Theorem peano2nn0 9582

Description: Second Peano postulate for nonnegative integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
peano2nn0	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem peano2nn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 9558	. 2 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		nn0addcl 9577	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
3	1, 2	mpan2 429	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2209  (class class class)co 6075  1c1 8170   + caddc 8172  ℕ₀cn0 9542

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-addass 8271  ax-i2m1 8274  ax-0id 8277

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-br 4126  df-iota 5332  df-fv 5380  df-ov 6078  df-inn 9284  df-n0 9543

This theorem is referenced by:  peano2z  9659  nn0split  10521  fzonn0p1p1  10609  elfzom1p1elfzo  10610  frecfzennn  10841  leexp2r  11008  facdiv  11154  facwordi  11156  faclbnd  11157  faclbnd2  11158  faclbnd3  11159  faclbnd6  11160  bcnp1n  11175  bcp1m1  11181  bcpasc  11182  hashfz  11240  hashf1  11265  ffz0iswrdnn0  11309  pfxccatpfx2  11487  pfxccat3a  11488  bcxmas  12234  geolim  12256  geo2sum  12259  mertenslemub  12279  mertenslemi1  12280  mertenslem2  12281  mertensabs  12282  efcllemp  12403  eftlub  12435  efsep  12436  effsumlt  12437  nn0ob  12653  nn0oddm1d2  12654  bitsp1  12696  nn0seqcvgd  12797  algcvg  12804  pw2dvdseulemle  12923  2sqpwodd  12932  nonsq  12963  pcprendvds  13047  pcpremul  13050  pcdvdsb  13077  4sqlem11  13158  ennnfonelemp1  13275  ennnfonelemkh  13281  ennnfonelemim  13293  gsump1  14134  elply2  15759  plyaddlem1  15771  plymullem1  15772  plycoeid3  15781  plycolemc  15782  dvply1  15789  dvply2g  15790  perfectlem1  16027  2lgslem3d1  16133  clwwlknonex2lem2  16593  eupth2lemsfi  16633