Theorem nngt0 9151

Description: A positive integer is positive. (Contributed by NM, 26-Sep-1999.)

Assertion

Ref	Expression
nngt0	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)

Proof of Theorem nngt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 9133	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
2		nnge1 9149	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐴)
3		0lt1 8289	. . 3 ⊢ 0 < 1
4		0re 8162	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
5		1re 8161	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
6		ltletr 8252	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝐴) → 0 < 𝐴))
7	4, 5, 6	mp3an12 1361	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝐴) → 0 < 𝐴))
8	3, 7	mpani 430	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (1 ≤ 𝐴 → 0 < 𝐴))
9	1, 2, 8	sylc 62	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4083  ℝcr 8014  0cc0 8015  1c1 8016   < clt 8197   ≤ cle 8198  ℕcn 9126

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-setind 4630  ax-cnex 8106  ax-resscn 8107  ax-1re 8109  ax-addrcl 8112  ax-0lt1 8121  ax-0id 8123  ax-rnegex 8124  ax-pre-ltirr 8127  ax-pre-ltwlin 8128  ax-pre-lttrn 8129  ax-pre-ltadd 8131

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-xp 4726  df-cnv 4728  df-iota 5281  df-fv 5329  df-ov 6013  df-pnf 8199  df-mnf 8200  df-xr 8201  df-ltxr 8202  df-le 8203  df-inn 9127

This theorem is referenced by:  nnap0  9155  nngt0i  9156  nn2ge  9159  nn1gt1  9160  nnsub  9165  nngt0d  9170  nnrecl  9383  nn0ge0  9410  0mnnnnn0  9417  elnnnn0b  9429  elnnz  9472  elnn0z  9475  ztri3or0  9504  nnnle0  9511  nnm1ge0  9549  gtndiv  9558  elpq  9861  elpqb  9862  nnrp  9876  nnledivrp  9979  fzo1fzo0n0  10400  ubmelfzo  10423  adddivflid  10529  flltdivnn0lt  10541  intfracq  10559  zmodcl  10583  zmodfz  10585  zmodid2  10591  m1modnnsub1  10609  expnnval  10781  nnlesq  10882  facdiv  10977  faclbnd  10980  bc0k  10995  ccatval21sw  11158  ccats1pfxeqrex  11268  dvdsval3  12323  nndivdvds  12328  moddvds  12331  evennn2n  12415  nnoddm1d2  12442  divalglemnn  12450  ndvdssub  12462  ndvdsadd  12463  modgcd  12533  sqgcd  12571  lcmgcdlem  12620  qredeu  12640  divdenle  12740  hashgcdlem  12781  oddprm  12803  pythagtriplem12  12819  pythagtriplem13  12820  pythagtriplem14  12821  pythagtriplem16  12823  pythagtriplem19  12826  pc2dvds  12874  fldivp1  12892  modsubi  12963  znnen  12990  exmidunben  13018  mulgnn  13684  mulgnegnn  13690  mulgmodid  13719  znf1o  14636  znidomb  14643  lgsval4a  15722  lgsne0  15738  gausslemma2dlem1a  15758