Theorem nngt0 8938

Description: A positive integer is positive. (Contributed by NM, 26-Sep-1999.)

Assertion

Ref	Expression
nngt0	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)

Proof of Theorem nngt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 8920	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
2		nnge1 8936	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐴)
3		0lt1 8078	. . 3 ⊢ 0 < 1
4		0re 7952	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
5		1re 7951	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
6		ltletr 8041	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝐴) → 0 < 𝐴))
7	4, 5, 6	mp3an12 1327	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝐴) → 0 < 𝐴))
8	3, 7	mpani 430	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (1 ≤ 𝐴 → 0 < 𝐴))
9	1, 2, 8	sylc 62	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2148   class class class wbr 4001  ℝcr 7805  0cc0 7806  1c1 7807   < clt 7986   ≤ cle 7987  ℕcn 8913

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4119  ax-pow 4172  ax-pr 4207  ax-un 4431  ax-setind 4534  ax-cnex 7897  ax-resscn 7898  ax-1re 7900  ax-addrcl 7903  ax-0lt1 7912  ax-0id 7914  ax-rnegex 7915  ax-pre-ltirr 7918  ax-pre-ltwlin 7919  ax-pre-lttrn 7920  ax-pre-ltadd 7922

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3809  df-int 3844  df-br 4002  df-opab 4063  df-xp 4630  df-cnv 4632  df-iota 5175  df-fv 5221  df-ov 5873  df-pnf 7988  df-mnf 7989  df-xr 7990  df-ltxr 7991  df-le 7992  df-inn 8914

This theorem is referenced by:  nnap0  8942  nngt0i  8943  nn2ge  8946  nn1gt1  8947  nnsub  8952  nngt0d  8957  nnrecl  9168  nn0ge0  9195  0mnnnnn0  9202  elnnnn0b  9214  elnnz  9257  elnn0z  9260  ztri3or0  9289  nnm1ge0  9333  gtndiv  9342  elpq  9642  elpqb  9643  nnrp  9657  nnledivrp  9760  fzo1fzo0n0  10176  ubmelfzo  10193  adddivflid  10285  flltdivnn0lt  10297  intfracq  10313  zmodcl  10337  zmodfz  10339  zmodid2  10345  m1modnnsub1  10363  expnnval  10516  nnlesq  10616  facdiv  10709  faclbnd  10712  bc0k  10727  dvdsval3  11789  nndivdvds  11794  moddvds  11797  evennn2n  11878  nnoddm1d2  11905  divalglemnn  11913  ndvdssub  11925  ndvdsadd  11926  modgcd  11982  sqgcd  12020  lcmgcdlem  12067  qredeu  12087  divdenle  12187  hashgcdlem  12228  oddprm  12249  pythagtriplem12  12265  pythagtriplem13  12266  pythagtriplem14  12267  pythagtriplem16  12269  pythagtriplem19  12272  pc2dvds  12319  fldivp1  12336  znnen  12389  exmidunben  12417  mulgnn  12917  mulgnegnn  12921  mulgmodid  12949  lgsval4a  14205  lgsne0  14221