Theorem peano2nn0 9289

Description: Second Peano postulate for nonnegative integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
peano2nn0	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem peano2nn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 9265	. 2 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		nn0addcl 9284	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
3	1, 2	mpan2 425	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2167  (class class class)co 5922  1c1 7880   + caddc 7882  ℕ₀cn0 9249

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-addcom 7979  ax-addass 7981  ax-i2m1 7984  ax-0id 7987

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-br 4034  df-iota 5219  df-fv 5266  df-ov 5925  df-inn 8991  df-n0 9250

This theorem is referenced by:  peano2z  9362  nn0split  10211  fzonn0p1p1  10289  elfzom1p1elfzo  10290  frecfzennn  10518  leexp2r  10685  facdiv  10830  facwordi  10832  faclbnd  10833  faclbnd2  10834  faclbnd3  10835  faclbnd6  10836  bcnp1n  10851  bcp1m1  10857  bcpasc  10858  hashfz  10913  bcxmas  11654  geolim  11676  geo2sum  11679  mertenslemub  11699  mertenslemi1  11700  mertenslem2  11701  mertensabs  11702  efcllemp  11823  eftlub  11855  efsep  11856  effsumlt  11857  nn0ob  12073  nn0oddm1d2  12074  bitsp1  12115  nn0seqcvgd  12209  algcvg  12216  pw2dvdseulemle  12335  2sqpwodd  12344  nonsq  12375  pcprendvds  12459  pcpremul  12462  pcdvdsb  12489  4sqlem11  12570  ennnfonelemp1  12623  ennnfonelemkh  12629  ennnfonelemim  12641  elply2  14971  plyaddlem1  14983  plymullem1  14984  plycoeid3  14993  plycolemc  14994  dvply1  15001  dvply2g  15002  perfectlem1  15235  2lgslem3d1  15341