Theorem peano2nn0 9608

Description: Second Peano postulate for nonnegative integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
peano2nn0	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem peano2nn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 9584	. 2 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		nn0addcl 9603	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
3	1, 2	mpan2 429	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2209  (class class class)co 6085  1c1 8181   + caddc 8183  ℕ₀cn0 9568

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-addcom 8280  ax-addass 8282  ax-i2m1 8285  ax-0id 8288

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-iota 5337  df-fv 5385  df-ov 6088  df-inn 9308  df-n0 9569

This theorem is used by:  peano2z  9685  nn0split  10554  fzonn0p1p1  10642  elfzom1p1elfzo  10643  frecfzennn  10878  leexp2r  11045  facdiv  11192  facwordi  11194  faclbnd  11195  faclbnd2  11196  faclbnd3  11197  faclbnd6  11198  bcnp1n  11213  bcp1m1  11219  bcpasc  11220  hashfz  11278  hashf1  11303  ffz0iswrdnn0  11347  pfxccatpfx2  11525  pfxccat3a  11526  bcxmas  12275  geolim  12297  geo2sum  12300  mertenslemub  12320  mertenslemi1  12321  mertenslem2  12322  mertensabs  12323  efcllemp  12444  eftlub  12476  efsep  12477  effsumlt  12478  nn0ob  12694  nn0oddm1d2  12695  bitsp1  12737  nn0seqcvgd  12838  algcvg  12845  pwbdvdseulemle  12965  2sqpwodd  12975  nonsq  13006  pcprendvds  13092  pcpremul  13095  pcdvdsb  13122  4sqlem11  13203  ennnfonelemp1  13349  ennnfonelemkh  13355  ennnfonelemim  13367  gsump1  14241  assamulgscmlem2  15126  elply2  15927  plyaddlem1  15939  plymullem1  15940  plycoeid3  15949  plycolemc  15950  dvply1  15957  dvply2g  15958  perfectlem1  16260  bcp1ctr  16267  2lgslem3d1  16385  clwwlknonex2lem2  16845  eupth2lemsfi  16885