Theorem peano2nn0 9603

Description: Second Peano postulate for nonnegative integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
peano2nn0	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem peano2nn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 9579	. 2 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		nn0addcl 9598	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
3	1, 2	mpan2 429	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2209  (class class class)co 6085  1c1 8180   + caddc 8182  ℕ₀cn0 9563

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-i2m1 8284  ax-0id 8287

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-iota 5337  df-fv 5385  df-ov 6088  df-inn 9305  df-n0 9564

This theorem is used by:  peano2z  9680  nn0split  10543  fzonn0p1p1  10631  elfzom1p1elfzo  10632  frecfzennn  10863  leexp2r  11030  facdiv  11176  facwordi  11178  faclbnd  11179  faclbnd2  11180  faclbnd3  11181  faclbnd6  11182  bcnp1n  11197  bcp1m1  11203  bcpasc  11204  hashfz  11262  hashf1  11287  ffz0iswrdnn0  11331  pfxccatpfx2  11509  pfxccat3a  11510  bcxmas  12256  geolim  12278  geo2sum  12281  mertenslemub  12301  mertenslemi1  12302  mertenslem2  12303  mertensabs  12304  efcllemp  12425  eftlub  12457  efsep  12458  effsumlt  12459  nn0ob  12675  nn0oddm1d2  12676  bitsp1  12718  nn0seqcvgd  12819  algcvg  12826  pw2dvdseulemle  12945  2sqpwodd  12954  nonsq  12985  pcprendvds  13069  pcpremul  13072  pcdvdsb  13099  4sqlem11  13180  ennnfonelemp1  13297  ennnfonelemkh  13303  ennnfonelemim  13315  gsump1  14157  assamulgscmlem2  15042  elply2  15836  plyaddlem1  15848  plymullem1  15849  plycoeid3  15858  plycolemc  15859  dvply1  15866  dvply2g  15867  perfectlem1  16113  2lgslem3d1  16219  clwwlknonex2lem2  16679  eupth2lemsfi  16719