Theorem peano2nn0 9280

Description: Second Peano postulate for nonnegative integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
peano2nn0	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem peano2nn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 9256	. 2 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		nn0addcl 9275	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
3	1, 2	mpan2 425	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2164  (class class class)co 5918  1c1 7873   + caddc 7875  ℕ₀cn0 9240

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-i2m1 7977  ax-0id 7980

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-br 4030  df-iota 5215  df-fv 5262  df-ov 5921  df-inn 8983  df-n0 9241

This theorem is referenced by:  peano2z  9353  nn0split  10202  fzonn0p1p1  10280  elfzom1p1elfzo  10281  frecfzennn  10497  leexp2r  10664  facdiv  10809  facwordi  10811  faclbnd  10812  faclbnd2  10813  faclbnd3  10814  faclbnd6  10815  bcnp1n  10830  bcp1m1  10836  bcpasc  10837  hashfz  10892  bcxmas  11632  geolim  11654  geo2sum  11657  mertenslemub  11677  mertenslemi1  11678  mertenslem2  11679  mertensabs  11680  efcllemp  11801  eftlub  11833  efsep  11834  effsumlt  11835  nn0ob  12049  nn0oddm1d2  12050  nn0seqcvgd  12179  algcvg  12186  pw2dvdseulemle  12305  2sqpwodd  12314  nonsq  12345  pcprendvds  12428  pcpremul  12431  pcdvdsb  12458  4sqlem11  12539  ennnfonelemp1  12563  ennnfonelemkh  12569  ennnfonelemim  12581  elply2  14881  plyaddlem1  14893  plymullem1  14894