ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  expadd GIF version

Theorem expadd 10564
Description: Sum of exponents law for nonnegative integer exponentiation. Proposition 10-4.2(a) of [Gleason] p. 135. (Contributed by NM, 30-Nov-2004.)
Assertion
Ref Expression
expadd ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘€ + ๐‘)) = ((๐ดโ†‘๐‘€) ยท (๐ดโ†‘๐‘)))

Proof of Theorem expadd
Dummy variables ๐‘— ๐‘˜ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 5885 . . . . . . 7 (๐‘— = 0 โ†’ (๐‘€ + ๐‘—) = (๐‘€ + 0))
21oveq2d 5893 . . . . . 6 (๐‘— = 0 โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘€ + ๐‘—)) = (๐ดโ†‘(๐‘€ + 0)))
3 oveq2 5885 . . . . . . 7 (๐‘— = 0 โ†’ (๐ดโ†‘๐‘—) = (๐ดโ†‘0))
43oveq2d 5893 . . . . . 6 (๐‘— = 0 โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘€) ยท (๐ดโ†‘๐‘—)) = ((๐ดโ†‘๐‘€) ยท (๐ดโ†‘0)))
52, 4eqeq12d 2192 . . . . 5 (๐‘— = 0 โ†’ ((๐ดโ†‘(๐‘€ + ๐‘—)) = ((๐ดโ†‘๐‘€) ยท (๐ดโ†‘๐‘—)) โ†” (๐ดโ†‘(๐‘€ + 0)) = ((๐ดโ†‘๐‘€) ยท (๐ดโ†‘0))))
65imbi2d 230 . . . 4 (๐‘— = 0 โ†’ (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘€ + ๐‘—)) = ((๐ดโ†‘๐‘€) ยท (๐ดโ†‘๐‘—))) โ†” ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘€ + 0)) = ((๐ดโ†‘๐‘€) ยท (๐ดโ†‘0)))))
7 oveq2 5885 . . . . . . 7 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ (๐‘€ + ๐‘—) = (๐‘€ + ๐‘˜))
87oveq2d 5893 . . . . . 6 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘€ + ๐‘—)) = (๐ดโ†‘(๐‘€ + ๐‘˜)))
9 oveq2 5885 . . . . . . 7 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ (๐ดโ†‘๐‘—) = (๐ดโ†‘๐‘˜))
109oveq2d 5893 . . . . . 6 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘€) ยท (๐ดโ†‘๐‘—)) = ((๐ดโ†‘๐‘€) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜)))
118, 10eqeq12d 2192 . . . . 5 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ ((๐ดโ†‘(๐‘€ + ๐‘—)) = ((๐ดโ†‘๐‘€) ยท (๐ดโ†‘๐‘—)) โ†” (๐ดโ†‘(๐‘€ + ๐‘˜)) = ((๐ดโ†‘๐‘€) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜))))
1211imbi2d 230 . . . 4 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘€ + ๐‘—)) = ((๐ดโ†‘๐‘€) ยท (๐ดโ†‘๐‘—))) โ†” ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘€ + ๐‘˜)) = ((๐ดโ†‘๐‘€) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜)))))
13 oveq2 5885 . . . . . . 7 (๐‘— = (๐‘˜ + 1) โ†’ (๐‘€ + ๐‘—) = (๐‘€ + (๐‘˜ + 1)))
1413oveq2d 5893 . . . . . 6 (๐‘— = (๐‘˜ + 1) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘€ + ๐‘—)) = (๐ดโ†‘(๐‘€ + (๐‘˜ + 1))))
15 oveq2 5885 . . . . . . 7 (๐‘— = (๐‘˜ + 1) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘—) = (๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)))
1615oveq2d 5893 . . . . . 6 (๐‘— = (๐‘˜ + 1) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘€) ยท (๐ดโ†‘๐‘—)) = ((๐ดโ†‘๐‘€) ยท (๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1))))
1714, 16eqeq12d 2192 . . . . 5 (๐‘— = (๐‘˜ + 1) โ†’ ((๐ดโ†‘(๐‘€ + ๐‘—)) = ((๐ดโ†‘๐‘€) ยท (๐ดโ†‘๐‘—)) โ†” (๐ดโ†‘(๐‘€ + (๐‘˜ + 1))) = ((๐ดโ†‘๐‘€) ยท (๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)))))
1817imbi2d 230 . . . 4 (๐‘— = (๐‘˜ + 1) โ†’ (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘€ + ๐‘—)) = ((๐ดโ†‘๐‘€) ยท (๐ดโ†‘๐‘—))) โ†” ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘€ + (๐‘˜ + 1))) = ((๐ดโ†‘๐‘€) ยท (๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1))))))
19 oveq2 5885 . . . . . . 7 (๐‘— = ๐‘ โ†’ (๐‘€ + ๐‘—) = (๐‘€ + ๐‘))
2019oveq2d 5893 . . . . . 6 (๐‘— = ๐‘ โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘€ + ๐‘—)) = (๐ดโ†‘(๐‘€ + ๐‘)))
21 oveq2 5885 . . . . . . 7 (๐‘— = ๐‘ โ†’ (๐ดโ†‘๐‘—) = (๐ดโ†‘๐‘))
2221oveq2d 5893 . . . . . 6 (๐‘— = ๐‘ โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘€) ยท (๐ดโ†‘๐‘—)) = ((๐ดโ†‘๐‘€) ยท (๐ดโ†‘๐‘)))
2320, 22eqeq12d 2192 . . . . 5 (๐‘— = ๐‘ โ†’ ((๐ดโ†‘(๐‘€ + ๐‘—)) = ((๐ดโ†‘๐‘€) ยท (๐ดโ†‘๐‘—)) โ†” (๐ดโ†‘(๐‘€ + ๐‘)) = ((๐ดโ†‘๐‘€) ยท (๐ดโ†‘๐‘))))
2423imbi2d 230 . . . 4 (๐‘— = ๐‘ โ†’ (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘€ + ๐‘—)) = ((๐ดโ†‘๐‘€) ยท (๐ดโ†‘๐‘—))) โ†” ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘€ + ๐‘)) = ((๐ดโ†‘๐‘€) ยท (๐ดโ†‘๐‘)))))
25 nn0cn 9188 . . . . . . . . 9 (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
2625addid1d 8108 . . . . . . . 8 (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘€ + 0) = ๐‘€)
2726adantl 277 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘€ + 0) = ๐‘€)
2827oveq2d 5893 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘€ + 0)) = (๐ดโ†‘๐‘€))
29 expcl 10540 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘€) โˆˆ โ„‚)
3029mulridd 7976 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘€) ยท 1) = (๐ดโ†‘๐‘€))
3128, 30eqtr4d 2213 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘€ + 0)) = ((๐ดโ†‘๐‘€) ยท 1))
32 exp0 10526 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ดโ†‘0) = 1)
3332adantr 276 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘0) = 1)
3433oveq2d 5893 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘€) ยท (๐ดโ†‘0)) = ((๐ดโ†‘๐‘€) ยท 1))
3531, 34eqtr4d 2213 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘€ + 0)) = ((๐ดโ†‘๐‘€) ยท (๐ดโ†‘0)))
36 oveq1 5884 . . . . . . 7 ((๐ดโ†‘(๐‘€ + ๐‘˜)) = ((๐ดโ†‘๐‘€) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜)) โ†’ ((๐ดโ†‘(๐‘€ + ๐‘˜)) ยท ๐ด) = (((๐ดโ†‘๐‘€) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜)) ยท ๐ด))
37 nn0cn 9188 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„‚)
38 ax-1cn 7906 . . . . . . . . . . . . 13 1 โˆˆ โ„‚
39 addass 7943 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘€ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘€ + ๐‘˜) + 1) = (๐‘€ + (๐‘˜ + 1)))
4038, 39mp3an3 1326 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘€ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘€ + ๐‘˜) + 1) = (๐‘€ + (๐‘˜ + 1)))
4125, 37, 40syl2an 289 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘€ + ๐‘˜) + 1) = (๐‘€ + (๐‘˜ + 1)))
4241adantll 476 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘€ + ๐‘˜) + 1) = (๐‘€ + (๐‘˜ + 1)))
4342oveq2d 5893 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘((๐‘€ + ๐‘˜) + 1)) = (๐ดโ†‘(๐‘€ + (๐‘˜ + 1))))
44 simpll 527 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
45 nn0addcl 9213 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘€ + ๐‘˜) โˆˆ โ„•0)
4645adantll 476 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘€ + ๐‘˜) โˆˆ โ„•0)
47 expp1 10529 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘€ + ๐‘˜) โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘((๐‘€ + ๐‘˜) + 1)) = ((๐ดโ†‘(๐‘€ + ๐‘˜)) ยท ๐ด))
4844, 46, 47syl2anc 411 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘((๐‘€ + ๐‘˜) + 1)) = ((๐ดโ†‘(๐‘€ + ๐‘˜)) ยท ๐ด))
4943, 48eqtr3d 2212 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘€ + (๐‘˜ + 1))) = ((๐ดโ†‘(๐‘€ + ๐‘˜)) ยท ๐ด))
50 expp1 10529 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) = ((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท ๐ด))
5150adantlr 477 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) = ((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท ๐ด))
5251oveq2d 5893 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘€) ยท (๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1))) = ((๐ดโ†‘๐‘€) ยท ((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท ๐ด)))
5329adantr 276 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘€) โˆˆ โ„‚)
54 expcl 10540 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
5554adantlr 477 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
5653, 55, 44mulassd 7983 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (((๐ดโ†‘๐‘€) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜)) ยท ๐ด) = ((๐ดโ†‘๐‘€) ยท ((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท ๐ด)))
5752, 56eqtr4d 2213 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘€) ยท (๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1))) = (((๐ดโ†‘๐‘€) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜)) ยท ๐ด))
5849, 57eqeq12d 2192 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ดโ†‘(๐‘€ + (๐‘˜ + 1))) = ((๐ดโ†‘๐‘€) ยท (๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1))) โ†” ((๐ดโ†‘(๐‘€ + ๐‘˜)) ยท ๐ด) = (((๐ดโ†‘๐‘€) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜)) ยท ๐ด)))
5936, 58imbitrrid 156 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ดโ†‘(๐‘€ + ๐‘˜)) = ((๐ดโ†‘๐‘€) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜)) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘€ + (๐‘˜ + 1))) = ((๐ดโ†‘๐‘€) ยท (๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)))))
6059expcom 116 . . . . 5 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ดโ†‘(๐‘€ + ๐‘˜)) = ((๐ดโ†‘๐‘€) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜)) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘€ + (๐‘˜ + 1))) = ((๐ดโ†‘๐‘€) ยท (๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1))))))
6160a2d 26 . . . 4 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘€ + ๐‘˜)) = ((๐ดโ†‘๐‘€) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜))) โ†’ ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘€ + (๐‘˜ + 1))) = ((๐ดโ†‘๐‘€) ยท (๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1))))))
626, 12, 18, 24, 35, 61nn0ind 9369 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘€ + ๐‘)) = ((๐ดโ†‘๐‘€) ยท (๐ดโ†‘๐‘))))
6362expdcom 1442 . 2 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘€ + ๐‘)) = ((๐ดโ†‘๐‘€) ยท (๐ดโ†‘๐‘)))))
64633imp 1193 1 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘€ + ๐‘)) = ((๐ดโ†‘๐‘€) ยท (๐ดโ†‘๐‘)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โˆง w3a 978   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148  (class class class)co 5877  โ„‚cc 7811  0cc0 7813  1c1 7814   + caddc 7816   ยท cmul 7818  โ„•0cn0 9178  โ†‘cexp 10521
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-frec 6394  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-inn 8922  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-seqfrec 10448  df-exp 10522
This theorem is referenced by:  expaddzaplem  10565  expaddzap  10566  expmul  10567  i4  10625  expaddd  10658  ef01bndlem  11766
  Copyright terms: Public domain W3C validator