Theorem nngt0 9261

Description: A positive integer is positive. (Contributed by NM, 26-Sep-1999.)

Assertion

Ref	Expression
nngt0	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)

Proof of Theorem nngt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 9243	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
2		nnge1 9259	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐴)
3		0lt1 8399	. . 3 ⊢ 0 < 1
4		0re 8273	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
5		1re 8272	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
6		ltletr 8362	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝐴) → 0 < 𝐴))
7	4, 5, 6	mp3an12 1364	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝐴) → 0 < 𝐴))
8	3, 7	mpani 430	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (1 ≤ 𝐴 → 0 < 𝐴))
9	1, 2, 8	sylc 62	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2203   class class class wbr 4108  ℝcr 8125  0cc0 8126  1c1 8127   < clt 8307   ≤ cle 8308  ℕcn 9236

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4227  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-cnex 8217  ax-resscn 8218  ax-1re 8220  ax-addrcl 8223  ax-0lt1 8232  ax-0id 8234  ax-rnegex 8235  ax-pre-ltirr 8238  ax-pre-ltwlin 8239  ax-pre-lttrn 8240  ax-pre-ltadd 8242

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-rab 2529  df-v 2814  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-br 4109  df-opab 4171  df-xp 4754  df-cnv 4756  df-iota 5311  df-fv 5359  df-ov 6052  df-pnf 8309  df-mnf 8310  df-xr 8311  df-ltxr 8312  df-le 8313  df-inn 9237

This theorem is referenced by:  nnap0  9265  nngt0i  9266  nn2ge  9269  nn1gt1  9270  nnsub  9275  nngt0d  9280  nnrecl  9493  nn0ge0  9520  0mnnnnn0  9527  elnnnn0b  9539  elnnz  9586  elnn0z  9589  ztri3or0  9618  nnnle0  9625  nnm1ge0  9663  gtndiv  9672  elpq  9980  elpqb  9981  nnrp  9995  nnledivrp  10098  fzo1fzo0n0  10521  ubmelfzo  10544  adddivflid  10651  flltdivnn0lt  10663  intfracq  10681  zmodcl  10705  zmodfz  10707  zmodid2  10713  m1modnnsub1  10731  expnnval  10903  nnlesq  11004  facdiv  11099  faclbnd  11102  bc0k  11117  ccatval21sw  11289  ccats1pfxeqrex  11403  dvdsval3  12473  nndivdvds  12478  moddvds  12481  evennn2n  12565  nnoddm1d2  12592  divalglemnn  12600  ndvdssub  12612  ndvdsadd  12613  modgcd  12683  sqgcd  12721  lcmgcdlem  12770  qredeu  12790  divdenle  12890  hashgcdlem  12931  oddprm  12953  pythagtriplem12  12969  pythagtriplem13  12970  pythagtriplem14  12971  pythagtriplem16  12973  pythagtriplem19  12976  pc2dvds  13024  fldivp1  13042  modsubi  13113  znnen  13141  exmidunben  13169  mulgnn  13835  mulgnegnn  13841  mulgmodid  13870  znf1o  14791  znidomb  14798  pellexlem1  15837  lgsval4a  15887  lgsne0  15903  gausslemma2dlem1a  15923  clwwlknonccat  16420