Theorem nngt0 8649

Description: A positive integer is positive. (Contributed by NM, 26-Sep-1999.)

Assertion

Ref	Expression
nngt0	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)

Proof of Theorem nngt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 8631	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
2		nnge1 8647	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐴)
3		0lt1 7806	. . 3 ⊢ 0 < 1
4		0re 7684	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
5		1re 7683	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
6		ltletr 7770	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝐴) → 0 < 𝐴))
7	4, 5, 6	mp3an12 1286	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝐴) → 0 < 𝐴))
8	3, 7	mpani 424	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (1 ≤ 𝐴 → 0 < 𝐴))
9	1, 2, 8	sylc 62	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∈ wcel 1461   class class class wbr 3893  ℝcr 7540  0cc0 7541  1c1 7542   < clt 7718   ≤ cle 7719  ℕcn 8624

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1404  ax-7 1405  ax-gen 1406  ax-ie1 1450  ax-ie2 1451  ax-8 1463  ax-10 1464  ax-11 1465  ax-i12 1466  ax-bndl 1467  ax-4 1468  ax-13 1472  ax-14 1473  ax-17 1487  ax-i9 1491  ax-ial 1495  ax-i5r 1496  ax-ext 2095  ax-sep 4004  ax-pow 4056  ax-pr 4089  ax-un 4313  ax-setind 4410  ax-cnex 7630  ax-resscn 7631  ax-1re 7633  ax-addrcl 7636  ax-0lt1 7645  ax-0id 7647  ax-rnegex 7648  ax-pre-ltirr 7651  ax-pre-ltwlin 7652  ax-pre-lttrn 7653  ax-pre-ltadd 7655

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 945  df-tru 1315  df-fal 1318  df-nf 1418  df-sb 1717  df-eu 1976  df-mo 1977  df-clab 2100  df-cleq 2106  df-clel 2109  df-nfc 2242  df-ne 2281  df-nel 2376  df-ral 2393  df-rex 2394  df-rab 2397  df-v 2657  df-dif 3037  df-un 3039  df-in 3041  df-ss 3048  df-pw 3476  df-sn 3497  df-pr 3498  df-op 3500  df-uni 3701  df-int 3736  df-br 3894  df-opab 3948  df-xp 4503  df-cnv 4505  df-iota 5044  df-fv 5087  df-ov 5729  df-pnf 7720  df-mnf 7721  df-xr 7722  df-ltxr 7723  df-le 7724  df-inn 8625

This theorem is referenced by:  nnap0  8653  nngt0i  8654  nn2ge  8657  nn1gt1  8658  nnsub  8663  nngt0d  8668  nnrecl  8873  nn0ge0  8900  0mnnnnn0  8907  elnnnn0b  8919  elnnz  8962  elnn0z  8965  ztri3or0  8994  nnm1ge0  9035  gtndiv  9044  nnrp  9346  nnledivrp  9440  fzo1fzo0n0  9847  ubmelfzo  9864  adddivflid  9952  flltdivnn0lt  9964  intfracq  9980  zmodcl  10004  zmodfz  10006  zmodid2  10012  m1modnnsub1  10030  expnnval  10183  nnlesq  10283  facdiv  10371  faclbnd  10374  bc0k  10389  dvdsval3  11339  nndivdvds  11341  moddvds  11344  evennn2n  11422  nnoddm1d2  11449  divalglemnn  11457  ndvdssub  11469  ndvdsadd  11470  modgcd  11521  sqgcd  11557  lcmgcdlem  11598  qredeu  11618  divdenle  11714  hashgcdlem  11742  znnen  11750  exmidunben  11778