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Theorem elfzodifsumelfzo 10200
Description: If an integer is in a half-open range of nonnegative integers with a difference as upper bound, the sum of the integer with the subtrahend of the difference is in the a half-open range of nonnegative integers containing the minuend of the difference. (Contributed by AV, 13-Nov-2018.)
Assertion
Ref Expression
elfzodifsumelfzo ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...𝑃)) → (𝐼 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) → (𝐼 + 𝑀) ∈ (0..^𝑃)))

Proof of Theorem elfzodifsumelfzo
StepHypRef Expression
1 elfz2nn0 10111 . . 3 (𝑀 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁))
2 elfz2nn0 10111 . . . . 5 (𝑁 ∈ (0...𝑃) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0𝑃 ∈ ℕ0𝑁𝑃))
3 elfzo0 10181 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↔ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < (𝑁𝑀)))
4 nn0z 9272 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℤ)
5 nn0z 9272 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ)
6 znnsub 9303 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑁𝑀) ∈ ℕ))
74, 5, 6syl2an 289 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑁𝑀) ∈ ℕ))
8 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐼 < (𝑁𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝐼 ∈ ℕ0)
9 simpll 527 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) → 𝑀 ∈ ℕ0)
10 nn0addcl 9210 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐼 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐼 + 𝑀) ∈ ℕ0)
118, 9, 10syl2anr 290 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝐼 < (𝑁𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)) → (𝐼 + 𝑀) ∈ ℕ0)
1211adantr 276 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝐼 < (𝑁𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑃 ∈ ℕ0𝑁𝑃)) → (𝐼 + 𝑀) ∈ ℕ0)
13 0red 7957 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℝ)
14 nn0re 9184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ)
1514adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℝ)
16 nn0re 9184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
1716adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
1813, 15, 173jca 1177 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (0 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
1918adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) → (0 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
20 nn0ge0 9200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑀 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑀)
2120adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 𝑀)
2221anim1i 340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) → (0 ≤ 𝑀𝑀 < 𝑁))
23 lelttr 8045 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝑀𝑀 < 𝑁) → 0 < 𝑁))
2419, 22, 23sylc 62 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) → 0 < 𝑁)
2524ex 115 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 < 𝑁 → 0 < 𝑁))
26 0red 7957 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑃 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℝ)
2716adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑃 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
28 nn0re 9184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑃 ∈ ℕ0𝑃 ∈ ℝ)
2928adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑃 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ ℝ)
30 ltletr 8046 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → ((0 < 𝑁𝑁𝑃) → 0 < 𝑃))
3126, 27, 29, 30syl3anc 1238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑃 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((0 < 𝑁𝑁𝑃) → 0 < 𝑃))
32 nn0z 9272 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑃 ∈ ℕ0𝑃 ∈ ℤ)
33 elnnz 9262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑃 ∈ ℕ ↔ (𝑃 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑃))
3433simplbi2 385 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑃 ∈ ℤ → (0 < 𝑃𝑃 ∈ ℕ))
3532, 34syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑃 ∈ ℕ0 → (0 < 𝑃𝑃 ∈ ℕ))
3635adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑃 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (0 < 𝑃𝑃 ∈ ℕ))
3731, 36syld 45 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑃 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((0 < 𝑁𝑁𝑃) → 𝑃 ∈ ℕ))
3837exp4b 367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑃 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (0 < 𝑁 → (𝑁𝑃𝑃 ∈ ℕ))))
3938com24 87 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑃 ∈ ℕ0 → (𝑁𝑃 → (0 < 𝑁 → (𝑁 ∈ ℕ0𝑃 ∈ ℕ))))
4039imp 124 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑃 ∈ ℕ0𝑁𝑃) → (0 < 𝑁 → (𝑁 ∈ ℕ0𝑃 ∈ ℕ)))
4140com13 80 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ ℕ0 → (0 < 𝑁 → ((𝑃 ∈ ℕ0𝑁𝑃) → 𝑃 ∈ ℕ)))
4241adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (0 < 𝑁 → ((𝑃 ∈ ℕ0𝑁𝑃) → 𝑃 ∈ ℕ)))
4325, 42syld 45 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 < 𝑁 → ((𝑃 ∈ ℕ0𝑁𝑃) → 𝑃 ∈ ℕ)))
4443imp 124 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) → ((𝑃 ∈ ℕ0𝑁𝑃) → 𝑃 ∈ ℕ))
4544adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝐼 < (𝑁𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)) → ((𝑃 ∈ ℕ0𝑁𝑃) → 𝑃 ∈ ℕ))
4645imp 124 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝐼 < (𝑁𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑃 ∈ ℕ0𝑁𝑃)) → 𝑃 ∈ ℕ)
47 nn0re 9184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐼 ∈ ℕ0𝐼 ∈ ℝ)
4847adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐼 < (𝑁𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝐼 ∈ ℝ)
4915adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) → 𝑀 ∈ ℝ)
50 readdcl 7936 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐼 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (𝐼 + 𝑀) ∈ ℝ)
5148, 49, 50syl2anr 290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝐼 < (𝑁𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)) → (𝐼 + 𝑀) ∈ ℝ)
5251adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝐼 < (𝑁𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑃 ∈ ℕ0) → (𝐼 + 𝑀) ∈ ℝ)
5317adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
5453adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝐼 < (𝑁𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)) → 𝑁 ∈ ℝ)
5554adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝐼 < (𝑁𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑃 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
5628adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝐼 < (𝑁𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑃 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ ℝ)
5752, 55, 563jca 1177 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝐼 < (𝑁𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑃 ∈ ℕ0) → ((𝐼 + 𝑀) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ))
5857adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝐼 < (𝑁𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑃 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝑃) → ((𝐼 + 𝑀) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ))
5947adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝐼 ∈ ℝ)
6015adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℝ)
6117adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
6259, 60, 61ltaddsubd 8501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((𝐼 + 𝑀) < 𝑁𝐼 < (𝑁𝑀)))
6362exbiri 382 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐼 ∈ ℕ0 → (𝐼 < (𝑁𝑀) → (𝐼 + 𝑀) < 𝑁)))
6463com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐼 < (𝑁𝑀) → (𝐼 ∈ ℕ0 → (𝐼 + 𝑀) < 𝑁)))
6564impd 254 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐼 < (𝑁𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (𝐼 + 𝑀) < 𝑁))
6665adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) → ((𝐼 < (𝑁𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (𝐼 + 𝑀) < 𝑁))
6766imp 124 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝐼 < (𝑁𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)) → (𝐼 + 𝑀) < 𝑁)
6867adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝐼 < (𝑁𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑃 ∈ ℕ0) → (𝐼 + 𝑀) < 𝑁)
6968anim1i 340 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝐼 < (𝑁𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑃 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝑃) → ((𝐼 + 𝑀) < 𝑁𝑁𝑃))
70 ltletr 8046 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐼 + 𝑀) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → (((𝐼 + 𝑀) < 𝑁𝑁𝑃) → (𝐼 + 𝑀) < 𝑃))
7158, 69, 70sylc 62 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝐼 < (𝑁𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑃 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝑃) → (𝐼 + 𝑀) < 𝑃)
7271anasss 399 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝐼 < (𝑁𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑃 ∈ ℕ0𝑁𝑃)) → (𝐼 + 𝑀) < 𝑃)
73 elfzo0 10181 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐼 + 𝑀) ∈ (0..^𝑃) ↔ ((𝐼 + 𝑀) ∈ ℕ0𝑃 ∈ ℕ ∧ (𝐼 + 𝑀) < 𝑃))
7412, 46, 72, 73syl3anbrc 1181 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝐼 < (𝑁𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑃 ∈ ℕ0𝑁𝑃)) → (𝐼 + 𝑀) ∈ (0..^𝑃))
7574exp53 377 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 < 𝑁 → (𝐼 < (𝑁𝑀) → (𝐼 ∈ ℕ0 → ((𝑃 ∈ ℕ0𝑁𝑃) → (𝐼 + 𝑀) ∈ (0..^𝑃))))))
767, 75sylbird 170 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁𝑀) ∈ ℕ → (𝐼 < (𝑁𝑀) → (𝐼 ∈ ℕ0 → ((𝑃 ∈ ℕ0𝑁𝑃) → (𝐼 + 𝑀) ∈ (0..^𝑃))))))
77763adant3 1017 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁) → ((𝑁𝑀) ∈ ℕ → (𝐼 < (𝑁𝑀) → (𝐼 ∈ ℕ0 → ((𝑃 ∈ ℕ0𝑁𝑃) → (𝐼 + 𝑀) ∈ (0..^𝑃))))))
7877com14 88 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∈ ℕ0 → ((𝑁𝑀) ∈ ℕ → (𝐼 < (𝑁𝑀) → ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁) → ((𝑃 ∈ ℕ0𝑁𝑃) → (𝐼 + 𝑀) ∈ (0..^𝑃))))))
79783imp 1193 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < (𝑁𝑀)) → ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁) → ((𝑃 ∈ ℕ0𝑁𝑃) → (𝐼 + 𝑀) ∈ (0..^𝑃))))
803, 79sylbi 121 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) → ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁) → ((𝑃 ∈ ℕ0𝑁𝑃) → (𝐼 + 𝑀) ∈ (0..^𝑃))))
8180com13 80 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℕ0𝑁𝑃) → ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁) → (𝐼 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) → (𝐼 + 𝑀) ∈ (0..^𝑃))))
82813adant1 1015 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑃 ∈ ℕ0𝑁𝑃) → ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁) → (𝐼 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) → (𝐼 + 𝑀) ∈ (0..^𝑃))))
832, 82sylbi 121 . . . 4 (𝑁 ∈ (0...𝑃) → ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁) → (𝐼 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) → (𝐼 + 𝑀) ∈ (0..^𝑃))))
8483com12 30 . . 3 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁) → (𝑁 ∈ (0...𝑃) → (𝐼 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) → (𝐼 + 𝑀) ∈ (0..^𝑃))))
851, 84sylbi 121 . 2 (𝑀 ∈ (0...𝑁) → (𝑁 ∈ (0...𝑃) → (𝐼 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) → (𝐼 + 𝑀) ∈ (0..^𝑃))))
8685imp 124 1 ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...𝑃)) → (𝐼 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) → (𝐼 + 𝑀) ∈ (0..^𝑃)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105  w3a 978  wcel 2148   class class class wbr 4003  (class class class)co 5874  cr 7809  0cc0 7810   + caddc 7813   < clt 7991  cle 7992  cmin 8127  cn 8918  0cn0 9175  cz 9252  ...cfz 10007  ..^cfzo 10141
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-addcom 7910  ax-addass 7912  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-ltadd 7926
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-ltxr 7996  df-le 7997  df-sub 8129  df-neg 8130  df-inn 8919  df-n0 9176  df-z 9253  df-uz 9528  df-fz 10008  df-fzo 10142
This theorem is referenced by:  elfzom1elp1fzo  10201
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