Theorem peano2nn0 9614

Description: Second Peano postulate for nonnegative integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
peano2nn0	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem peano2nn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 9590	. 2 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		nn0addcl 9609	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
3	1, 2	mpan2 429	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2209  (class class class)co 6088  1c1 8186   + caddc 8188  ℕ₀cn0 9574

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-addass 8287  ax-i2m1 8290  ax-0id 8293

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-iota 5340  df-fv 5388  df-ov 6091  df-inn 9314  df-n0 9575

This theorem is used by:  peano2z  9691  nn0split  10560  fzonn0p1p1  10648  elfzom1p1elfzo  10649  frecfzennn  10884  leexp2r  11051  facdiv  11198  facwordi  11200  faclbnd  11201  faclbnd2  11202  faclbnd3  11203  faclbnd6  11204  bcnp1n  11219  bcp1m1  11225  bcpasc  11226  hashfz  11284  hashf1  11309  ffz0iswrdnn0  11353  pfxccatpfx2  11531  pfxccat3a  11532  bcxmas  12281  geolim  12303  geo2sum  12306  mertenslemub  12326  mertenslemi1  12327  mertenslem2  12328  mertensabs  12329  efcllemp  12450  eftlub  12482  efsep  12483  effsumlt  12484  nn0ob  12700  nn0oddm1d2  12701  bitsp1  12743  nn0seqcvgd  12844  algcvg  12851  pwbdvdseulemle  12971  2sqpwodd  12981  nonsq  13012  pcprendvds  13098  pcpremul  13101  pcdvdsb  13128  4sqlem11  13209  ennnfonelemp1  13355  ennnfonelemkh  13361  ennnfonelemim  13373  gsump1  14247  assamulgscmlem2  15151  elply2  15961  plyaddlem1  15973  plymullem1  15974  plycoeid3  15983  plycolemc  15984  dvply1  15991  dvply2g  15992  perfectlem1  16299  bcp1ctr  16306  2lgslem3d1  16424  clwwlknonex2lem2  16884  eupth2lemsfi  16924