Theorem nngt0 8882

Description: A positive integer is positive. (Contributed by NM, 26-Sep-1999.)

Assertion

Ref	Expression
nngt0	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)

Proof of Theorem nngt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 8864	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
2		nnge1 8880	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐴)
3		0lt1 8025	. . 3 ⊢ 0 < 1
4		0re 7899	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
5		1re 7898	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
6		ltletr 7988	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝐴) → 0 < 𝐴))
7	4, 5, 6	mp3an12 1317	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝐴) → 0 < 𝐴))
8	3, 7	mpani 427	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (1 ≤ 𝐴 → 0 < 𝐴))
9	1, 2, 8	sylc 62	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∈ wcel 2136   class class class wbr 3982  ℝcr 7752  0cc0 7753  1c1 7754   < clt 7933   ≤ cle 7934  ℕcn 8857

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1re 7847  ax-addrcl 7850  ax-0lt1 7859  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-ltadd 7869

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-rab 2453  df-v 2728  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-br 3983  df-opab 4044  df-xp 4610  df-cnv 4612  df-iota 5153  df-fv 5196  df-ov 5845  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-inn 8858

This theorem is referenced by:  nnap0  8886  nngt0i  8887  nn2ge  8890  nn1gt1  8891  nnsub  8896  nngt0d  8901  nnrecl  9112  nn0ge0  9139  0mnnnnn0  9146  elnnnn0b  9158  elnnz  9201  elnn0z  9204  ztri3or0  9233  nnm1ge0  9277  gtndiv  9286  elpq  9586  elpqb  9587  nnrp  9599  nnledivrp  9702  fzo1fzo0n0  10118  ubmelfzo  10135  adddivflid  10227  flltdivnn0lt  10239  intfracq  10255  zmodcl  10279  zmodfz  10281  zmodid2  10287  m1modnnsub1  10305  expnnval  10458  nnlesq  10558  facdiv  10651  faclbnd  10654  bc0k  10669  dvdsval3  11731  nndivdvds  11736  moddvds  11739  evennn2n  11820  nnoddm1d2  11847  divalglemnn  11855  ndvdssub  11867  ndvdsadd  11868  modgcd  11924  sqgcd  11962  lcmgcdlem  12009  qredeu  12029  divdenle  12129  hashgcdlem  12170  oddprm  12191  pythagtriplem12  12207  pythagtriplem13  12208  pythagtriplem14  12209  pythagtriplem16  12211  pythagtriplem19  12214  pc2dvds  12261  fldivp1  12278  znnen  12331  exmidunben  12359  lgsval4a  13563  lgsne0  13579