ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  sqrt2irr GIF version

Theorem sqrt2irr 11874
Description: The square root of 2 is not rational. That is, for any rational number, (√‘2) does not equal it. However, if we were to say "the square root of 2 is irrational" that would mean something stronger: "for any rational number, (√‘2) is apart from it" (the two statements are equivalent given excluded middle). See sqrt2irrap 11892 for the proof that the square root of two is irrational.

The proof's core is proven in sqrt2irrlem 11873, which shows that if 𝐴 / 𝐵 = √(2), then 𝐴 and 𝐵 are even, so 𝐴 / 2 and 𝐵 / 2 are smaller representatives, which is absurd. (Contributed by NM, 8-Jan-2002.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)

Assertion
Ref Expression
sqrt2irr (√‘2) ∉ ℚ

Proof of Theorem sqrt2irr
Dummy variables 𝑥 𝑛 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 peano2nn 8755 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℕ → (𝑦 + 1) ∈ ℕ)
2 breq2 3940 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 1 → (𝑧 < 𝑛𝑧 < 1))
32imbi1d 230 . . . . . . . 8 (𝑛 = 1 → ((𝑧 < 𝑛 → ∀𝑥 ∈ ℤ (√‘2) ≠ (𝑥 / 𝑧)) ↔ (𝑧 < 1 → ∀𝑥 ∈ ℤ (√‘2) ≠ (𝑥 / 𝑧))))
43ralbidv 2438 . . . . . . 7 (𝑛 = 1 → (∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 < 𝑛 → ∀𝑥 ∈ ℤ (√‘2) ≠ (𝑥 / 𝑧)) ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 < 1 → ∀𝑥 ∈ ℤ (√‘2) ≠ (𝑥 / 𝑧))))
5 breq2 3940 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑦 → (𝑧 < 𝑛𝑧 < 𝑦))
65imbi1d 230 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑦 → ((𝑧 < 𝑛 → ∀𝑥 ∈ ℤ (√‘2) ≠ (𝑥 / 𝑧)) ↔ (𝑧 < 𝑦 → ∀𝑥 ∈ ℤ (√‘2) ≠ (𝑥 / 𝑧))))
76ralbidv 2438 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑦 → (∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 < 𝑛 → ∀𝑥 ∈ ℤ (√‘2) ≠ (𝑥 / 𝑧)) ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 < 𝑦 → ∀𝑥 ∈ ℤ (√‘2) ≠ (𝑥 / 𝑧))))
8 breq2 3940 . . . . . . . . 9 (𝑛 = (𝑦 + 1) → (𝑧 < 𝑛𝑧 < (𝑦 + 1)))
98imbi1d 230 . . . . . . . 8 (𝑛 = (𝑦 + 1) → ((𝑧 < 𝑛 → ∀𝑥 ∈ ℤ (√‘2) ≠ (𝑥 / 𝑧)) ↔ (𝑧 < (𝑦 + 1) → ∀𝑥 ∈ ℤ (√‘2) ≠ (𝑥 / 𝑧))))
109ralbidv 2438 . . . . . . 7 (𝑛 = (𝑦 + 1) → (∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 < 𝑛 → ∀𝑥 ∈ ℤ (√‘2) ≠ (𝑥 / 𝑧)) ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 < (𝑦 + 1) → ∀𝑥 ∈ ℤ (√‘2) ≠ (𝑥 / 𝑧))))
11 nnnlt1 8769 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ℕ → ¬ 𝑧 < 1)
1211pm2.21d 609 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 < 1 → ∀𝑥 ∈ ℤ (√‘2) ≠ (𝑥 / 𝑧)))
1312rgen 2488 . . . . . . 7 𝑧 ∈ ℕ (𝑧 < 1 → ∀𝑥 ∈ ℤ (√‘2) ≠ (𝑥 / 𝑧))
14 nnrp 9479 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℝ+)
15 rphalflt 9499 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℝ+ → (𝑦 / 2) < 𝑦)
1614, 15syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℕ → (𝑦 / 2) < 𝑦)
17 breq1 3939 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 = (𝑦 / 2) → (𝑧 < 𝑦 ↔ (𝑦 / 2) < 𝑦))
18 oveq2 5789 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 = (𝑦 / 2) → (𝑥 / 𝑧) = (𝑥 / (𝑦 / 2)))
1918neeq2d 2328 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 = (𝑦 / 2) → ((√‘2) ≠ (𝑥 / 𝑧) ↔ (√‘2) ≠ (𝑥 / (𝑦 / 2))))
2019ralbidv 2438 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 = (𝑦 / 2) → (∀𝑥 ∈ ℤ (√‘2) ≠ (𝑥 / 𝑧) ↔ ∀𝑥 ∈ ℤ (√‘2) ≠ (𝑥 / (𝑦 / 2))))
2117, 20imbi12d 233 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = (𝑦 / 2) → ((𝑧 < 𝑦 → ∀𝑥 ∈ ℤ (√‘2) ≠ (𝑥 / 𝑧)) ↔ ((𝑦 / 2) < 𝑦 → ∀𝑥 ∈ ℤ (√‘2) ≠ (𝑥 / (𝑦 / 2)))))
2221rspcv 2788 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 / 2) ∈ ℕ → (∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 < 𝑦 → ∀𝑥 ∈ ℤ (√‘2) ≠ (𝑥 / 𝑧)) → ((𝑦 / 2) < 𝑦 → ∀𝑥 ∈ ℤ (√‘2) ≠ (𝑥 / (𝑦 / 2)))))
2322com13 80 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 / 2) < 𝑦 → (∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 < 𝑦 → ∀𝑥 ∈ ℤ (√‘2) ≠ (𝑥 / 𝑧)) → ((𝑦 / 2) ∈ ℕ → ∀𝑥 ∈ ℤ (√‘2) ≠ (𝑥 / (𝑦 / 2)))))
2416, 23syl 14 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℕ → (∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 < 𝑦 → ∀𝑥 ∈ ℤ (√‘2) ≠ (𝑥 / 𝑧)) → ((𝑦 / 2) ∈ ℕ → ∀𝑥 ∈ ℤ (√‘2) ≠ (𝑥 / (𝑦 / 2)))))
25 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (√‘2) = (𝑧 / 𝑦)) → (√‘2) = (𝑧 / 𝑦))
26 zcn 9082 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧 ∈ ℤ → 𝑧 ∈ ℂ)
2726ad2antlr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (√‘2) = (𝑧 / 𝑦)) → 𝑧 ∈ ℂ)
28 nncn 8751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℂ)
2928ad2antrr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (√‘2) = (𝑧 / 𝑦)) → 𝑦 ∈ ℂ)
30 2cnd 8816 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (√‘2) = (𝑧 / 𝑦)) → 2 ∈ ℂ)
31 nnap0 8772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 # 0)
3231ad2antrr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (√‘2) = (𝑧 / 𝑦)) → 𝑦 # 0)
33 2ap0 8836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 # 0
3433a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (√‘2) = (𝑧 / 𝑦)) → 2 # 0)
3527, 29, 30, 32, 34divcanap7d 8602 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (√‘2) = (𝑧 / 𝑦)) → ((𝑧 / 2) / (𝑦 / 2)) = (𝑧 / 𝑦))
3625, 35eqtr4d 2176 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (√‘2) = (𝑧 / 𝑦)) → (√‘2) = ((𝑧 / 2) / (𝑦 / 2)))
37 simplr 520 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (√‘2) = (𝑧 / 𝑦)) → 𝑧 ∈ ℤ)
38 simpll 519 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (√‘2) = (𝑧 / 𝑦)) → 𝑦 ∈ ℕ)
3937, 38, 25sqrt2irrlem 11873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (√‘2) = (𝑧 / 𝑦)) → ((𝑧 / 2) ∈ ℤ ∧ (𝑦 / 2) ∈ ℕ))
4039simprd 113 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (√‘2) = (𝑧 / 𝑦)) → (𝑦 / 2) ∈ ℕ)
4139simpld 111 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (√‘2) = (𝑧 / 𝑦)) → (𝑧 / 2) ∈ ℤ)
42 oveq1 5788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = (𝑧 / 2) → (𝑥 / (𝑦 / 2)) = ((𝑧 / 2) / (𝑦 / 2)))
4342neeq2d 2328 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = (𝑧 / 2) → ((√‘2) ≠ (𝑥 / (𝑦 / 2)) ↔ (√‘2) ≠ ((𝑧 / 2) / (𝑦 / 2))))
4443rspcv 2788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑧 / 2) ∈ ℤ → (∀𝑥 ∈ ℤ (√‘2) ≠ (𝑥 / (𝑦 / 2)) → (√‘2) ≠ ((𝑧 / 2) / (𝑦 / 2))))
4541, 44syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (√‘2) = (𝑧 / 𝑦)) → (∀𝑥 ∈ ℤ (√‘2) ≠ (𝑥 / (𝑦 / 2)) → (√‘2) ≠ ((𝑧 / 2) / (𝑦 / 2))))
4640, 45embantd 56 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (√‘2) = (𝑧 / 𝑦)) → (((𝑦 / 2) ∈ ℕ → ∀𝑥 ∈ ℤ (√‘2) ≠ (𝑥 / (𝑦 / 2))) → (√‘2) ≠ ((𝑧 / 2) / (𝑦 / 2))))
4746necon2bd 2367 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (√‘2) = (𝑧 / 𝑦)) → ((√‘2) = ((𝑧 / 2) / (𝑦 / 2)) → ¬ ((𝑦 / 2) ∈ ℕ → ∀𝑥 ∈ ℤ (√‘2) ≠ (𝑥 / (𝑦 / 2)))))
4836, 47mpd 13 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (√‘2) = (𝑧 / 𝑦)) → ¬ ((𝑦 / 2) ∈ ℕ → ∀𝑥 ∈ ℤ (√‘2) ≠ (𝑥 / (𝑦 / 2))))
4948ex 114 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((√‘2) = (𝑧 / 𝑦) → ¬ ((𝑦 / 2) ∈ ℕ → ∀𝑥 ∈ ℤ (√‘2) ≠ (𝑥 / (𝑦 / 2)))))
5049necon2ad 2366 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (((𝑦 / 2) ∈ ℕ → ∀𝑥 ∈ ℤ (√‘2) ≠ (𝑥 / (𝑦 / 2))) → (√‘2) ≠ (𝑧 / 𝑦)))
5150ralrimdva 2515 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℕ → (((𝑦 / 2) ∈ ℕ → ∀𝑥 ∈ ℤ (√‘2) ≠ (𝑥 / (𝑦 / 2))) → ∀𝑧 ∈ ℤ (√‘2) ≠ (𝑧 / 𝑦)))
5224, 51syld 45 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℕ → (∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 < 𝑦 → ∀𝑥 ∈ ℤ (√‘2) ≠ (𝑥 / 𝑧)) → ∀𝑧 ∈ ℤ (√‘2) ≠ (𝑧 / 𝑦)))
53 oveq1 5788 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 / 𝑦) = (𝑧 / 𝑦))
5453neeq2d 2328 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑧 → ((√‘2) ≠ (𝑥 / 𝑦) ↔ (√‘2) ≠ (𝑧 / 𝑦)))
5554cbvralv 2657 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑥 ∈ ℤ (√‘2) ≠ (𝑥 / 𝑦) ↔ ∀𝑧 ∈ ℤ (√‘2) ≠ (𝑧 / 𝑦))
5652, 55syl6ibr 161 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℕ → (∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 < 𝑦 → ∀𝑥 ∈ ℤ (√‘2) ≠ (𝑥 / 𝑧)) → ∀𝑥 ∈ ℤ (√‘2) ≠ (𝑥 / 𝑦)))
57 oveq2 5789 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝑦 → (𝑥 / 𝑧) = (𝑥 / 𝑦))
5857neeq2d 2328 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝑦 → ((√‘2) ≠ (𝑥 / 𝑧) ↔ (√‘2) ≠ (𝑥 / 𝑦)))
5958ralbidv 2438 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑦 → (∀𝑥 ∈ ℤ (√‘2) ≠ (𝑥 / 𝑧) ↔ ∀𝑥 ∈ ℤ (√‘2) ≠ (𝑥 / 𝑦)))
6059ceqsralv 2720 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℕ → (∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 = 𝑦 → ∀𝑥 ∈ ℤ (√‘2) ≠ (𝑥 / 𝑧)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℤ (√‘2) ≠ (𝑥 / 𝑦)))
6156, 60sylibrd 168 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℕ → (∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 < 𝑦 → ∀𝑥 ∈ ℤ (√‘2) ≠ (𝑥 / 𝑧)) → ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 = 𝑦 → ∀𝑥 ∈ ℤ (√‘2) ≠ (𝑥 / 𝑧))))
6261ancld 323 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℕ → (∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 < 𝑦 → ∀𝑥 ∈ ℤ (√‘2) ≠ (𝑥 / 𝑧)) → (∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 < 𝑦 → ∀𝑥 ∈ ℤ (√‘2) ≠ (𝑥 / 𝑧)) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 = 𝑦 → ∀𝑥 ∈ ℤ (√‘2) ≠ (𝑥 / 𝑧)))))
63 nnleltp1 9136 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑧𝑦𝑧 < (𝑦 + 1)))
64 nnz 9096 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 ∈ ℕ → 𝑧 ∈ ℤ)
65 nnz 9096 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℤ)
66 zleloe 9124 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑧𝑦 ↔ (𝑧 < 𝑦𝑧 = 𝑦)))
6764, 65, 66syl2an 287 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑧𝑦 ↔ (𝑧 < 𝑦𝑧 = 𝑦)))
6863, 67bitr3d 189 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑧 < (𝑦 + 1) ↔ (𝑧 < 𝑦𝑧 = 𝑦)))
6968ancoms 266 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (𝑧 < (𝑦 + 1) ↔ (𝑧 < 𝑦𝑧 = 𝑦)))
7069imbi1d 230 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → ((𝑧 < (𝑦 + 1) → ∀𝑥 ∈ ℤ (√‘2) ≠ (𝑥 / 𝑧)) ↔ ((𝑧 < 𝑦𝑧 = 𝑦) → ∀𝑥 ∈ ℤ (√‘2) ≠ (𝑥 / 𝑧))))
71 jaob 700 . . . . . . . . . . 11 (((𝑧 < 𝑦𝑧 = 𝑦) → ∀𝑥 ∈ ℤ (√‘2) ≠ (𝑥 / 𝑧)) ↔ ((𝑧 < 𝑦 → ∀𝑥 ∈ ℤ (√‘2) ≠ (𝑥 / 𝑧)) ∧ (𝑧 = 𝑦 → ∀𝑥 ∈ ℤ (√‘2) ≠ (𝑥 / 𝑧))))
7270, 71syl6bb 195 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → ((𝑧 < (𝑦 + 1) → ∀𝑥 ∈ ℤ (√‘2) ≠ (𝑥 / 𝑧)) ↔ ((𝑧 < 𝑦 → ∀𝑥 ∈ ℤ (√‘2) ≠ (𝑥 / 𝑧)) ∧ (𝑧 = 𝑦 → ∀𝑥 ∈ ℤ (√‘2) ≠ (𝑥 / 𝑧)))))
7372ralbidva 2434 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℕ → (∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 < (𝑦 + 1) → ∀𝑥 ∈ ℤ (√‘2) ≠ (𝑥 / 𝑧)) ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ ((𝑧 < 𝑦 → ∀𝑥 ∈ ℤ (√‘2) ≠ (𝑥 / 𝑧)) ∧ (𝑧 = 𝑦 → ∀𝑥 ∈ ℤ (√‘2) ≠ (𝑥 / 𝑧)))))
74 r19.26 2561 . . . . . . . . 9 (∀𝑧 ∈ ℕ ((𝑧 < 𝑦 → ∀𝑥 ∈ ℤ (√‘2) ≠ (𝑥 / 𝑧)) ∧ (𝑧 = 𝑦 → ∀𝑥 ∈ ℤ (√‘2) ≠ (𝑥 / 𝑧))) ↔ (∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 < 𝑦 → ∀𝑥 ∈ ℤ (√‘2) ≠ (𝑥 / 𝑧)) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 = 𝑦 → ∀𝑥 ∈ ℤ (√‘2) ≠ (𝑥 / 𝑧))))
7573, 74syl6bb 195 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℕ → (∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 < (𝑦 + 1) → ∀𝑥 ∈ ℤ (√‘2) ≠ (𝑥 / 𝑧)) ↔ (∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 < 𝑦 → ∀𝑥 ∈ ℤ (√‘2) ≠ (𝑥 / 𝑧)) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 = 𝑦 → ∀𝑥 ∈ ℤ (√‘2) ≠ (𝑥 / 𝑧)))))
7662, 75sylibrd 168 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℕ → (∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 < 𝑦 → ∀𝑥 ∈ ℤ (√‘2) ≠ (𝑥 / 𝑧)) → ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 < (𝑦 + 1) → ∀𝑥 ∈ ℤ (√‘2) ≠ (𝑥 / 𝑧))))
774, 7, 10, 10, 13, 76nnind 8759 . . . . . 6 ((𝑦 + 1) ∈ ℕ → ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 < (𝑦 + 1) → ∀𝑥 ∈ ℤ (√‘2) ≠ (𝑥 / 𝑧)))
781, 77syl 14 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℕ → ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 < (𝑦 + 1) → ∀𝑥 ∈ ℤ (√‘2) ≠ (𝑥 / 𝑧)))
79 nnre 8750 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℝ)
8079ltp1d 8711 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 < (𝑦 + 1))
81 breq1 3939 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑦 → (𝑧 < (𝑦 + 1) ↔ 𝑦 < (𝑦 + 1)))
82 df-ne 2310 . . . . . . . . . 10 ((√‘2) ≠ (𝑥 / 𝑦) ↔ ¬ (√‘2) = (𝑥 / 𝑦))
8358, 82syl6bb 195 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑦 → ((√‘2) ≠ (𝑥 / 𝑧) ↔ ¬ (√‘2) = (𝑥 / 𝑦)))
8483ralbidv 2438 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑦 → (∀𝑥 ∈ ℤ (√‘2) ≠ (𝑥 / 𝑧) ↔ ∀𝑥 ∈ ℤ ¬ (√‘2) = (𝑥 / 𝑦)))
85 ralnex 2427 . . . . . . . 8 (∀𝑥 ∈ ℤ ¬ (√‘2) = (𝑥 / 𝑦) ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ ℤ (√‘2) = (𝑥 / 𝑦))
8684, 85syl6bb 195 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑦 → (∀𝑥 ∈ ℤ (√‘2) ≠ (𝑥 / 𝑧) ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ ℤ (√‘2) = (𝑥 / 𝑦)))
8781, 86imbi12d 233 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑦 → ((𝑧 < (𝑦 + 1) → ∀𝑥 ∈ ℤ (√‘2) ≠ (𝑥 / 𝑧)) ↔ (𝑦 < (𝑦 + 1) → ¬ ∃𝑥 ∈ ℤ (√‘2) = (𝑥 / 𝑦))))
8887rspcv 2788 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℕ → (∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 < (𝑦 + 1) → ∀𝑥 ∈ ℤ (√‘2) ≠ (𝑥 / 𝑧)) → (𝑦 < (𝑦 + 1) → ¬ ∃𝑥 ∈ ℤ (√‘2) = (𝑥 / 𝑦))))
8978, 80, 88mp2d 47 . . . 4 (𝑦 ∈ ℕ → ¬ ∃𝑥 ∈ ℤ (√‘2) = (𝑥 / 𝑦))
9089nrex 2527 . . 3 ¬ ∃𝑦 ∈ ℕ ∃𝑥 ∈ ℤ (√‘2) = (𝑥 / 𝑦)
91 elq 9440 . . . 4 ((√‘2) ∈ ℚ ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ (√‘2) = (𝑥 / 𝑦))
92 rexcom 2598 . . . 4 (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ (√‘2) = (𝑥 / 𝑦) ↔ ∃𝑦 ∈ ℕ ∃𝑥 ∈ ℤ (√‘2) = (𝑥 / 𝑦))
9391, 92bitri 183 . . 3 ((√‘2) ∈ ℚ ↔ ∃𝑦 ∈ ℕ ∃𝑥 ∈ ℤ (√‘2) = (𝑥 / 𝑦))
9490, 93mtbir 661 . 2 ¬ (√‘2) ∈ ℚ
9594nelir 2407 1 (√‘2) ∉ ℚ
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wb 104  wo 698   = wceq 1332  wcel 1481  wne 2309  wnel 2404  wral 2417  wrex 2418   class class class wbr 3936  cfv 5130  (class class class)co 5781  cc 7641  0cc0 7643  1c1 7644   + caddc 7646   < clt 7823  cle 7824   # cap 8366   / cdiv 8455  cn 8743  2c2 8794  cz 9077  cq 9437  +crp 9469  csqrt 10799
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4050  ax-sep 4053  ax-nul 4061  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362  ax-setind 4459  ax-iinf 4509  ax-cnex 7734  ax-resscn 7735  ax-1cn 7736  ax-1re 7737  ax-icn 7738  ax-addcl 7739  ax-addrcl 7740  ax-mulcl 7741  ax-mulrcl 7742  ax-addcom 7743  ax-mulcom 7744  ax-addass 7745  ax-mulass 7746  ax-distr 7747  ax-i2m1 7748  ax-0lt1 7749  ax-1rid 7750  ax-0id 7751  ax-rnegex 7752  ax-precex 7753  ax-cnre 7754  ax-pre-ltirr 7755  ax-pre-ltwlin 7756  ax-pre-lttrn 7757  ax-pre-apti 7758  ax-pre-ltadd 7759  ax-pre-mulgt0 7760  ax-pre-mulext 7761  ax-arch 7762  ax-caucvg 7763
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-csb 3007  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-nul 3368  df-if 3479  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-int 3779  df-iun 3822  df-br 3937  df-opab 3997  df-mpt 3998  df-tr 4034  df-id 4222  df-po 4225  df-iso 4226  df-iord 4295  df-on 4297  df-ilim 4298  df-suc 4300  df-iom 4512  df-xp 4552  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-rn 4557  df-res 4558  df-ima 4559  df-iota 5095  df-fun 5132  df-fn 5133  df-f 5134  df-f1 5135  df-fo 5136  df-f1o 5137  df-fv 5138  df-riota 5737  df-ov 5784  df-oprab 5785  df-mpo 5786  df-1st 6045  df-2nd 6046  df-recs 6209  df-frec 6295  df-pnf 7825  df-mnf 7826  df-xr 7827  df-ltxr 7828  df-le 7829  df-sub 7958  df-neg 7959  df-reap 8360  df-ap 8367  df-div 8456  df-inn 8744  df-2 8802  df-3 8803  df-4 8804  df-n0 9001  df-z 9078  df-uz 9350  df-q 9438  df-rp 9470  df-seqfrec 10249  df-exp 10323  df-rsqrt 10801
This theorem is referenced by:  sqrt2irr0  11876
  Copyright terms: Public domain W3C validator