Theorem elfzodifsumelfzo 10445

Description: If an integer is in a half-open range of nonnegative integers with a difference as upper bound, the sum of the integer with the subtrahend of the difference is in the a half-open range of nonnegative integers containing the minuend of the difference. (Contributed by AV, 13-Nov-2018.)

Assertion

Ref	Expression
elfzodifsumelfzo	⊢ ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...𝑃)) → (𝐼 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) → (𝐼 + 𝑀) ∈ (0..^𝑃)))

Proof of Theorem elfzodifsumelfzo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz2nn0 10346	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
2		elfz2nn0 10346	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝑃) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ 𝑃))
3		elfzo0 10420	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ↔ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < (𝑁 − 𝑀)))
4		nn0z 9498	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ ℤ)
5		nn0z 9498	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
6		znnsub 9530	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ))
7	4, 5, 6	syl2an 289	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ))
8		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐼 < (𝑁 − 𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝐼 ∈ ℕ0)
9		simpll 527	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) → 𝑀 ∈ ℕ0)
10		nn0addcl 9436	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐼 + 𝑀) ∈ ℕ0)
11	8, 9, 10	syl2anr 290	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝐼 < (𝑁 − 𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)) → (𝐼 + 𝑀) ∈ ℕ0)
12	11	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝐼 < (𝑁 − 𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ 𝑃)) → (𝐼 + 𝑀) ∈ ℕ0)
13		0red 8179	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℝ)
14		nn0re 9410	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ ℝ)
15	14	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℝ)
16		nn0re 9410	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
17	16	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
18	13, 15, 17	3jca 1203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (0 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
19	18	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) → (0 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
20		nn0ge0 9426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑀)
21	20	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 𝑀)
22	21	anim1i 340	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) → (0 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 < 𝑁))
23		lelttr 8267	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 < 𝑁) → 0 < 𝑁))
24	19, 22, 23	sylc 62	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) → 0 < 𝑁)
25	24	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 < 𝑁 → 0 < 𝑁))
26		0red 8179	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℝ)
27	16	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
28		nn0re 9410	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ0 → 𝑃 ∈ ℝ)
29	28	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ ℝ)
30		ltletr 8268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → ((0 < 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑃) → 0 < 𝑃))
31	26, 27, 29, 30	syl3anc 1273	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((0 < 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑃) → 0 < 𝑃))
32		nn0z 9498	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ0 → 𝑃 ∈ ℤ)
33		elnnz 9488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ ↔ (𝑃 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑃))
34	33	simplbi2 385	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑃 ∈ ℤ → (0 < 𝑃 → 𝑃 ∈ ℕ))
35	32, 34	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ0 → (0 < 𝑃 → 𝑃 ∈ ℕ))
36	35	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (0 < 𝑃 → 𝑃 ∈ ℕ))
37	31, 36	syld 45	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((0 < 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑃) → 𝑃 ∈ ℕ))
38	37	exp4b 367	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (0 < 𝑁 → (𝑁 ≤ 𝑃 → 𝑃 ∈ ℕ))))
39	38	com24 87	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ0 → (𝑁 ≤ 𝑃 → (0 < 𝑁 → (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑃 ∈ ℕ))))
40	39	imp 124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ 𝑃) → (0 < 𝑁 → (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑃 ∈ ℕ)))
41	40	com13 80	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (0 < 𝑁 → ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ 𝑃) → 𝑃 ∈ ℕ)))
42	41	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (0 < 𝑁 → ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ 𝑃) → 𝑃 ∈ ℕ)))
43	25, 42	syld 45	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 < 𝑁 → ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ 𝑃) → 𝑃 ∈ ℕ)))
44	43	imp 124	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) → ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ 𝑃) → 𝑃 ∈ ℕ))
45	44	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝐼 < (𝑁 − 𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)) → ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ 𝑃) → 𝑃 ∈ ℕ))
46	45	imp 124	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝐼 < (𝑁 − 𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ 𝑃)) → 𝑃 ∈ ℕ)
47		nn0re 9410	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → 𝐼 ∈ ℝ)
48	47	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐼 < (𝑁 − 𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝐼 ∈ ℝ)
49	15	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) → 𝑀 ∈ ℝ)
50		readdcl 8157	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐼 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (𝐼 + 𝑀) ∈ ℝ)
51	48, 49, 50	syl2anr 290	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝐼 < (𝑁 − 𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)) → (𝐼 + 𝑀) ∈ ℝ)
52	51	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝐼 < (𝑁 − 𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑃 ∈ ℕ0) → (𝐼 + 𝑀) ∈ ℝ)
53	17	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
54	53	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝐼 < (𝑁 − 𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)) → 𝑁 ∈ ℝ)
55	54	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝐼 < (𝑁 − 𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑃 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
56	28	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝐼 < (𝑁 − 𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑃 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ ℝ)
57	52, 55, 56	3jca 1203	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝐼 < (𝑁 − 𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑃 ∈ ℕ0) → ((𝐼 + 𝑀) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ))
58	57	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝐼 < (𝑁 − 𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑃 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ≤ 𝑃) → ((𝐼 + 𝑀) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ))
59	47	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝐼 ∈ ℝ)
60	15	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℝ)
61	17	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
62	59, 60, 61	ltaddsubd 8724	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((𝐼 + 𝑀) < 𝑁 ↔ 𝐼 < (𝑁 − 𝑀)))
63	62	exbiri 382	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐼 ∈ ℕ0 → (𝐼 < (𝑁 − 𝑀) → (𝐼 + 𝑀) < 𝑁)))
64	63	com23 78	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐼 < (𝑁 − 𝑀) → (𝐼 ∈ ℕ0 → (𝐼 + 𝑀) < 𝑁)))
65	64	impd 254	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐼 < (𝑁 − 𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (𝐼 + 𝑀) < 𝑁))
66	65	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) → ((𝐼 < (𝑁 − 𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (𝐼 + 𝑀) < 𝑁))
67	66	imp 124	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝐼 < (𝑁 − 𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)) → (𝐼 + 𝑀) < 𝑁)
68	67	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝐼 < (𝑁 − 𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑃 ∈ ℕ0) → (𝐼 + 𝑀) < 𝑁)
69	68	anim1i 340	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝐼 < (𝑁 − 𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑃 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ≤ 𝑃) → ((𝐼 + 𝑀) < 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑃))
70		ltletr 8268	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐼 + 𝑀) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → (((𝐼 + 𝑀) < 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑃) → (𝐼 + 𝑀) < 𝑃))
71	58, 69, 70	sylc 62	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝐼 < (𝑁 − 𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑃 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ≤ 𝑃) → (𝐼 + 𝑀) < 𝑃)
72	71	anasss 399	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝐼 < (𝑁 − 𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ 𝑃)) → (𝐼 + 𝑀) < 𝑃)
73		elfzo0 10420	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐼 + 𝑀) ∈ (0..^𝑃) ↔ ((𝐼 + 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ ℕ ∧ (𝐼 + 𝑀) < 𝑃))
74	12, 46, 72, 73	syl3anbrc 1207	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝐼 < (𝑁 − 𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ 𝑃)) → (𝐼 + 𝑀) ∈ (0..^𝑃))
75	74	exp53 377	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 < 𝑁 → (𝐼 < (𝑁 − 𝑀) → (𝐼 ∈ ℕ0 → ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ 𝑃) → (𝐼 + 𝑀) ∈ (0..^𝑃))))))
76	7, 75	sylbird 170	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ → (𝐼 < (𝑁 − 𝑀) → (𝐼 ∈ ℕ0 → ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ 𝑃) → (𝐼 + 𝑀) ∈ (0..^𝑃))))))
77	76	3adant3 1043	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → ((𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ → (𝐼 < (𝑁 − 𝑀) → (𝐼 ∈ ℕ0 → ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ 𝑃) → (𝐼 + 𝑀) ∈ (0..^𝑃))))))
78	77	com14 88	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ → (𝐼 < (𝑁 − 𝑀) → ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ 𝑃) → (𝐼 + 𝑀) ∈ (0..^𝑃))))))
79	78	3imp 1219	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < (𝑁 − 𝑀)) → ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ 𝑃) → (𝐼 + 𝑀) ∈ (0..^𝑃))))
80	3, 79	sylbi 121	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) → ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ 𝑃) → (𝐼 + 𝑀) ∈ (0..^𝑃))))
81	80	com13 80	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ 𝑃) → ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝐼 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) → (𝐼 + 𝑀) ∈ (0..^𝑃))))
82	81	3adant1 1041	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ 𝑃) → ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝐼 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) → (𝐼 + 𝑀) ∈ (0..^𝑃))))
83	2, 82	sylbi 121	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝑃) → ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝐼 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) → (𝐼 + 𝑀) ∈ (0..^𝑃))))
84	83	com12 30	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝑁 ∈ (0...𝑃) → (𝐼 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) → (𝐼 + 𝑀) ∈ (0..^𝑃))))
85	1, 84	sylbi 121	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → (𝑁 ∈ (0...𝑃) → (𝐼 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) → (𝐼 + 𝑀) ∈ (0..^𝑃))))
86	85	imp 124	1 ⊢ ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...𝑃)) → (𝐼 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) → (𝐼 + 𝑀) ∈ (0..^𝑃)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1004   ∈ wcel 2202   class class class wbr 4088  (class class class)co 6017  ℝcr 8030  0cc0 8031   + caddc 8034   < clt 8213   ≤ cle 8214   − cmin 8349  ℕcn 9142  ℕ₀cn0 9401  ℤcz 9478  ...cfz 10242  ..^cfzo 10376

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-addcom 8131  ax-addass 8133  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-ltadd 8147

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-inn 9143  df-n0 9402  df-z 9479  df-uz 9755  df-fz 10243  df-fzo 10377

This theorem is referenced by:  elfzom1elp1fzo  10446  swrdwrdsymbg  11244