Theorem nngt0 9034

Description: A positive integer is positive. (Contributed by NM, 26-Sep-1999.)

Assertion

Ref	Expression
nngt0	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)

Proof of Theorem nngt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 9016	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
2		nnge1 9032	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐴)
3		0lt1 8172	. . 3 ⊢ 0 < 1
4		0re 8045	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
5		1re 8044	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
6		ltletr 8135	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝐴) → 0 < 𝐴))
7	4, 5, 6	mp3an12 1338	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝐴) → 0 < 𝐴))
8	3, 7	mpani 430	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (1 ≤ 𝐴 → 0 < 𝐴))
9	1, 2, 8	sylc 62	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2167   class class class wbr 4034  ℝcr 7897  0cc0 7898  1c1 7899   < clt 8080   ≤ cle 8081  ℕcn 9009

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7989  ax-resscn 7990  ax-1re 7992  ax-addrcl 7995  ax-0lt1 8004  ax-0id 8006  ax-rnegex 8007  ax-pre-ltirr 8010  ax-pre-ltwlin 8011  ax-pre-lttrn 8012  ax-pre-ltadd 8014

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-opab 4096  df-xp 4670  df-cnv 4672  df-iota 5220  df-fv 5267  df-ov 5928  df-pnf 8082  df-mnf 8083  df-xr 8084  df-ltxr 8085  df-le 8086  df-inn 9010

This theorem is referenced by:  nnap0  9038  nngt0i  9039  nn2ge  9042  nn1gt1  9043  nnsub  9048  nngt0d  9053  nnrecl  9266  nn0ge0  9293  0mnnnnn0  9300  elnnnn0b  9312  elnnz  9355  elnn0z  9358  ztri3or0  9387  nnm1ge0  9431  gtndiv  9440  elpq  9742  elpqb  9743  nnrp  9757  nnledivrp  9860  fzo1fzo0n0  10278  ubmelfzo  10295  adddivflid  10401  flltdivnn0lt  10413  intfracq  10431  zmodcl  10455  zmodfz  10457  zmodid2  10463  m1modnnsub1  10481  expnnval  10653  nnlesq  10754  facdiv  10849  faclbnd  10852  bc0k  10867  dvdsval3  11975  nndivdvds  11980  moddvds  11983  evennn2n  12067  nnoddm1d2  12094  divalglemnn  12102  ndvdssub  12114  ndvdsadd  12115  modgcd  12185  sqgcd  12223  lcmgcdlem  12272  qredeu  12292  divdenle  12392  hashgcdlem  12433  oddprm  12455  pythagtriplem12  12471  pythagtriplem13  12472  pythagtriplem14  12473  pythagtriplem16  12475  pythagtriplem19  12478  pc2dvds  12526  fldivp1  12544  modsubi  12615  znnen  12642  exmidunben  12670  mulgnn  13334  mulgnegnn  13340  mulgmodid  13369  znf1o  14285  znidomb  14292  lgsval4a  15371  lgsne0  15387  gausslemma2dlem1a  15407