Theorem nngt0 8419

Description: A positive integer is positive. (Contributed by NM, 26-Sep-1999.)

Assertion

Ref	Expression
nngt0	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)

Proof of Theorem nngt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 8401	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
2		nnge1 8417	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐴)
3		0lt1 7589	. . 3 ⊢ 0 < 1
4		0re 7467	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
5		1re 7466	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
6		ltletr 7553	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝐴) → 0 < 𝐴))
7	4, 5, 6	mp3an12 1263	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝐴) → 0 < 𝐴))
8	3, 7	mpani 421	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (1 ≤ 𝐴 → 0 < 𝐴))
9	1, 2, 8	sylc 61	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 102   ∈ wcel 1438   class class class wbr 3837  ℝcr 7328  0cc0 7329  1c1 7330   < clt 7501   ≤ cle 7502  ℕcn 8394

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-cnex 7415  ax-resscn 7416  ax-1re 7418  ax-addrcl 7421  ax-0lt1 7430  ax-0id 7432  ax-rnegex 7433  ax-pre-ltirr 7436  ax-pre-ltwlin 7437  ax-pre-lttrn 7438  ax-pre-ltadd 7440

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-rab 2368  df-v 2621  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-br 3838  df-opab 3892  df-xp 4434  df-cnv 4436  df-iota 4967  df-fv 5010  df-ov 5637  df-pnf 7503  df-mnf 7504  df-xr 7505  df-ltxr 7506  df-le 7507  df-inn 8395

This theorem is referenced by:  nnap0  8423  nngt0i  8424  nn2ge  8426  nn1gt1  8427  nnsub  8432  nngt0d  8437  nnrecl  8641  nn0ge0  8668  0mnnnnn0  8675  elnnnn0b  8687  elnnz  8730  elnn0z  8733  ztri3or0  8762  nnm1ge0  8802  gtndiv  8811  nnrp  9112  nnledivrp  9206  fzo1fzo0n0  9559  ubmelfzo  9576  adddivflid  9664  flltdivnn0lt  9676  intfracq  9692  zmodcl  9716  zmodfz  9718  zmodid2  9724  m1modnnsub1  9742  expnnval  9923  nnlesq  10023  facdiv  10111  faclbnd  10114  bc0k  10129  dvdsval3  10893  nndivdvds  10895  moddvds  10898  evennn2n  10976  nnoddm1d2  11003  divalglemnn  11011  ndvdssub  11023  ndvdsadd  11024  modgcd  11075  sqgcd  11111  lcmgcdlem  11152  qredeu  11172  divdenle  11268  hashgcdlem  11296  znnen  11304