Theorem facavg 10913

Description: The product of two factorials is greater than or equal to the factorial of (the floor of) their average. (Contributed by NM, 9-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
facavg	⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (!‘(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2))) ≤ ((!‘𝑀) · (!‘𝑁)))

Proof of Theorem facavg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0addcl 9350	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0)
2	1	nn0zd 9513	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
3		2nn 9218	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ
4		znq 9765	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ) → ((𝑀 + 𝑁) / 2) ∈ ℚ)
5	2, 3, 4	sylancl 413	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 𝑁) / 2) ∈ ℚ)
6		flqle 10443	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 + 𝑁) / 2) ∈ ℚ → (⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ≤ ((𝑀 + 𝑁) / 2))
7	5, 6	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ≤ ((𝑀 + 𝑁) / 2))
8	5	flqcld 10442	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ∈ ℤ)
9	8	zred 9515	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ∈ ℝ)
10		nn0readdcl 9374	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℝ)
11	10	rehalfcld 9304	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 𝑁) / 2) ∈ ℝ)
12		nn0re 9324	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ ℝ)
13	12	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℝ)
14		letr 8175	. . . . 5 ⊢ (((⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ∈ ℝ ∧ ((𝑀 + 𝑁) / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (((⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ≤ ((𝑀 + 𝑁) / 2) ∧ ((𝑀 + 𝑁) / 2) ≤ 𝑀) → (⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ≤ 𝑀))
15	9, 11, 13, 14	syl3anc 1250	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ≤ ((𝑀 + 𝑁) / 2) ∧ ((𝑀 + 𝑁) / 2) ≤ 𝑀) → (⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ≤ 𝑀))
16	7, 15	mpand 429	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝑀 + 𝑁) / 2) ≤ 𝑀 → (⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ≤ 𝑀))
17	1	nn0ge0d 9371	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (𝑀 + 𝑁))
18		halfnneg2 9289	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 + 𝑁) ∈ ℝ → (0 ≤ (𝑀 + 𝑁) ↔ 0 ≤ ((𝑀 + 𝑁) / 2)))
19	10, 18	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (0 ≤ (𝑀 + 𝑁) ↔ 0 ≤ ((𝑀 + 𝑁) / 2)))
20	17, 19	mpbid 147	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 0 ≤ ((𝑀 + 𝑁) / 2))
21		flqge0nn0 10458	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 + 𝑁) / 2) ∈ ℚ ∧ 0 ≤ ((𝑀 + 𝑁) / 2)) → (⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ∈ ℕ0)
22	5, 20, 21	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ∈ ℕ0)
23		simpl 109	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℕ0)
24		facwordi 10907	. . . . 5 ⊢ (((⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ≤ 𝑀) → (!‘(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2))) ≤ (!‘𝑀))
25	24	3exp 1205	. . . 4 ⊢ ((⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ∈ ℕ0 → (𝑀 ∈ ℕ0 → ((⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ≤ 𝑀 → (!‘(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2))) ≤ (!‘𝑀))))
26	22, 23, 25	sylc 62	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ≤ 𝑀 → (!‘(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2))) ≤ (!‘𝑀)))
27		faccl 10902	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (!‘𝑀) ∈ ℕ)
28	27	nncnd 9070	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (!‘𝑀) ∈ ℂ)
29	28	mulridd 8109	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → ((!‘𝑀) · 1) = (!‘𝑀))
30	29	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((!‘𝑀) · 1) = (!‘𝑀))
31		faccl 10902	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
32	31	nnred 9069	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℝ)
33	32	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (!‘𝑁) ∈ ℝ)
34	27	nnred 9069	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (!‘𝑀) ∈ ℝ)
35	27	nnnn0d 9368	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (!‘𝑀) ∈ ℕ0)
36	35	nn0ge0d 9371	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 0 ≤ (!‘𝑀))
37	34, 36	jca 306	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → ((!‘𝑀) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (!‘𝑀)))
38	37	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((!‘𝑀) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (!‘𝑀)))
39	31	nnge1d 9099	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ≤ (!‘𝑁))
40	39	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 1 ≤ (!‘𝑁))
41		1re 8091	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
42		lemul2a 8952	. . . . . . 7 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ (!‘𝑁) ∈ ℝ ∧ ((!‘𝑀) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (!‘𝑀))) ∧ 1 ≤ (!‘𝑁)) → ((!‘𝑀) · 1) ≤ ((!‘𝑀) · (!‘𝑁)))
43	41, 42	mp3anl1 1344	. . . . . 6 ⊢ ((((!‘𝑁) ∈ ℝ ∧ ((!‘𝑀) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (!‘𝑀))) ∧ 1 ≤ (!‘𝑁)) → ((!‘𝑀) · 1) ≤ ((!‘𝑀) · (!‘𝑁)))
44	33, 38, 40, 43	syl21anc 1249	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((!‘𝑀) · 1) ≤ ((!‘𝑀) · (!‘𝑁)))
45	30, 44	eqbrtrrd 4075	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (!‘𝑀) ≤ ((!‘𝑀) · (!‘𝑁)))
46		faccl 10902	. . . . . . 7 ⊢ ((⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ∈ ℕ0 → (!‘(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2))) ∈ ℕ)
47	22, 46	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (!‘(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2))) ∈ ℕ)
48	47	nnred 9069	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (!‘(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2))) ∈ ℝ)
49	34	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (!‘𝑀) ∈ ℝ)
50		remulcl 8073	. . . . . 6 ⊢ (((!‘𝑀) ∈ ℝ ∧ (!‘𝑁) ∈ ℝ) → ((!‘𝑀) · (!‘𝑁)) ∈ ℝ)
51	34, 32, 50	syl2an 289	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((!‘𝑀) · (!‘𝑁)) ∈ ℝ)
52		letr 8175	. . . . 5 ⊢ (((!‘(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2))) ∈ ℝ ∧ (!‘𝑀) ∈ ℝ ∧ ((!‘𝑀) · (!‘𝑁)) ∈ ℝ) → (((!‘(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2))) ≤ (!‘𝑀) ∧ (!‘𝑀) ≤ ((!‘𝑀) · (!‘𝑁))) → (!‘(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2))) ≤ ((!‘𝑀) · (!‘𝑁))))
53	48, 49, 51, 52	syl3anc 1250	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((!‘(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2))) ≤ (!‘𝑀) ∧ (!‘𝑀) ≤ ((!‘𝑀) · (!‘𝑁))) → (!‘(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2))) ≤ ((!‘𝑀) · (!‘𝑁))))
54	45, 53	mpan2d 428	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((!‘(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2))) ≤ (!‘𝑀) → (!‘(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2))) ≤ ((!‘𝑀) · (!‘𝑁))))
55	16, 26, 54	3syld 57	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝑀 + 𝑁) / 2) ≤ 𝑀 → (!‘(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2))) ≤ ((!‘𝑀) · (!‘𝑁))))
56		nn0re 9324	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
57	56	adantl 277	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
58		letr 8175	. . . . 5 ⊢ (((⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ∈ ℝ ∧ ((𝑀 + 𝑁) / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (((⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ≤ ((𝑀 + 𝑁) / 2) ∧ ((𝑀 + 𝑁) / 2) ≤ 𝑁) → (⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ≤ 𝑁))
59	9, 11, 57, 58	syl3anc 1250	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ≤ ((𝑀 + 𝑁) / 2) ∧ ((𝑀 + 𝑁) / 2) ≤ 𝑁) → (⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ≤ 𝑁))
60	7, 59	mpand 429	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝑀 + 𝑁) / 2) ≤ 𝑁 → (⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ≤ 𝑁))
61		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
62		facwordi 10907	. . . . 5 ⊢ (((⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ≤ 𝑁) → (!‘(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2))) ≤ (!‘𝑁))
63	62	3exp 1205	. . . 4 ⊢ ((⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ0 → ((⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ≤ 𝑁 → (!‘(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2))) ≤ (!‘𝑁))))
64	22, 61, 63	sylc 62	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ≤ 𝑁 → (!‘(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2))) ≤ (!‘𝑁)))
65	31	nncnd 9070	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℂ)
66	65	mulid2d 8111	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (1 · (!‘𝑁)) = (!‘𝑁))
67	66	adantl 277	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (1 · (!‘𝑁)) = (!‘𝑁))
68	31	nnnn0d 9368	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℕ0)
69	68	nn0ge0d 9371	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ (!‘𝑁))
70	32, 69	jca 306	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((!‘𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (!‘𝑁)))
71	70	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((!‘𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (!‘𝑁)))
72	27	nnge1d 9099	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 1 ≤ (!‘𝑀))
73	72	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 1 ≤ (!‘𝑀))
74		lemul1a 8951	. . . . . . 7 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ (!‘𝑀) ∈ ℝ ∧ ((!‘𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (!‘𝑁))) ∧ 1 ≤ (!‘𝑀)) → (1 · (!‘𝑁)) ≤ ((!‘𝑀) · (!‘𝑁)))
75	41, 74	mp3anl1 1344	. . . . . 6 ⊢ ((((!‘𝑀) ∈ ℝ ∧ ((!‘𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (!‘𝑁))) ∧ 1 ≤ (!‘𝑀)) → (1 · (!‘𝑁)) ≤ ((!‘𝑀) · (!‘𝑁)))
76	49, 71, 73, 75	syl21anc 1249	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (1 · (!‘𝑁)) ≤ ((!‘𝑀) · (!‘𝑁)))
77	67, 76	eqbrtrrd 4075	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (!‘𝑁) ≤ ((!‘𝑀) · (!‘𝑁)))
78		letr 8175	. . . . 5 ⊢ (((!‘(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2))) ∈ ℝ ∧ (!‘𝑁) ∈ ℝ ∧ ((!‘𝑀) · (!‘𝑁)) ∈ ℝ) → (((!‘(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2))) ≤ (!‘𝑁) ∧ (!‘𝑁) ≤ ((!‘𝑀) · (!‘𝑁))) → (!‘(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2))) ≤ ((!‘𝑀) · (!‘𝑁))))
79	48, 33, 51, 78	syl3anc 1250	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((!‘(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2))) ≤ (!‘𝑁) ∧ (!‘𝑁) ≤ ((!‘𝑀) · (!‘𝑁))) → (!‘(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2))) ≤ ((!‘𝑀) · (!‘𝑁))))
80	77, 79	mpan2d 428	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((!‘(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2))) ≤ (!‘𝑁) → (!‘(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2))) ≤ ((!‘𝑀) · (!‘𝑁))))
81	60, 64, 80	3syld 57	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝑀 + 𝑁) / 2) ≤ 𝑁 → (!‘(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2))) ≤ ((!‘𝑀) · (!‘𝑁))))
82	23	nn0zd 9513	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℤ)
83		zq 9767	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℚ)
84	82, 83	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℚ)
85	61	nn0zd 9513	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
86		zq 9767	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℚ)
87	85, 86	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℚ)
88		qavgle 10423	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) → (((𝑀 + 𝑁) / 2) ≤ 𝑀 ∨ ((𝑀 + 𝑁) / 2) ≤ 𝑁))
89	84, 87, 88	syl2anc 411	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝑀 + 𝑁) / 2) ≤ 𝑀 ∨ ((𝑀 + 𝑁) / 2) ≤ 𝑁))
90	55, 81, 89	mpjaod 720	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (!‘(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2))) ≤ ((!‘𝑀) · (!‘𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 710   = wceq 1373   ∈ wcel 2177   class class class wbr 4051  ‘cfv 5280  (class class class)co 5957  ℝcr 7944  0cc0 7945  1c1 7946   + caddc 7948   · cmul 7950   ≤ cle 8128   / cdiv 8765  ℕcn 9056  2c2 9107  ℕ₀cn0 9315  ℤcz 9392  ℚcq 9760  ⌊cfl 10433  !cfa 10892

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4167  ax-sep 4170  ax-nul 4178  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488  ax-setind 4593  ax-iinf 4644  ax-cnex 8036  ax-resscn 8037  ax-1cn 8038  ax-1re 8039  ax-icn 8040  ax-addcl 8041  ax-addrcl 8042  ax-mulcl 8043  ax-mulrcl 8044  ax-addcom 8045  ax-mulcom 8046  ax-addass 8047  ax-mulass 8048  ax-distr 8049  ax-i2m1 8050  ax-0lt1 8051  ax-1rid 8052  ax-0id 8053  ax-rnegex 8054  ax-precex 8055  ax-cnre 8056  ax-pre-ltirr 8057  ax-pre-ltwlin 8058  ax-pre-lttrn 8059  ax-pre-apti 8060  ax-pre-ltadd 8061  ax-pre-mulgt0 8062  ax-pre-mulext 8063  ax-arch 8064

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-int 3892  df-iun 3935  df-br 4052  df-opab 4114  df-mpt 4115  df-tr 4151  df-id 4348  df-po 4351  df-iso 4352  df-iord 4421  df-on 4423  df-ilim 4424  df-suc 4426  df-iom 4647  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-rn 4694  df-res 4695  df-ima 4696  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fn 5283  df-f 5284  df-f1 5285  df-fo 5286  df-f1o 5287  df-fv 5288  df-riota 5912  df-ov 5960  df-oprab 5961  df-mpo 5962  df-1st 6239  df-2nd 6240  df-recs 6404  df-frec 6490  df-pnf 8129  df-mnf 8130  df-xr 8131  df-ltxr 8132  df-le 8133  df-sub 8265  df-neg 8266  df-reap 8668  df-ap 8675  df-div 8766  df-inn 9057  df-2 9115  df-n0 9316  df-z 9393  df-uz 9669  df-q 9761  df-rp 9796  df-fl 10435  df-seqfrec 10615  df-fac 10893

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