Theorem nngt0 9339

Description: A positive integer is positive. (Contributed by NM, 26-Sep-1999.)

Assertion

Ref	Expression
nngt0	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)

Proof of Theorem nngt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 9321	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
2		nnge1 9337	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐴)
3		0lt1 8461	. . 3 ⊢ 0 < 1
4		0re 8333	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
5		1re 8332	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
6		ltletr 8422	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝐴) → 0 < 𝐴))
7	4, 5, 6	mp3an12 1368	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝐴) → 0 < 𝐴))
8	3, 7	mpani 434	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (1 ≤ 𝐴 → 0 < 𝐴))
9	1, 2, 8	sylc 62	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4131  ℝcr 8185  0cc0 8186  1c1 8187   < clt 8367   ≤ cle 8368  ℕcn 9314

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1re 8280  ax-addrcl 8283  ax-0lt1 8292  ax-0id 8294  ax-rnegex 8295  ax-pre-ltirr 8298  ax-pre-ltwlin 8299  ax-pre-lttrn 8300  ax-pre-ltadd 8302

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-opab 4194  df-xp 4782  df-cnv 4784  df-iota 5340  df-fv 5388  df-ov 6091  df-pnf 8369  df-mnf 8370  df-xr 8371  df-ltxr 8372  df-le 8373  df-inn 9315

This theorem is used by:  nnap0  9343  nngt0i  9344  nn2ge  9347  nn1gt1  9348  nnsub  9353  nngt0d  9358  nnrecl  9573  nn0ge0  9600  0mnnnnn0  9607  elnnnn0b  9619  elnnz  9666  elnn0z  9669  ztri3or0  9698  nnnle0  9705  nnm1ge0  9744  gtndiv  9753  elpq  10067  elpqb  10068  nnrp  10082  nnledivrp  10185  fzo1fzo0n0  10613  ubmelfzo  10636  adddivflid  10749  flltdivnn0lt  10761  intfracq  10779  zmodcl  10803  zmodfz  10805  zmodid2  10811  m1modnnsub1  10829  expnnval  11001  nnlesq  11102  facdiv  11199  faclbnd  11202  bc0k  11217  ccatval21sw  11396  ccats1pfxeqrex  11510  dvdsval3  12584  nndivdvds  12589  moddvds  12592  evennn2n  12676  nnoddm1d2  12703  divalglemnn  12711  ndvdssub  12723  ndvdsadd  12724  modgcd  12794  sqgcd  12832  lcmgcdlem  12881  qredeu  12901  divdenle  13003  hashgcdlem  13046  oddprm  13068  pythagtriplem12  13084  pythagtriplem13  13085  pythagtriplem14  13086  pythagtriplem16  13088  pythagtriplem19  13091  pc2dvds  13139  fldivp1  13157  modsubi  13229  ballotfilemonn  13280  znnen  13348  exmidunben  13376  mulgnn  13989  mulgnegnn  13995  mulgmodid  14024  znf1o  15096  znidomb  15103  pellexlem1  16241  bcmono  16316  bposlem5  16327  bposlem6  16328  lgsval4a  16358  lgsne0  16374  gausslemma2dlem1a  16394  clwwlknonccat  16891