Theorem elfzodifsumelfzo 9871

Description: If an integer is in a half-open range of nonnegative integers with a difference as upper bound, the sum of the integer with the subtrahend of the difference is in the a half-open range of nonnegative integers containing the minuend of the difference. (Contributed by AV, 13-Nov-2018.)

Assertion

Ref	Expression
elfzodifsumelfzo	⊢ ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...𝑃)) → (𝐼 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) → (𝐼 + 𝑀) ∈ (0..^𝑃)))

Proof of Theorem elfzodifsumelfzo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz2nn0 9785	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
2		elfz2nn0 9785	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝑃) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ 𝑃))
3		elfzo0 9852	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ↔ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < (𝑁 − 𝑀)))
4		nn0z 8978	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ ℤ)
5		nn0z 8978	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
6		znnsub 9009	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ))
7	4, 5, 6	syl2an 285	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ))
8		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐼 < (𝑁 − 𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝐼 ∈ ℕ0)
9		simpll 501	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) → 𝑀 ∈ ℕ0)
10		nn0addcl 8916	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐼 + 𝑀) ∈ ℕ0)
11	8, 9, 10	syl2anr 286	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝐼 < (𝑁 − 𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)) → (𝐼 + 𝑀) ∈ ℕ0)
12	11	adantr 272	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝐼 < (𝑁 − 𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ 𝑃)) → (𝐼 + 𝑀) ∈ ℕ0)
13		0red 7691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℝ)
14		nn0re 8890	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ ℝ)
15	14	adantr 272	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℝ)
16		nn0re 8890	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
17	16	adantl 273	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
18	13, 15, 17	3jca 1144	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (0 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
19	18	adantr 272	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) → (0 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
20		nn0ge0 8906	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑀)
21	20	adantr 272	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 𝑀)
22	21	anim1i 336	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) → (0 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 < 𝑁))
23		lelttr 7775	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 < 𝑁) → 0 < 𝑁))
24	19, 22, 23	sylc 62	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) → 0 < 𝑁)
25	24	ex 114	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 < 𝑁 → 0 < 𝑁))
26		0red 7691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℝ)
27	16	adantl 273	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
28		nn0re 8890	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ0 → 𝑃 ∈ ℝ)
29	28	adantr 272	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ ℝ)
30		ltletr 7776	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → ((0 < 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑃) → 0 < 𝑃))
31	26, 27, 29, 30	syl3anc 1199	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((0 < 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑃) → 0 < 𝑃))
32		nn0z 8978	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ0 → 𝑃 ∈ ℤ)
33		elnnz 8968	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ ↔ (𝑃 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑃))
34	33	simplbi2 380	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑃 ∈ ℤ → (0 < 𝑃 → 𝑃 ∈ ℕ))
35	32, 34	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ0 → (0 < 𝑃 → 𝑃 ∈ ℕ))
36	35	adantr 272	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (0 < 𝑃 → 𝑃 ∈ ℕ))
37	31, 36	syld 45	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((0 < 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑃) → 𝑃 ∈ ℕ))
38	37	exp4b 362	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (0 < 𝑁 → (𝑁 ≤ 𝑃 → 𝑃 ∈ ℕ))))
39	38	com24 87	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ0 → (𝑁 ≤ 𝑃 → (0 < 𝑁 → (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑃 ∈ ℕ))))
40	39	imp 123	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ 𝑃) → (0 < 𝑁 → (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑃 ∈ ℕ)))
41	40	com13 80	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (0 < 𝑁 → ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ 𝑃) → 𝑃 ∈ ℕ)))
42	41	adantl 273	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (0 < 𝑁 → ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ 𝑃) → 𝑃 ∈ ℕ)))
43	25, 42	syld 45	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 < 𝑁 → ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ 𝑃) → 𝑃 ∈ ℕ)))
44	43	imp 123	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) → ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ 𝑃) → 𝑃 ∈ ℕ))
45	44	adantr 272	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝐼 < (𝑁 − 𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)) → ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ 𝑃) → 𝑃 ∈ ℕ))
46	45	imp 123	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝐼 < (𝑁 − 𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ 𝑃)) → 𝑃 ∈ ℕ)
47		nn0re 8890	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → 𝐼 ∈ ℝ)
48	47	adantl 273	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐼 < (𝑁 − 𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝐼 ∈ ℝ)
49	15	adantr 272	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) → 𝑀 ∈ ℝ)
50		readdcl 7670	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐼 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (𝐼 + 𝑀) ∈ ℝ)
51	48, 49, 50	syl2anr 286	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝐼 < (𝑁 − 𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)) → (𝐼 + 𝑀) ∈ ℝ)
52	51	adantr 272	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝐼 < (𝑁 − 𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑃 ∈ ℕ0) → (𝐼 + 𝑀) ∈ ℝ)
53	17	adantr 272	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
54	53	adantr 272	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝐼 < (𝑁 − 𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)) → 𝑁 ∈ ℝ)
55	54	adantr 272	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝐼 < (𝑁 − 𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑃 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
56	28	adantl 273	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝐼 < (𝑁 − 𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑃 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ ℝ)
57	52, 55, 56	3jca 1144	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝐼 < (𝑁 − 𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑃 ∈ ℕ0) → ((𝐼 + 𝑀) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ))
58	57	adantr 272	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝐼 < (𝑁 − 𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑃 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ≤ 𝑃) → ((𝐼 + 𝑀) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ))
59	47	adantl 273	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝐼 ∈ ℝ)
60	15	adantr 272	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℝ)
61	17	adantr 272	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
62	59, 60, 61	ltaddsubd 8225	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((𝐼 + 𝑀) < 𝑁 ↔ 𝐼 < (𝑁 − 𝑀)))
63	62	exbiri 377	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐼 ∈ ℕ0 → (𝐼 < (𝑁 − 𝑀) → (𝐼 + 𝑀) < 𝑁)))
64	63	com23 78	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐼 < (𝑁 − 𝑀) → (𝐼 ∈ ℕ0 → (𝐼 + 𝑀) < 𝑁)))
65	64	impd 252	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐼 < (𝑁 − 𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (𝐼 + 𝑀) < 𝑁))
66	65	adantr 272	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) → ((𝐼 < (𝑁 − 𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (𝐼 + 𝑀) < 𝑁))
67	66	imp 123	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝐼 < (𝑁 − 𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)) → (𝐼 + 𝑀) < 𝑁)
68	67	adantr 272	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝐼 < (𝑁 − 𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑃 ∈ ℕ0) → (𝐼 + 𝑀) < 𝑁)
69	68	anim1i 336	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝐼 < (𝑁 − 𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑃 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ≤ 𝑃) → ((𝐼 + 𝑀) < 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑃))
70		ltletr 7776	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐼 + 𝑀) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → (((𝐼 + 𝑀) < 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑃) → (𝐼 + 𝑀) < 𝑃))
71	58, 69, 70	sylc 62	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝐼 < (𝑁 − 𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑃 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ≤ 𝑃) → (𝐼 + 𝑀) < 𝑃)
72	71	anasss 394	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝐼 < (𝑁 − 𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ 𝑃)) → (𝐼 + 𝑀) < 𝑃)
73		elfzo0 9852	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐼 + 𝑀) ∈ (0..^𝑃) ↔ ((𝐼 + 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ ℕ ∧ (𝐼 + 𝑀) < 𝑃))
74	12, 46, 72, 73	syl3anbrc 1148	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝐼 < (𝑁 − 𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ 𝑃)) → (𝐼 + 𝑀) ∈ (0..^𝑃))
75	74	exp53 372	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 < 𝑁 → (𝐼 < (𝑁 − 𝑀) → (𝐼 ∈ ℕ0 → ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ 𝑃) → (𝐼 + 𝑀) ∈ (0..^𝑃))))))
76	7, 75	sylbird 169	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ → (𝐼 < (𝑁 − 𝑀) → (𝐼 ∈ ℕ0 → ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ 𝑃) → (𝐼 + 𝑀) ∈ (0..^𝑃))))))
77	76	3adant3 984	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → ((𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ → (𝐼 < (𝑁 − 𝑀) → (𝐼 ∈ ℕ0 → ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ 𝑃) → (𝐼 + 𝑀) ∈ (0..^𝑃))))))
78	77	com14 88	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ → (𝐼 < (𝑁 − 𝑀) → ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ 𝑃) → (𝐼 + 𝑀) ∈ (0..^𝑃))))))
79	78	3imp 1158	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < (𝑁 − 𝑀)) → ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ 𝑃) → (𝐼 + 𝑀) ∈ (0..^𝑃))))
80	3, 79	sylbi 120	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) → ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ 𝑃) → (𝐼 + 𝑀) ∈ (0..^𝑃))))
81	80	com13 80	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ 𝑃) → ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝐼 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) → (𝐼 + 𝑀) ∈ (0..^𝑃))))
82	81	3adant1 982	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ 𝑃) → ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝐼 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) → (𝐼 + 𝑀) ∈ (0..^𝑃))))
83	2, 82	sylbi 120	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝑃) → ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝐼 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) → (𝐼 + 𝑀) ∈ (0..^𝑃))))
84	83	com12 30	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝑁 ∈ (0...𝑃) → (𝐼 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) → (𝐼 + 𝑀) ∈ (0..^𝑃))))
85	1, 84	sylbi 120	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → (𝑁 ∈ (0...𝑃) → (𝐼 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) → (𝐼 + 𝑀) ∈ (0..^𝑃))))
86	85	imp 123	1 ⊢ ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...𝑃)) → (𝐼 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) → (𝐼 + 𝑀) ∈ (0..^𝑃)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∧ w3a 945   ∈ wcel 1463   class class class wbr 3895  (class class class)co 5728  ℝcr 7546  0cc0 7547   + caddc 7550   < clt 7724   ≤ cle 7725   − cmin 7856  ℕcn 8630  ℕ₀cn0 8881  ℤcz 8958  ...cfz 9683  ..^cfzo 9812

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4006  ax-pow 4058  ax-pr 4091  ax-un 4315  ax-setind 4412  ax-cnex 7636  ax-resscn 7637  ax-1cn 7638  ax-1re 7639  ax-icn 7640  ax-addcl 7641  ax-addrcl 7642  ax-mulcl 7643  ax-addcom 7645  ax-addass 7647  ax-distr 7649  ax-i2m1 7650  ax-0lt1 7651  ax-0id 7653  ax-rnegex 7654  ax-cnre 7656  ax-pre-ltirr 7657  ax-pre-ltwlin 7658  ax-pre-lttrn 7659  ax-pre-ltadd 7661

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ne 2283  df-nel 2378  df-ral 2395  df-rex 2396  df-reu 2397  df-rab 2399  df-v 2659  df-sbc 2879  df-csb 2972  df-dif 3039  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-uni 3703  df-int 3738  df-iun 3781  df-br 3896  df-opab 3950  df-mpt 3951  df-id 4175  df-xp 4505  df-rel 4506  df-cnv 4507  df-co 4508  df-dm 4509  df-rn 4510  df-res 4511  df-ima 4512  df-iota 5046  df-fun 5083  df-fn 5084  df-f 5085  df-fv 5089  df-riota 5684  df-ov 5731  df-oprab 5732  df-mpo 5733  df-1st 5992  df-2nd 5993  df-pnf 7726  df-mnf 7727  df-xr 7728  df-ltxr 7729  df-le 7730  df-sub 7858  df-neg 7859  df-inn 8631  df-n0 8882  df-z 8959  df-uz 9229  df-fz 9684  df-fzo 9813

This theorem is referenced by:  elfzom1elp1fzo  9872