Theorem peano2nn0 9308

Description: Second Peano postulate for nonnegative integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
peano2nn0	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem peano2nn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 9284	. 2 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		nn0addcl 9303	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
3	1, 2	mpan2 425	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2167  (class class class)co 5925  1c1 7899   + caddc 7901  ℕ₀cn0 9268

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-cnex 7989  ax-resscn 7990  ax-1cn 7991  ax-1re 7992  ax-icn 7993  ax-addcl 7994  ax-addrcl 7995  ax-mulcl 7996  ax-addcom 7998  ax-addass 8000  ax-i2m1 8003  ax-0id 8006

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-iota 5220  df-fv 5267  df-ov 5928  df-inn 9010  df-n0 9269

This theorem is referenced by:  peano2z  9381  nn0split  10230  fzonn0p1p1  10308  elfzom1p1elfzo  10309  frecfzennn  10537  leexp2r  10704  facdiv  10849  facwordi  10851  faclbnd  10852  faclbnd2  10853  faclbnd3  10854  faclbnd6  10855  bcnp1n  10870  bcp1m1  10876  bcpasc  10877  hashfz  10932  bcxmas  11673  geolim  11695  geo2sum  11698  mertenslemub  11718  mertenslemi1  11719  mertenslem2  11720  mertensabs  11721  efcllemp  11842  eftlub  11874  efsep  11875  effsumlt  11876  nn0ob  12092  nn0oddm1d2  12093  bitsp1  12135  nn0seqcvgd  12236  algcvg  12243  pw2dvdseulemle  12362  2sqpwodd  12371  nonsq  12402  pcprendvds  12486  pcpremul  12489  pcdvdsb  12516  4sqlem11  12597  ennnfonelemp1  12650  ennnfonelemkh  12656  ennnfonelemim  12668  elply2  15079  plyaddlem1  15091  plymullem1  15092  plycoeid3  15101  plycolemc  15102  dvply1  15109  dvply2g  15110  perfectlem1  15343  2lgslem3d1  15449