑁 ≤ (𝑁 + 𝑘))
8156nn0red 9176 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 𝑘) ∈ ℝ)
82 1re 7906 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℝ
83 leadd1 8336 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 + 𝑘) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑁 ≤ (𝑁 + 𝑘) ↔ (𝑁 + 1) ≤ ((𝑁 + 𝑘) + 1)))
8482, 83mp3an3 1321 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 + 𝑘) ∈ ℝ) → (𝑁 ≤ (𝑁 + 𝑘) ↔ (𝑁 + 1) ≤ ((𝑁 + 𝑘) + 1)))
8574, 81, 84syl2anc 409 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 ≤ (𝑁 + 𝑘) ↔ (𝑁 + 1) ≤ ((𝑁 + 𝑘) + 1)))
8680, 85mpbid 146 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ≤ ((𝑁 + 𝑘) + 1))
87 nn0cn 9132 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℂ)
88 ax-1cn 7854 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℂ
89 addass 7891 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 + 𝑘) + 1) = (𝑁 + (𝑘 + 1)))
9088, 89mp3an3 1321 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((𝑁 + 𝑘) + 1) = (𝑁 + (𝑘 + 1)))
9128, 87, 90syl2an 287 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑁 + 𝑘) + 1) = (𝑁 + (𝑘 + 1)))
9286, 91breqtrd 4013 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ≤ (𝑁 + (𝑘 + 1)))
9392adantr 274 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)) ≤ (!‘(𝑁 + 𝑘))) → (𝑁 + 1) ≤ (𝑁 + (𝑘 + 1)))
9468, 93jca 304 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)) ≤ (!‘(𝑁 + 𝑘))) → (((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)) ≤ (!‘(𝑁 + 𝑘)) ∧ (𝑁 + 1) ≤ (𝑁 + (𝑘 + 1))))
95 lemul12a 8765 . . . . . . . 8 ((((((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘))) ∧ (!‘(𝑁 + 𝑘)) ∈ ℝ) ∧ (((𝑁 + 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑁 + 1)) ∧ (𝑁 + (𝑘 + 1)) ∈ ℝ)) → ((((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)) ≤ (!‘(𝑁 + 𝑘)) ∧ (𝑁 + 1) ≤ (𝑁 + (𝑘 + 1))) → (((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)) · (𝑁 + 1)) ≤ ((!‘(𝑁 + 𝑘)) · (𝑁 + (𝑘 + 1)))))
9667, 94, 95sylc 62 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)) ≤ (!‘(𝑁 + 𝑘))) → (((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)) · (𝑁 + 1)) ≤ ((!‘(𝑁 + 𝑘)) · (𝑁 + (𝑘 + 1))))
97 expp1 10470 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 + 1) ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑁 + 1)↑(𝑘 + 1)) = (((𝑁 + 1)↑𝑘) · (𝑁 + 1)))
9830, 97sylan 281 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑁 + 1)↑(𝑘 + 1)) = (((𝑁 + 1)↑𝑘) · (𝑁 + 1)))
9998oveq2d 5866 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑(𝑘 + 1))) = ((!‘𝑁) · (((𝑁 + 1)↑𝑘) · (𝑁 + 1))))
10033adantr 274 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑁) ∈ ℂ)
101 expcl 10481 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 + 1) ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑁 + 1)↑𝑘) ∈ ℂ)
10230, 101sylan 281 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑁 + 1)↑𝑘) ∈ ℂ)
10330adantr 274 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
104100, 102, 103mulassd 7930 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)) · (𝑁 + 1)) = ((!‘𝑁) · (((𝑁 + 1)↑𝑘) · (𝑁 + 1))))
10599, 104eqtr4d 2206 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑(𝑘 + 1))) = (((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)) · (𝑁 + 1)))
106105adantr 274 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)) ≤ (!‘(𝑁 + 𝑘))) → ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑(𝑘 + 1))) = (((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)) · (𝑁 + 1)))
107 facp1 10651 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 + 𝑘) ∈ ℕ0 → (!‘((𝑁 + 𝑘) + 1)) = ((!‘(𝑁 + 𝑘)) · ((𝑁 + 𝑘) + 1)))
10856, 107syl 14 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘((𝑁 + 𝑘) + 1)) = ((!‘(𝑁 + 𝑘)) · ((𝑁 + 𝑘) + 1)))
10991fveq2d 5498 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘((𝑁 + 𝑘) + 1)) = (!‘(𝑁 + (𝑘 + 1))))
11091oveq2d 5866 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → ((!‘(𝑁 + 𝑘)) · ((𝑁 + 𝑘) + 1)) = ((!‘(𝑁 + 𝑘)) · (𝑁 + (𝑘 + 1))))
111108, 109, 1103eqtr3d 2211 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘(𝑁 + (𝑘 + 1))) = ((!‘(𝑁 + 𝑘)) · (𝑁 + (𝑘 + 1))))
112111adantr 274 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)) ≤ (!‘(𝑁 + 𝑘))) → (!‘(𝑁 + (𝑘 + 1))) = ((!‘(𝑁 + 𝑘)) · (𝑁 + (𝑘 + 1))))
11396, 106, 1123brtr4d 4019 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)) ≤ (!‘(𝑁 + 𝑘))) → ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑(𝑘 + 1))) ≤ (!‘(𝑁 + (𝑘 + 1))))
114113ex 114 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)) ≤ (!‘(𝑁 + 𝑘)) → ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑(𝑘 + 1))) ≤ (!‘(𝑁 + (𝑘 + 1)))))
115114expcom 115 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)) ≤ (!‘(𝑁 + 𝑘)) → ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑(𝑘 + 1))) ≤ (!‘(𝑁 + (𝑘 + 1))))))
116115a2d 26 . . 3 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑁 ∈ ℕ0 → ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)) ≤ (!‘(𝑁 + 𝑘))) → (𝑁 ∈ ℕ0 → ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑(𝑘 + 1))) ≤ (!‘(𝑁 + (𝑘 + 1))))))
1176, 12, 18, 24, 38, 116nn0ind 9313 . 2 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ0 → ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑀)) ≤ (!‘(𝑁 + 𝑀))))
118117impcom 124 1 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑀)) ≤ (!‘(𝑁 + 𝑀)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104   = wceq 1348  wcel 2141   class class class wbr 3987  cfv 5196  (class class class)co 5850  cc 7759  cr 7760  0cc0 7761  1c1 7762   + caddc 7764   · cmul 7766  cle 7942  cn 8865  0cn0 9122  cexp 10462  !cfa 10646
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4102  ax-sep 4105  ax-nul 4113  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-iinf 4570  ax-cnex 7852  ax-resscn 7853  ax-1cn 7854  ax-1re 7855  ax-icn 7856  ax-addcl 7857  ax-addrcl 7858  ax-mulcl 7859  ax-mulrcl 7860  ax-addcom 7861  ax-mulcom 7862  ax-addass 7863  ax-mulass 7864  ax-distr 7865  ax-i2m1 7866  ax-0lt1 7867  ax-1rid 7868  ax-0id 7869  ax-rnegex 7870  ax-precex 7871  ax-cnre 7872  ax-pre-ltirr 7873  ax-pre-ltwlin 7874  ax-pre-lttrn 7875  ax-pre-apti 7876  ax-pre-ltadd 7877  ax-pre-mulgt0 7878  ax-pre-mulext 7879
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3526  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-tr 4086  df-id 4276  df-po 4279  df-iso 4280  df-iord 4349  df-on 4351  df-ilim 4352  df-suc 4354  df-iom 4573  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204  df-riota 5806  df-ov 5853  df-oprab 5854  df-mpo 5855  df-1st 6116  df-2nd 6117  df-recs 6281  df-frec 6367  df-pnf 7943  df-mnf 7944  df-xr 7945  df-ltxr 7946  df-le 7947  df-sub 8079  df-neg 8080  df-reap 8481  df-ap 8488  df-div 8577  df-inn 8866  df-n0 9123  df-z 9200  df-uz 9475  df-seqfrec 10389  df-exp 10463  df-fac 10647
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