Theorem nngt0 9330

Description: A positive integer is positive. (Contributed by NM, 26-Sep-1999.)

Assertion

Ref	Expression
nngt0	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)

Proof of Theorem nngt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 9312	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
2		nnge1 9328	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐴)
3		0lt1 8453	. . 3 ⊢ 0 < 1
4		0re 8326	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
5		1re 8325	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
6		ltletr 8415	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝐴) → 0 < 𝐴))
7	4, 5, 6	mp3an12 1368	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝐴) → 0 < 𝐴))
8	3, 7	mpani 434	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (1 ≤ 𝐴 → 0 < 𝐴))
9	1, 2, 8	sylc 62	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4130  ℝcr 8178  0cc0 8179  1c1 8180   < clt 8360   ≤ cle 8361  ℕcn 9305

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1re 8273  ax-addrcl 8276  ax-0lt1 8285  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-xp 4780  df-cnv 4782  df-iota 5337  df-fv 5385  df-ov 6088  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-inn 9306

This theorem is used by:  nnap0  9334  nngt0i  9335  nn2ge  9338  nn1gt1  9339  nnsub  9344  nngt0d  9349  nnrecl  9563  nn0ge0  9590  0mnnnnn0  9597  elnnnn0b  9609  elnnz  9656  elnn0z  9659  ztri3or0  9688  nnnle0  9695  nnm1ge0  9734  gtndiv  9743  elpq  10051  elpqb  10052  nnrp  10066  nnledivrp  10169  fzo1fzo0n0  10597  ubmelfzo  10620  adddivflid  10729  flltdivnn0lt  10741  intfracq  10759  zmodcl  10783  zmodfz  10785  zmodid2  10791  m1modnnsub1  10809  expnnval  10981  nnlesq  11082  facdiv  11178  faclbnd  11181  bc0k  11196  ccatval21sw  11375  ccats1pfxeqrex  11489  dvdsval3  12560  nndivdvds  12565  moddvds  12568  evennn2n  12652  nnoddm1d2  12679  divalglemnn  12687  ndvdssub  12699  ndvdsadd  12700  modgcd  12770  sqgcd  12808  lcmgcdlem  12857  qredeu  12877  divdenle  12977  hashgcdlem  13018  oddprm  13040  pythagtriplem12  13056  pythagtriplem13  13057  pythagtriplem14  13058  pythagtriplem16  13060  pythagtriplem19  13063  pc2dvds  13111  fldivp1  13129  modsubi  13200  ballotfilemonn  13223  znnen  13291  exmidunben  13319  mulgnn  13931  mulgnegnn  13937  mulgmodid  13966  znf1o  14988  znidomb  14995  pellexlem1  16097  bcmono  16124  lgsval4a  16153  lgsne0  16169  gausslemma2dlem1a  16189  clwwlknonccat  16686