Theorem facavg 10524

Description: The product of two factorials is greater than or equal to the factorial of (the floor of) their average. (Contributed by NM, 9-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
facavg	⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (!‘(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2))) ≤ ((!‘𝑀) · (!‘𝑁)))

Proof of Theorem facavg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0addcl 9036	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0)
2	1	nn0zd 9195	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
3		2nn 8905	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ
4		znq 9443	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ) → ((𝑀 + 𝑁) / 2) ∈ ℚ)
5	2, 3, 4	sylancl 410	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 𝑁) / 2) ∈ ℚ)
6		flqle 10082	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 + 𝑁) / 2) ∈ ℚ → (⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ≤ ((𝑀 + 𝑁) / 2))
7	5, 6	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ≤ ((𝑀 + 𝑁) / 2))
8	5	flqcld 10081	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ∈ ℤ)
9	8	zred 9197	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ∈ ℝ)
10		nn0readdcl 9060	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℝ)
11	10	rehalfcld 8990	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 𝑁) / 2) ∈ ℝ)
12		nn0re 9010	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ ℝ)
13	12	adantr 274	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℝ)
14		letr 7871	. . . . 5 ⊢ (((⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ∈ ℝ ∧ ((𝑀 + 𝑁) / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (((⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ≤ ((𝑀 + 𝑁) / 2) ∧ ((𝑀 + 𝑁) / 2) ≤ 𝑀) → (⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ≤ 𝑀))
15	9, 11, 13, 14	syl3anc 1217	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ≤ ((𝑀 + 𝑁) / 2) ∧ ((𝑀 + 𝑁) / 2) ≤ 𝑀) → (⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ≤ 𝑀))
16	7, 15	mpand 426	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝑀 + 𝑁) / 2) ≤ 𝑀 → (⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ≤ 𝑀))
17	1	nn0ge0d 9057	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (𝑀 + 𝑁))
18		halfnneg2 8976	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 + 𝑁) ∈ ℝ → (0 ≤ (𝑀 + 𝑁) ↔ 0 ≤ ((𝑀 + 𝑁) / 2)))
19	10, 18	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (0 ≤ (𝑀 + 𝑁) ↔ 0 ≤ ((𝑀 + 𝑁) / 2)))
20	17, 19	mpbid 146	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 0 ≤ ((𝑀 + 𝑁) / 2))
21		flqge0nn0 10097	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 + 𝑁) / 2) ∈ ℚ ∧ 0 ≤ ((𝑀 + 𝑁) / 2)) → (⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ∈ ℕ0)
22	5, 20, 21	syl2anc 409	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ∈ ℕ0)
23		simpl 108	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℕ0)
24		facwordi 10518	. . . . 5 ⊢ (((⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ≤ 𝑀) → (!‘(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2))) ≤ (!‘𝑀))
25	24	3exp 1181	. . . 4 ⊢ ((⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ∈ ℕ0 → (𝑀 ∈ ℕ0 → ((⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ≤ 𝑀 → (!‘(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2))) ≤ (!‘𝑀))))
26	22, 23, 25	sylc 62	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ≤ 𝑀 → (!‘(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2))) ≤ (!‘𝑀)))
27		faccl 10513	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (!‘𝑀) ∈ ℕ)
28	27	nncnd 8758	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (!‘𝑀) ∈ ℂ)
29	28	mulid1d 7807	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → ((!‘𝑀) · 1) = (!‘𝑀))
30	29	adantr 274	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((!‘𝑀) · 1) = (!‘𝑀))
31		faccl 10513	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
32	31	nnred 8757	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℝ)
33	32	adantl 275	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (!‘𝑁) ∈ ℝ)
34	27	nnred 8757	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (!‘𝑀) ∈ ℝ)
35	27	nnnn0d 9054	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (!‘𝑀) ∈ ℕ0)
36	35	nn0ge0d 9057	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 0 ≤ (!‘𝑀))
37	34, 36	jca 304	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → ((!‘𝑀) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (!‘𝑀)))
38	37	adantr 274	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((!‘𝑀) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (!‘𝑀)))
39	31	nnge1d 8787	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ≤ (!‘𝑁))
40	39	adantl 275	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 1 ≤ (!‘𝑁))
41		1re 7789	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
42		lemul2a 8641	. . . . . . 7 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ (!‘𝑁) ∈ ℝ ∧ ((!‘𝑀) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (!‘𝑀))) ∧ 1 ≤ (!‘𝑁)) → ((!‘𝑀) · 1) ≤ ((!‘𝑀) · (!‘𝑁)))
43	41, 42	mp3anl1 1310	. . . . . 6 ⊢ ((((!‘𝑁) ∈ ℝ ∧ ((!‘𝑀) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (!‘𝑀))) ∧ 1 ≤ (!‘𝑁)) → ((!‘𝑀) · 1) ≤ ((!‘𝑀) · (!‘𝑁)))
44	33, 38, 40, 43	syl21anc 1216	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((!‘𝑀) · 1) ≤ ((!‘𝑀) · (!‘𝑁)))
45	30, 44	eqbrtrrd 3960	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (!‘𝑀) ≤ ((!‘𝑀) · (!‘𝑁)))
46		faccl 10513	. . . . . . 7 ⊢ ((⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ∈ ℕ0 → (!‘(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2))) ∈ ℕ)
47	22, 46	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (!‘(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2))) ∈ ℕ)
48	47	nnred 8757	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (!‘(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2))) ∈ ℝ)
49	34	adantr 274	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (!‘𝑀) ∈ ℝ)
50		remulcl 7772	. . . . . 6 ⊢ (((!‘𝑀) ∈ ℝ ∧ (!‘𝑁) ∈ ℝ) → ((!‘𝑀) · (!‘𝑁)) ∈ ℝ)
51	34, 32, 50	syl2an 287	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((!‘𝑀) · (!‘𝑁)) ∈ ℝ)
52		letr 7871	. . . . 5 ⊢ (((!‘(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2))) ∈ ℝ ∧ (!‘𝑀) ∈ ℝ ∧ ((!‘𝑀) · (!‘𝑁)) ∈ ℝ) → (((!‘(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2))) ≤ (!‘𝑀) ∧ (!‘𝑀) ≤ ((!‘𝑀) · (!‘𝑁))) → (!‘(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2))) ≤ ((!‘𝑀) · (!‘𝑁))))
53	48, 49, 51, 52	syl3anc 1217	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((!‘(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2))) ≤ (!‘𝑀) ∧ (!‘𝑀) ≤ ((!‘𝑀) · (!‘𝑁))) → (!‘(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2))) ≤ ((!‘𝑀) · (!‘𝑁))))
54	45, 53	mpan2d 425	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((!‘(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2))) ≤ (!‘𝑀) → (!‘(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2))) ≤ ((!‘𝑀) · (!‘𝑁))))
55	16, 26, 54	3syld 57	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝑀 + 𝑁) / 2) ≤ 𝑀 → (!‘(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2))) ≤ ((!‘𝑀) · (!‘𝑁))))
56		nn0re 9010	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
57	56	adantl 275	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
58		letr 7871	. . . . 5 ⊢ (((⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ∈ ℝ ∧ ((𝑀 + 𝑁) / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (((⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ≤ ((𝑀 + 𝑁) / 2) ∧ ((𝑀 + 𝑁) / 2) ≤ 𝑁) → (⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ≤ 𝑁))
59	9, 11, 57, 58	syl3anc 1217	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ≤ ((𝑀 + 𝑁) / 2) ∧ ((𝑀 + 𝑁) / 2) ≤ 𝑁) → (⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ≤ 𝑁))
60	7, 59	mpand 426	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝑀 + 𝑁) / 2) ≤ 𝑁 → (⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ≤ 𝑁))
61		simpr 109	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
62		facwordi 10518	. . . . 5 ⊢ (((⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ≤ 𝑁) → (!‘(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2))) ≤ (!‘𝑁))
63	62	3exp 1181	. . . 4 ⊢ ((⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ0 → ((⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ≤ 𝑁 → (!‘(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2))) ≤ (!‘𝑁))))
64	22, 61, 63	sylc 62	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2)) ≤ 𝑁 → (!‘(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2))) ≤ (!‘𝑁)))
65	31	nncnd 8758	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℂ)
66	65	mulid2d 7808	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (1 · (!‘𝑁)) = (!‘𝑁))
67	66	adantl 275	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (1 · (!‘𝑁)) = (!‘𝑁))
68	31	nnnn0d 9054	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℕ0)
69	68	nn0ge0d 9057	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ (!‘𝑁))
70	32, 69	jca 304	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((!‘𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (!‘𝑁)))
71	70	adantl 275	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((!‘𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (!‘𝑁)))
72	27	nnge1d 8787	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 1 ≤ (!‘𝑀))
73	72	adantr 274	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 1 ≤ (!‘𝑀))
74		lemul1a 8640	. . . . . . 7 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ (!‘𝑀) ∈ ℝ ∧ ((!‘𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (!‘𝑁))) ∧ 1 ≤ (!‘𝑀)) → (1 · (!‘𝑁)) ≤ ((!‘𝑀) · (!‘𝑁)))
75	41, 74	mp3anl1 1310	. . . . . 6 ⊢ ((((!‘𝑀) ∈ ℝ ∧ ((!‘𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (!‘𝑁))) ∧ 1 ≤ (!‘𝑀)) → (1 · (!‘𝑁)) ≤ ((!‘𝑀) · (!‘𝑁)))
76	49, 71, 73, 75	syl21anc 1216	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (1 · (!‘𝑁)) ≤ ((!‘𝑀) · (!‘𝑁)))
77	67, 76	eqbrtrrd 3960	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (!‘𝑁) ≤ ((!‘𝑀) · (!‘𝑁)))
78		letr 7871	. . . . 5 ⊢ (((!‘(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2))) ∈ ℝ ∧ (!‘𝑁) ∈ ℝ ∧ ((!‘𝑀) · (!‘𝑁)) ∈ ℝ) → (((!‘(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2))) ≤ (!‘𝑁) ∧ (!‘𝑁) ≤ ((!‘𝑀) · (!‘𝑁))) → (!‘(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2))) ≤ ((!‘𝑀) · (!‘𝑁))))
79	48, 33, 51, 78	syl3anc 1217	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((!‘(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2))) ≤ (!‘𝑁) ∧ (!‘𝑁) ≤ ((!‘𝑀) · (!‘𝑁))) → (!‘(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2))) ≤ ((!‘𝑀) · (!‘𝑁))))
80	77, 79	mpan2d 425	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((!‘(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2))) ≤ (!‘𝑁) → (!‘(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2))) ≤ ((!‘𝑀) · (!‘𝑁))))
81	60, 64, 80	3syld 57	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝑀 + 𝑁) / 2) ≤ 𝑁 → (!‘(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2))) ≤ ((!‘𝑀) · (!‘𝑁))))
82	23	nn0zd 9195	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℤ)
83		zq 9445	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℚ)
84	82, 83	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℚ)
85	61	nn0zd 9195	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
86		zq 9445	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℚ)
87	85, 86	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℚ)
88		qavgle 10067	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ) → (((𝑀 + 𝑁) / 2) ≤ 𝑀 ∨ ((𝑀 + 𝑁) / 2) ≤ 𝑁))
89	84, 87, 88	syl2anc 409	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝑀 + 𝑁) / 2) ≤ 𝑀 ∨ ((𝑀 + 𝑁) / 2) ≤ 𝑁))
90	55, 81, 89	mpjaod 708	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (!‘(⌊‘((𝑀 + 𝑁) / 2))) ≤ ((!‘𝑀) · (!‘𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ wo 698   = wceq 1332   ∈ wcel 1481   class class class wbr 3937  ‘cfv 5131  (class class class)co 5782  ℝcr 7643  0cc0 7644  1c1 7645   + caddc 7647   · cmul 7649   ≤ cle 7825   / cdiv 8456  ℕcn 8744  2c2 8795  ℕ₀cn0 9001  ℤcz 9078  ℚcq 9438  ⌊cfl 10072  !cfa 10503

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-iinf 4510  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-mulrcl 7743  ax-addcom 7744  ax-mulcom 7745  ax-addass 7746  ax-mulass 7747  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-1rid 7751  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-precex 7754  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-apti 7759  ax-pre-ltadd 7760  ax-pre-mulgt0 7761  ax-pre-mulext 7762  ax-arch 7763

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-tr 4035  df-id 4223  df-po 4226  df-iso 4227  df-iord 4296  df-on 4298  df-ilim 4299  df-suc 4301  df-iom 4513  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-recs 6210  df-frec 6296  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960  df-reap 8361  df-ap 8368  df-div 8457  df-inn 8745  df-2 8803  df-n0 9002  df-z 9079  df-uz 9351  df-q 9439  df-rp 9471  df-fl 10074  df-seqfrec 10250  df-fac 10504

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