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Theorem elfzodifsumelfzo 10029
 Description: If an integer is in a half-open range of nonnegative integers with a difference as upper bound, the sum of the integer with the subtrahend of the difference is in the a half-open range of nonnegative integers containing the minuend of the difference. (Contributed by AV, 13-Nov-2018.)
Assertion
Ref Expression
elfzodifsumelfzo ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...𝑃)) → (𝐼 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) → (𝐼 + 𝑀) ∈ (0..^𝑃)))

Proof of Theorem elfzodifsumelfzo
StepHypRef Expression
1 elfz2nn0 9943 . . 3 (𝑀 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁))
2 elfz2nn0 9943 . . . . 5 (𝑁 ∈ (0...𝑃) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0𝑃 ∈ ℕ0𝑁𝑃))
3 elfzo0 10010 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↔ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < (𝑁𝑀)))
4 nn0z 9118 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℤ)
5 nn0z 9118 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ)
6 znnsub 9149 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑁𝑀) ∈ ℕ))
74, 5, 6syl2an 287 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑁𝑀) ∈ ℕ))
8 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐼 < (𝑁𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝐼 ∈ ℕ0)
9 simpll 519 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) → 𝑀 ∈ ℕ0)
10 nn0addcl 9056 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐼 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐼 + 𝑀) ∈ ℕ0)
118, 9, 10syl2anr 288 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝐼 < (𝑁𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)) → (𝐼 + 𝑀) ∈ ℕ0)
1211adantr 274 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝐼 < (𝑁𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑃 ∈ ℕ0𝑁𝑃)) → (𝐼 + 𝑀) ∈ ℕ0)
13 0red 7811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℝ)
14 nn0re 9030 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ)
1514adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℝ)
16 nn0re 9030 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
1716adantl 275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
1813, 15, 173jca 1162 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (0 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
1918adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) → (0 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
20 nn0ge0 9046 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑀 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑀)
2120adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 𝑀)
2221anim1i 338 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) → (0 ≤ 𝑀𝑀 < 𝑁))
23 lelttr 7896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝑀𝑀 < 𝑁) → 0 < 𝑁))
2419, 22, 23sylc 62 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) → 0 < 𝑁)
2524ex 114 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 < 𝑁 → 0 < 𝑁))
26 0red 7811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑃 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℝ)
2716adantl 275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑃 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
28 nn0re 9030 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑃 ∈ ℕ0𝑃 ∈ ℝ)
2928adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑃 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ ℝ)
30 ltletr 7897 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → ((0 < 𝑁𝑁𝑃) → 0 < 𝑃))
3126, 27, 29, 30syl3anc 1217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑃 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((0 < 𝑁𝑁𝑃) → 0 < 𝑃))
32 nn0z 9118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑃 ∈ ℕ0𝑃 ∈ ℤ)
33 elnnz 9108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑃 ∈ ℕ ↔ (𝑃 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑃))
3433simplbi2 383 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑃 ∈ ℤ → (0 < 𝑃𝑃 ∈ ℕ))
3532, 34syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑃 ∈ ℕ0 → (0 < 𝑃𝑃 ∈ ℕ))
3635adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑃 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (0 < 𝑃𝑃 ∈ ℕ))
3731, 36syld 45 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑃 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((0 < 𝑁𝑁𝑃) → 𝑃 ∈ ℕ))
3837exp4b 365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑃 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (0 < 𝑁 → (𝑁𝑃𝑃 ∈ ℕ))))
3938com24 87 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑃 ∈ ℕ0 → (𝑁𝑃 → (0 < 𝑁 → (𝑁 ∈ ℕ0𝑃 ∈ ℕ))))
4039imp 123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑃 ∈ ℕ0𝑁𝑃) → (0 < 𝑁 → (𝑁 ∈ ℕ0𝑃 ∈ ℕ)))
4140com13 80 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ ℕ0 → (0 < 𝑁 → ((𝑃 ∈ ℕ0𝑁𝑃) → 𝑃 ∈ ℕ)))
4241adantl 275 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (0 < 𝑁 → ((𝑃 ∈ ℕ0𝑁𝑃) → 𝑃 ∈ ℕ)))
4325, 42syld 45 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 < 𝑁 → ((𝑃 ∈ ℕ0𝑁𝑃) → 𝑃 ∈ ℕ)))
4443imp 123 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) → ((𝑃 ∈ ℕ0𝑁𝑃) → 𝑃 ∈ ℕ))
4544adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝐼 < (𝑁𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)) → ((𝑃 ∈ ℕ0𝑁𝑃) → 𝑃 ∈ ℕ))
4645imp 123 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝐼 < (𝑁𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑃 ∈ ℕ0𝑁𝑃)) → 𝑃 ∈ ℕ)
47 nn0re 9030 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐼 ∈ ℕ0𝐼 ∈ ℝ)
4847adantl 275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐼 < (𝑁𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝐼 ∈ ℝ)
4915adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) → 𝑀 ∈ ℝ)
50 readdcl 7790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐼 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (𝐼 + 𝑀) ∈ ℝ)
5148, 49, 50syl2anr 288 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝐼 < (𝑁𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)) → (𝐼 + 𝑀) ∈ ℝ)
5251adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝐼 < (𝑁𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑃 ∈ ℕ0) → (𝐼 + 𝑀) ∈ ℝ)
5317adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
5453adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝐼 < (𝑁𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)) → 𝑁 ∈ ℝ)
5554adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝐼 < (𝑁𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑃 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
5628adantl 275 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝐼 < (𝑁𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑃 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ ℝ)
5752, 55, 563jca 1162 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝐼 < (𝑁𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑃 ∈ ℕ0) → ((𝐼 + 𝑀) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ))
5857adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝐼 < (𝑁𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑃 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝑃) → ((𝐼 + 𝑀) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ))
5947adantl 275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝐼 ∈ ℝ)
6015adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℝ)
6117adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
6259, 60, 61ltaddsubd 8351 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((𝐼 + 𝑀) < 𝑁𝐼 < (𝑁𝑀)))
6362exbiri 380 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐼 ∈ ℕ0 → (𝐼 < (𝑁𝑀) → (𝐼 + 𝑀) < 𝑁)))
6463com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐼 < (𝑁𝑀) → (𝐼 ∈ ℕ0 → (𝐼 + 𝑀) < 𝑁)))
6564impd 252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐼 < (𝑁𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (𝐼 + 𝑀) < 𝑁))
6665adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) → ((𝐼 < (𝑁𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (𝐼 + 𝑀) < 𝑁))
6766imp 123 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝐼 < (𝑁𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)) → (𝐼 + 𝑀) < 𝑁)
6867adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝐼 < (𝑁𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑃 ∈ ℕ0) → (𝐼 + 𝑀) < 𝑁)
6968anim1i 338 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝐼 < (𝑁𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑃 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝑃) → ((𝐼 + 𝑀) < 𝑁𝑁𝑃))
70 ltletr 7897 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐼 + 𝑀) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → (((𝐼 + 𝑀) < 𝑁𝑁𝑃) → (𝐼 + 𝑀) < 𝑃))
7158, 69, 70sylc 62 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝐼 < (𝑁𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑃 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝑃) → (𝐼 + 𝑀) < 𝑃)
7271anasss 397 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝐼 < (𝑁𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑃 ∈ ℕ0𝑁𝑃)) → (𝐼 + 𝑀) < 𝑃)
73 elfzo0 10010 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐼 + 𝑀) ∈ (0..^𝑃) ↔ ((𝐼 + 𝑀) ∈ ℕ0𝑃 ∈ ℕ ∧ (𝐼 + 𝑀) < 𝑃))
7412, 46, 72, 73syl3anbrc 1166 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝐼 < (𝑁𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑃 ∈ ℕ0𝑁𝑃)) → (𝐼 + 𝑀) ∈ (0..^𝑃))
7574exp53 375 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 < 𝑁 → (𝐼 < (𝑁𝑀) → (𝐼 ∈ ℕ0 → ((𝑃 ∈ ℕ0𝑁𝑃) → (𝐼 + 𝑀) ∈ (0..^𝑃))))))
767, 75sylbird 169 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁𝑀) ∈ ℕ → (𝐼 < (𝑁𝑀) → (𝐼 ∈ ℕ0 → ((𝑃 ∈ ℕ0𝑁𝑃) → (𝐼 + 𝑀) ∈ (0..^𝑃))))))
77763adant3 1002 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁) → ((𝑁𝑀) ∈ ℕ → (𝐼 < (𝑁𝑀) → (𝐼 ∈ ℕ0 → ((𝑃 ∈ ℕ0𝑁𝑃) → (𝐼 + 𝑀) ∈ (0..^𝑃))))))
7877com14 88 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∈ ℕ0 → ((𝑁𝑀) ∈ ℕ → (𝐼 < (𝑁𝑀) → ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁) → ((𝑃 ∈ ℕ0𝑁𝑃) → (𝐼 + 𝑀) ∈ (0..^𝑃))))))
79783imp 1176 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < (𝑁𝑀)) → ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁) → ((𝑃 ∈ ℕ0𝑁𝑃) → (𝐼 + 𝑀) ∈ (0..^𝑃))))
803, 79sylbi 120 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) → ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁) → ((𝑃 ∈ ℕ0𝑁𝑃) → (𝐼 + 𝑀) ∈ (0..^𝑃))))
8180com13 80 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℕ0𝑁𝑃) → ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁) → (𝐼 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) → (𝐼 + 𝑀) ∈ (0..^𝑃))))
82813adant1 1000 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑃 ∈ ℕ0𝑁𝑃) → ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁) → (𝐼 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) → (𝐼 + 𝑀) ∈ (0..^𝑃))))
832, 82sylbi 120 . . . 4 (𝑁 ∈ (0...𝑃) → ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁) → (𝐼 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) → (𝐼 + 𝑀) ∈ (0..^𝑃))))
8483com12 30 . . 3 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁) → (𝑁 ∈ (0...𝑃) → (𝐼 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) → (𝐼 + 𝑀) ∈ (0..^𝑃))))
851, 84sylbi 120 . 2 (𝑀 ∈ (0...𝑁) → (𝑁 ∈ (0...𝑃) → (𝐼 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) → (𝐼 + 𝑀) ∈ (0..^𝑃))))
8685imp 123 1 ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...𝑃)) → (𝐼 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) → (𝐼 + 𝑀) ∈ (0..^𝑃)))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∧ w3a 963   ∈ wcel 1481   class class class wbr 3938  (class class class)co 5783  ℝcr 7663  0cc0 7664   + caddc 7667   < clt 7844   ≤ cle 7845   − cmin 7977  ℕcn 8764  ℕ0cn0 9021  ℤcz 9098  ...cfz 9841  ..^cfzo 9970 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4055  ax-pow 4107  ax-pr 4140  ax-un 4364  ax-setind 4461  ax-cnex 7755  ax-resscn 7756  ax-1cn 7757  ax-1re 7758  ax-icn 7759  ax-addcl 7760  ax-addrcl 7761  ax-mulcl 7762  ax-addcom 7764  ax-addass 7766  ax-distr 7768  ax-i2m1 7769  ax-0lt1 7770  ax-0id 7772  ax-rnegex 7773  ax-cnre 7775  ax-pre-ltirr 7776  ax-pre-ltwlin 7777  ax-pre-lttrn 7778  ax-pre-ltadd 7780 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2692  df-sbc 2915  df-csb 3009  df-dif 3079  df-un 3081  df-in 3083  df-ss 3090  df-pw 3518  df-sn 3539  df-pr 3540  df-op 3542  df-uni 3746  df-int 3781  df-iun 3824  df-br 3939  df-opab 3999  df-mpt 4000  df-id 4224  df-xp 4554  df-rel 4555  df-cnv 4556  df-co 4557  df-dm 4558  df-rn 4559  df-res 4560  df-ima 4561  df-iota 5097  df-fun 5134  df-fn 5135  df-f 5136  df-fv 5140  df-riota 5739  df-ov 5786  df-oprab 5787  df-mpo 5788  df-1st 6047  df-2nd 6048  df-pnf 7846  df-mnf 7847  df-xr 7848  df-ltxr 7849  df-le 7850  df-sub 7979  df-neg 7980  df-inn 8765  df-n0 9022  df-z 9099  df-uz 9371  df-fz 9842  df-fzo 9971 This theorem is referenced by:  elfzom1elp1fzo  10030
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