Theorem nngt0 9007

Description: A positive integer is positive. (Contributed by NM, 26-Sep-1999.)

Assertion

Ref	Expression
nngt0	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)

Proof of Theorem nngt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 8989	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
2		nnge1 9005	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐴)
3		0lt1 8146	. . 3 ⊢ 0 < 1
4		0re 8019	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
5		1re 8018	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
6		ltletr 8109	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝐴) → 0 < 𝐴))
7	4, 5, 6	mp3an12 1338	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝐴) → 0 < 𝐴))
8	3, 7	mpani 430	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (1 ≤ 𝐴 → 0 < 𝐴))
9	1, 2, 8	sylc 62	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2164   class class class wbr 4029  ℝcr 7871  0cc0 7872  1c1 7873   < clt 8054   ≤ cle 8055  ℕcn 8982

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1re 7966  ax-addrcl 7969  ax-0lt1 7978  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-ltadd 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-br 4030  df-opab 4091  df-xp 4665  df-cnv 4667  df-iota 5215  df-fv 5262  df-ov 5921  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-inn 8983

This theorem is referenced by:  nnap0  9011  nngt0i  9012  nn2ge  9015  nn1gt1  9016  nnsub  9021  nngt0d  9026  nnrecl  9238  nn0ge0  9265  0mnnnnn0  9272  elnnnn0b  9284  elnnz  9327  elnn0z  9330  ztri3or0  9359  nnm1ge0  9403  gtndiv  9412  elpq  9714  elpqb  9715  nnrp  9729  nnledivrp  9832  fzo1fzo0n0  10250  ubmelfzo  10267  adddivflid  10361  flltdivnn0lt  10373  intfracq  10391  zmodcl  10415  zmodfz  10417  zmodid2  10423  m1modnnsub1  10441  expnnval  10613  nnlesq  10714  facdiv  10809  faclbnd  10812  bc0k  10827  dvdsval3  11934  nndivdvds  11939  moddvds  11942  evennn2n  12024  nnoddm1d2  12051  divalglemnn  12059  ndvdssub  12071  ndvdsadd  12072  modgcd  12128  sqgcd  12166  lcmgcdlem  12215  qredeu  12235  divdenle  12335  hashgcdlem  12376  oddprm  12397  pythagtriplem12  12413  pythagtriplem13  12414  pythagtriplem14  12415  pythagtriplem16  12417  pythagtriplem19  12420  pc2dvds  12468  fldivp1  12486  znnen  12555  exmidunben  12583  mulgnn  13196  mulgnegnn  13202  mulgmodid  13231  znf1o  14139  znidomb  14146  lgsval4a  15138  lgsne0  15154  gausslemma2dlem1a  15174