Theorem nngt0 8943

Description: A positive integer is positive. (Contributed by NM, 26-Sep-1999.)

Assertion

Ref	Expression
nngt0	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)

Proof of Theorem nngt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 8925	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
2		nnge1 8941	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐴)
3		0lt1 8083	. . 3 ⊢ 0 < 1
4		0re 7956	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
5		1re 7955	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
6		ltletr 8046	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝐴) → 0 < 𝐴))
7	4, 5, 6	mp3an12 1327	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝐴) → 0 < 𝐴))
8	3, 7	mpani 430	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (1 ≤ 𝐴 → 0 < 𝐴))
9	1, 2, 8	sylc 62	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2148   class class class wbr 4003  ℝcr 7809  0cc0 7810  1c1 7811   < clt 7991   ≤ cle 7992  ℕcn 8918

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1re 7904  ax-addrcl 7907  ax-0lt1 7916  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-ltadd 7926

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-br 4004  df-opab 4065  df-xp 4632  df-cnv 4634  df-iota 5178  df-fv 5224  df-ov 5877  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-ltxr 7996  df-le 7997  df-inn 8919

This theorem is referenced by:  nnap0  8947  nngt0i  8948  nn2ge  8951  nn1gt1  8952  nnsub  8957  nngt0d  8962  nnrecl  9173  nn0ge0  9200  0mnnnnn0  9207  elnnnn0b  9219  elnnz  9262  elnn0z  9265  ztri3or0  9294  nnm1ge0  9338  gtndiv  9347  elpq  9647  elpqb  9648  nnrp  9662  nnledivrp  9765  fzo1fzo0n0  10182  ubmelfzo  10199  adddivflid  10291  flltdivnn0lt  10303  intfracq  10319  zmodcl  10343  zmodfz  10345  zmodid2  10351  m1modnnsub1  10369  expnnval  10522  nnlesq  10623  facdiv  10717  faclbnd  10720  bc0k  10735  dvdsval3  11797  nndivdvds  11802  moddvds  11805  evennn2n  11887  nnoddm1d2  11914  divalglemnn  11922  ndvdssub  11934  ndvdsadd  11935  modgcd  11991  sqgcd  12029  lcmgcdlem  12076  qredeu  12096  divdenle  12196  hashgcdlem  12237  oddprm  12258  pythagtriplem12  12274  pythagtriplem13  12275  pythagtriplem14  12276  pythagtriplem16  12278  pythagtriplem19  12281  pc2dvds  12328  fldivp1  12345  znnen  12398  exmidunben  12426  mulgnn  12988  mulgnegnn  12992  mulgmodid  13020  lgsval4a  14393  lgsne0  14409