Theorem nngt0 9210

Description: A positive integer is positive. (Contributed by NM, 26-Sep-1999.)

Assertion

Ref	Expression
nngt0	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)

Proof of Theorem nngt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 9192	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
2		nnge1 9208	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐴)
3		0lt1 8348	. . 3 ⊢ 0 < 1
4		0re 8222	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
5		1re 8221	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
6		ltletr 8311	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝐴) → 0 < 𝐴))
7	4, 5, 6	mp3an12 1364	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝐴) → 0 < 𝐴))
8	3, 7	mpani 430	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (1 ≤ 𝐴 → 0 < 𝐴))
9	1, 2, 8	sylc 62	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2202   class class class wbr 4093  ℝcr 8074  0cc0 8075  1c1 8076   < clt 8256   ≤ cle 8257  ℕcn 9185

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1re 8169  ax-addrcl 8172  ax-0lt1 8181  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-ltadd 8191

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-rab 2520  df-v 2805  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-opab 4156  df-xp 4737  df-cnv 4739  df-iota 5293  df-fv 5341  df-ov 6031  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-xr 8260  df-ltxr 8261  df-le 8262  df-inn 9186

This theorem is referenced by:  nnap0  9214  nngt0i  9215  nn2ge  9218  nn1gt1  9219  nnsub  9224  nngt0d  9229  nnrecl  9442  nn0ge0  9469  0mnnnnn0  9476  elnnnn0b  9488  elnnz  9533  elnn0z  9536  ztri3or0  9565  nnnle0  9572  nnm1ge0  9610  gtndiv  9619  elpq  9927  elpqb  9928  nnrp  9942  nnledivrp  10045  fzo1fzo0n0  10468  ubmelfzo  10491  adddivflid  10598  flltdivnn0lt  10610  intfracq  10628  zmodcl  10652  zmodfz  10654  zmodid2  10660  m1modnnsub1  10678  expnnval  10850  nnlesq  10951  facdiv  11046  faclbnd  11049  bc0k  11064  ccatval21sw  11231  ccats1pfxeqrex  11345  dvdsval3  12415  nndivdvds  12420  moddvds  12423  evennn2n  12507  nnoddm1d2  12534  divalglemnn  12542  ndvdssub  12554  ndvdsadd  12555  modgcd  12625  sqgcd  12663  lcmgcdlem  12712  qredeu  12732  divdenle  12832  hashgcdlem  12873  oddprm  12895  pythagtriplem12  12911  pythagtriplem13  12912  pythagtriplem14  12913  pythagtriplem16  12915  pythagtriplem19  12918  pc2dvds  12966  fldivp1  12984  modsubi  13055  znnen  13082  exmidunben  13110  mulgnn  13776  mulgnegnn  13782  mulgmodid  13811  znf1o  14730  znidomb  14737  pellexlem1  15774  lgsval4a  15824  lgsne0  15840  gausslemma2dlem1a  15860  clwwlknonccat  16357