Theorem peano2nn0 9442

Description: Second Peano postulate for nonnegative integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
peano2nn0	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem peano2nn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 9418	. 2 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		nn0addcl 9437	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
3	1, 2	mpan2 425	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2202  (class class class)co 6018  1c1 8033   + caddc 8035  ℕ₀cn0 9402

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-addcom 8132  ax-addass 8134  ax-i2m1 8137  ax-0id 8140

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-iota 5286  df-fv 5334  df-ov 6021  df-inn 9144  df-n0 9403

This theorem is referenced by:  peano2z  9515  nn0split  10371  fzonn0p1p1  10458  elfzom1p1elfzo  10459  frecfzennn  10688  leexp2r  10855  facdiv  11000  facwordi  11002  faclbnd  11003  faclbnd2  11004  faclbnd3  11005  faclbnd6  11006  bcnp1n  11021  bcp1m1  11027  bcpasc  11028  hashfz  11085  ffz0iswrdnn0  11140  pfxccatpfx2  11318  pfxccat3a  11319  bcxmas  12051  geolim  12073  geo2sum  12076  mertenslemub  12096  mertenslemi1  12097  mertenslem2  12098  mertensabs  12099  efcllemp  12220  eftlub  12252  efsep  12253  effsumlt  12254  nn0ob  12470  nn0oddm1d2  12471  bitsp1  12513  nn0seqcvgd  12614  algcvg  12621  pw2dvdseulemle  12740  2sqpwodd  12749  nonsq  12780  pcprendvds  12864  pcpremul  12867  pcdvdsb  12894  4sqlem11  12975  ennnfonelemp1  13028  ennnfonelemkh  13034  ennnfonelemim  13046  elply2  15461  plyaddlem1  15473  plymullem1  15474  plycoeid3  15483  plycolemc  15484  dvply1  15491  dvply2g  15492  perfectlem1  15725  2lgslem3d1  15831  clwwlknonex2lem2  16291  gfsump1  16689