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Theorem facavg 10043
Description: The product of two factorials is greater than or equal to the factorial of (the floor of) their average. (Contributed by NM, 9-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
facavg ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (!‘(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2))) ≤ ((!‘𝑀) · (!‘𝑁)))

Proof of Theorem facavg
StepHypRef Expression
1 nn0addcl 8634 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0)
21nn0zd 8792 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
3 2nn 8504 . . . . . 6 2 ∈ ℕ
4 znq 9034 . . . . . 6 (((𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ) → ((𝑀 + 𝑁) / 2) ∈ ℚ)
52, 3, 4sylancl 404 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 𝑁) / 2) ∈ ℚ)
6 flqle 9606 . . . . 5 (((𝑀 + 𝑁) / 2) ∈ ℚ → (⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ≤ ((𝑀 + 𝑁) / 2))
75, 6syl 14 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ≤ ((𝑀 + 𝑁) / 2))
85flqcld 9605 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ∈ ℤ)
98zred 8794 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ∈ ℝ)
10 nn0readdcl 8658 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℝ)
1110rehalfcld 8588 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 𝑁) / 2) ∈ ℝ)
12 nn0re 8608 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ)
1312adantr 270 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℝ)
14 letr 7505 . . . . 5 (((⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ∈ ℝ ∧ ((𝑀 + 𝑁) / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (((⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ≤ ((𝑀 + 𝑁) / 2) ∧ ((𝑀 + 𝑁) / 2) ≤ 𝑀) → (⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ≤ 𝑀))
159, 11, 13, 14syl3anc 1172 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (((⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ≤ ((𝑀 + 𝑁) / 2) ∧ ((𝑀 + 𝑁) / 2) ≤ 𝑀) → (⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ≤ 𝑀))
167, 15mpand 420 . . 3 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝑀 + 𝑁) / 2) ≤ 𝑀 → (⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ≤ 𝑀))
171nn0ge0d 8655 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (𝑀 + 𝑁))
18 halfnneg2 8574 . . . . . . 7 ((𝑀 + 𝑁) ∈ ℝ → (0 ≤ (𝑀 + 𝑁) ↔ 0 ≤ ((𝑀 + 𝑁) / 2)))
1910, 18syl 14 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (0 ≤ (𝑀 + 𝑁) ↔ 0 ≤ ((𝑀 + 𝑁) / 2)))
2017, 19mpbid 145 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 0 ≤ ((𝑀 + 𝑁) / 2))
21 flqge0nn0 9621 . . . . 5 ((((𝑀 + 𝑁) / 2) ∈ ℚ ∧ 0 ≤ ((𝑀 + 𝑁) / 2)) → (⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ∈ ℕ0)
225, 20, 21syl2anc 403 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ∈ ℕ0)
23 simpl 107 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℕ0)
24 facwordi 10037 . . . . 5 (((⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ≤ 𝑀) → (!‘(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2))) ≤ (!‘𝑀))
25243exp 1140 . . . 4 ((⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ∈ ℕ0 → (𝑀 ∈ ℕ0 → ((⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ≤ 𝑀 → (!‘(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2))) ≤ (!‘𝑀))))
2622, 23, 25sylc 61 . . 3 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ≤ 𝑀 → (!‘(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2))) ≤ (!‘𝑀)))
27 faccl 10032 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ0 → (!‘𝑀) ∈ ℕ)
2827nncnd 8364 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ0 → (!‘𝑀) ∈ ℂ)
2928mulid1d 7442 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ0 → ((!‘𝑀) · 1) = (!‘𝑀))
3029adantr 270 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((!‘𝑀) · 1) = (!‘𝑀))
31 faccl 10032 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
3231nnred 8363 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℝ)
3332adantl 271 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (!‘𝑁) ∈ ℝ)
3427nnred 8363 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ0 → (!‘𝑀) ∈ ℝ)
3527nnnn0d 8652 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ0 → (!‘𝑀) ∈ ℕ0)
3635nn0ge0d 8655 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ0 → 0 ≤ (!‘𝑀))
3734, 36jca 300 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ0 → ((!‘𝑀) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (!‘𝑀)))
3837adantr 270 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((!‘𝑀) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (!‘𝑀)))
3931nnge1d 8392 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ≤ (!‘𝑁))
4039adantl 271 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 1 ≤ (!‘𝑁))
41 1re 7424 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ
42 lemul2a 8248 . . . . . . 7 (((1 ∈ ℝ ∧ (!‘𝑁) ∈ ℝ ∧ ((!‘𝑀) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (!‘𝑀))) ∧ 1 ≤ (!‘𝑁)) → ((!‘𝑀) · 1) ≤ ((!‘𝑀) · (!‘𝑁)))
4341, 42mp3anl1 1265 . . . . . 6 ((((!‘𝑁) ∈ ℝ ∧ ((!‘𝑀) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (!‘𝑀))) ∧ 1 ≤ (!‘𝑁)) → ((!‘𝑀) · 1) ≤ ((!‘𝑀) · (!‘𝑁)))
4433, 38, 40, 43syl21anc 1171 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((!‘𝑀) · 1) ≤ ((!‘𝑀) · (!‘𝑁)))
4530, 44eqbrtrrd 3842 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (!‘𝑀) ≤ ((!‘𝑀) · (!‘𝑁)))
46 faccl 10032 . . . . . . 7 ((⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ∈ ℕ0 → (!‘(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2))) ∈ ℕ)
4722, 46syl 14 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (!‘(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2))) ∈ ℕ)
4847nnred 8363 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (!‘(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2))) ∈ ℝ)
4934adantr 270 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (!‘𝑀) ∈ ℝ)
50 remulcl 7407 . . . . . 6 (((!‘𝑀) ∈ ℝ ∧ (!‘𝑁) ∈ ℝ) → ((!‘𝑀) · (!‘𝑁)) ∈ ℝ)
5134, 32, 50syl2an 283 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((!‘𝑀) · (!‘𝑁)) ∈ ℝ)
52 letr 7505 . . . . 5 (((!‘(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2))) ∈ ℝ ∧ (!‘𝑀) ∈ ℝ ∧ ((!‘𝑀) · (!‘𝑁)) ∈ ℝ) → (((!‘(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2))) ≤ (!‘𝑀) ∧ (!‘𝑀) ≤ ((!‘𝑀) · (!‘𝑁))) → (!‘(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2))) ≤ ((!‘𝑀) · (!‘𝑁))))
5348, 49, 51, 52syl3anc 1172 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (((!‘(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2))) ≤ (!‘𝑀) ∧ (!‘𝑀) ≤ ((!‘𝑀) · (!‘𝑁))) → (!‘(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2))) ≤ ((!‘𝑀) · (!‘𝑁))))
5445, 53mpan2d 419 . . 3 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((!‘(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2))) ≤ (!‘𝑀) → (!‘(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2))) ≤ ((!‘𝑀) · (!‘𝑁))))
5516, 26, 543syld 56 . 2 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝑀 + 𝑁) / 2) ≤ 𝑀 → (!‘(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2))) ≤ ((!‘𝑀) · (!‘𝑁))))
56 nn0re 8608 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
5756adantl 271 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
58 letr 7505 . . . . 5 (((⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ∈ ℝ ∧ ((𝑀 + 𝑁) / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (((⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ≤ ((𝑀 + 𝑁) / 2) ∧ ((𝑀 + 𝑁) / 2) ≤ 𝑁) → (⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ≤ 𝑁))
599, 11, 57, 58syl3anc 1172 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (((⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ≤ ((𝑀 + 𝑁) / 2) ∧ ((𝑀 + 𝑁) / 2) ≤ 𝑁) → (⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ≤ 𝑁))
607, 59mpand 420 . . 3 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝑀 + 𝑁) / 2) ≤ 𝑁 → (⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ≤ 𝑁))
61 simpr 108 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
62 facwordi 10037 . . . . 5 (((⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ≤ 𝑁) → (!‘(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2))) ≤ (!‘𝑁))
63623exp 1140 . . . 4 ((⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ0 → ((⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ≤ 𝑁 → (!‘(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2))) ≤ (!‘𝑁))))
6422, 61, 63sylc 61 . . 3 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ≤ 𝑁 → (!‘(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2))) ≤ (!‘𝑁)))
6531nncnd 8364 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℂ)
6665mulid2d 7443 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → (1 · (!‘𝑁)) = (!‘𝑁))
6766adantl 271 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (1 · (!‘𝑁)) = (!‘𝑁))
6831nnnn0d 8652 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℕ0)
6968nn0ge0d 8655 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ (!‘𝑁))
7032, 69jca 300 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((!‘𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (!‘𝑁)))
7170adantl 271 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((!‘𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (!‘𝑁)))
7227nnge1d 8392 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ0 → 1 ≤ (!‘𝑀))
7372adantr 270 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 1 ≤ (!‘𝑀))
74 lemul1a 8247 . . . . . . 7 (((1 ∈ ℝ ∧ (!‘𝑀) ∈ ℝ ∧ ((!‘𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (!‘𝑁))) ∧ 1 ≤ (!‘𝑀)) → (1 · (!‘𝑁)) ≤ ((!‘𝑀) · (!‘𝑁)))
7541, 74mp3anl1 1265 . . . . . 6 ((((!‘𝑀) ∈ ℝ ∧ ((!‘𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (!‘𝑁))) ∧ 1 ≤ (!‘𝑀)) → (1 · (!‘𝑁)) ≤ ((!‘𝑀) · (!‘𝑁)))
7649, 71, 73, 75syl21anc 1171 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (1 · (!‘𝑁)) ≤ ((!‘𝑀) · (!‘𝑁)))
7767, 76eqbrtrrd 3842 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (!‘𝑁) ≤ ((!‘𝑀) · (!‘𝑁)))
78 letr 7505 . . . . 5 (((!‘(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2))) ∈ ℝ ∧ (!‘𝑁) ∈ ℝ ∧ ((!‘𝑀) · (!‘𝑁)) ∈ ℝ) → (((!‘(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2))) ≤ (!‘𝑁) ∧ (!‘𝑁) ≤ ((!‘𝑀) · (!‘𝑁))) → (!‘(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2))) ≤ ((!‘𝑀) · (!‘𝑁))))
7948, 33, 51, 78syl3anc 1172 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (((!‘(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2))) ≤ (!‘𝑁) ∧ (!‘𝑁) ≤ ((!‘𝑀) · (!‘𝑁))) → (!‘(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2))) ≤ ((!‘𝑀) · (!‘𝑁))))
8077, 79mpan2d 419 . . 3 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((!‘(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2))) ≤ (!‘𝑁) → (!‘(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2))) ≤ ((!‘𝑀) · (!‘𝑁))))
8160, 64, 803syld 56 . 2 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝑀 + 𝑁) / 2) ≤ 𝑁 → (!‘(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2))) ≤ ((!‘𝑀) · (!‘𝑁))))
8223nn0zd 8792 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℤ)
83 zq 9036 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℚ)
8482, 83syl 14 . . 3 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℚ)
8561nn0zd 8792 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
86 zq 9036 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℚ)
8785, 86syl 14 . . 3 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℚ)
88 qavgle 9591 . . 3 ((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) → (((𝑀 + 𝑁) / 2) ≤ 𝑀 ∨ ((𝑀 + 𝑁) / 2) ≤ 𝑁))
8984, 87, 88syl2anc 403 . 2 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝑀 + 𝑁) / 2) ≤ 𝑀 ∨ ((𝑀 + 𝑁) / 2) ≤ 𝑁))
9055, 81, 89mpjaod 671 1 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (!‘(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2))) ≤ ((!‘𝑀) · (!‘𝑁)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wb 103  wo 662   = wceq 1287  wcel 1436   class class class wbr 3820  cfv 4978  (class class class)co 5607  cr 7286  0cc0 7287  1c1 7288   + caddc 7290   · cmul 7292  cle 7460   / cdiv 8071  cn 8350  2c2 8400  0cn0 8599  cz 8676  cq 9029  cfl 9596  !cfa 10022
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-coll 3928  ax-sep 3931  ax-nul 3939  ax-pow 3983  ax-pr 4009  ax-un 4233  ax-setind 4325  ax-iinf 4375  ax-cnex 7373  ax-resscn 7374  ax-1cn 7375  ax-1re 7376  ax-icn 7377  ax-addcl 7378  ax-addrcl 7379  ax-mulcl 7380  ax-mulrcl 7381  ax-addcom 7382  ax-mulcom 7383  ax-addass 7384  ax-mulass 7385  ax-distr 7386  ax-i2m1 7387  ax-0lt1 7388  ax-1rid 7389  ax-0id 7390  ax-rnegex 7391  ax-precex 7392  ax-cnre 7393  ax-pre-ltirr 7394  ax-pre-ltwlin 7395  ax-pre-lttrn 7396  ax-pre-apti 7397  ax-pre-ltadd 7398  ax-pre-mulgt0 7399  ax-pre-mulext 7400  ax-arch 7401
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 923  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-nel 2347  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rmo 2363  df-rab 2364  df-v 2617  df-sbc 2830  df-csb 2923  df-dif 2990  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-nul 3276  df-pw 3417  df-sn 3437  df-pr 3438  df-op 3440  df-uni 3637  df-int 3672  df-iun 3715  df-br 3821  df-opab 3875  df-mpt 3876  df-tr 3911  df-id 4093  df-po 4096  df-iso 4097  df-iord 4166  df-on 4168  df-ilim 4169  df-suc 4171  df-iom 4378  df-xp 4416  df-rel 4417  df-cnv 4418  df-co 4419  df-dm 4420  df-rn 4421  df-res 4422  df-ima 4423  df-iota 4943  df-fun 4980  df-fn 4981  df-f 4982  df-f1 4983  df-fo 4984  df-f1o 4985  df-fv 4986  df-riota 5563  df-ov 5610  df-oprab 5611  df-mpt2 5612  df-1st 5862  df-2nd 5863  df-recs 6018  df-frec 6104  df-pnf 7461  df-mnf 7462  df-xr 7463  df-ltxr 7464  df-le 7465  df-sub 7592  df-neg 7593  df-reap 7986  df-ap 7993  df-div 8072  df-inn 8351  df-2 8409  df-n0 8600  df-z 8677  df-uz 8945  df-q 9030  df-rp 9060  df-fl 9598  df-iseq 9773  df-fac 10023
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