Theorem peano2nn0 9334

Description: Second Peano postulate for nonnegative integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
peano2nn0	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem peano2nn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 9310	. 2 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		nn0addcl 9329	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
3	1, 2	mpan2 425	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2175  (class class class)co 5943  1c1 7925   + caddc 7927  ℕ₀cn0 9294

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-cnex 8015  ax-resscn 8016  ax-1cn 8017  ax-1re 8018  ax-icn 8019  ax-addcl 8020  ax-addrcl 8021  ax-mulcl 8022  ax-addcom 8024  ax-addass 8026  ax-i2m1 8029  ax-0id 8032

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-nf 1483  df-sb 1785  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ral 2488  df-rex 2489  df-rab 2492  df-v 2773  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-br 4044  df-iota 5231  df-fv 5278  df-ov 5946  df-inn 9036  df-n0 9295

This theorem is referenced by:  peano2z  9407  nn0split  10257  fzonn0p1p1  10340  elfzom1p1elfzo  10341  frecfzennn  10569  leexp2r  10736  facdiv  10881  facwordi  10883  faclbnd  10884  faclbnd2  10885  faclbnd3  10886  faclbnd6  10887  bcnp1n  10902  bcp1m1  10908  bcpasc  10909  hashfz  10964  bcxmas  11742  geolim  11764  geo2sum  11767  mertenslemub  11787  mertenslemi1  11788  mertenslem2  11789  mertensabs  11790  efcllemp  11911  eftlub  11943  efsep  11944  effsumlt  11945  nn0ob  12161  nn0oddm1d2  12162  bitsp1  12204  nn0seqcvgd  12305  algcvg  12312  pw2dvdseulemle  12431  2sqpwodd  12440  nonsq  12471  pcprendvds  12555  pcpremul  12558  pcdvdsb  12585  4sqlem11  12666  ennnfonelemp1  12719  ennnfonelemkh  12725  ennnfonelemim  12737  elply2  15149  plyaddlem1  15161  plymullem1  15162  plycoeid3  15171  plycolemc  15172  dvply1  15179  dvply2g  15180  perfectlem1  15413  2lgslem3d1  15519