Theorem peano2nn0 9283

Description: Second Peano postulate for nonnegative integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
peano2nn0	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem peano2nn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 9259	. 2 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		nn0addcl 9278	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
3	1, 2	mpan2 425	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2164  (class class class)co 5919  1c1 7875   + caddc 7877  ℕ₀cn0 9243

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-addcom 7974  ax-addass 7976  ax-i2m1 7979  ax-0id 7982

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-br 4031  df-iota 5216  df-fv 5263  df-ov 5922  df-inn 8985  df-n0 9244

This theorem is referenced by:  peano2z  9356  nn0split  10205  fzonn0p1p1  10283  elfzom1p1elfzo  10284  frecfzennn  10500  leexp2r  10667  facdiv  10812  facwordi  10814  faclbnd  10815  faclbnd2  10816  faclbnd3  10817  faclbnd6  10818  bcnp1n  10833  bcp1m1  10839  bcpasc  10840  hashfz  10895  bcxmas  11635  geolim  11657  geo2sum  11660  mertenslemub  11680  mertenslemi1  11681  mertenslem2  11682  mertensabs  11683  efcllemp  11804  eftlub  11836  efsep  11837  effsumlt  11838  nn0ob  12052  nn0oddm1d2  12053  nn0seqcvgd  12182  algcvg  12189  pw2dvdseulemle  12308  2sqpwodd  12317  nonsq  12348  pcprendvds  12431  pcpremul  12434  pcdvdsb  12461  4sqlem11  12542  ennnfonelemp1  12566  ennnfonelemkh  12572  ennnfonelemim  12584  elply2  14914  plyaddlem1  14926  plymullem1  14927  plycolemc  14936  dvply1  14943  2lgslem3d1  15257