Theorem nnsub 9023

Description: Subtraction of positive integers. (Contributed by NM, 20-Aug-2001.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nnsub	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐵 − 𝐴) ∈ ℕ))

Proof of Theorem nnsub

Dummy variables 𝑧 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 4034	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑧 < 𝑥 ↔ 𝑧 < 1))
2		oveq1 5926	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑥 − 𝑧) = (1 − 𝑧))
3	2	eleq1d 2262	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 1 → ((𝑥 − 𝑧) ∈ ℕ ↔ (1 − 𝑧) ∈ ℕ))
4	1, 3	imbi12d 234	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 1 → ((𝑧 < 𝑥 → (𝑥 − 𝑧) ∈ ℕ) ↔ (𝑧 < 1 → (1 − 𝑧) ∈ ℕ)))
5	4	ralbidv 2494	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 1 → (∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 < 𝑥 → (𝑥 − 𝑧) ∈ ℕ) ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 < 1 → (1 − 𝑧) ∈ ℕ)))
6		breq2 4034	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑧 < 𝑥 ↔ 𝑧 < 𝑦))
7		oveq1 5926	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑧))
8	7	eleq1d 2262	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 − 𝑧) ∈ ℕ ↔ (𝑦 − 𝑧) ∈ ℕ))
9	6, 8	imbi12d 234	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑧 < 𝑥 → (𝑥 − 𝑧) ∈ ℕ) ↔ (𝑧 < 𝑦 → (𝑦 − 𝑧) ∈ ℕ)))
10	9	ralbidv 2494	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 < 𝑥 → (𝑥 − 𝑧) ∈ ℕ) ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 < 𝑦 → (𝑦 − 𝑧) ∈ ℕ)))
11		breq2 4034	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑧 < 𝑥 ↔ 𝑧 < (𝑦 + 1)))
12		oveq1 5926	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥 − 𝑧) = ((𝑦 + 1) − 𝑧))
13	12	eleq1d 2262	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑥 − 𝑧) ∈ ℕ ↔ ((𝑦 + 1) − 𝑧) ∈ ℕ))
14	11, 13	imbi12d 234	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑧 < 𝑥 → (𝑥 − 𝑧) ∈ ℕ) ↔ (𝑧 < (𝑦 + 1) → ((𝑦 + 1) − 𝑧) ∈ ℕ)))
15	14	ralbidv 2494	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 < 𝑥 → (𝑥 − 𝑧) ∈ ℕ) ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 < (𝑦 + 1) → ((𝑦 + 1) − 𝑧) ∈ ℕ)))
16		breq2 4034	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝑧 < 𝑥 ↔ 𝑧 < 𝐵))
17		oveq1 5926	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝑥 − 𝑧) = (𝐵 − 𝑧))
18	17	eleq1d 2262	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝑥 − 𝑧) ∈ ℕ ↔ (𝐵 − 𝑧) ∈ ℕ))
19	16, 18	imbi12d 234	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝑧 < 𝑥 → (𝑥 − 𝑧) ∈ ℕ) ↔ (𝑧 < 𝐵 → (𝐵 − 𝑧) ∈ ℕ)))
20	19	ralbidv 2494	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 < 𝑥 → (𝑥 − 𝑧) ∈ ℕ) ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 < 𝐵 → (𝐵 − 𝑧) ∈ ℕ)))
21		nnnlt1 9010	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → ¬ 𝑧 < 1)
22	21	pm2.21d 620	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 < 1 → (1 − 𝑧) ∈ ℕ))
23	22	rgen 2547	. . . 4 ⊢ ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 < 1 → (1 − 𝑧) ∈ ℕ)
24		breq1 4033	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑧 < 𝑦 ↔ 𝑥 < 𝑦))
25		oveq2 5927	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑥))
26	25	eleq1d 2262	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → ((𝑦 − 𝑧) ∈ ℕ ↔ (𝑦 − 𝑥) ∈ ℕ))
27	24, 26	imbi12d 234	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → ((𝑧 < 𝑦 → (𝑦 − 𝑧) ∈ ℕ) ↔ (𝑥 < 𝑦 → (𝑦 − 𝑥) ∈ ℕ)))
28	27	cbvralv 2726	. . . . 5 ⊢ (∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 < 𝑦 → (𝑦 − 𝑧) ∈ ℕ) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝑥 < 𝑦 → (𝑦 − 𝑥) ∈ ℕ))
29		nncn 8992	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℂ)
30	29	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ ℂ)
31		ax-1cn 7967	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℂ
32		pncan 8227	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑦 + 1) − 1) = 𝑦)
33	30, 31, 32	sylancl 413	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → ((𝑦 + 1) − 1) = 𝑦)
34		simpl 109	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ ℕ)
35	33, 34	eqeltrd 2270	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → ((𝑦 + 1) − 1) ∈ ℕ)
36		oveq2 5927	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 1 → ((𝑦 + 1) − 𝑧) = ((𝑦 + 1) − 1))
37	36	eleq1d 2262	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 1 → (((𝑦 + 1) − 𝑧) ∈ ℕ ↔ ((𝑦 + 1) − 1) ∈ ℕ))
38	35, 37	syl5ibrcom 157	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (𝑧 = 1 → ((𝑦 + 1) − 𝑧) ∈ ℕ))
39	38	a1dd 48	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (𝑧 = 1 → (𝑧 < (𝑦 + 1) → ((𝑦 + 1) − 𝑧) ∈ ℕ)))
40	39	a1dd 48	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (𝑧 = 1 → (∀𝑥 ∈ ℕ (𝑥 < 𝑦 → (𝑦 − 𝑥) ∈ ℕ) → (𝑧 < (𝑦 + 1) → ((𝑦 + 1) − 𝑧) ∈ ℕ))))
41		breq1 4033	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝑧 − 1) → (𝑥 < 𝑦 ↔ (𝑧 − 1) < 𝑦))
42		oveq2 5927	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (𝑧 − 1) → (𝑦 − 𝑥) = (𝑦 − (𝑧 − 1)))
43	42	eleq1d 2262	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝑧 − 1) → ((𝑦 − 𝑥) ∈ ℕ ↔ (𝑦 − (𝑧 − 1)) ∈ ℕ))
44	41, 43	imbi12d 234	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝑧 − 1) → ((𝑥 < 𝑦 → (𝑦 − 𝑥) ∈ ℕ) ↔ ((𝑧 − 1) < 𝑦 → (𝑦 − (𝑧 − 1)) ∈ ℕ)))
45	44	rspcv 2861	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 − 1) ∈ ℕ → (∀𝑥 ∈ ℕ (𝑥 < 𝑦 → (𝑦 − 𝑥) ∈ ℕ) → ((𝑧 − 1) < 𝑦 → (𝑦 − (𝑧 − 1)) ∈ ℕ)))
46		nnre 8991	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → 𝑧 ∈ ℝ)
47		nnre 8991	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℝ)
48		1re 8020	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℝ
49		ltsubadd 8453	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑧 − 1) < 𝑦 ↔ 𝑧 < (𝑦 + 1)))
50	48, 49	mp3an2 1336	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑧 − 1) < 𝑦 ↔ 𝑧 < (𝑦 + 1)))
51	46, 47, 50	syl2anr 290	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → ((𝑧 − 1) < 𝑦 ↔ 𝑧 < (𝑦 + 1)))
52		nncn 8992	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → 𝑧 ∈ ℂ)
53		subsub3 8253	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑦 − (𝑧 − 1)) = ((𝑦 + 1) − 𝑧))
54	31, 53	mp3an3 1337	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑦 − (𝑧 − 1)) = ((𝑦 + 1) − 𝑧))
55	29, 52, 54	syl2an 289	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (𝑦 − (𝑧 − 1)) = ((𝑦 + 1) − 𝑧))
56	55	eleq1d 2262	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → ((𝑦 − (𝑧 − 1)) ∈ ℕ ↔ ((𝑦 + 1) − 𝑧) ∈ ℕ))
57	51, 56	imbi12d 234	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (((𝑧 − 1) < 𝑦 → (𝑦 − (𝑧 − 1)) ∈ ℕ) ↔ (𝑧 < (𝑦 + 1) → ((𝑦 + 1) − 𝑧) ∈ ℕ)))
58	57	biimpd 144	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (((𝑧 − 1) < 𝑦 → (𝑦 − (𝑧 − 1)) ∈ ℕ) → (𝑧 < (𝑦 + 1) → ((𝑦 + 1) − 𝑧) ∈ ℕ)))
59	45, 58	syl9r 73	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → ((𝑧 − 1) ∈ ℕ → (∀𝑥 ∈ ℕ (𝑥 < 𝑦 → (𝑦 − 𝑥) ∈ ℕ) → (𝑧 < (𝑦 + 1) → ((𝑦 + 1) − 𝑧) ∈ ℕ))))
60		nn1m1nn 9002	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 = 1 ∨ (𝑧 − 1) ∈ ℕ))
61	60	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (𝑧 = 1 ∨ (𝑧 − 1) ∈ ℕ))
62	40, 59, 61	mpjaod 719	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (∀𝑥 ∈ ℕ (𝑥 < 𝑦 → (𝑦 − 𝑥) ∈ ℕ) → (𝑧 < (𝑦 + 1) → ((𝑦 + 1) − 𝑧) ∈ ℕ)))
63	62	ralrimdva 2574	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (∀𝑥 ∈ ℕ (𝑥 < 𝑦 → (𝑦 − 𝑥) ∈ ℕ) → ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 < (𝑦 + 1) → ((𝑦 + 1) − 𝑧) ∈ ℕ)))
64	28, 63	biimtrid 152	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 < 𝑦 → (𝑦 − 𝑧) ∈ ℕ) → ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 < (𝑦 + 1) → ((𝑦 + 1) − 𝑧) ∈ ℕ)))
65	5, 10, 15, 20, 23, 64	nnind 9000	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 < 𝐵 → (𝐵 − 𝑧) ∈ ℕ))
66		breq1 4033	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → (𝑧 < 𝐵 ↔ 𝐴 < 𝐵))
67		oveq2 5927	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → (𝐵 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴))
68	67	eleq1d 2262	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → ((𝐵 − 𝑧) ∈ ℕ ↔ (𝐵 − 𝐴) ∈ ℕ))
69	66, 68	imbi12d 234	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → ((𝑧 < 𝐵 → (𝐵 − 𝑧) ∈ ℕ) ↔ (𝐴 < 𝐵 → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℕ)))
70	69	rspcva 2863	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 < 𝐵 → (𝐵 − 𝑧) ∈ ℕ)) → (𝐴 < 𝐵 → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℕ))
71	65, 70	sylan2 286	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 < 𝐵 → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℕ))
72		nngt0 9009	. . 3 ⊢ ((𝐵 − 𝐴) ∈ ℕ → 0 < (𝐵 − 𝐴))
73		nnre 8991	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
74		nnre 8991	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ)
75		posdif 8476	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 𝐴)))
76	73, 74, 75	syl2an 289	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 𝐴)))
77	72, 76	imbitrrid 156	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐵 − 𝐴) ∈ ℕ → 𝐴 < 𝐵))
78	71, 77	impbid 129	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐵 − 𝐴) ∈ ℕ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 709   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  ∀wral 2472   class class class wbr 4030  (class class class)co 5919  ℂcc 7872  ℝcr 7873  0cc0 7874  1c1 7875   + caddc 7877   < clt 8056   − cmin 8192  ℕcn 8984

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-addcom 7974  ax-addass 7976  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-ltadd 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-br 4031  df-opab 4092  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-inn 8985

This theorem is referenced by:  nnsubi  9024  uz3m2nn  9641  pythagtriplem13  12417