Theorem nngt0 9282

Description: A positive integer is positive. (Contributed by NM, 26-Sep-1999.)

Assertion

Ref	Expression
nngt0	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)

Proof of Theorem nngt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 9264	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
2		nnge1 9280	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐴)
3		0lt1 8417	. . 3 ⊢ 0 < 1
4		0re 8290	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
5		1re 8289	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
6		ltletr 8379	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝐴) → 0 < 𝐴))
7	4, 5, 6	mp3an12 1364	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝐴) → 0 < 𝐴))
8	3, 7	mpani 430	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (1 ≤ 𝐴 → 0 < 𝐴))
9	1, 2, 8	sylc 62	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2205   class class class wbr 4114  ℝcr 8142  0cc0 8143  1c1 8144   < clt 8324   ≤ cle 8325  ℕcn 9257

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1re 8237  ax-addrcl 8240  ax-0lt1 8249  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-ltadd 8259

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-br 4115  df-opab 4177  df-xp 4760  df-cnv 4762  df-iota 5317  df-fv 5365  df-ov 6061  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-inn 9258

This theorem is referenced by:  nnap0  9286  nngt0i  9287  nn2ge  9290  nn1gt1  9291  nnsub  9296  nngt0d  9301  nnrecl  9514  nn0ge0  9541  0mnnnnn0  9548  elnnnn0b  9560  elnnz  9607  elnn0z  9610  ztri3or0  9639  nnnle0  9646  nnm1ge0  9685  gtndiv  9694  elpq  10002  elpqb  10003  nnrp  10017  nnledivrp  10120  fzo1fzo0n0  10547  ubmelfzo  10570  adddivflid  10679  flltdivnn0lt  10691  intfracq  10709  zmodcl  10733  zmodfz  10735  zmodid2  10741  m1modnnsub1  10759  expnnval  10931  nnlesq  11032  facdiv  11128  faclbnd  11131  bc0k  11146  ccatval21sw  11321  ccats1pfxeqrex  11435  dvdsval3  12506  nndivdvds  12511  moddvds  12514  evennn2n  12598  nnoddm1d2  12625  divalglemnn  12633  ndvdssub  12645  ndvdsadd  12646  modgcd  12716  sqgcd  12754  lcmgcdlem  12803  qredeu  12823  divdenle  12923  hashgcdlem  12964  oddprm  12986  pythagtriplem12  13002  pythagtriplem13  13003  pythagtriplem14  13004  pythagtriplem16  13006  pythagtriplem19  13009  pc2dvds  13057  fldivp1  13075  modsubi  13146  ballotfilemonn  13169  znnen  13237  exmidunben  13265  mulgnn  13883  mulgnegnn  13889  mulgmodid  13918  znf1o  14929  znidomb  14936  pellexlem1  15975  lgsval4a  16025  lgsne0  16041  gausslemma2dlem1a  16061  clwwlknonccat  16558