Theorem peano2nn0 9150

Description: Second Peano postulate for nonnegative integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
peano2nn0	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem peano2nn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 9126	. 2 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		nn0addcl 9145	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
3	1, 2	mpan2 422	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2136  (class class class)co 5841  1c1 7750   + caddc 7752  ℕ₀cn0 9110

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-ext 2147  ax-sep 4099  ax-cnex 7840  ax-resscn 7841  ax-1cn 7842  ax-1re 7843  ax-icn 7844  ax-addcl 7845  ax-addrcl 7846  ax-mulcl 7847  ax-addcom 7849  ax-addass 7851  ax-i2m1 7854  ax-0id 7857

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2296  df-ral 2448  df-rex 2449  df-rab 2452  df-v 2727  df-un 3119  df-in 3121  df-ss 3128  df-sn 3581  df-pr 3582  df-op 3584  df-uni 3789  df-int 3824  df-br 3982  df-iota 5152  df-fv 5195  df-ov 5844  df-inn 8854  df-n0 9111

This theorem is referenced by:  peano2z  9223  nn0split  10067  fzonn0p1p1  10144  elfzom1p1elfzo  10145  frecfzennn  10357  leexp2r  10505  facdiv  10647  facwordi  10649  faclbnd  10650  faclbnd2  10651  faclbnd3  10652  faclbnd6  10653  bcnp1n  10668  bcp1m1  10674  bcpasc  10675  hashfz  10730  bcxmas  11426  geolim  11448  geo2sum  11451  mertenslemub  11471  mertenslemi1  11472  mertenslem2  11473  mertensabs  11474  efcllemp  11595  eftlub  11627  efsep  11628  effsumlt  11629  nn0ob  11841  nn0oddm1d2  11842  nn0seqcvgd  11969  algcvg  11976  pw2dvdseulemle  12095  2sqpwodd  12104  nonsq  12135  pcprendvds  12218  pcpremul  12221  pcdvdsb  12247  ennnfonelemp1  12335  ennnfonelemkh  12341  ennnfonelemim  12353