Theorem peano2nn0 9607

Description: Second Peano postulate for nonnegative integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
peano2nn0	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem peano2nn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 9583	. 2 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		nn0addcl 9602	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
3	1, 2	mpan2 429	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2209  (class class class)co 6085  1c1 8180   + caddc 8182  ℕ₀cn0 9567

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-i2m1 8284  ax-0id 8287

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-iota 5337  df-fv 5385  df-ov 6088  df-inn 9307  df-n0 9568

This theorem is used by:  peano2z  9684  nn0split  10553  fzonn0p1p1  10641  elfzom1p1elfzo  10642  frecfzennn  10876  leexp2r  11043  facdiv  11190  facwordi  11192  faclbnd  11193  faclbnd2  11194  faclbnd3  11195  faclbnd6  11196  bcnp1n  11211  bcp1m1  11217  bcpasc  11218  hashfz  11276  hashf1  11301  ffz0iswrdnn0  11345  pfxccatpfx2  11523  pfxccat3a  11524  bcxmas  12272  geolim  12294  geo2sum  12297  mertenslemub  12317  mertenslemi1  12318  mertenslem2  12319  mertensabs  12320  efcllemp  12441  eftlub  12473  efsep  12474  effsumlt  12475  nn0ob  12691  nn0oddm1d2  12692  bitsp1  12734  nn0seqcvgd  12835  algcvg  12842  pwbdvdseulemle  12962  2sqpwodd  12972  nonsq  13003  pcprendvds  13089  pcpremul  13092  pcdvdsb  13119  4sqlem11  13200  ennnfonelemp1  13346  ennnfonelemkh  13352  ennnfonelemim  13364  gsump1  14206  assamulgscmlem2  15091  elply2  15885  plyaddlem1  15897  plymullem1  15898  plycoeid3  15907  plycolemc  15908  dvply1  15915  dvply2g  15916  perfectlem1  16197  bcp1ctr  16204  2lgslem3d1  16317  clwwlknonex2lem2  16777  eupth2lemsfi  16817