Theorem nngt0 9211

Description: A positive integer is positive. (Contributed by NM, 26-Sep-1999.)

Assertion

Ref	Expression
nngt0	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)

Proof of Theorem nngt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 9193	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
2		nnge1 9209	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐴)
3		0lt1 8349	. . 3 ⊢ 0 < 1
4		0re 8222	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
5		1re 8221	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
6		ltletr 8312	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝐴) → 0 < 𝐴))
7	4, 5, 6	mp3an12 1364	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝐴) → 0 < 𝐴))
8	3, 7	mpani 430	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (1 ≤ 𝐴 → 0 < 𝐴))
9	1, 2, 8	sylc 62	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2202   class class class wbr 4093  ℝcr 8074  0cc0 8075  1c1 8076   < clt 8257   ≤ cle 8258  ℕcn 9186

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1re 8169  ax-addrcl 8172  ax-0lt1 8181  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-ltadd 8191

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-rab 2520  df-v 2805  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-opab 4156  df-xp 4737  df-cnv 4739  df-iota 5293  df-fv 5341  df-ov 6031  df-pnf 8259  df-mnf 8260  df-xr 8261  df-ltxr 8262  df-le 8263  df-inn 9187

This theorem is referenced by:  nnap0  9215  nngt0i  9216  nn2ge  9219  nn1gt1  9220  nnsub  9225  nngt0d  9230  nnrecl  9443  nn0ge0  9470  0mnnnnn0  9477  elnnnn0b  9489  elnnz  9532  elnn0z  9535  ztri3or0  9564  nnnle0  9571  nnm1ge0  9609  gtndiv  9618  elpq  9926  elpqb  9927  nnrp  9941  nnledivrp  10044  fzo1fzo0n0  10466  ubmelfzo  10489  adddivflid  10596  flltdivnn0lt  10608  intfracq  10626  zmodcl  10650  zmodfz  10652  zmodid2  10658  m1modnnsub1  10676  expnnval  10848  nnlesq  10949  facdiv  11044  faclbnd  11047  bc0k  11062  ccatval21sw  11229  ccats1pfxeqrex  11343  dvdsval3  12413  nndivdvds  12418  moddvds  12421  evennn2n  12505  nnoddm1d2  12532  divalglemnn  12540  ndvdssub  12552  ndvdsadd  12553  modgcd  12623  sqgcd  12661  lcmgcdlem  12710  qredeu  12730  divdenle  12830  hashgcdlem  12871  oddprm  12893  pythagtriplem12  12909  pythagtriplem13  12910  pythagtriplem14  12911  pythagtriplem16  12913  pythagtriplem19  12916  pc2dvds  12964  fldivp1  12982  modsubi  13053  znnen  13080  exmidunben  13108  mulgnn  13774  mulgnegnn  13780  mulgmodid  13809  znf1o  14727  znidomb  14734  pellexlem1  15771  lgsval4a  15821  lgsne0  15837  gausslemma2dlem1a  15857  clwwlknonccat  16354