Theorem nngt0 8903

Description: A positive integer is positive. (Contributed by NM, 26-Sep-1999.)

Assertion

Ref	Expression
nngt0	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)

Proof of Theorem nngt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 8885	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
2		nnge1 8901	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐴)
3		0lt1 8046	. . 3 ⊢ 0 < 1
4		0re 7920	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
5		1re 7919	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
6		ltletr 8009	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝐴) → 0 < 𝐴))
7	4, 5, 6	mp3an12 1322	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝐴) → 0 < 𝐴))
8	3, 7	mpani 428	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (1 ≤ 𝐴 → 0 < 𝐴))
9	1, 2, 8	sylc 62	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∈ wcel 2141   class class class wbr 3989  ℝcr 7773  0cc0 7774  1c1 7775   < clt 7954   ≤ cle 7955  ℕcn 8878

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1re 7868  ax-addrcl 7871  ax-0lt1 7880  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-ltadd 7890

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-br 3990  df-opab 4051  df-xp 4617  df-cnv 4619  df-iota 5160  df-fv 5206  df-ov 5856  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-inn 8879

This theorem is referenced by:  nnap0  8907  nngt0i  8908  nn2ge  8911  nn1gt1  8912  nnsub  8917  nngt0d  8922  nnrecl  9133  nn0ge0  9160  0mnnnnn0  9167  elnnnn0b  9179  elnnz  9222  elnn0z  9225  ztri3or0  9254  nnm1ge0  9298  gtndiv  9307  elpq  9607  elpqb  9608  nnrp  9620  nnledivrp  9723  fzo1fzo0n0  10139  ubmelfzo  10156  adddivflid  10248  flltdivnn0lt  10260  intfracq  10276  zmodcl  10300  zmodfz  10302  zmodid2  10308  m1modnnsub1  10326  expnnval  10479  nnlesq  10579  facdiv  10672  faclbnd  10675  bc0k  10690  dvdsval3  11753  nndivdvds  11758  moddvds  11761  evennn2n  11842  nnoddm1d2  11869  divalglemnn  11877  ndvdssub  11889  ndvdsadd  11890  modgcd  11946  sqgcd  11984  lcmgcdlem  12031  qredeu  12051  divdenle  12151  hashgcdlem  12192  oddprm  12213  pythagtriplem12  12229  pythagtriplem13  12230  pythagtriplem14  12231  pythagtriplem16  12233  pythagtriplem19  12236  pc2dvds  12283  fldivp1  12300  znnen  12353  exmidunben  12381  lgsval4a  13717  lgsne0  13733