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Theorem faclbnd6 10708
Description: Geometric lower bound for the factorial function, where N is usually held constant. (Contributed by Paul Chapman, 28-Dec-2007.)
Assertion
Ref Expression
faclbnd6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑀)) ≤ (!‘(𝑁 + 𝑀)))

Proof of Theorem faclbnd6
Dummy variables 𝑚 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 5877 . . . . . 6 (𝑚 = 0 → ((𝑁 + 1)↑𝑚) = ((𝑁 + 1)↑0))
21oveq2d 5885 . . . . 5 (𝑚 = 0 → ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑚)) = ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑0)))
3 oveq2 5877 . . . . . 6 (𝑚 = 0 → (𝑁 + 𝑚) = (𝑁 + 0))
43fveq2d 5515 . . . . 5 (𝑚 = 0 → (!‘(𝑁 + 𝑚)) = (!‘(𝑁 + 0)))
52, 4breq12d 4013 . . . 4 (𝑚 = 0 → (((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑚)) ≤ (!‘(𝑁 + 𝑚)) ↔ ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑0)) ≤ (!‘(𝑁 + 0))))
65imbi2d 230 . . 3 (𝑚 = 0 → ((𝑁 ∈ ℕ0 → ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑚)) ≤ (!‘(𝑁 + 𝑚))) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑0)) ≤ (!‘(𝑁 + 0)))))
7 oveq2 5877 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑘 → ((𝑁 + 1)↑𝑚) = ((𝑁 + 1)↑𝑘))
87oveq2d 5885 . . . . 5 (𝑚 = 𝑘 → ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑚)) = ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)))
9 oveq2 5877 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑘 → (𝑁 + 𝑚) = (𝑁 + 𝑘))
109fveq2d 5515 . . . . 5 (𝑚 = 𝑘 → (!‘(𝑁 + 𝑚)) = (!‘(𝑁 + 𝑘)))
118, 10breq12d 4013 . . . 4 (𝑚 = 𝑘 → (((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑚)) ≤ (!‘(𝑁 + 𝑚)) ↔ ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)) ≤ (!‘(𝑁 + 𝑘))))
1211imbi2d 230 . . 3 (𝑚 = 𝑘 → ((𝑁 ∈ ℕ0 → ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑚)) ≤ (!‘(𝑁 + 𝑚))) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)) ≤ (!‘(𝑁 + 𝑘)))))
13 oveq2 5877 . . . . . 6 (𝑚 = (𝑘 + 1) → ((𝑁 + 1)↑𝑚) = ((𝑁 + 1)↑(𝑘 + 1)))
1413oveq2d 5885 . . . . 5 (𝑚 = (𝑘 + 1) → ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑚)) = ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑(𝑘 + 1))))
15 oveq2 5877 . . . . . 6 (𝑚 = (𝑘 + 1) → (𝑁 + 𝑚) = (𝑁 + (𝑘 + 1)))
1615fveq2d 5515 . . . . 5 (𝑚 = (𝑘 + 1) → (!‘(𝑁 + 𝑚)) = (!‘(𝑁 + (𝑘 + 1))))
1714, 16breq12d 4013 . . . 4 (𝑚 = (𝑘 + 1) → (((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑚)) ≤ (!‘(𝑁 + 𝑚)) ↔ ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑(𝑘 + 1))) ≤ (!‘(𝑁 + (𝑘 + 1)))))
1817imbi2d 230 . . 3 (𝑚 = (𝑘 + 1) → ((𝑁 ∈ ℕ0 → ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑚)) ≤ (!‘(𝑁 + 𝑚))) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑(𝑘 + 1))) ≤ (!‘(𝑁 + (𝑘 + 1))))))
19 oveq2 5877 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑀 → ((𝑁 + 1)↑𝑚) = ((𝑁 + 1)↑𝑀))
2019oveq2d 5885 . . . . 5 (𝑚 = 𝑀 → ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑚)) = ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑀)))
21 oveq2 5877 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑀 → (𝑁 + 𝑚) = (𝑁 + 𝑀))
2221fveq2d 5515 . . . . 5 (𝑚 = 𝑀 → (!‘(𝑁 + 𝑚)) = (!‘(𝑁 + 𝑀)))
2320, 22breq12d 4013 . . . 4 (𝑚 = 𝑀 → (((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑚)) ≤ (!‘(𝑁 + 𝑚)) ↔ ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑀)) ≤ (!‘(𝑁 + 𝑀))))
2423imbi2d 230 . . 3 (𝑚 = 𝑀 → ((𝑁 ∈ ℕ0 → ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑚)) ≤ (!‘(𝑁 + 𝑚))) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑀)) ≤ (!‘(𝑁 + 𝑀)))))
25 faccl 10699 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
2625nnred 8921 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℝ)
2726leidd 8461 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ≤ (!‘𝑁))
28 nn0cn 9175 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℂ)
29 peano2cn 8082 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
3028, 29syl 14 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
3130exp0d 10633 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1)↑0) = 1)
3231oveq2d 5885 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑0)) = ((!‘𝑁) · 1))
3325nncnd 8922 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℂ)
3433mulid1d 7965 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((!‘𝑁) · 1) = (!‘𝑁))
3532, 34eqtrd 2210 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑0)) = (!‘𝑁))
3628addid1d 8096 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 0) = 𝑁)
3736fveq2d 5515 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑁 + 0)) = (!‘𝑁))
3827, 35, 373brtr4d 4032 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑0)) ≤ (!‘(𝑁 + 0)))
3926adantr 276 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑁) ∈ ℝ)
40 peano2nn0 9205 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
4140nn0red 9219 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
42 reexpcl 10523 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 + 1) ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑁 + 1)↑𝑘) ∈ ℝ)
4341, 42sylan 283 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑁 + 1)↑𝑘) ∈ ℝ)
4439, 43remulcld 7978 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)) ∈ ℝ)
45 nnnn0 9172 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((!‘𝑁) ∈ ℕ → (!‘𝑁) ∈ ℕ0)
4645nn0ge0d 9221 . . . . . . . . . . . . . 14 ((!‘𝑁) ∈ ℕ → 0 ≤ (!‘𝑁))
4725, 46syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ (!‘𝑁))
4847adantr 276 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (!‘𝑁))
4941adantr 276 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
50 simpr 110 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
5140nn0ge0d 9221 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ (𝑁 + 1))
5251adantr 276 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (𝑁 + 1))
5349, 50, 52expge0d 10657 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ≤ ((𝑁 + 1)↑𝑘))
5439, 43, 48, 53mulge0d 8568 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ≤ ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)))
5544, 54jca 306 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘))))
56 nn0addcl 9200 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 𝑘) ∈ ℕ0)
57 faccl 10699 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 + 𝑘) ∈ ℕ0 → (!‘(𝑁 + 𝑘)) ∈ ℕ)
5856, 57syl 14 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘(𝑁 + 𝑘)) ∈ ℕ)
5958nnred 8921 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘(𝑁 + 𝑘)) ∈ ℝ)
60 nn0re 9174 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
61 peano2nn0 9205 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
6261nn0red 9219 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
63 readdcl 7928 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℝ) → (𝑁 + (𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
6460, 62, 63syl2an 289 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 + (𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
6549, 52, 64jca31 309 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝑁 + 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑁 + 1)) ∧ (𝑁 + (𝑘 + 1)) ∈ ℝ))
6655, 59, 65jca31 309 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (((((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘))) ∧ (!‘(𝑁 + 𝑘)) ∈ ℝ) ∧ (((𝑁 + 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑁 + 1)) ∧ (𝑁 + (𝑘 + 1)) ∈ ℝ)))
6766adantr 276 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)) ≤ (!‘(𝑁 + 𝑘))) → (((((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘))) ∧ (!‘(𝑁 + 𝑘)) ∈ ℝ) ∧ (((𝑁 + 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑁 + 1)) ∧ (𝑁 + (𝑘 + 1)) ∈ ℝ)))
68 simpr 110 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)) ≤ (!‘(𝑁 + 𝑘))) → ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)) ≤ (!‘(𝑁 + 𝑘)))
6936adantr 276 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 0) = 𝑁)
70 nn0ge0 9190 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑘)
7170adantl 277 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 𝑘)
72 nn0re 9174 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℝ)
7372adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℝ)
7460adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
75 0re 7948 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ∈ ℝ
76 leadd2 8378 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑘 ↔ (𝑁 + 0) ≤ (𝑁 + 𝑘)))
7775, 76mp3an1 1324 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑘 ↔ (𝑁 + 0) ≤ (𝑁 + 𝑘)))
7873, 74, 77syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (0 ≤ 𝑘 ↔ (𝑁 + 0) ≤ (𝑁 + 𝑘)))
7971, 78mpbid 147 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 0) ≤ (𝑁 + 𝑘))
8069, 79eqbrtrrd 4024 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑁 ≤ (𝑁 + 𝑘))
8156nn0red 9219 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 𝑘) ∈ ℝ)
82 1re 7947 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℝ
83 leadd1 8377 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 + 𝑘) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑁 ≤ (𝑁 + 𝑘) ↔ (𝑁 + 1) ≤ ((𝑁 + 𝑘) + 1)))
8482, 83mp3an3 1326 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 + 𝑘) ∈ ℝ) → (𝑁 ≤ (𝑁 + 𝑘) ↔ (𝑁 + 1) ≤ ((𝑁 + 𝑘) + 1)))
8574, 81, 84syl2anc 411 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 ≤ (𝑁 + 𝑘) ↔ (𝑁 + 1) ≤ ((𝑁 + 𝑘) + 1)))
8680, 85mpbid 147 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ≤ ((𝑁 + 𝑘) + 1))
87 nn0cn 9175 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℂ)
88 ax-1cn 7895 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℂ
89 addass 7932 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 + 𝑘) + 1) = (𝑁 + (𝑘 + 1)))
9088, 89mp3an3 1326 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((𝑁 + 𝑘) + 1) = (𝑁 + (𝑘 + 1)))
9128, 87, 90syl2an 289 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑁 + 𝑘) + 1) = (𝑁 + (𝑘 + 1)))
9286, 91breqtrd 4026 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ≤ (𝑁 + (𝑘 + 1)))
9392adantr 276 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)) ≤ (!‘(𝑁 + 𝑘))) → (𝑁 + 1) ≤ (𝑁 + (𝑘 + 1)))
9468, 93jca 306 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)) ≤ (!‘(𝑁 + 𝑘))) → (((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)) ≤ (!‘(𝑁 + 𝑘)) ∧ (𝑁 + 1) ≤ (𝑁 + (𝑘 + 1))))
95 lemul12a 8808 . . . . . . . 8 ((((((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘))) ∧ (!‘(𝑁 + 𝑘)) ∈ ℝ) ∧ (((𝑁 + 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑁 + 1)) ∧ (𝑁 + (𝑘 + 1)) ∈ ℝ)) → ((((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)) ≤ (!‘(𝑁 + 𝑘)) ∧ (𝑁 + 1) ≤ (𝑁 + (𝑘 + 1))) → (((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)) · (𝑁 + 1)) ≤ ((!‘(𝑁 + 𝑘)) · (𝑁 + (𝑘 + 1)))))
9667, 94, 95sylc 62 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)) ≤ (!‘(𝑁 + 𝑘))) → (((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)) · (𝑁 + 1)) ≤ ((!‘(𝑁 + 𝑘)) · (𝑁 + (𝑘 + 1))))
97 expp1 10513 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 + 1) ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑁 + 1)↑(𝑘 + 1)) = (((𝑁 + 1)↑𝑘) · (𝑁 + 1)))
9830, 97sylan 283 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑁 + 1)↑(𝑘 + 1)) = (((𝑁 + 1)↑𝑘) · (𝑁 + 1)))
9998oveq2d 5885 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑(𝑘 + 1))) = ((!‘𝑁) · (((𝑁 + 1)↑𝑘) · (𝑁 + 1))))
10033adantr 276 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑁) ∈ ℂ)
101 expcl 10524 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 + 1) ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑁 + 1)↑𝑘) ∈ ℂ)
10230, 101sylan 283 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑁 + 1)↑𝑘) ∈ ℂ)
10330adantr 276 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
104100, 102, 103mulassd 7971 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)) · (𝑁 + 1)) = ((!‘𝑁) · (((𝑁 + 1)↑𝑘) · (𝑁 + 1))))
10599, 104eqtr4d 2213 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑(𝑘 + 1))) = (((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)) · (𝑁 + 1)))
106105adantr 276 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)) ≤ (!‘(𝑁 + 𝑘))) → ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑(𝑘 + 1))) = (((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)) · (𝑁 + 1)))
107 facp1 10694 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 + 𝑘) ∈ ℕ0 → (!‘((𝑁 + 𝑘) + 1)) = ((!‘(𝑁 + 𝑘)) · ((𝑁 + 𝑘) + 1)))
10856, 107syl 14 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘((𝑁 + 𝑘) + 1)) = ((!‘(𝑁 + 𝑘)) · ((𝑁 + 𝑘) + 1)))
10991fveq2d 5515 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘((𝑁 + 𝑘) + 1)) = (!‘(𝑁 + (𝑘 + 1))))
11091oveq2d 5885 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → ((!‘(𝑁 + 𝑘)) · ((𝑁 + 𝑘) + 1)) = ((!‘(𝑁 + 𝑘)) · (𝑁 + (𝑘 + 1))))
111108, 109, 1103eqtr3d 2218 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘(𝑁 + (𝑘 + 1))) = ((!‘(𝑁 + 𝑘)) · (𝑁 + (𝑘 + 1))))
112111adantr 276 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)) ≤ (!‘(𝑁 + 𝑘))) → (!‘(𝑁 + (𝑘 + 1))) = ((!‘(𝑁 + 𝑘)) · (𝑁 + (𝑘 + 1))))
11396, 106, 1123brtr4d 4032 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)) ≤ (!‘(𝑁 + 𝑘))) → ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑(𝑘 + 1))) ≤ (!‘(𝑁 + (𝑘 + 1))))
114113ex 115 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)) ≤ (!‘(𝑁 + 𝑘)) → ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑(𝑘 + 1))) ≤ (!‘(𝑁 + (𝑘 + 1)))))
115114expcom 116 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)) ≤ (!‘(𝑁 + 𝑘)) → ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑(𝑘 + 1))) ≤ (!‘(𝑁 + (𝑘 + 1))))))
116115a2d 26 . . 3 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑁 ∈ ℕ0 → ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑘)) ≤ (!‘(𝑁 + 𝑘))) → (𝑁 ∈ ℕ0 → ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑(𝑘 + 1))) ≤ (!‘(𝑁 + (𝑘 + 1))))))
1176, 12, 18, 24, 38, 116nn0ind 9356 . 2 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ0 → ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑀)) ≤ (!‘(𝑁 + 𝑀))))
118117impcom 125 1 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → ((!‘𝑁) · ((𝑁 + 1)↑𝑀)) ≤ (!‘(𝑁 + 𝑀)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105   = wceq 1353  wcel 2148   class class class wbr 4000  cfv 5212  (class class class)co 5869  cc 7800  cr 7801  0cc0 7802  1c1 7803   + caddc 7805   · cmul 7807  cle 7983  cn 8908  0cn0 9165  cexp 10505  !cfa 10689
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-mulrcl 7901  ax-addcom 7902  ax-mulcom 7903  ax-addass 7904  ax-mulass 7905  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-1rid 7909  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-precex 7912  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918  ax-pre-mulgt0 7919  ax-pre-mulext 7920
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-frec 6386  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-reap 8522  df-ap 8529  df-div 8619  df-inn 8909  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-seqfrec 10432  df-exp 10506  df-fac 10690
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