Theorem peano2nn0 9536

Description: Second Peano postulate for nonnegative integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
peano2nn0	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem peano2nn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 9512	. 2 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		nn0addcl 9531	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
3	1, 2	mpan2 425	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2203  (class class class)co 6050  1c1 8128   + caddc 8130  ℕ₀cn0 9496

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-addcom 8227  ax-addass 8229  ax-i2m1 8232  ax-0id 8235

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-rab 2529  df-v 2815  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-br 4110  df-iota 5312  df-fv 5360  df-ov 6053  df-inn 9238  df-n0 9497

This theorem is referenced by:  peano2z  9613  nn0split  10470  fzonn0p1p1  10558  elfzom1p1elfzo  10559  frecfzennn  10788  leexp2r  10955  facdiv  11100  facwordi  11102  faclbnd  11103  faclbnd2  11104  faclbnd3  11105  faclbnd6  11106  bcnp1n  11121  bcp1m1  11127  bcpasc  11128  hashfz  11186  ffz0iswrdnn0  11251  pfxccatpfx2  11429  pfxccat3a  11430  bcxmas  12175  geolim  12197  geo2sum  12200  mertenslemub  12220  mertenslemi1  12221  mertenslem2  12222  mertensabs  12223  efcllemp  12344  eftlub  12376  efsep  12377  effsumlt  12378  nn0ob  12594  nn0oddm1d2  12595  bitsp1  12637  nn0seqcvgd  12738  algcvg  12745  pw2dvdseulemle  12864  2sqpwodd  12873  nonsq  12904  pcprendvds  12988  pcpremul  12991  pcdvdsb  13018  4sqlem11  13099  ennnfonelemp1  13157  ennnfonelemkh  13163  ennnfonelemim  13175  elply2  15600  plyaddlem1  15612  plymullem1  15613  plycoeid3  15622  plycolemc  15623  dvply1  15630  dvply2g  15631  perfectlem1  15867  2lgslem3d1  15973  clwwlknonex2lem2  16433  eupth2lemsfi  16473  gfsump1  16868