Theorem nngt0 9312

Description: A positive integer is positive. (Contributed by NM, 26-Sep-1999.)

Assertion

Ref	Expression
nngt0	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)

Proof of Theorem nngt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 9294	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
2		nnge1 9310	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐴)
3		0lt1 8447	. . 3 ⊢ 0 < 1
4		0re 8320	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
5		1re 8319	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
6		ltletr 8409	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝐴) → 0 < 𝐴))
7	4, 5, 6	mp3an12 1368	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝐴) → 0 < 𝐴))
8	3, 7	mpani 434	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (1 ≤ 𝐴 → 0 < 𝐴))
9	1, 2, 8	sylc 62	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4128  ℝcr 8172  0cc0 8173  1c1 8174   < clt 8354   ≤ cle 8355  ℕcn 9287

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1re 8267  ax-addrcl 8270  ax-0lt1 8279  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-ltwlin 8286  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-ltadd 8289

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-br 4129  df-opab 4191  df-xp 4778  df-cnv 4780  df-iota 5335  df-fv 5383  df-ov 6082  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-xr 8358  df-ltxr 8359  df-le 8360  df-inn 9288

This theorem is referenced by:  nnap0  9316  nngt0i  9317  nn2ge  9320  nn1gt1  9321  nnsub  9326  nngt0d  9331  nnrecl  9544  nn0ge0  9571  0mnnnnn0  9578  elnnnn0b  9590  elnnz  9637  elnn0z  9640  ztri3or0  9669  nnnle0  9676  nnm1ge0  9715  gtndiv  9724  elpq  10032  elpqb  10033  nnrp  10047  nnledivrp  10150  fzo1fzo0n0  10578  ubmelfzo  10601  adddivflid  10710  flltdivnn0lt  10722  intfracq  10740  zmodcl  10764  zmodfz  10766  zmodid2  10772  m1modnnsub1  10790  expnnval  10962  nnlesq  11063  facdiv  11159  faclbnd  11162  bc0k  11177  ccatval21sw  11356  ccats1pfxeqrex  11470  dvdsval3  12541  nndivdvds  12546  moddvds  12549  evennn2n  12633  nnoddm1d2  12660  divalglemnn  12668  ndvdssub  12680  ndvdsadd  12681  modgcd  12751  sqgcd  12789  lcmgcdlem  12838  qredeu  12858  divdenle  12958  hashgcdlem  12999  oddprm  13021  pythagtriplem12  13037  pythagtriplem13  13038  pythagtriplem14  13039  pythagtriplem16  13041  pythagtriplem19  13044  pc2dvds  13092  fldivp1  13110  modsubi  13181  ballotfilemonn  13204  znnen  13272  exmidunben  13300  mulgnn  13912  mulgnegnn  13918  mulgmodid  13947  znf1o  14969  znidomb  14976  pellexlem1  16074  lgsval4a  16124  lgsne0  16140  gausslemma2dlem1a  16160  clwwlknonccat  16657