Theorem expadd 10518

Description: Sum of exponents law for nonnegative integer exponentiation. Proposition 10-4.2(a) of [Gleason] p. 135. (Contributed by NM, 30-Nov-2004.)

Assertion

Ref	Expression
expadd	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑁)))

Proof of Theorem expadd

Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 5861	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 0 → (𝑀 + 𝑗) = (𝑀 + 0))
2	1	oveq2d 5869	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 0 → (𝐴↑(𝑀 + 𝑗)) = (𝐴↑(𝑀 + 0)))
3		oveq2 5861	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 0 → (𝐴↑𝑗) = (𝐴↑0))
4	3	oveq2d 5869	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 0 → ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑗)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑0)))
5	2, 4	eqeq12d 2185	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 0 → ((𝐴↑(𝑀 + 𝑗)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑗)) ↔ (𝐴↑(𝑀 + 0)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑0))))
6	5	imbi2d 229	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 0 → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑗)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑗))) ↔ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 + 0)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑0)))))
7		oveq2 5861	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑀 + 𝑗) = (𝑀 + 𝑘))
8	7	oveq2d 5869	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝐴↑(𝑀 + 𝑗)) = (𝐴↑(𝑀 + 𝑘)))
9		oveq2 5861	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝐴↑𝑗) = (𝐴↑𝑘))
10	9	oveq2d 5869	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑗)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑘)))
11	8, 10	eqeq12d 2185	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝐴↑(𝑀 + 𝑗)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑗)) ↔ (𝐴↑(𝑀 + 𝑘)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑘))))
12	11	imbi2d 229	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑗)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑗))) ↔ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑘)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑘)))))
13		oveq2 5861	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝑀 + 𝑗) = (𝑀 + (𝑘 + 1)))
14	13	oveq2d 5869	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑗)) = (𝐴↑(𝑀 + (𝑘 + 1))))
15		oveq2 5861	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝐴↑𝑗) = (𝐴↑(𝑘 + 1)))
16	15	oveq2d 5869	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑗)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑(𝑘 + 1))))
17	14, 16	eqeq12d 2185	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝐴↑(𝑀 + 𝑗)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑗)) ↔ (𝐴↑(𝑀 + (𝑘 + 1))) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑(𝑘 + 1)))))
18	17	imbi2d 229	. . . 4 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑗)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑗))) ↔ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 + (𝑘 + 1))) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑(𝑘 + 1))))))
19		oveq2 5861	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (𝑀 + 𝑗) = (𝑀 + 𝑁))
20	19	oveq2d 5869	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (𝐴↑(𝑀 + 𝑗)) = (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)))
21		oveq2 5861	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (𝐴↑𝑗) = (𝐴↑𝑁))
22	21	oveq2d 5869	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑗)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑁)))
23	20, 22	eqeq12d 2185	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → ((𝐴↑(𝑀 + 𝑗)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑗)) ↔ (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑁))))
24	23	imbi2d 229	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑗)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑗))) ↔ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑁)))))
25		nn0cn 9145	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ ℂ)
26	25	addid1d 8068	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 + 0) = 𝑀)
27	26	adantl 275	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 0) = 𝑀)
28	27	oveq2d 5869	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 + 0)) = (𝐴↑𝑀))
29		expcl 10494	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑀) ∈ ℂ)
30	29	mulid1d 7937	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝑀) · 1) = (𝐴↑𝑀))
31	28, 30	eqtr4d 2206	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 + 0)) = ((𝐴↑𝑀) · 1))
32		exp0 10480	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = 1)
33	32	adantr 274	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑0) = 1)
34	33	oveq2d 5869	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑0)) = ((𝐴↑𝑀) · 1))
35	31, 34	eqtr4d 2206	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 + 0)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑0)))
36		oveq1 5860	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴↑(𝑀 + 𝑘)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑘)) → ((𝐴↑(𝑀 + 𝑘)) · 𝐴) = (((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑘)) · 𝐴))
37		nn0cn 9145	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℂ)
38		ax-1cn 7867	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℂ
39		addass 7904	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑀 + 𝑘) + 1) = (𝑀 + (𝑘 + 1)))
40	38, 39	mp3an3 1321	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((𝑀 + 𝑘) + 1) = (𝑀 + (𝑘 + 1)))
41	25, 37, 40	syl2an 287	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 𝑘) + 1) = (𝑀 + (𝑘 + 1)))
42	41	adantll 473	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 𝑘) + 1) = (𝑀 + (𝑘 + 1)))
43	42	oveq2d 5869	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑((𝑀 + 𝑘) + 1)) = (𝐴↑(𝑀 + (𝑘 + 1))))
44		simpll 524	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
45		nn0addcl 9170	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑘) ∈ ℕ0)
46	45	adantll 473	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑘) ∈ ℕ0)
47		expp1 10483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑀 + 𝑘) ∈ ℕ0) → (𝐴↑((𝑀 + 𝑘) + 1)) = ((𝐴↑(𝑀 + 𝑘)) · 𝐴))
48	44, 46, 47	syl2anc 409	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑((𝑀 + 𝑘) + 1)) = ((𝐴↑(𝑀 + 𝑘)) · 𝐴))
49	43, 48	eqtr3d 2205	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 + (𝑘 + 1))) = ((𝐴↑(𝑀 + 𝑘)) · 𝐴))
50		expp1 10483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) = ((𝐴↑𝑘) · 𝐴))
51	50	adantlr 474	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) = ((𝐴↑𝑘) · 𝐴))
52	51	oveq2d 5869	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑(𝑘 + 1))) = ((𝐴↑𝑀) · ((𝐴↑𝑘) · 𝐴)))
53	29	adantr 274	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑀) ∈ ℂ)
54		expcl 10494	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℂ)
55	54	adantlr 474	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℂ)
56	53, 55, 44	mulassd 7943	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑘)) · 𝐴) = ((𝐴↑𝑀) · ((𝐴↑𝑘) · 𝐴)))
57	52, 56	eqtr4d 2206	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑(𝑘 + 1))) = (((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑘)) · 𝐴))
58	49, 57	eqeq12d 2185	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑(𝑀 + (𝑘 + 1))) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑(𝑘 + 1))) ↔ ((𝐴↑(𝑀 + 𝑘)) · 𝐴) = (((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑘)) · 𝐴)))
59	36, 58	syl5ibr 155	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑(𝑀 + 𝑘)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑘)) → (𝐴↑(𝑀 + (𝑘 + 1))) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑(𝑘 + 1)))))
60	59	expcom 115	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑(𝑀 + 𝑘)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑘)) → (𝐴↑(𝑀 + (𝑘 + 1))) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑(𝑘 + 1))))))
61	60	a2d 26	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑘)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑘))) → ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 + (𝑘 + 1))) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑(𝑘 + 1))))))
62	6, 12, 18, 24, 35, 61	nn0ind 9326	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑁))))
63	62	expdcom 1435	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑁)))))
64	63	3imp 1188	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∧ w3a 973   = wceq 1348   ∈ wcel 2141  (class class class)co 5853  ℂcc 7772  0cc0 7774  1c1 7775   + caddc 7777   · cmul 7779  ℕ₀cn0 9135  ↑cexp 10475

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-frec 6370  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-seqfrec 10402  df-exp 10476

This theorem is referenced by:  expaddzaplem  10519  expaddzap  10520  expmul  10521  i4  10578  expaddd  10611  ef01bndlem  11719