Theorem nngt0 9123

Description: A positive integer is positive. (Contributed by NM, 26-Sep-1999.)

Assertion

Ref	Expression
nngt0	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)

Proof of Theorem nngt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 9105	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
2		nnge1 9121	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐴)
3		0lt1 8261	. . 3 ⊢ 0 < 1
4		0re 8134	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
5		1re 8133	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
6		ltletr 8224	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝐴) → 0 < 𝐴))
7	4, 5, 6	mp3an12 1361	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝐴) → 0 < 𝐴))
8	3, 7	mpani 430	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (1 ≤ 𝐴 → 0 < 𝐴))
9	1, 2, 8	sylc 62	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4082  ℝcr 7986  0cc0 7987  1c1 7988   < clt 8169   ≤ cle 8170  ℕcn 9098

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4521  ax-setind 4626  ax-cnex 8078  ax-resscn 8079  ax-1re 8081  ax-addrcl 8084  ax-0lt1 8093  ax-0id 8095  ax-rnegex 8096  ax-pre-ltirr 8099  ax-pre-ltwlin 8100  ax-pre-lttrn 8101  ax-pre-ltadd 8103

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-br 4083  df-opab 4145  df-xp 4722  df-cnv 4724  df-iota 5274  df-fv 5322  df-ov 5997  df-pnf 8171  df-mnf 8172  df-xr 8173  df-ltxr 8174  df-le 8175  df-inn 9099

This theorem is referenced by:  nnap0  9127  nngt0i  9128  nn2ge  9131  nn1gt1  9132  nnsub  9137  nngt0d  9142  nnrecl  9355  nn0ge0  9382  0mnnnnn0  9389  elnnnn0b  9401  elnnz  9444  elnn0z  9447  ztri3or0  9476  nnnle0  9483  nnm1ge0  9521  gtndiv  9530  elpq  9832  elpqb  9833  nnrp  9847  nnledivrp  9950  fzo1fzo0n0  10371  ubmelfzo  10393  adddivflid  10499  flltdivnn0lt  10511  intfracq  10529  zmodcl  10553  zmodfz  10555  zmodid2  10561  m1modnnsub1  10579  expnnval  10751  nnlesq  10852  facdiv  10947  faclbnd  10950  bc0k  10965  ccatval21sw  11126  ccats1pfxeqrex  11233  dvdsval3  12288  nndivdvds  12293  moddvds  12296  evennn2n  12380  nnoddm1d2  12407  divalglemnn  12415  ndvdssub  12427  ndvdsadd  12428  modgcd  12498  sqgcd  12536  lcmgcdlem  12585  qredeu  12605  divdenle  12705  hashgcdlem  12746  oddprm  12768  pythagtriplem12  12784  pythagtriplem13  12785  pythagtriplem14  12786  pythagtriplem16  12788  pythagtriplem19  12791  pc2dvds  12839  fldivp1  12857  modsubi  12928  znnen  12955  exmidunben  12983  mulgnn  13649  mulgnegnn  13655  mulgmodid  13684  znf1o  14600  znidomb  14607  lgsval4a  15686  lgsne0  15702  gausslemma2dlem1a  15722