Theorem nngt0 9332

Description: A positive integer is positive. (Contributed by NM, 26-Sep-1999.)

Assertion

Ref	Expression
nngt0	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)

Proof of Theorem nngt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 9314	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
2		nnge1 9330	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐴)
3		0lt1 8455	. . 3 ⊢ 0 < 1
4		0re 8327	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
5		1re 8326	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
6		ltletr 8416	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝐴) → 0 < 𝐴))
7	4, 5, 6	mp3an12 1368	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝐴) → 0 < 𝐴))
8	3, 7	mpani 434	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (1 ≤ 𝐴 → 0 < 𝐴))
9	1, 2, 8	sylc 62	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4130  ℝcr 8179  0cc0 8180  1c1 8181   < clt 8361   ≤ cle 8362  ℕcn 9307

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1re 8274  ax-addrcl 8277  ax-0lt1 8286  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-pre-ltirr 8292  ax-pre-ltwlin 8293  ax-pre-lttrn 8294  ax-pre-ltadd 8296

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-xp 4780  df-cnv 4782  df-iota 5337  df-fv 5385  df-ov 6088  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-xr 8365  df-ltxr 8366  df-le 8367  df-inn 9308

This theorem is used by:  nnap0  9336  nngt0i  9337  nn2ge  9340  nn1gt1  9341  nnsub  9346  nngt0d  9351  nnrecl  9566  nn0ge0  9593  0mnnnnn0  9600  elnnnn0b  9612  elnnz  9659  elnn0z  9662  ztri3or0  9691  nnnle0  9698  nnm1ge0  9737  gtndiv  9746  elpq  10060  elpqb  10061  nnrp  10075  nnledivrp  10178  fzo1fzo0n0  10606  ubmelfzo  10629  adddivflid  10741  flltdivnn0lt  10753  intfracq  10771  zmodcl  10795  zmodfz  10797  zmodid2  10803  m1modnnsub1  10821  expnnval  10993  nnlesq  11094  facdiv  11191  faclbnd  11194  bc0k  11209  ccatval21sw  11388  ccats1pfxeqrex  11502  dvdsval3  12576  nndivdvds  12581  moddvds  12584  evennn2n  12668  nnoddm1d2  12695  divalglemnn  12703  ndvdssub  12715  ndvdsadd  12716  modgcd  12786  sqgcd  12824  lcmgcdlem  12873  qredeu  12893  divdenle  12995  hashgcdlem  13038  oddprm  13060  pythagtriplem12  13076  pythagtriplem13  13077  pythagtriplem14  13078  pythagtriplem16  13080  pythagtriplem19  13083  pc2dvds  13131  fldivp1  13149  modsubi  13221  ballotfilemonn  13272  znnen  13340  exmidunben  13368  mulgnn  13980  mulgnegnn  13986  mulgmodid  14015  znf1o  15037  znidomb  15044  pellexlem1  16151  bcmono  16226  bposlem5  16237  lgsval4a  16263  lgsne0  16279  gausslemma2dlem1a  16299  clwwlknonccat  16796