Theorem peano2nn0 8921

Description: Second Peano postulate for nonnegative integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
peano2nn0	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem peano2nn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 8897	. 2 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		nn0addcl 8916	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
3	1, 2	mpan2 419	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1463  (class class class)co 5728  1c1 7548   + caddc 7550  ℕ₀cn0 8881

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4006  ax-cnex 7636  ax-resscn 7637  ax-1cn 7638  ax-1re 7639  ax-icn 7640  ax-addcl 7641  ax-addrcl 7642  ax-mulcl 7643  ax-addcom 7645  ax-addass 7647  ax-i2m1 7650  ax-0id 7653

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-nf 1420  df-sb 1719  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ral 2395  df-rex 2396  df-rab 2399  df-v 2659  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-uni 3703  df-int 3738  df-br 3896  df-iota 5046  df-fv 5089  df-ov 5731  df-inn 8631  df-n0 8882

This theorem is referenced by:  peano2z  8994  nn0split  9806  fzonn0p1p1  9883  elfzom1p1elfzo  9884  frecfzennn  10092  leexp2r  10240  facdiv  10377  facwordi  10379  faclbnd  10380  faclbnd2  10381  faclbnd3  10382  faclbnd6  10383  bcnp1n  10398  bcp1m1  10404  bcpasc  10405  hashfz  10460  bcxmas  11150  geolim  11172  geo2sum  11175  mertenslemub  11195  mertenslemi1  11196  mertenslem2  11197  mertensabs  11198  efcllemp  11215  eftlub  11247  efsep  11248  effsumlt  11249  nn0ob  11453  nn0oddm1d2  11454  nn0seqcvgd  11568  algcvg  11575  pw2dvdseulemle  11690  2sqpwodd  11699  nonsq  11730  ennnfonelemp1  11764  ennnfonelemkh  11770  ennnfonelemim  11782