Theorem nngt0 8738

Description: A positive integer is positive. (Contributed by NM, 26-Sep-1999.)

Assertion

Ref	Expression
nngt0	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)

Proof of Theorem nngt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 8720	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
2		nnge1 8736	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐴)
3		0lt1 7882	. . 3 ⊢ 0 < 1
4		0re 7759	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
5		1re 7758	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
6		ltletr 7846	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝐴) → 0 < 𝐴))
7	4, 5, 6	mp3an12 1305	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝐴) → 0 < 𝐴))
8	3, 7	mpani 426	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (1 ≤ 𝐴 → 0 < 𝐴))
9	1, 2, 8	sylc 62	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∈ wcel 1480   class class class wbr 3924  ℝcr 7612  0cc0 7613  1c1 7614   < clt 7793   ≤ cle 7794  ℕcn 8713

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1re 7707  ax-addrcl 7710  ax-0lt1 7719  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-ltadd 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-rab 2423  df-v 2683  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-br 3925  df-opab 3985  df-xp 4540  df-cnv 4542  df-iota 5083  df-fv 5126  df-ov 5770  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-inn 8714

This theorem is referenced by:  nnap0  8742  nngt0i  8743  nn2ge  8746  nn1gt1  8747  nnsub  8752  nngt0d  8757  nnrecl  8968  nn0ge0  8995  0mnnnnn0  9002  elnnnn0b  9014  elnnz  9057  elnn0z  9060  ztri3or0  9089  nnm1ge0  9130  gtndiv  9139  nnrp  9444  nnledivrp  9546  fzo1fzo0n0  9953  ubmelfzo  9970  adddivflid  10058  flltdivnn0lt  10070  intfracq  10086  zmodcl  10110  zmodfz  10112  zmodid2  10118  m1modnnsub1  10136  expnnval  10289  nnlesq  10389  facdiv  10477  faclbnd  10480  bc0k  10495  dvdsval3  11486  nndivdvds  11488  moddvds  11491  evennn2n  11569  nnoddm1d2  11596  divalglemnn  11604  ndvdssub  11616  ndvdsadd  11617  modgcd  11668  sqgcd  11706  lcmgcdlem  11747  qredeu  11767  divdenle  11864  hashgcdlem  11892  znnen  11900  exmidunben  11928