ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  facavg GIF version

Theorem facavg 10726
Description: The product of two factorials is greater than or equal to the factorial of (the floor of) their average. (Contributed by NM, 9-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
facavg ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (!โ€˜(โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2))) โ‰ค ((!โ€˜๐‘€) ยท (!โ€˜๐‘)))

Proof of Theorem facavg
StepHypRef Expression
1 nn0addcl 9211 . . . . . . 7 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0)
21nn0zd 9373 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„ค)
3 2nn 9080 . . . . . 6 2 โˆˆ โ„•
4 znq 9624 . . . . . 6 (((๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„ค โˆง 2 โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘€ + ๐‘) / 2) โˆˆ โ„š)
52, 3, 4sylancl 413 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘€ + ๐‘) / 2) โˆˆ โ„š)
6 flqle 10278 . . . . 5 (((๐‘€ + ๐‘) / 2) โˆˆ โ„š โ†’ (โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2)) โ‰ค ((๐‘€ + ๐‘) / 2))
75, 6syl 14 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2)) โ‰ค ((๐‘€ + ๐‘) / 2))
85flqcld 10277 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2)) โˆˆ โ„ค)
98zred 9375 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2)) โˆˆ โ„)
10 nn0readdcl 9235 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„)
1110rehalfcld 9165 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘€ + ๐‘) / 2) โˆˆ โ„)
12 nn0re 9185 . . . . . 6 (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„)
1312adantr 276 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„)
14 letr 8040 . . . . 5 (((โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2)) โˆˆ โ„ โˆง ((๐‘€ + ๐‘) / 2) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„) โ†’ (((โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2)) โ‰ค ((๐‘€ + ๐‘) / 2) โˆง ((๐‘€ + ๐‘) / 2) โ‰ค ๐‘€) โ†’ (โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2)) โ‰ค ๐‘€))
159, 11, 13, 14syl3anc 1238 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (((โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2)) โ‰ค ((๐‘€ + ๐‘) / 2) โˆง ((๐‘€ + ๐‘) / 2) โ‰ค ๐‘€) โ†’ (โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2)) โ‰ค ๐‘€))
167, 15mpand 429 . . 3 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (((๐‘€ + ๐‘) / 2) โ‰ค ๐‘€ โ†’ (โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2)) โ‰ค ๐‘€))
171nn0ge0d 9232 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ 0 โ‰ค (๐‘€ + ๐‘))
18 halfnneg2 9151 . . . . . . 7 ((๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„ โ†’ (0 โ‰ค (๐‘€ + ๐‘) โ†” 0 โ‰ค ((๐‘€ + ๐‘) / 2)))
1910, 18syl 14 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (0 โ‰ค (๐‘€ + ๐‘) โ†” 0 โ‰ค ((๐‘€ + ๐‘) / 2)))
2017, 19mpbid 147 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ 0 โ‰ค ((๐‘€ + ๐‘) / 2))
21 flqge0nn0 10293 . . . . 5 ((((๐‘€ + ๐‘) / 2) โˆˆ โ„š โˆง 0 โ‰ค ((๐‘€ + ๐‘) / 2)) โ†’ (โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2)) โˆˆ โ„•0)
225, 20, 21syl2anc 411 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2)) โˆˆ โ„•0)
23 simpl 109 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•0)
24 facwordi 10720 . . . . 5 (((โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2)) โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง (โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2)) โ‰ค ๐‘€) โ†’ (!โ€˜(โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2))) โ‰ค (!โ€˜๐‘€))
25243exp 1202 . . . 4 ((โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2)) โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2)) โ‰ค ๐‘€ โ†’ (!โ€˜(โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2))) โ‰ค (!โ€˜๐‘€))))
2622, 23, 25sylc 62 . . 3 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2)) โ‰ค ๐‘€ โ†’ (!โ€˜(โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2))) โ‰ค (!โ€˜๐‘€)))
27 faccl 10715 . . . . . . . 8 (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜๐‘€) โˆˆ โ„•)
2827nncnd 8933 . . . . . . 7 (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜๐‘€) โˆˆ โ„‚)
2928mulridd 7974 . . . . . 6 (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((!โ€˜๐‘€) ยท 1) = (!โ€˜๐‘€))
3029adantr 276 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((!โ€˜๐‘€) ยท 1) = (!โ€˜๐‘€))
31 faccl 10715 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„•)
3231nnred 8932 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„)
3332adantl 277 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„)
3427nnred 8932 . . . . . . . 8 (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜๐‘€) โˆˆ โ„)
3527nnnn0d 9229 . . . . . . . . 9 (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜๐‘€) โˆˆ โ„•0)
3635nn0ge0d 9232 . . . . . . . 8 (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โ†’ 0 โ‰ค (!โ€˜๐‘€))
3734, 36jca 306 . . . . . . 7 (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((!โ€˜๐‘€) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (!โ€˜๐‘€)))
3837adantr 276 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((!โ€˜๐‘€) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (!โ€˜๐‘€)))
3931nnge1d 8962 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ 1 โ‰ค (!โ€˜๐‘))
4039adantl 277 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ 1 โ‰ค (!โ€˜๐‘))
41 1re 7956 . . . . . . 7 1 โˆˆ โ„
42 lemul2a 8816 . . . . . . 7 (((1 โˆˆ โ„ โˆง (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„ โˆง ((!โ€˜๐‘€) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (!โ€˜๐‘€))) โˆง 1 โ‰ค (!โ€˜๐‘)) โ†’ ((!โ€˜๐‘€) ยท 1) โ‰ค ((!โ€˜๐‘€) ยท (!โ€˜๐‘)))
4341, 42mp3anl1 1331 . . . . . 6 ((((!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„ โˆง ((!โ€˜๐‘€) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (!โ€˜๐‘€))) โˆง 1 โ‰ค (!โ€˜๐‘)) โ†’ ((!โ€˜๐‘€) ยท 1) โ‰ค ((!โ€˜๐‘€) ยท (!โ€˜๐‘)))
4433, 38, 40, 43syl21anc 1237 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((!โ€˜๐‘€) ยท 1) โ‰ค ((!โ€˜๐‘€) ยท (!โ€˜๐‘)))
4530, 44eqbrtrrd 4028 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (!โ€˜๐‘€) โ‰ค ((!โ€˜๐‘€) ยท (!โ€˜๐‘)))
46 faccl 10715 . . . . . . 7 ((โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2)) โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜(โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2))) โˆˆ โ„•)
4722, 46syl 14 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (!โ€˜(โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2))) โˆˆ โ„•)
4847nnred 8932 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (!โ€˜(โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2))) โˆˆ โ„)
4934adantr 276 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (!โ€˜๐‘€) โˆˆ โ„)
50 remulcl 7939 . . . . . 6 (((!โ€˜๐‘€) โˆˆ โ„ โˆง (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„) โ†’ ((!โ€˜๐‘€) ยท (!โ€˜๐‘)) โˆˆ โ„)
5134, 32, 50syl2an 289 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((!โ€˜๐‘€) ยท (!โ€˜๐‘)) โˆˆ โ„)
52 letr 8040 . . . . 5 (((!โ€˜(โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2))) โˆˆ โ„ โˆง (!โ€˜๐‘€) โˆˆ โ„ โˆง ((!โ€˜๐‘€) ยท (!โ€˜๐‘)) โˆˆ โ„) โ†’ (((!โ€˜(โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2))) โ‰ค (!โ€˜๐‘€) โˆง (!โ€˜๐‘€) โ‰ค ((!โ€˜๐‘€) ยท (!โ€˜๐‘))) โ†’ (!โ€˜(โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2))) โ‰ค ((!โ€˜๐‘€) ยท (!โ€˜๐‘))))
5348, 49, 51, 52syl3anc 1238 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (((!โ€˜(โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2))) โ‰ค (!โ€˜๐‘€) โˆง (!โ€˜๐‘€) โ‰ค ((!โ€˜๐‘€) ยท (!โ€˜๐‘))) โ†’ (!โ€˜(โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2))) โ‰ค ((!โ€˜๐‘€) ยท (!โ€˜๐‘))))
5445, 53mpan2d 428 . . 3 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((!โ€˜(โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2))) โ‰ค (!โ€˜๐‘€) โ†’ (!โ€˜(โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2))) โ‰ค ((!โ€˜๐‘€) ยท (!โ€˜๐‘))))
5516, 26, 543syld 57 . 2 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (((๐‘€ + ๐‘) / 2) โ‰ค ๐‘€ โ†’ (!โ€˜(โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2))) โ‰ค ((!โ€˜๐‘€) ยท (!โ€˜๐‘))))
56 nn0re 9185 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
5756adantl 277 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
58 letr 8040 . . . . 5 (((โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2)) โˆˆ โ„ โˆง ((๐‘€ + ๐‘) / 2) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โ†’ (((โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2)) โ‰ค ((๐‘€ + ๐‘) / 2) โˆง ((๐‘€ + ๐‘) / 2) โ‰ค ๐‘) โ†’ (โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2)) โ‰ค ๐‘))
599, 11, 57, 58syl3anc 1238 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (((โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2)) โ‰ค ((๐‘€ + ๐‘) / 2) โˆง ((๐‘€ + ๐‘) / 2) โ‰ค ๐‘) โ†’ (โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2)) โ‰ค ๐‘))
607, 59mpand 429 . . 3 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (((๐‘€ + ๐‘) / 2) โ‰ค ๐‘ โ†’ (โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2)) โ‰ค ๐‘))
61 simpr 110 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
62 facwordi 10720 . . . . 5 (((โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2)) โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง (โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2)) โ‰ค ๐‘) โ†’ (!โ€˜(โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2))) โ‰ค (!โ€˜๐‘))
63623exp 1202 . . . 4 ((โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2)) โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2)) โ‰ค ๐‘ โ†’ (!โ€˜(โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2))) โ‰ค (!โ€˜๐‘))))
6422, 61, 63sylc 62 . . 3 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2)) โ‰ค ๐‘ โ†’ (!โ€˜(โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2))) โ‰ค (!โ€˜๐‘)))
6531nncnd 8933 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„‚)
6665mulid2d 7976 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (1 ยท (!โ€˜๐‘)) = (!โ€˜๐‘))
6766adantl 277 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (1 ยท (!โ€˜๐‘)) = (!โ€˜๐‘))
6831nnnn0d 9229 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„•0)
6968nn0ge0d 9232 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ 0 โ‰ค (!โ€˜๐‘))
7032, 69jca 306 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (!โ€˜๐‘)))
7170adantl 277 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (!โ€˜๐‘)))
7227nnge1d 8962 . . . . . . 7 (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โ†’ 1 โ‰ค (!โ€˜๐‘€))
7372adantr 276 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ 1 โ‰ค (!โ€˜๐‘€))
74 lemul1a 8815 . . . . . . 7 (((1 โˆˆ โ„ โˆง (!โ€˜๐‘€) โˆˆ โ„ โˆง ((!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (!โ€˜๐‘))) โˆง 1 โ‰ค (!โ€˜๐‘€)) โ†’ (1 ยท (!โ€˜๐‘)) โ‰ค ((!โ€˜๐‘€) ยท (!โ€˜๐‘)))
7541, 74mp3anl1 1331 . . . . . 6 ((((!โ€˜๐‘€) โˆˆ โ„ โˆง ((!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (!โ€˜๐‘))) โˆง 1 โ‰ค (!โ€˜๐‘€)) โ†’ (1 ยท (!โ€˜๐‘)) โ‰ค ((!โ€˜๐‘€) ยท (!โ€˜๐‘)))
7649, 71, 73, 75syl21anc 1237 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (1 ยท (!โ€˜๐‘)) โ‰ค ((!โ€˜๐‘€) ยท (!โ€˜๐‘)))
7767, 76eqbrtrrd 4028 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (!โ€˜๐‘) โ‰ค ((!โ€˜๐‘€) ยท (!โ€˜๐‘)))
78 letr 8040 . . . . 5 (((!โ€˜(โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2))) โˆˆ โ„ โˆง (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„ โˆง ((!โ€˜๐‘€) ยท (!โ€˜๐‘)) โˆˆ โ„) โ†’ (((!โ€˜(โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2))) โ‰ค (!โ€˜๐‘) โˆง (!โ€˜๐‘) โ‰ค ((!โ€˜๐‘€) ยท (!โ€˜๐‘))) โ†’ (!โ€˜(โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2))) โ‰ค ((!โ€˜๐‘€) ยท (!โ€˜๐‘))))
7948, 33, 51, 78syl3anc 1238 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (((!โ€˜(โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2))) โ‰ค (!โ€˜๐‘) โˆง (!โ€˜๐‘) โ‰ค ((!โ€˜๐‘€) ยท (!โ€˜๐‘))) โ†’ (!โ€˜(โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2))) โ‰ค ((!โ€˜๐‘€) ยท (!โ€˜๐‘))))
8077, 79mpan2d 428 . . 3 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((!โ€˜(โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2))) โ‰ค (!โ€˜๐‘) โ†’ (!โ€˜(โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2))) โ‰ค ((!โ€˜๐‘€) ยท (!โ€˜๐‘))))
8160, 64, 803syld 57 . 2 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (((๐‘€ + ๐‘) / 2) โ‰ค ๐‘ โ†’ (!โ€˜(โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2))) โ‰ค ((!โ€˜๐‘€) ยท (!โ€˜๐‘))))
8223nn0zd 9373 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
83 zq 9626 . . . 4 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„š)
8482, 83syl 14 . . 3 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„š)
8561nn0zd 9373 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
86 zq 9626 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„š)
8785, 86syl 14 . . 3 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„š)
88 qavgle 10259 . . 3 ((๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„š) โ†’ (((๐‘€ + ๐‘) / 2) โ‰ค ๐‘€ โˆจ ((๐‘€ + ๐‘) / 2) โ‰ค ๐‘))
8984, 87, 88syl2anc 411 . 2 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (((๐‘€ + ๐‘) / 2) โ‰ค ๐‘€ โˆจ ((๐‘€ + ๐‘) / 2) โ‰ค ๐‘))
9055, 81, 89mpjaod 718 1 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (!โ€˜(โŒŠโ€˜((๐‘€ + ๐‘) / 2))) โ‰ค ((!โ€˜๐‘€) ยท (!โ€˜๐‘)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โ†” wb 105   โˆจ wo 708   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148   class class class wbr 4004  โ€˜cfv 5217  (class class class)co 5875  โ„cr 7810  0cc0 7811  1c1 7812   + caddc 7814   ยท cmul 7816   โ‰ค cle 7993   / cdiv 8629  โ„•cn 8919  2c2 8970  โ„•0cn0 9176  โ„คcz 9253  โ„šcq 9619  โŒŠcfl 10268  !cfa 10705
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-mulrcl 7910  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-mulass 7914  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-1rid 7918  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-precex 7921  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927  ax-pre-mulgt0 7928  ax-pre-mulext 7929  ax-arch 7930
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-iord 4367  df-on 4369  df-ilim 4370  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-frec 6392  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-reap 8532  df-ap 8539  df-div 8630  df-inn 8920  df-2 8978  df-n0 9177  df-z 9254  df-uz 9529  df-q 9620  df-rp 9654  df-fl 10270  df-seqfrec 10446  df-fac 10706
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator