Theorem nngt0 8944

Description: A positive integer is positive. (Contributed by NM, 26-Sep-1999.)

Assertion

Ref	Expression
nngt0	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)

Proof of Theorem nngt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 8926	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
2		nnge1 8942	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐴)
3		0lt1 8084	. . 3 ⊢ 0 < 1
4		0re 7957	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
5		1re 7956	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
6		ltletr 8047	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝐴) → 0 < 𝐴))
7	4, 5, 6	mp3an12 1327	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝐴) → 0 < 𝐴))
8	3, 7	mpani 430	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (1 ≤ 𝐴 → 0 < 𝐴))
9	1, 2, 8	sylc 62	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2148   class class class wbr 4004  ℝcr 7810  0cc0 7811  1c1 7812   < clt 7992   ≤ cle 7993  ℕcn 8919

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1re 7905  ax-addrcl 7908  ax-0lt1 7917  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-ltadd 7927

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2740  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-br 4005  df-opab 4066  df-xp 4633  df-cnv 4635  df-iota 5179  df-fv 5225  df-ov 5878  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-inn 8920

This theorem is referenced by:  nnap0  8948  nngt0i  8949  nn2ge  8952  nn1gt1  8953  nnsub  8958  nngt0d  8963  nnrecl  9174  nn0ge0  9201  0mnnnnn0  9208  elnnnn0b  9220  elnnz  9263  elnn0z  9266  ztri3or0  9295  nnm1ge0  9339  gtndiv  9348  elpq  9648  elpqb  9649  nnrp  9663  nnledivrp  9766  fzo1fzo0n0  10183  ubmelfzo  10200  adddivflid  10292  flltdivnn0lt  10304  intfracq  10320  zmodcl  10344  zmodfz  10346  zmodid2  10352  m1modnnsub1  10370  expnnval  10523  nnlesq  10624  facdiv  10718  faclbnd  10721  bc0k  10736  dvdsval3  11798  nndivdvds  11803  moddvds  11806  evennn2n  11888  nnoddm1d2  11915  divalglemnn  11923  ndvdssub  11935  ndvdsadd  11936  modgcd  11992  sqgcd  12030  lcmgcdlem  12077  qredeu  12097  divdenle  12197  hashgcdlem  12238  oddprm  12259  pythagtriplem12  12275  pythagtriplem13  12276  pythagtriplem14  12277  pythagtriplem16  12279  pythagtriplem19  12282  pc2dvds  12329  fldivp1  12346  znnen  12399  exmidunben  12427  mulgnn  12989  mulgnegnn  12993  mulgmodid  13022  lgsval4a  14426  lgsne0  14442