Proof of Theorem facavg
Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | nn0addcl 9126 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) → (𝑀 + 𝑁) ∈
ℕ0) |
2 | 1 | nn0zd 9285 |
. . . . . 6
⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ) |
3 | | 2nn 8995 |
. . . . . 6
⊢ 2 ∈
ℕ |
4 | | znq 9534 |
. . . . . 6
⊢ (((𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ)
→ ((𝑀 + 𝑁) / 2) ∈
ℚ) |
5 | 2, 3, 4 | sylancl 410 |
. . . . 5
⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) → ((𝑀 + 𝑁) / 2) ∈ ℚ) |
6 | | flqle 10181 |
. . . . 5
⊢ (((𝑀 + 𝑁) / 2) ∈ ℚ →
(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ≤ ((𝑀 + 𝑁) / 2)) |
7 | 5, 6 | syl 14 |
. . . 4
⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) → (⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ≤ ((𝑀 + 𝑁) / 2)) |
8 | 5 | flqcld 10180 |
. . . . . 6
⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) → (⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ∈ ℤ) |
9 | 8 | zred 9287 |
. . . . 5
⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) → (⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ∈ ℝ) |
10 | | nn0readdcl 9150 |
. . . . . 6
⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℝ) |
11 | 10 | rehalfcld 9080 |
. . . . 5
⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) → ((𝑀 + 𝑁) / 2) ∈ ℝ) |
12 | | nn0re 9100 |
. . . . . 6
⊢ (𝑀 ∈ ℕ0
→ 𝑀 ∈
ℝ) |
13 | 12 | adantr 274 |
. . . . 5
⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) → 𝑀 ∈ ℝ) |
14 | | letr 7961 |
. . . . 5
⊢
(((⌊‘((𝑀
+ 𝑁) / 2)) ∈ ℝ
∧ ((𝑀 + 𝑁) / 2) ∈ ℝ ∧
𝑀 ∈ ℝ) →
(((⌊‘((𝑀 +
𝑁) / 2)) ≤ ((𝑀 + 𝑁) / 2) ∧ ((𝑀 + 𝑁) / 2) ≤ 𝑀) → (⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ≤ 𝑀)) |
15 | 9, 11, 13, 14 | syl3anc 1220 |
. . . 4
⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) → (((⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ≤ ((𝑀 + 𝑁) / 2) ∧ ((𝑀 + 𝑁) / 2) ≤ 𝑀) → (⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ≤ 𝑀)) |
16 | 7, 15 | mpand 426 |
. . 3
⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) → (((𝑀 + 𝑁) / 2) ≤ 𝑀 → (⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ≤ 𝑀)) |
17 | 1 | nn0ge0d 9147 |
. . . . . 6
⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) → 0 ≤ (𝑀 + 𝑁)) |
18 | | halfnneg2 9066 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝑀 + 𝑁) ∈ ℝ → (0 ≤ (𝑀 + 𝑁) ↔ 0 ≤ ((𝑀 + 𝑁) / 2))) |
19 | 10, 18 | syl 14 |
. . . . . 6
⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) → (0 ≤ (𝑀 + 𝑁) ↔ 0 ≤ ((𝑀 + 𝑁) / 2))) |
20 | 17, 19 | mpbid 146 |
. . . . 5
⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) → 0 ≤ ((𝑀 + 𝑁) / 2)) |
21 | | flqge0nn0 10196 |
. . . . 5
⊢ ((((𝑀 + 𝑁) / 2) ∈ ℚ ∧ 0 ≤ ((𝑀 + 𝑁) / 2)) → (⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ∈
ℕ0) |
22 | 5, 20, 21 | syl2anc 409 |
. . . 4
⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) → (⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ∈
ℕ0) |
23 | | simpl 108 |
. . . 4
⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) → 𝑀 ∈
ℕ0) |
24 | | facwordi 10618 |
. . . . 5
⊢
(((⌊‘((𝑀
+ 𝑁) / 2)) ∈
ℕ0 ∧ 𝑀
∈ ℕ0 ∧ (⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ≤ 𝑀) → (!‘(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2))) ≤ (!‘𝑀)) |
25 | 24 | 3exp 1184 |
. . . 4
⊢
((⌊‘((𝑀
+ 𝑁) / 2)) ∈
ℕ0 → (𝑀 ∈ ℕ0 →
((⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ≤ 𝑀 → (!‘(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2))) ≤ (!‘𝑀)))) |
26 | 22, 23, 25 | sylc 62 |
. . 3
⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) → ((⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ≤ 𝑀 → (!‘(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2))) ≤ (!‘𝑀))) |
27 | | faccl 10613 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑀 ∈ ℕ0
→ (!‘𝑀) ∈
ℕ) |
28 | 27 | nncnd 8848 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑀 ∈ ℕ0
→ (!‘𝑀) ∈
ℂ) |
29 | 28 | mulid1d 7896 |
. . . . . 6
⊢ (𝑀 ∈ ℕ0
→ ((!‘𝑀)
· 1) = (!‘𝑀)) |
30 | 29 | adantr 274 |
. . . . 5
⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) → ((!‘𝑀) · 1) = (!‘𝑀)) |
31 | | faccl 10613 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ (!‘𝑁) ∈
ℕ) |
32 | 31 | nnred 8847 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ (!‘𝑁) ∈
ℝ) |
33 | 32 | adantl 275 |
. . . . . 6
⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) → (!‘𝑁) ∈ ℝ) |
34 | 27 | nnred 8847 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑀 ∈ ℕ0
→ (!‘𝑀) ∈
ℝ) |
35 | 27 | nnnn0d 9144 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑀 ∈ ℕ0
→ (!‘𝑀) ∈
ℕ0) |
36 | 35 | nn0ge0d 9147 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑀 ∈ ℕ0
→ 0 ≤ (!‘𝑀)) |
37 | 34, 36 | jca 304 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑀 ∈ ℕ0
→ ((!‘𝑀) ∈
ℝ ∧ 0 ≤ (!‘𝑀))) |
38 | 37 | adantr 274 |
. . . . . 6
⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) → ((!‘𝑀) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (!‘𝑀))) |
39 | 31 | nnge1d 8877 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ 1 ≤ (!‘𝑁)) |
40 | 39 | adantl 275 |
. . . . . 6
⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) → 1 ≤ (!‘𝑁)) |
41 | | 1re 7878 |
. . . . . . 7
⊢ 1 ∈
ℝ |
42 | | lemul2a 8731 |
. . . . . . 7
⊢ (((1
∈ ℝ ∧ (!‘𝑁) ∈ ℝ ∧ ((!‘𝑀) ∈ ℝ ∧ 0 ≤
(!‘𝑀))) ∧ 1 ≤
(!‘𝑁)) →
((!‘𝑀) · 1)
≤ ((!‘𝑀) ·
(!‘𝑁))) |
43 | 41, 42 | mp3anl1 1313 |
. . . . . 6
⊢
((((!‘𝑁)
∈ ℝ ∧ ((!‘𝑀) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (!‘𝑀))) ∧ 1 ≤ (!‘𝑁)) → ((!‘𝑀) · 1) ≤
((!‘𝑀) ·
(!‘𝑁))) |
44 | 33, 38, 40, 43 | syl21anc 1219 |
. . . . 5
⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) → ((!‘𝑀) · 1) ≤ ((!‘𝑀) · (!‘𝑁))) |
45 | 30, 44 | eqbrtrrd 3989 |
. . . 4
⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) → (!‘𝑀) ≤ ((!‘𝑀) · (!‘𝑁))) |
46 | | faccl 10613 |
. . . . . . 7
⊢
((⌊‘((𝑀
+ 𝑁) / 2)) ∈
ℕ0 → (!‘(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2))) ∈ ℕ) |
47 | 22, 46 | syl 14 |
. . . . . 6
⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) → (!‘(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2))) ∈ ℕ) |
48 | 47 | nnred 8847 |
. . . . 5
⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) → (!‘(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2))) ∈ ℝ) |
49 | 34 | adantr 274 |
. . . . 5
⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) → (!‘𝑀) ∈ ℝ) |
50 | | remulcl 7861 |
. . . . . 6
⊢
(((!‘𝑀) ∈
ℝ ∧ (!‘𝑁)
∈ ℝ) → ((!‘𝑀) · (!‘𝑁)) ∈ ℝ) |
51 | 34, 32, 50 | syl2an 287 |
. . . . 5
⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) → ((!‘𝑀) · (!‘𝑁)) ∈ ℝ) |
52 | | letr 7961 |
. . . . 5
⊢
(((!‘(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2))) ∈ ℝ ∧ (!‘𝑀) ∈ ℝ ∧
((!‘𝑀) ·
(!‘𝑁)) ∈
ℝ) → (((!‘(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2))) ≤ (!‘𝑀) ∧ (!‘𝑀) ≤ ((!‘𝑀) · (!‘𝑁))) → (!‘(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2))) ≤ ((!‘𝑀) · (!‘𝑁)))) |
53 | 48, 49, 51, 52 | syl3anc 1220 |
. . . 4
⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) → (((!‘(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2))) ≤ (!‘𝑀) ∧ (!‘𝑀) ≤ ((!‘𝑀) · (!‘𝑁))) → (!‘(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2))) ≤ ((!‘𝑀) · (!‘𝑁)))) |
54 | 45, 53 | mpan2d 425 |
. . 3
⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) → ((!‘(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2))) ≤ (!‘𝑀) → (!‘(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2))) ≤ ((!‘𝑀) · (!‘𝑁)))) |
55 | 16, 26, 54 | 3syld 57 |
. 2
⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) → (((𝑀 + 𝑁) / 2) ≤ 𝑀 → (!‘(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2))) ≤ ((!‘𝑀) · (!‘𝑁)))) |
56 | | nn0re 9100 |
. . . . . 6
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ 𝑁 ∈
ℝ) |
57 | 56 | adantl 275 |
. . . . 5
⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ) |
58 | | letr 7961 |
. . . . 5
⊢
(((⌊‘((𝑀
+ 𝑁) / 2)) ∈ ℝ
∧ ((𝑀 + 𝑁) / 2) ∈ ℝ ∧
𝑁 ∈ ℝ) →
(((⌊‘((𝑀 +
𝑁) / 2)) ≤ ((𝑀 + 𝑁) / 2) ∧ ((𝑀 + 𝑁) / 2) ≤ 𝑁) → (⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ≤ 𝑁)) |
59 | 9, 11, 57, 58 | syl3anc 1220 |
. . . 4
⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) → (((⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ≤ ((𝑀 + 𝑁) / 2) ∧ ((𝑀 + 𝑁) / 2) ≤ 𝑁) → (⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ≤ 𝑁)) |
60 | 7, 59 | mpand 426 |
. . 3
⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) → (((𝑀 + 𝑁) / 2) ≤ 𝑁 → (⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ≤ 𝑁)) |
61 | | simpr 109 |
. . . 4
⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) → 𝑁 ∈
ℕ0) |
62 | | facwordi 10618 |
. . . . 5
⊢
(((⌊‘((𝑀
+ 𝑁) / 2)) ∈
ℕ0 ∧ 𝑁
∈ ℕ0 ∧ (⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ≤ 𝑁) → (!‘(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2))) ≤ (!‘𝑁)) |
63 | 62 | 3exp 1184 |
. . . 4
⊢
((⌊‘((𝑀
+ 𝑁) / 2)) ∈
ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ0 →
((⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ≤ 𝑁 → (!‘(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2))) ≤ (!‘𝑁)))) |
64 | 22, 61, 63 | sylc 62 |
. . 3
⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) → ((⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ≤ 𝑁 → (!‘(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2))) ≤ (!‘𝑁))) |
65 | 31 | nncnd 8848 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ (!‘𝑁) ∈
ℂ) |
66 | 65 | mulid2d 7897 |
. . . . . 6
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ (1 · (!‘𝑁)) = (!‘𝑁)) |
67 | 66 | adantl 275 |
. . . . 5
⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) → (1 · (!‘𝑁)) = (!‘𝑁)) |
68 | 31 | nnnn0d 9144 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ (!‘𝑁) ∈
ℕ0) |
69 | 68 | nn0ge0d 9147 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ 0 ≤ (!‘𝑁)) |
70 | 32, 69 | jca 304 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ ((!‘𝑁) ∈
ℝ ∧ 0 ≤ (!‘𝑁))) |
71 | 70 | adantl 275 |
. . . . . 6
⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) → ((!‘𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (!‘𝑁))) |
72 | 27 | nnge1d 8877 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑀 ∈ ℕ0
→ 1 ≤ (!‘𝑀)) |
73 | 72 | adantr 274 |
. . . . . 6
⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) → 1 ≤ (!‘𝑀)) |
74 | | lemul1a 8730 |
. . . . . . 7
⊢ (((1
∈ ℝ ∧ (!‘𝑀) ∈ ℝ ∧ ((!‘𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≤
(!‘𝑁))) ∧ 1 ≤
(!‘𝑀)) → (1
· (!‘𝑁)) ≤
((!‘𝑀) ·
(!‘𝑁))) |
75 | 41, 74 | mp3anl1 1313 |
. . . . . 6
⊢
((((!‘𝑀)
∈ ℝ ∧ ((!‘𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (!‘𝑁))) ∧ 1 ≤ (!‘𝑀)) → (1 ·
(!‘𝑁)) ≤
((!‘𝑀) ·
(!‘𝑁))) |
76 | 49, 71, 73, 75 | syl21anc 1219 |
. . . . 5
⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) → (1 · (!‘𝑁)) ≤ ((!‘𝑀) · (!‘𝑁))) |
77 | 67, 76 | eqbrtrrd 3989 |
. . . 4
⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) → (!‘𝑁) ≤ ((!‘𝑀) · (!‘𝑁))) |
78 | | letr 7961 |
. . . . 5
⊢
(((!‘(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2))) ∈ ℝ ∧ (!‘𝑁) ∈ ℝ ∧
((!‘𝑀) ·
(!‘𝑁)) ∈
ℝ) → (((!‘(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2))) ≤ (!‘𝑁) ∧ (!‘𝑁) ≤ ((!‘𝑀) · (!‘𝑁))) → (!‘(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2))) ≤ ((!‘𝑀) · (!‘𝑁)))) |
79 | 48, 33, 51, 78 | syl3anc 1220 |
. . . 4
⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) → (((!‘(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2))) ≤ (!‘𝑁) ∧ (!‘𝑁) ≤ ((!‘𝑀) · (!‘𝑁))) → (!‘(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2))) ≤ ((!‘𝑀) · (!‘𝑁)))) |
80 | 77, 79 | mpan2d 425 |
. . 3
⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) → ((!‘(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2))) ≤ (!‘𝑁) → (!‘(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2))) ≤ ((!‘𝑀) · (!‘𝑁)))) |
81 | 60, 64, 80 | 3syld 57 |
. 2
⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) → (((𝑀 + 𝑁) / 2) ≤ 𝑁 → (!‘(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2))) ≤ ((!‘𝑀) · (!‘𝑁)))) |
82 | 23 | nn0zd 9285 |
. . . 4
⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) → 𝑀 ∈ ℤ) |
83 | | zq 9536 |
. . . 4
⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈
ℚ) |
84 | 82, 83 | syl 14 |
. . 3
⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) → 𝑀 ∈ ℚ) |
85 | 61 | nn0zd 9285 |
. . . 4
⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ) |
86 | | zq 9536 |
. . . 4
⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈
ℚ) |
87 | 85, 86 | syl 14 |
. . 3
⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) → 𝑁 ∈ ℚ) |
88 | | qavgle 10162 |
. . 3
⊢ ((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) → (((𝑀 + 𝑁) / 2) ≤ 𝑀 ∨ ((𝑀 + 𝑁) / 2) ≤ 𝑁)) |
89 | 84, 87, 88 | syl2anc 409 |
. 2
⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) → (((𝑀 + 𝑁) / 2) ≤ 𝑀 ∨ ((𝑀 + 𝑁) / 2) ≤ 𝑁)) |
90 | 55, 81, 89 | mpjaod 708 |
1
⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) → (!‘(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2))) ≤ ((!‘𝑀) · (!‘𝑁))) |