Theorem nnsub 8522

Description: Subtraction of positive integers. (Contributed by NM, 20-Aug-2001.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nnsub	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐵 − 𝐴) ∈ ℕ))

Proof of Theorem nnsub

Dummy variables 𝑧 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 3855	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑧 < 𝑥 ↔ 𝑧 < 1))
2		oveq1 5673	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑥 − 𝑧) = (1 − 𝑧))
3	2	eleq1d 2157	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 1 → ((𝑥 − 𝑧) ∈ ℕ ↔ (1 − 𝑧) ∈ ℕ))
4	1, 3	imbi12d 233	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 1 → ((𝑧 < 𝑥 → (𝑥 − 𝑧) ∈ ℕ) ↔ (𝑧 < 1 → (1 − 𝑧) ∈ ℕ)))
5	4	ralbidv 2381	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 1 → (∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 < 𝑥 → (𝑥 − 𝑧) ∈ ℕ) ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 < 1 → (1 − 𝑧) ∈ ℕ)))
6		breq2 3855	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑧 < 𝑥 ↔ 𝑧 < 𝑦))
7		oveq1 5673	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑧))
8	7	eleq1d 2157	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 − 𝑧) ∈ ℕ ↔ (𝑦 − 𝑧) ∈ ℕ))
9	6, 8	imbi12d 233	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑧 < 𝑥 → (𝑥 − 𝑧) ∈ ℕ) ↔ (𝑧 < 𝑦 → (𝑦 − 𝑧) ∈ ℕ)))
10	9	ralbidv 2381	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 < 𝑥 → (𝑥 − 𝑧) ∈ ℕ) ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 < 𝑦 → (𝑦 − 𝑧) ∈ ℕ)))
11		breq2 3855	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑧 < 𝑥 ↔ 𝑧 < (𝑦 + 1)))
12		oveq1 5673	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥 − 𝑧) = ((𝑦 + 1) − 𝑧))
13	12	eleq1d 2157	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑥 − 𝑧) ∈ ℕ ↔ ((𝑦 + 1) − 𝑧) ∈ ℕ))
14	11, 13	imbi12d 233	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑧 < 𝑥 → (𝑥 − 𝑧) ∈ ℕ) ↔ (𝑧 < (𝑦 + 1) → ((𝑦 + 1) − 𝑧) ∈ ℕ)))
15	14	ralbidv 2381	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 < 𝑥 → (𝑥 − 𝑧) ∈ ℕ) ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 < (𝑦 + 1) → ((𝑦 + 1) − 𝑧) ∈ ℕ)))
16		breq2 3855	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝑧 < 𝑥 ↔ 𝑧 < 𝐵))
17		oveq1 5673	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝑥 − 𝑧) = (𝐵 − 𝑧))
18	17	eleq1d 2157	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝑥 − 𝑧) ∈ ℕ ↔ (𝐵 − 𝑧) ∈ ℕ))
19	16, 18	imbi12d 233	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝑧 < 𝑥 → (𝑥 − 𝑧) ∈ ℕ) ↔ (𝑧 < 𝐵 → (𝐵 − 𝑧) ∈ ℕ)))
20	19	ralbidv 2381	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 < 𝑥 → (𝑥 − 𝑧) ∈ ℕ) ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 < 𝐵 → (𝐵 − 𝑧) ∈ ℕ)))
21		nnnlt1 8509	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → ¬ 𝑧 < 1)
22	21	pm2.21d 585	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 < 1 → (1 − 𝑧) ∈ ℕ))
23	22	rgen 2429	. . . 4 ⊢ ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 < 1 → (1 − 𝑧) ∈ ℕ)
24		breq1 3854	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑧 < 𝑦 ↔ 𝑥 < 𝑦))
25		oveq2 5674	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑥))
26	25	eleq1d 2157	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → ((𝑦 − 𝑧) ∈ ℕ ↔ (𝑦 − 𝑥) ∈ ℕ))
27	24, 26	imbi12d 233	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → ((𝑧 < 𝑦 → (𝑦 − 𝑧) ∈ ℕ) ↔ (𝑥 < 𝑦 → (𝑦 − 𝑥) ∈ ℕ)))
28	27	cbvralv 2591	. . . . 5 ⊢ (∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 < 𝑦 → (𝑦 − 𝑧) ∈ ℕ) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝑥 < 𝑦 → (𝑦 − 𝑥) ∈ ℕ))
29		nncn 8491	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℂ)
30	29	adantr 271	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ ℂ)
31		ax-1cn 7499	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℂ
32		pncan 7749	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑦 + 1) − 1) = 𝑦)
33	30, 31, 32	sylancl 405	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → ((𝑦 + 1) − 1) = 𝑦)
34		simpl 108	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ ℕ)
35	33, 34	eqeltrd 2165	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → ((𝑦 + 1) − 1) ∈ ℕ)
36		oveq2 5674	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 1 → ((𝑦 + 1) − 𝑧) = ((𝑦 + 1) − 1))
37	36	eleq1d 2157	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 1 → (((𝑦 + 1) − 𝑧) ∈ ℕ ↔ ((𝑦 + 1) − 1) ∈ ℕ))
38	35, 37	syl5ibrcom 156	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (𝑧 = 1 → ((𝑦 + 1) − 𝑧) ∈ ℕ))
39	38	a1dd 48	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (𝑧 = 1 → (𝑧 < (𝑦 + 1) → ((𝑦 + 1) − 𝑧) ∈ ℕ)))
40	39	a1dd 48	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (𝑧 = 1 → (∀𝑥 ∈ ℕ (𝑥 < 𝑦 → (𝑦 − 𝑥) ∈ ℕ) → (𝑧 < (𝑦 + 1) → ((𝑦 + 1) − 𝑧) ∈ ℕ))))
41		breq1 3854	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝑧 − 1) → (𝑥 < 𝑦 ↔ (𝑧 − 1) < 𝑦))
42		oveq2 5674	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (𝑧 − 1) → (𝑦 − 𝑥) = (𝑦 − (𝑧 − 1)))
43	42	eleq1d 2157	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝑧 − 1) → ((𝑦 − 𝑥) ∈ ℕ ↔ (𝑦 − (𝑧 − 1)) ∈ ℕ))
44	41, 43	imbi12d 233	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝑧 − 1) → ((𝑥 < 𝑦 → (𝑦 − 𝑥) ∈ ℕ) ↔ ((𝑧 − 1) < 𝑦 → (𝑦 − (𝑧 − 1)) ∈ ℕ)))
45	44	rspcv 2719	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 − 1) ∈ ℕ → (∀𝑥 ∈ ℕ (𝑥 < 𝑦 → (𝑦 − 𝑥) ∈ ℕ) → ((𝑧 − 1) < 𝑦 → (𝑦 − (𝑧 − 1)) ∈ ℕ)))
46		nnre 8490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → 𝑧 ∈ ℝ)
47		nnre 8490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℝ)
48		1re 7548	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℝ
49		ltsubadd 7971	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑧 − 1) < 𝑦 ↔ 𝑧 < (𝑦 + 1)))
50	48, 49	mp3an2 1262	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑧 − 1) < 𝑦 ↔ 𝑧 < (𝑦 + 1)))
51	46, 47, 50	syl2anr 285	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → ((𝑧 − 1) < 𝑦 ↔ 𝑧 < (𝑦 + 1)))
52		nncn 8491	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → 𝑧 ∈ ℂ)
53		subsub3 7775	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑦 − (𝑧 − 1)) = ((𝑦 + 1) − 𝑧))
54	31, 53	mp3an3 1263	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑦 − (𝑧 − 1)) = ((𝑦 + 1) − 𝑧))
55	29, 52, 54	syl2an 284	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (𝑦 − (𝑧 − 1)) = ((𝑦 + 1) − 𝑧))
56	55	eleq1d 2157	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → ((𝑦 − (𝑧 − 1)) ∈ ℕ ↔ ((𝑦 + 1) − 𝑧) ∈ ℕ))
57	51, 56	imbi12d 233	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (((𝑧 − 1) < 𝑦 → (𝑦 − (𝑧 − 1)) ∈ ℕ) ↔ (𝑧 < (𝑦 + 1) → ((𝑦 + 1) − 𝑧) ∈ ℕ)))
58	57	biimpd 143	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (((𝑧 − 1) < 𝑦 → (𝑦 − (𝑧 − 1)) ∈ ℕ) → (𝑧 < (𝑦 + 1) → ((𝑦 + 1) − 𝑧) ∈ ℕ)))
59	45, 58	syl9r 73	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → ((𝑧 − 1) ∈ ℕ → (∀𝑥 ∈ ℕ (𝑥 < 𝑦 → (𝑦 − 𝑥) ∈ ℕ) → (𝑧 < (𝑦 + 1) → ((𝑦 + 1) − 𝑧) ∈ ℕ))))
60		nn1m1nn 8501	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 = 1 ∨ (𝑧 − 1) ∈ ℕ))
61	60	adantl 272	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (𝑧 = 1 ∨ (𝑧 − 1) ∈ ℕ))
62	40, 59, 61	mpjaod 674	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (∀𝑥 ∈ ℕ (𝑥 < 𝑦 → (𝑦 − 𝑥) ∈ ℕ) → (𝑧 < (𝑦 + 1) → ((𝑦 + 1) − 𝑧) ∈ ℕ)))
63	62	ralrimdva 2454	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (∀𝑥 ∈ ℕ (𝑥 < 𝑦 → (𝑦 − 𝑥) ∈ ℕ) → ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 < (𝑦 + 1) → ((𝑦 + 1) − 𝑧) ∈ ℕ)))
64	28, 63	syl5bi 151	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 < 𝑦 → (𝑦 − 𝑧) ∈ ℕ) → ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 < (𝑦 + 1) → ((𝑦 + 1) − 𝑧) ∈ ℕ)))
65	5, 10, 15, 20, 23, 64	nnind 8499	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 < 𝐵 → (𝐵 − 𝑧) ∈ ℕ))
66		breq1 3854	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → (𝑧 < 𝐵 ↔ 𝐴 < 𝐵))
67		oveq2 5674	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → (𝐵 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴))
68	67	eleq1d 2157	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → ((𝐵 − 𝑧) ∈ ℕ ↔ (𝐵 − 𝐴) ∈ ℕ))
69	66, 68	imbi12d 233	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → ((𝑧 < 𝐵 → (𝐵 − 𝑧) ∈ ℕ) ↔ (𝐴 < 𝐵 → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℕ)))
70	69	rspcva 2721	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 < 𝐵 → (𝐵 − 𝑧) ∈ ℕ)) → (𝐴 < 𝐵 → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℕ))
71	65, 70	sylan2 281	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 < 𝐵 → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℕ))
72		nngt0 8508	. . 3 ⊢ ((𝐵 − 𝐴) ∈ ℕ → 0 < (𝐵 − 𝐴))
73		nnre 8490	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
74		nnre 8490	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ)
75		posdif 7994	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 𝐴)))
76	73, 74, 75	syl2an 284	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 𝐴)))
77	72, 76	syl5ibr 155	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐵 − 𝐴) ∈ ℕ → 𝐴 < 𝐵))
78	71, 77	impbid 128	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐵 − 𝐴) ∈ ℕ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ wo 665   = wceq 1290   ∈ wcel 1439  ∀wral 2360   class class class wbr 3851  (class class class)co 5666  ℂcc 7409  ℝcr 7410  0cc0 7411  1c1 7412   + caddc 7414   < clt 7583   − cmin 7714  ℕcn 8483

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-sep 3963  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366  ax-cnex 7497  ax-resscn 7498  ax-1cn 7499  ax-1re 7500  ax-icn 7501  ax-addcl 7502  ax-addrcl 7503  ax-mulcl 7504  ax-addcom 7506  ax-addass 7508  ax-distr 7510  ax-i2m1 7511  ax-0lt1 7512  ax-0id 7514  ax-rnegex 7515  ax-cnre 7517  ax-pre-ltirr 7518  ax-pre-ltwlin 7519  ax-pre-lttrn 7520  ax-pre-ltadd 7522

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-int 3695  df-br 3852  df-opab 3906  df-id 4129  df-xp 4458  df-rel 4459  df-cnv 4460  df-co 4461  df-dm 4462  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fv 5036  df-riota 5622  df-ov 5669  df-oprab 5670  df-mpt2 5671  df-pnf 7585  df-mnf 7586  df-xr 7587  df-ltxr 7588  df-le 7589  df-sub 7716  df-neg 7717  df-inn 8484

This theorem is referenced by:  nnsubi  8523  uz3m2nn  9122