Theorem peano2nn0 9235

Description: Second Peano postulate for nonnegative integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
peano2nn0	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem peano2nn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 9211	. 2 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		nn0addcl 9230	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
3	1, 2	mpan2 425	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2160  (class class class)co 5891  1c1 7831   + caddc 7833  ℕ₀cn0 9195

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-cnex 7921  ax-resscn 7922  ax-1cn 7923  ax-1re 7924  ax-icn 7925  ax-addcl 7926  ax-addrcl 7927  ax-mulcl 7928  ax-addcom 7930  ax-addass 7932  ax-i2m1 7935  ax-0id 7938

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-rab 2477  df-v 2754  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-br 4019  df-iota 5193  df-fv 5239  df-ov 5894  df-inn 8939  df-n0 9196

This theorem is referenced by:  peano2z  9308  nn0split  10155  fzonn0p1p1  10232  elfzom1p1elfzo  10233  frecfzennn  10445  leexp2r  10593  facdiv  10737  facwordi  10739  faclbnd  10740  faclbnd2  10741  faclbnd3  10742  faclbnd6  10743  bcnp1n  10758  bcp1m1  10764  bcpasc  10765  hashfz  10820  bcxmas  11516  geolim  11538  geo2sum  11541  mertenslemub  11561  mertenslemi1  11562  mertenslem2  11563  mertensabs  11564  efcllemp  11685  eftlub  11717  efsep  11718  effsumlt  11719  nn0ob  11932  nn0oddm1d2  11933  nn0seqcvgd  12060  algcvg  12067  pw2dvdseulemle  12186  2sqpwodd  12195  nonsq  12226  pcprendvds  12309  pcpremul  12312  pcdvdsb  12338  4sqlem11  12415  ennnfonelemp1  12431  ennnfonelemkh  12437  ennnfonelemim  12449