Theorem peano2nn0 9230

Description: Second Peano postulate for nonnegative integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
peano2nn0	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem peano2nn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 9206	. 2 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		nn0addcl 9225	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
3	1, 2	mpan2 425	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2158  (class class class)co 5888  1c1 7826   + caddc 7828  ℕ₀cn0 9190

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-cnex 7916  ax-resscn 7917  ax-1cn 7918  ax-1re 7919  ax-icn 7920  ax-addcl 7921  ax-addrcl 7922  ax-mulcl 7923  ax-addcom 7925  ax-addass 7927  ax-i2m1 7930  ax-0id 7933

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-nf 1471  df-sb 1773  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ral 2470  df-rex 2471  df-rab 2474  df-v 2751  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-br 4016  df-iota 5190  df-fv 5236  df-ov 5891  df-inn 8934  df-n0 9191

This theorem is referenced by:  peano2z  9303  nn0split  10150  fzonn0p1p1  10227  elfzom1p1elfzo  10228  frecfzennn  10440  leexp2r  10588  facdiv  10732  facwordi  10734  faclbnd  10735  faclbnd2  10736  faclbnd3  10737  faclbnd6  10738  bcnp1n  10753  bcp1m1  10759  bcpasc  10760  hashfz  10815  bcxmas  11511  geolim  11533  geo2sum  11536  mertenslemub  11556  mertenslemi1  11557  mertenslem2  11558  mertensabs  11559  efcllemp  11680  eftlub  11712  efsep  11713  effsumlt  11714  nn0ob  11927  nn0oddm1d2  11928  nn0seqcvgd  12055  algcvg  12062  pw2dvdseulemle  12181  2sqpwodd  12190  nonsq  12221  pcprendvds  12304  pcpremul  12307  pcdvdsb  12333  ennnfonelemp1  12421  ennnfonelemkh  12427  ennnfonelemim  12439