Theorem peano2nn0 9175

Description: Second Peano postulate for nonnegative integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
peano2nn0	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem peano2nn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 9151	. 2 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		nn0addcl 9170	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
3	1, 2	mpan2 423	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2141  (class class class)co 5853  1c1 7775   + caddc 7777  ℕ₀cn0 9135

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-addcom 7874  ax-addass 7876  ax-i2m1 7879  ax-0id 7882

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-br 3990  df-iota 5160  df-fv 5206  df-ov 5856  df-inn 8879  df-n0 9136

This theorem is referenced by:  peano2z  9248  nn0split  10092  fzonn0p1p1  10169  elfzom1p1elfzo  10170  frecfzennn  10382  leexp2r  10530  facdiv  10672  facwordi  10674  faclbnd  10675  faclbnd2  10676  faclbnd3  10677  faclbnd6  10678  bcnp1n  10693  bcp1m1  10699  bcpasc  10700  hashfz  10756  bcxmas  11452  geolim  11474  geo2sum  11477  mertenslemub  11497  mertenslemi1  11498  mertenslem2  11499  mertensabs  11500  efcllemp  11621  eftlub  11653  efsep  11654  effsumlt  11655  nn0ob  11867  nn0oddm1d2  11868  nn0seqcvgd  11995  algcvg  12002  pw2dvdseulemle  12121  2sqpwodd  12130  nonsq  12161  pcprendvds  12244  pcpremul  12247  pcdvdsb  12273  ennnfonelemp1  12361  ennnfonelemkh  12367  ennnfonelemim  12379