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Theorem elfzodifsumelfzo 9577
Description: If an integer is in a half-open range of nonnegative integers with a difference as upper bound, the sum of the integer with the subtrahend of the difference is in the a half-open range of nonnegative integers containing the minuend of the difference. (Contributed by AV, 13-Nov-2018.)
Assertion
Ref Expression
elfzodifsumelfzo ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...𝑃)) → (𝐼 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) → (𝐼 + 𝑀) ∈ (0..^𝑃)))

Proof of Theorem elfzodifsumelfzo
StepHypRef Expression
1 elfz2nn0 9493 . . 3 (𝑀 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁))
2 elfz2nn0 9493 . . . . 5 (𝑁 ∈ (0...𝑃) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0𝑃 ∈ ℕ0𝑁𝑃))
3 elfzo0 9558 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↔ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < (𝑁𝑀)))
4 nn0z 8740 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℤ)
5 nn0z 8740 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ)
6 znnsub 8771 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑁𝑀) ∈ ℕ))
74, 5, 6syl2an 283 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑁𝑀) ∈ ℕ))
8 simpr 108 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐼 < (𝑁𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝐼 ∈ ℕ0)
9 simpll 496 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) → 𝑀 ∈ ℕ0)
10 nn0addcl 8678 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐼 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐼 + 𝑀) ∈ ℕ0)
118, 9, 10syl2anr 284 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝐼 < (𝑁𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)) → (𝐼 + 𝑀) ∈ ℕ0)
1211adantr 270 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝐼 < (𝑁𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑃 ∈ ℕ0𝑁𝑃)) → (𝐼 + 𝑀) ∈ ℕ0)
13 0red 7468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℝ)
14 nn0re 8652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ)
1514adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℝ)
16 nn0re 8652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
1716adantl 271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
1813, 15, 173jca 1123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (0 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
1918adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) → (0 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
20 nn0ge0 8668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑀 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑀)
2120adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 𝑀)
2221anim1i 333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) → (0 ≤ 𝑀𝑀 < 𝑁))
23 lelttr 7552 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝑀𝑀 < 𝑁) → 0 < 𝑁))
2419, 22, 23sylc 61 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) → 0 < 𝑁)
2524ex 113 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 < 𝑁 → 0 < 𝑁))
26 0red 7468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑃 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℝ)
2716adantl 271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑃 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
28 nn0re 8652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑃 ∈ ℕ0𝑃 ∈ ℝ)
2928adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑃 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ ℝ)
30 ltletr 7553 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → ((0 < 𝑁𝑁𝑃) → 0 < 𝑃))
3126, 27, 29, 30syl3anc 1174 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑃 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((0 < 𝑁𝑁𝑃) → 0 < 𝑃))
32 nn0z 8740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑃 ∈ ℕ0𝑃 ∈ ℤ)
33 elnnz 8730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑃 ∈ ℕ ↔ (𝑃 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑃))
3433simplbi2 377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑃 ∈ ℤ → (0 < 𝑃𝑃 ∈ ℕ))
3532, 34syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑃 ∈ ℕ0 → (0 < 𝑃𝑃 ∈ ℕ))
3635adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑃 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (0 < 𝑃𝑃 ∈ ℕ))
3731, 36syld 44 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑃 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((0 < 𝑁𝑁𝑃) → 𝑃 ∈ ℕ))
3837exp4b 359 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑃 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (0 < 𝑁 → (𝑁𝑃𝑃 ∈ ℕ))))
3938com24 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑃 ∈ ℕ0 → (𝑁𝑃 → (0 < 𝑁 → (𝑁 ∈ ℕ0𝑃 ∈ ℕ))))
4039imp 122 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑃 ∈ ℕ0𝑁𝑃) → (0 < 𝑁 → (𝑁 ∈ ℕ0𝑃 ∈ ℕ)))
4140com13 79 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ ℕ0 → (0 < 𝑁 → ((𝑃 ∈ ℕ0𝑁𝑃) → 𝑃 ∈ ℕ)))
4241adantl 271 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (0 < 𝑁 → ((𝑃 ∈ ℕ0𝑁𝑃) → 𝑃 ∈ ℕ)))
4325, 42syld 44 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 < 𝑁 → ((𝑃 ∈ ℕ0𝑁𝑃) → 𝑃 ∈ ℕ)))
4443imp 122 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) → ((𝑃 ∈ ℕ0𝑁𝑃) → 𝑃 ∈ ℕ))
4544adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝐼 < (𝑁𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)) → ((𝑃 ∈ ℕ0𝑁𝑃) → 𝑃 ∈ ℕ))
4645imp 122 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝐼 < (𝑁𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑃 ∈ ℕ0𝑁𝑃)) → 𝑃 ∈ ℕ)
47 nn0re 8652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐼 ∈ ℕ0𝐼 ∈ ℝ)
4847adantl 271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐼 < (𝑁𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝐼 ∈ ℝ)
4915adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) → 𝑀 ∈ ℝ)
50 readdcl 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐼 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (𝐼 + 𝑀) ∈ ℝ)
5148, 49, 50syl2anr 284 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝐼 < (𝑁𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)) → (𝐼 + 𝑀) ∈ ℝ)
5251adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝐼 < (𝑁𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑃 ∈ ℕ0) → (𝐼 + 𝑀) ∈ ℝ)
5317adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
5453adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝐼 < (𝑁𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)) → 𝑁 ∈ ℝ)
5554adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝐼 < (𝑁𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑃 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
5628adantl 271 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝐼 < (𝑁𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑃 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ ℝ)
5752, 55, 563jca 1123 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝐼 < (𝑁𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑃 ∈ ℕ0) → ((𝐼 + 𝑀) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ))
5857adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝐼 < (𝑁𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑃 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝑃) → ((𝐼 + 𝑀) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ))
5947adantl 271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝐼 ∈ ℝ)
6015adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℝ)
6117adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
6259, 60, 61ltaddsubd 7998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((𝐼 + 𝑀) < 𝑁𝐼 < (𝑁𝑀)))
6362exbiri 374 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐼 ∈ ℕ0 → (𝐼 < (𝑁𝑀) → (𝐼 + 𝑀) < 𝑁)))
6463com23 77 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐼 < (𝑁𝑀) → (𝐼 ∈ ℕ0 → (𝐼 + 𝑀) < 𝑁)))
6564impd 251 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐼 < (𝑁𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (𝐼 + 𝑀) < 𝑁))
6665adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) → ((𝐼 < (𝑁𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (𝐼 + 𝑀) < 𝑁))
6766imp 122 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝐼 < (𝑁𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)) → (𝐼 + 𝑀) < 𝑁)
6867adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝐼 < (𝑁𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑃 ∈ ℕ0) → (𝐼 + 𝑀) < 𝑁)
6968anim1i 333 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝐼 < (𝑁𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑃 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝑃) → ((𝐼 + 𝑀) < 𝑁𝑁𝑃))
70 ltletr 7553 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐼 + 𝑀) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → (((𝐼 + 𝑀) < 𝑁𝑁𝑃) → (𝐼 + 𝑀) < 𝑃))
7158, 69, 70sylc 61 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝐼 < (𝑁𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑃 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝑃) → (𝐼 + 𝑀) < 𝑃)
7271anasss 391 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝐼 < (𝑁𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑃 ∈ ℕ0𝑁𝑃)) → (𝐼 + 𝑀) < 𝑃)
73 elfzo0 9558 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐼 + 𝑀) ∈ (0..^𝑃) ↔ ((𝐼 + 𝑀) ∈ ℕ0𝑃 ∈ ℕ ∧ (𝐼 + 𝑀) < 𝑃))
7412, 46, 72, 73syl3anbrc 1127 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝐼 < (𝑁𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑃 ∈ ℕ0𝑁𝑃)) → (𝐼 + 𝑀) ∈ (0..^𝑃))
7574exp53 369 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 < 𝑁 → (𝐼 < (𝑁𝑀) → (𝐼 ∈ ℕ0 → ((𝑃 ∈ ℕ0𝑁𝑃) → (𝐼 + 𝑀) ∈ (0..^𝑃))))))
767, 75sylbird 168 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁𝑀) ∈ ℕ → (𝐼 < (𝑁𝑀) → (𝐼 ∈ ℕ0 → ((𝑃 ∈ ℕ0𝑁𝑃) → (𝐼 + 𝑀) ∈ (0..^𝑃))))))
77763adant3 963 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁) → ((𝑁𝑀) ∈ ℕ → (𝐼 < (𝑁𝑀) → (𝐼 ∈ ℕ0 → ((𝑃 ∈ ℕ0𝑁𝑃) → (𝐼 + 𝑀) ∈ (0..^𝑃))))))
7877com14 87 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∈ ℕ0 → ((𝑁𝑀) ∈ ℕ → (𝐼 < (𝑁𝑀) → ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁) → ((𝑃 ∈ ℕ0𝑁𝑃) → (𝐼 + 𝑀) ∈ (0..^𝑃))))))
79783imp 1137 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < (𝑁𝑀)) → ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁) → ((𝑃 ∈ ℕ0𝑁𝑃) → (𝐼 + 𝑀) ∈ (0..^𝑃))))
803, 79sylbi 119 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) → ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁) → ((𝑃 ∈ ℕ0𝑁𝑃) → (𝐼 + 𝑀) ∈ (0..^𝑃))))
8180com13 79 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℕ0𝑁𝑃) → ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁) → (𝐼 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) → (𝐼 + 𝑀) ∈ (0..^𝑃))))
82813adant1 961 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑃 ∈ ℕ0𝑁𝑃) → ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁) → (𝐼 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) → (𝐼 + 𝑀) ∈ (0..^𝑃))))
832, 82sylbi 119 . . . 4 (𝑁 ∈ (0...𝑃) → ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁) → (𝐼 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) → (𝐼 + 𝑀) ∈ (0..^𝑃))))
8483com12 30 . . 3 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁) → (𝑁 ∈ (0...𝑃) → (𝐼 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) → (𝐼 + 𝑀) ∈ (0..^𝑃))))
851, 84sylbi 119 . 2 (𝑀 ∈ (0...𝑁) → (𝑁 ∈ (0...𝑃) → (𝐼 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) → (𝐼 + 𝑀) ∈ (0..^𝑃))))
8685imp 122 1 ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...𝑃)) → (𝐼 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) → (𝐼 + 𝑀) ∈ (0..^𝑃)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wb 103  w3a 924  wcel 1438   class class class wbr 3837  (class class class)co 5634  cr 7328  0cc0 7329   + caddc 7332   < clt 7501  cle 7502  cmin 7632  cn 8394  0cn0 8643  cz 8720  ...cfz 9393  ..^cfzo 9518
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-cnex 7415  ax-resscn 7416  ax-1cn 7417  ax-1re 7418  ax-icn 7419  ax-addcl 7420  ax-addrcl 7421  ax-mulcl 7422  ax-addcom 7424  ax-addass 7426  ax-distr 7428  ax-i2m1 7429  ax-0lt1 7430  ax-0id 7432  ax-rnegex 7433  ax-cnre 7435  ax-pre-ltirr 7436  ax-pre-ltwlin 7437  ax-pre-lttrn 7438  ax-pre-ltadd 7440
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-csb 2932  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-iun 3727  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-id 4111  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-fv 5010  df-riota 5590  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-1st 5893  df-2nd 5894  df-pnf 7503  df-mnf 7504  df-xr 7505  df-ltxr 7506  df-le 7507  df-sub 7634  df-neg 7635  df-inn 8395  df-n0 8644  df-z 8721  df-uz 8989  df-fz 9394  df-fzo 9519
This theorem is referenced by:  elfzom1elp1fzo  9578
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