Theorem peano2nn0 9229

Description: Second Peano postulate for nonnegative integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
peano2nn0	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem peano2nn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 9205	. 2 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		nn0addcl 9224	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
3	1, 2	mpan2 425	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2158  (class class class)co 5888  1c1 7825   + caddc 7827  ℕ₀cn0 9189

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1cn 7917  ax-1re 7918  ax-icn 7919  ax-addcl 7920  ax-addrcl 7921  ax-mulcl 7922  ax-addcom 7924  ax-addass 7926  ax-i2m1 7929  ax-0id 7932

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-nf 1471  df-sb 1773  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ral 2470  df-rex 2471  df-rab 2474  df-v 2751  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-br 4016  df-iota 5190  df-fv 5236  df-ov 5891  df-inn 8933  df-n0 9190

This theorem is referenced by:  peano2z  9302  nn0split  10149  fzonn0p1p1  10226  elfzom1p1elfzo  10227  frecfzennn  10439  leexp2r  10587  facdiv  10731  facwordi  10733  faclbnd  10734  faclbnd2  10735  faclbnd3  10736  faclbnd6  10737  bcnp1n  10752  bcp1m1  10758  bcpasc  10759  hashfz  10814  bcxmas  11510  geolim  11532  geo2sum  11535  mertenslemub  11555  mertenslemi1  11556  mertenslem2  11557  mertensabs  11558  efcllemp  11679  eftlub  11711  efsep  11712  effsumlt  11713  nn0ob  11926  nn0oddm1d2  11927  nn0seqcvgd  12054  algcvg  12061  pw2dvdseulemle  12180  2sqpwodd  12189  nonsq  12220  pcprendvds  12303  pcpremul  12306  pcdvdsb  12332  ennnfonelemp1  12420  ennnfonelemkh  12426  ennnfonelemim  12438