Theorem nngt0 9279

Description: A positive integer is positive. (Contributed by NM, 26-Sep-1999.)

Assertion

Ref	Expression
nngt0	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)

Proof of Theorem nngt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 9261	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
2		nnge1 9277	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐴)
3		0lt1 8416	. . 3 ⊢ 0 < 1
4		0re 8290	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
5		1re 8289	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
6		ltletr 8379	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝐴) → 0 < 𝐴))
7	4, 5, 6	mp3an12 1364	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝐴) → 0 < 𝐴))
8	3, 7	mpani 430	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (1 ≤ 𝐴 → 0 < 𝐴))
9	1, 2, 8	sylc 62	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2205   class class class wbr 4114  ℝcr 8142  0cc0 8143  1c1 8144   < clt 8324   ≤ cle 8325  ℕcn 9254

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1re 8237  ax-addrcl 8240  ax-0lt1 8249  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-ltadd 8259

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-br 4115  df-opab 4177  df-xp 4760  df-cnv 4762  df-iota 5317  df-fv 5365  df-ov 6061  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-inn 9255

This theorem is referenced by:  nnap0  9283  nngt0i  9284  nn2ge  9287  nn1gt1  9288  nnsub  9293  nngt0d  9298  nnrecl  9511  nn0ge0  9538  0mnnnnn0  9545  elnnnn0b  9557  elnnz  9604  elnn0z  9607  ztri3or0  9636  nnnle0  9643  nnm1ge0  9682  gtndiv  9691  elpq  9999  elpqb  10000  nnrp  10014  nnledivrp  10117  fzo1fzo0n0  10544  ubmelfzo  10567  adddivflid  10676  flltdivnn0lt  10688  intfracq  10706  zmodcl  10730  zmodfz  10732  zmodid2  10738  m1modnnsub1  10756  expnnval  10928  nnlesq  11029  facdiv  11125  faclbnd  11128  bc0k  11143  ccatval21sw  11318  ccats1pfxeqrex  11432  dvdsval3  12502  nndivdvds  12507  moddvds  12510  evennn2n  12594  nnoddm1d2  12621  divalglemnn  12629  ndvdssub  12641  ndvdsadd  12642  modgcd  12712  sqgcd  12750  lcmgcdlem  12799  qredeu  12819  divdenle  12919  hashgcdlem  12960  oddprm  12982  pythagtriplem12  12998  pythagtriplem13  12999  pythagtriplem14  13000  pythagtriplem16  13002  pythagtriplem19  13005  pc2dvds  13053  fldivp1  13071  modsubi  13142  ballotfilemonn  13165  znnen  13233  exmidunben  13261  mulgnn  13927  mulgnegnn  13933  mulgmodid  13962  znf1o  14911  znidomb  14918  pellexlem1  15957  lgsval4a  16007  lgsne0  16023  gausslemma2dlem1a  16043  clwwlknonccat  16540