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Theorem facavg 10710
Description: The product of two factorials is greater than or equal to the factorial of (the floor of) their average. (Contributed by NM, 9-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
facavg ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (!‘(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2))) ≤ ((!‘𝑀) · (!‘𝑁)))

Proof of Theorem facavg
StepHypRef Expression
1 nn0addcl 9200 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0)
21nn0zd 9362 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
3 2nn 9069 . . . . . 6 2 ∈ ℕ
4 znq 9613 . . . . . 6 (((𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ) → ((𝑀 + 𝑁) / 2) ∈ ℚ)
52, 3, 4sylancl 413 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 𝑁) / 2) ∈ ℚ)
6 flqle 10264 . . . . 5 (((𝑀 + 𝑁) / 2) ∈ ℚ → (⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ≤ ((𝑀 + 𝑁) / 2))
75, 6syl 14 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ≤ ((𝑀 + 𝑁) / 2))
85flqcld 10263 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ∈ ℤ)
98zred 9364 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ∈ ℝ)
10 nn0readdcl 9224 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℝ)
1110rehalfcld 9154 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 𝑁) / 2) ∈ ℝ)
12 nn0re 9174 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ)
1312adantr 276 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℝ)
14 letr 8030 . . . . 5 (((⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ∈ ℝ ∧ ((𝑀 + 𝑁) / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (((⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ≤ ((𝑀 + 𝑁) / 2) ∧ ((𝑀 + 𝑁) / 2) ≤ 𝑀) → (⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ≤ 𝑀))
159, 11, 13, 14syl3anc 1238 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (((⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ≤ ((𝑀 + 𝑁) / 2) ∧ ((𝑀 + 𝑁) / 2) ≤ 𝑀) → (⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ≤ 𝑀))
167, 15mpand 429 . . 3 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝑀 + 𝑁) / 2) ≤ 𝑀 → (⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ≤ 𝑀))
171nn0ge0d 9221 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (𝑀 + 𝑁))
18 halfnneg2 9140 . . . . . . 7 ((𝑀 + 𝑁) ∈ ℝ → (0 ≤ (𝑀 + 𝑁) ↔ 0 ≤ ((𝑀 + 𝑁) / 2)))
1910, 18syl 14 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (0 ≤ (𝑀 + 𝑁) ↔ 0 ≤ ((𝑀 + 𝑁) / 2)))
2017, 19mpbid 147 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 0 ≤ ((𝑀 + 𝑁) / 2))
21 flqge0nn0 10279 . . . . 5 ((((𝑀 + 𝑁) / 2) ∈ ℚ ∧ 0 ≤ ((𝑀 + 𝑁) / 2)) → (⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ∈ ℕ0)
225, 20, 21syl2anc 411 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ∈ ℕ0)
23 simpl 109 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℕ0)
24 facwordi 10704 . . . . 5 (((⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ≤ 𝑀) → (!‘(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2))) ≤ (!‘𝑀))
25243exp 1202 . . . 4 ((⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ∈ ℕ0 → (𝑀 ∈ ℕ0 → ((⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ≤ 𝑀 → (!‘(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2))) ≤ (!‘𝑀))))
2622, 23, 25sylc 62 . . 3 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ≤ 𝑀 → (!‘(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2))) ≤ (!‘𝑀)))
27 faccl 10699 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ0 → (!‘𝑀) ∈ ℕ)
2827nncnd 8922 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ0 → (!‘𝑀) ∈ ℂ)
2928mulid1d 7965 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ0 → ((!‘𝑀) · 1) = (!‘𝑀))
3029adantr 276 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((!‘𝑀) · 1) = (!‘𝑀))
31 faccl 10699 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
3231nnred 8921 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℝ)
3332adantl 277 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (!‘𝑁) ∈ ℝ)
3427nnred 8921 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ0 → (!‘𝑀) ∈ ℝ)
3527nnnn0d 9218 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ0 → (!‘𝑀) ∈ ℕ0)
3635nn0ge0d 9221 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ0 → 0 ≤ (!‘𝑀))
3734, 36jca 306 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ0 → ((!‘𝑀) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (!‘𝑀)))
3837adantr 276 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((!‘𝑀) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (!‘𝑀)))
3931nnge1d 8951 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ≤ (!‘𝑁))
4039adantl 277 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 1 ≤ (!‘𝑁))
41 1re 7947 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ
42 lemul2a 8805 . . . . . . 7 (((1 ∈ ℝ ∧ (!‘𝑁) ∈ ℝ ∧ ((!‘𝑀) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (!‘𝑀))) ∧ 1 ≤ (!‘𝑁)) → ((!‘𝑀) · 1) ≤ ((!‘𝑀) · (!‘𝑁)))
4341, 42mp3anl1 1331 . . . . . 6 ((((!‘𝑁) ∈ ℝ ∧ ((!‘𝑀) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (!‘𝑀))) ∧ 1 ≤ (!‘𝑁)) → ((!‘𝑀) · 1) ≤ ((!‘𝑀) · (!‘𝑁)))
4433, 38, 40, 43syl21anc 1237 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((!‘𝑀) · 1) ≤ ((!‘𝑀) · (!‘𝑁)))
4530, 44eqbrtrrd 4024 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (!‘𝑀) ≤ ((!‘𝑀) · (!‘𝑁)))
46 faccl 10699 . . . . . . 7 ((⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ∈ ℕ0 → (!‘(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2))) ∈ ℕ)
4722, 46syl 14 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (!‘(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2))) ∈ ℕ)
4847nnred 8921 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (!‘(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2))) ∈ ℝ)
4934adantr 276 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (!‘𝑀) ∈ ℝ)
50 remulcl 7930 . . . . . 6 (((!‘𝑀) ∈ ℝ ∧ (!‘𝑁) ∈ ℝ) → ((!‘𝑀) · (!‘𝑁)) ∈ ℝ)
5134, 32, 50syl2an 289 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((!‘𝑀) · (!‘𝑁)) ∈ ℝ)
52 letr 8030 . . . . 5 (((!‘(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2))) ∈ ℝ ∧ (!‘𝑀) ∈ ℝ ∧ ((!‘𝑀) · (!‘𝑁)) ∈ ℝ) → (((!‘(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2))) ≤ (!‘𝑀) ∧ (!‘𝑀) ≤ ((!‘𝑀) · (!‘𝑁))) → (!‘(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2))) ≤ ((!‘𝑀) · (!‘𝑁))))
5348, 49, 51, 52syl3anc 1238 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (((!‘(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2))) ≤ (!‘𝑀) ∧ (!‘𝑀) ≤ ((!‘𝑀) · (!‘𝑁))) → (!‘(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2))) ≤ ((!‘𝑀) · (!‘𝑁))))
5445, 53mpan2d 428 . . 3 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((!‘(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2))) ≤ (!‘𝑀) → (!‘(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2))) ≤ ((!‘𝑀) · (!‘𝑁))))
5516, 26, 543syld 57 . 2 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝑀 + 𝑁) / 2) ≤ 𝑀 → (!‘(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2))) ≤ ((!‘𝑀) · (!‘𝑁))))
56 nn0re 9174 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
5756adantl 277 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
58 letr 8030 . . . . 5 (((⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ∈ ℝ ∧ ((𝑀 + 𝑁) / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (((⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ≤ ((𝑀 + 𝑁) / 2) ∧ ((𝑀 + 𝑁) / 2) ≤ 𝑁) → (⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ≤ 𝑁))
599, 11, 57, 58syl3anc 1238 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (((⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ≤ ((𝑀 + 𝑁) / 2) ∧ ((𝑀 + 𝑁) / 2) ≤ 𝑁) → (⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ≤ 𝑁))
607, 59mpand 429 . . 3 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝑀 + 𝑁) / 2) ≤ 𝑁 → (⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ≤ 𝑁))
61 simpr 110 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
62 facwordi 10704 . . . . 5 (((⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ≤ 𝑁) → (!‘(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2))) ≤ (!‘𝑁))
63623exp 1202 . . . 4 ((⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ0 → ((⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ≤ 𝑁 → (!‘(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2))) ≤ (!‘𝑁))))
6422, 61, 63sylc 62 . . 3 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ≤ 𝑁 → (!‘(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2))) ≤ (!‘𝑁)))
6531nncnd 8922 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℂ)
6665mulid2d 7966 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → (1 · (!‘𝑁)) = (!‘𝑁))
6766adantl 277 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (1 · (!‘𝑁)) = (!‘𝑁))
6831nnnn0d 9218 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℕ0)
6968nn0ge0d 9221 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ (!‘𝑁))
7032, 69jca 306 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((!‘𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (!‘𝑁)))
7170adantl 277 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((!‘𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (!‘𝑁)))
7227nnge1d 8951 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ0 → 1 ≤ (!‘𝑀))
7372adantr 276 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 1 ≤ (!‘𝑀))
74 lemul1a 8804 . . . . . . 7 (((1 ∈ ℝ ∧ (!‘𝑀) ∈ ℝ ∧ ((!‘𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (!‘𝑁))) ∧ 1 ≤ (!‘𝑀)) → (1 · (!‘𝑁)) ≤ ((!‘𝑀) · (!‘𝑁)))
7541, 74mp3anl1 1331 . . . . . 6 ((((!‘𝑀) ∈ ℝ ∧ ((!‘𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (!‘𝑁))) ∧ 1 ≤ (!‘𝑀)) → (1 · (!‘𝑁)) ≤ ((!‘𝑀) · (!‘𝑁)))
7649, 71, 73, 75syl21anc 1237 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (1 · (!‘𝑁)) ≤ ((!‘𝑀) · (!‘𝑁)))
7767, 76eqbrtrrd 4024 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (!‘𝑁) ≤ ((!‘𝑀) · (!‘𝑁)))
78 letr 8030 . . . . 5 (((!‘(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2))) ∈ ℝ ∧ (!‘𝑁) ∈ ℝ ∧ ((!‘𝑀) · (!‘𝑁)) ∈ ℝ) → (((!‘(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2))) ≤ (!‘𝑁) ∧ (!‘𝑁) ≤ ((!‘𝑀) · (!‘𝑁))) → (!‘(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2))) ≤ ((!‘𝑀) · (!‘𝑁))))
7948, 33, 51, 78syl3anc 1238 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (((!‘(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2))) ≤ (!‘𝑁) ∧ (!‘𝑁) ≤ ((!‘𝑀) · (!‘𝑁))) → (!‘(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2))) ≤ ((!‘𝑀) · (!‘𝑁))))
8077, 79mpan2d 428 . . 3 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((!‘(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2))) ≤ (!‘𝑁) → (!‘(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2))) ≤ ((!‘𝑀) · (!‘𝑁))))
8160, 64, 803syld 57 . 2 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝑀 + 𝑁) / 2) ≤ 𝑁 → (!‘(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2))) ≤ ((!‘𝑀) · (!‘𝑁))))
8223nn0zd 9362 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℤ)
83 zq 9615 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℚ)
8482, 83syl 14 . . 3 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℚ)
8561nn0zd 9362 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
86 zq 9615 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℚ)
8785, 86syl 14 . . 3 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℚ)
88 qavgle 10245 . . 3 ((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) → (((𝑀 + 𝑁) / 2) ≤ 𝑀 ∨ ((𝑀 + 𝑁) / 2) ≤ 𝑁))
8984, 87, 88syl2anc 411 . 2 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝑀 + 𝑁) / 2) ≤ 𝑀 ∨ ((𝑀 + 𝑁) / 2) ≤ 𝑁))
9055, 81, 89mpjaod 718 1 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (!‘(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2))) ≤ ((!‘𝑀) · (!‘𝑁)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105  wo 708   = wceq 1353  wcel 2148   class class class wbr 4000  cfv 5212  (class class class)co 5869  cr 7801  0cc0 7802  1c1 7803   + caddc 7805   · cmul 7807  cle 7983   / cdiv 8618  cn 8908  2c2 8959  0cn0 9165  cz 9242  cq 9608  cfl 10254  !cfa 10689
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-mulrcl 7901  ax-addcom 7902  ax-mulcom 7903  ax-addass 7904  ax-mulass 7905  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-1rid 7909  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-precex 7912  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918  ax-pre-mulgt0 7919  ax-pre-mulext 7920  ax-arch 7921
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-frec 6386  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-reap 8522  df-ap 8529  df-div 8619  df-inn 8909  df-2 8967  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-q 9609  df-rp 9641  df-fl 10256  df-seqfrec 10432  df-fac 10690
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