Theorem nngt0 9032

Description: A positive integer is positive. (Contributed by NM, 26-Sep-1999.)

Assertion

Ref	Expression
nngt0	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)

Proof of Theorem nngt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 9014	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
2		nnge1 9030	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐴)
3		0lt1 8170	. . 3 ⊢ 0 < 1
4		0re 8043	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
5		1re 8042	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
6		ltletr 8133	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝐴) → 0 < 𝐴))
7	4, 5, 6	mp3an12 1338	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝐴) → 0 < 𝐴))
8	3, 7	mpani 430	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (1 ≤ 𝐴 → 0 < 𝐴))
9	1, 2, 8	sylc 62	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2167   class class class wbr 4034  ℝcr 7895  0cc0 7896  1c1 7897   < clt 8078   ≤ cle 8079  ℕcn 9007

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1re 7990  ax-addrcl 7993  ax-0lt1 8002  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-ltadd 8012

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-opab 4096  df-xp 4670  df-cnv 4672  df-iota 5220  df-fv 5267  df-ov 5928  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-inn 9008

This theorem is referenced by:  nnap0  9036  nngt0i  9037  nn2ge  9040  nn1gt1  9041  nnsub  9046  nngt0d  9051  nnrecl  9264  nn0ge0  9291  0mnnnnn0  9298  elnnnn0b  9310  elnnz  9353  elnn0z  9356  ztri3or0  9385  nnm1ge0  9429  gtndiv  9438  elpq  9740  elpqb  9741  nnrp  9755  nnledivrp  9858  fzo1fzo0n0  10276  ubmelfzo  10293  adddivflid  10399  flltdivnn0lt  10411  intfracq  10429  zmodcl  10453  zmodfz  10455  zmodid2  10461  m1modnnsub1  10479  expnnval  10651  nnlesq  10752  facdiv  10847  faclbnd  10850  bc0k  10865  dvdsval3  11973  nndivdvds  11978  moddvds  11981  evennn2n  12065  nnoddm1d2  12092  divalglemnn  12100  ndvdssub  12112  ndvdsadd  12113  modgcd  12183  sqgcd  12221  lcmgcdlem  12270  qredeu  12290  divdenle  12390  hashgcdlem  12431  oddprm  12453  pythagtriplem12  12469  pythagtriplem13  12470  pythagtriplem14  12471  pythagtriplem16  12473  pythagtriplem19  12476  pc2dvds  12524  fldivp1  12542  modsubi  12613  znnen  12640  exmidunben  12668  mulgnn  13332  mulgnegnn  13338  mulgmodid  13367  znf1o  14283  znidomb  14290  lgsval4a  15347  lgsne0  15363  gausslemma2dlem1a  15383