Theorem nnsub 8947

Description: Subtraction of positive integers. (Contributed by NM, 20-Aug-2001.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nnsub	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐵 − 𝐴) ∈ ℕ))

Proof of Theorem nnsub

Dummy variables 𝑧 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 4004	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑧 < 𝑥 ↔ 𝑧 < 1))
2		oveq1 5876	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑥 − 𝑧) = (1 − 𝑧))
3	2	eleq1d 2246	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 1 → ((𝑥 − 𝑧) ∈ ℕ ↔ (1 − 𝑧) ∈ ℕ))
4	1, 3	imbi12d 234	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 1 → ((𝑧 < 𝑥 → (𝑥 − 𝑧) ∈ ℕ) ↔ (𝑧 < 1 → (1 − 𝑧) ∈ ℕ)))
5	4	ralbidv 2477	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 1 → (∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 < 𝑥 → (𝑥 − 𝑧) ∈ ℕ) ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 < 1 → (1 − 𝑧) ∈ ℕ)))
6		breq2 4004	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑧 < 𝑥 ↔ 𝑧 < 𝑦))
7		oveq1 5876	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑧))
8	7	eleq1d 2246	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 − 𝑧) ∈ ℕ ↔ (𝑦 − 𝑧) ∈ ℕ))
9	6, 8	imbi12d 234	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑧 < 𝑥 → (𝑥 − 𝑧) ∈ ℕ) ↔ (𝑧 < 𝑦 → (𝑦 − 𝑧) ∈ ℕ)))
10	9	ralbidv 2477	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 < 𝑥 → (𝑥 − 𝑧) ∈ ℕ) ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 < 𝑦 → (𝑦 − 𝑧) ∈ ℕ)))
11		breq2 4004	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑧 < 𝑥 ↔ 𝑧 < (𝑦 + 1)))
12		oveq1 5876	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥 − 𝑧) = ((𝑦 + 1) − 𝑧))
13	12	eleq1d 2246	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑥 − 𝑧) ∈ ℕ ↔ ((𝑦 + 1) − 𝑧) ∈ ℕ))
14	11, 13	imbi12d 234	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑧 < 𝑥 → (𝑥 − 𝑧) ∈ ℕ) ↔ (𝑧 < (𝑦 + 1) → ((𝑦 + 1) − 𝑧) ∈ ℕ)))
15	14	ralbidv 2477	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 < 𝑥 → (𝑥 − 𝑧) ∈ ℕ) ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 < (𝑦 + 1) → ((𝑦 + 1) − 𝑧) ∈ ℕ)))
16		breq2 4004	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝑧 < 𝑥 ↔ 𝑧 < 𝐵))
17		oveq1 5876	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝑥 − 𝑧) = (𝐵 − 𝑧))
18	17	eleq1d 2246	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝑥 − 𝑧) ∈ ℕ ↔ (𝐵 − 𝑧) ∈ ℕ))
19	16, 18	imbi12d 234	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝑧 < 𝑥 → (𝑥 − 𝑧) ∈ ℕ) ↔ (𝑧 < 𝐵 → (𝐵 − 𝑧) ∈ ℕ)))
20	19	ralbidv 2477	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 < 𝑥 → (𝑥 − 𝑧) ∈ ℕ) ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 < 𝐵 → (𝐵 − 𝑧) ∈ ℕ)))
21		nnnlt1 8934	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → ¬ 𝑧 < 1)
22	21	pm2.21d 619	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 < 1 → (1 − 𝑧) ∈ ℕ))
23	22	rgen 2530	. . . 4 ⊢ ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 < 1 → (1 − 𝑧) ∈ ℕ)
24		breq1 4003	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑧 < 𝑦 ↔ 𝑥 < 𝑦))
25		oveq2 5877	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑥))
26	25	eleq1d 2246	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → ((𝑦 − 𝑧) ∈ ℕ ↔ (𝑦 − 𝑥) ∈ ℕ))
27	24, 26	imbi12d 234	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → ((𝑧 < 𝑦 → (𝑦 − 𝑧) ∈ ℕ) ↔ (𝑥 < 𝑦 → (𝑦 − 𝑥) ∈ ℕ)))
28	27	cbvralv 2703	. . . . 5 ⊢ (∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 < 𝑦 → (𝑦 − 𝑧) ∈ ℕ) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝑥 < 𝑦 → (𝑦 − 𝑥) ∈ ℕ))
29		nncn 8916	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℂ)
30	29	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ ℂ)
31		ax-1cn 7895	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℂ
32		pncan 8153	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑦 + 1) − 1) = 𝑦)
33	30, 31, 32	sylancl 413	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → ((𝑦 + 1) − 1) = 𝑦)
34		simpl 109	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ ℕ)
35	33, 34	eqeltrd 2254	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → ((𝑦 + 1) − 1) ∈ ℕ)
36		oveq2 5877	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 1 → ((𝑦 + 1) − 𝑧) = ((𝑦 + 1) − 1))
37	36	eleq1d 2246	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 1 → (((𝑦 + 1) − 𝑧) ∈ ℕ ↔ ((𝑦 + 1) − 1) ∈ ℕ))
38	35, 37	syl5ibrcom 157	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (𝑧 = 1 → ((𝑦 + 1) − 𝑧) ∈ ℕ))
39	38	a1dd 48	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (𝑧 = 1 → (𝑧 < (𝑦 + 1) → ((𝑦 + 1) − 𝑧) ∈ ℕ)))
40	39	a1dd 48	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (𝑧 = 1 → (∀𝑥 ∈ ℕ (𝑥 < 𝑦 → (𝑦 − 𝑥) ∈ ℕ) → (𝑧 < (𝑦 + 1) → ((𝑦 + 1) − 𝑧) ∈ ℕ))))
41		breq1 4003	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝑧 − 1) → (𝑥 < 𝑦 ↔ (𝑧 − 1) < 𝑦))
42		oveq2 5877	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (𝑧 − 1) → (𝑦 − 𝑥) = (𝑦 − (𝑧 − 1)))
43	42	eleq1d 2246	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝑧 − 1) → ((𝑦 − 𝑥) ∈ ℕ ↔ (𝑦 − (𝑧 − 1)) ∈ ℕ))
44	41, 43	imbi12d 234	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝑧 − 1) → ((𝑥 < 𝑦 → (𝑦 − 𝑥) ∈ ℕ) ↔ ((𝑧 − 1) < 𝑦 → (𝑦 − (𝑧 − 1)) ∈ ℕ)))
45	44	rspcv 2837	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 − 1) ∈ ℕ → (∀𝑥 ∈ ℕ (𝑥 < 𝑦 → (𝑦 − 𝑥) ∈ ℕ) → ((𝑧 − 1) < 𝑦 → (𝑦 − (𝑧 − 1)) ∈ ℕ)))
46		nnre 8915	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → 𝑧 ∈ ℝ)
47		nnre 8915	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℝ)
48		1re 7947	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℝ
49		ltsubadd 8379	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑧 − 1) < 𝑦 ↔ 𝑧 < (𝑦 + 1)))
50	48, 49	mp3an2 1325	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑧 − 1) < 𝑦 ↔ 𝑧 < (𝑦 + 1)))
51	46, 47, 50	syl2anr 290	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → ((𝑧 − 1) < 𝑦 ↔ 𝑧 < (𝑦 + 1)))
52		nncn 8916	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → 𝑧 ∈ ℂ)
53		subsub3 8179	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑦 − (𝑧 − 1)) = ((𝑦 + 1) − 𝑧))
54	31, 53	mp3an3 1326	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑦 − (𝑧 − 1)) = ((𝑦 + 1) − 𝑧))
55	29, 52, 54	syl2an 289	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (𝑦 − (𝑧 − 1)) = ((𝑦 + 1) − 𝑧))
56	55	eleq1d 2246	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → ((𝑦 − (𝑧 − 1)) ∈ ℕ ↔ ((𝑦 + 1) − 𝑧) ∈ ℕ))
57	51, 56	imbi12d 234	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (((𝑧 − 1) < 𝑦 → (𝑦 − (𝑧 − 1)) ∈ ℕ) ↔ (𝑧 < (𝑦 + 1) → ((𝑦 + 1) − 𝑧) ∈ ℕ)))
58	57	biimpd 144	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (((𝑧 − 1) < 𝑦 → (𝑦 − (𝑧 − 1)) ∈ ℕ) → (𝑧 < (𝑦 + 1) → ((𝑦 + 1) − 𝑧) ∈ ℕ)))
59	45, 58	syl9r 73	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → ((𝑧 − 1) ∈ ℕ → (∀𝑥 ∈ ℕ (𝑥 < 𝑦 → (𝑦 − 𝑥) ∈ ℕ) → (𝑧 < (𝑦 + 1) → ((𝑦 + 1) − 𝑧) ∈ ℕ))))
60		nn1m1nn 8926	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 = 1 ∨ (𝑧 − 1) ∈ ℕ))
61	60	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (𝑧 = 1 ∨ (𝑧 − 1) ∈ ℕ))
62	40, 59, 61	mpjaod 718	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (∀𝑥 ∈ ℕ (𝑥 < 𝑦 → (𝑦 − 𝑥) ∈ ℕ) → (𝑧 < (𝑦 + 1) → ((𝑦 + 1) − 𝑧) ∈ ℕ)))
63	62	ralrimdva 2557	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (∀𝑥 ∈ ℕ (𝑥 < 𝑦 → (𝑦 − 𝑥) ∈ ℕ) → ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 < (𝑦 + 1) → ((𝑦 + 1) − 𝑧) ∈ ℕ)))
64	28, 63	biimtrid 152	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 < 𝑦 → (𝑦 − 𝑧) ∈ ℕ) → ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 < (𝑦 + 1) → ((𝑦 + 1) − 𝑧) ∈ ℕ)))
65	5, 10, 15, 20, 23, 64	nnind 8924	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 < 𝐵 → (𝐵 − 𝑧) ∈ ℕ))
66		breq1 4003	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → (𝑧 < 𝐵 ↔ 𝐴 < 𝐵))
67		oveq2 5877	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → (𝐵 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴))
68	67	eleq1d 2246	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → ((𝐵 − 𝑧) ∈ ℕ ↔ (𝐵 − 𝐴) ∈ ℕ))
69	66, 68	imbi12d 234	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → ((𝑧 < 𝐵 → (𝐵 − 𝑧) ∈ ℕ) ↔ (𝐴 < 𝐵 → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℕ)))
70	69	rspcva 2839	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 < 𝐵 → (𝐵 − 𝑧) ∈ ℕ)) → (𝐴 < 𝐵 → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℕ))
71	65, 70	sylan2 286	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 < 𝐵 → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℕ))
72		nngt0 8933	. . 3 ⊢ ((𝐵 − 𝐴) ∈ ℕ → 0 < (𝐵 − 𝐴))
73		nnre 8915	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
74		nnre 8915	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ)
75		posdif 8402	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 𝐴)))
76	73, 74, 75	syl2an 289	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 𝐴)))
77	72, 76	syl5ibr 156	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐵 − 𝐴) ∈ ℕ → 𝐴 < 𝐵))
78	71, 77	impbid 129	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐵 − 𝐴) ∈ ℕ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 708   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  ∀wral 2455   class class class wbr 4000  (class class class)co 5869  ℂcc 7800  ℝcr 7801  0cc0 7802  1c1 7803   + caddc 7805   < clt 7982   − cmin 8118  ℕcn 8908

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-addcom 7902  ax-addass 7904  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-ltadd 7918

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-br 4001  df-opab 4062  df-id 4290  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-inn 8909

This theorem is referenced by:  nnsubi  8948  uz3m2nn  9562  pythagtriplem13  12259