Theorem nngt0 9009

Description: A positive integer is positive. (Contributed by NM, 26-Sep-1999.)

Assertion

Ref	Expression
nngt0	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)

Proof of Theorem nngt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 8991	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
2		nnge1 9007	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐴)
3		0lt1 8148	. . 3 ⊢ 0 < 1
4		0re 8021	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
5		1re 8020	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
6		ltletr 8111	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝐴) → 0 < 𝐴))
7	4, 5, 6	mp3an12 1338	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝐴) → 0 < 𝐴))
8	3, 7	mpani 430	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (1 ≤ 𝐴 → 0 < 𝐴))
9	1, 2, 8	sylc 62	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2164   class class class wbr 4030  ℝcr 7873  0cc0 7874  1c1 7875   < clt 8056   ≤ cle 8057  ℕcn 8984

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1re 7968  ax-addrcl 7971  ax-0lt1 7980  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-ltadd 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-br 4031  df-opab 4092  df-xp 4666  df-cnv 4668  df-iota 5216  df-fv 5263  df-ov 5922  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-inn 8985

This theorem is referenced by:  nnap0  9013  nngt0i  9014  nn2ge  9017  nn1gt1  9018  nnsub  9023  nngt0d  9028  nnrecl  9241  nn0ge0  9268  0mnnnnn0  9275  elnnnn0b  9287  elnnz  9330  elnn0z  9333  ztri3or0  9362  nnm1ge0  9406  gtndiv  9415  elpq  9717  elpqb  9718  nnrp  9732  nnledivrp  9835  fzo1fzo0n0  10253  ubmelfzo  10270  adddivflid  10364  flltdivnn0lt  10376  intfracq  10394  zmodcl  10418  zmodfz  10420  zmodid2  10426  m1modnnsub1  10444  expnnval  10616  nnlesq  10717  facdiv  10812  faclbnd  10815  bc0k  10830  dvdsval3  11937  nndivdvds  11942  moddvds  11945  evennn2n  12027  nnoddm1d2  12054  divalglemnn  12062  ndvdssub  12074  ndvdsadd  12075  modgcd  12131  sqgcd  12169  lcmgcdlem  12218  qredeu  12238  divdenle  12338  hashgcdlem  12379  oddprm  12400  pythagtriplem12  12416  pythagtriplem13  12417  pythagtriplem14  12418  pythagtriplem16  12420  pythagtriplem19  12423  pc2dvds  12471  fldivp1  12489  znnen  12558  exmidunben  12586  mulgnn  13199  mulgnegnn  13205  mulgmodid  13234  znf1o  14150  znidomb  14157  lgsval4a  15179  lgsne0  15195  gausslemma2dlem1a  15215