Theorem peano2nn0 9291

Description: Second Peano postulate for nonnegative integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
peano2nn0	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem peano2nn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 9267	. 2 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		nn0addcl 9286	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
3	1, 2	mpan2 425	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2167  (class class class)co 5923  1c1 7882   + caddc 7884  ℕ₀cn0 9251

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-cnex 7972  ax-resscn 7973  ax-1cn 7974  ax-1re 7975  ax-icn 7976  ax-addcl 7977  ax-addrcl 7978  ax-mulcl 7979  ax-addcom 7981  ax-addass 7983  ax-i2m1 7986  ax-0id 7989

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-iota 5220  df-fv 5267  df-ov 5926  df-inn 8993  df-n0 9252

This theorem is referenced by:  peano2z  9364  nn0split  10213  fzonn0p1p1  10291  elfzom1p1elfzo  10292  frecfzennn  10520  leexp2r  10687  facdiv  10832  facwordi  10834  faclbnd  10835  faclbnd2  10836  faclbnd3  10837  faclbnd6  10838  bcnp1n  10853  bcp1m1  10859  bcpasc  10860  hashfz  10915  bcxmas  11656  geolim  11678  geo2sum  11681  mertenslemub  11701  mertenslemi1  11702  mertenslem2  11703  mertensabs  11704  efcllemp  11825  eftlub  11857  efsep  11858  effsumlt  11859  nn0ob  12075  nn0oddm1d2  12076  bitsp1  12118  nn0seqcvgd  12219  algcvg  12226  pw2dvdseulemle  12345  2sqpwodd  12354  nonsq  12385  pcprendvds  12469  pcpremul  12472  pcdvdsb  12499  4sqlem11  12580  ennnfonelemp1  12633  ennnfonelemkh  12639  ennnfonelemim  12651  elply2  14981  plyaddlem1  14993  plymullem1  14994  plycoeid3  15003  plycolemc  15004  dvply1  15011  dvply2g  15012  perfectlem1  15245  2lgslem3d1  15351