Theorem nsgbi 13990

Description: Defining property of a normal subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
isnsg.1	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
isnsg.2	⊢ + = (+g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
nsgbi	⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑆 ↔ (𝐵 + 𝐴) ∈ 𝑆))

Proof of Theorem nsgbi

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isnsg.1	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
2		isnsg.2	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝐺)
3	1, 2	isnsg 13988	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ↔ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ↔ (𝑦 + 𝑥) ∈ 𝑆)))
4	3	simprbi 275	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ↔ (𝑦 + 𝑥) ∈ 𝑆))
5		oveq1 6086	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 + 𝑦) = (𝐴 + 𝑦))
6	5	eleq1d 2307	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ↔ (𝐴 + 𝑦) ∈ 𝑆))
7		oveq2 6087	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑦 + 𝑥) = (𝑦 + 𝐴))
8	7	eleq1d 2307	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑦 + 𝑥) ∈ 𝑆 ↔ (𝑦 + 𝐴) ∈ 𝑆))
9	6, 8	bibi12d 235	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (((𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ↔ (𝑦 + 𝑥) ∈ 𝑆) ↔ ((𝐴 + 𝑦) ∈ 𝑆 ↔ (𝑦 + 𝐴) ∈ 𝑆)))
10		oveq2 6087	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝐴 + 𝑦) = (𝐴 + 𝐵))
11	10	eleq1d 2307	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → ((𝐴 + 𝑦) ∈ 𝑆 ↔ (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑆))
12		oveq1 6086	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝑦 + 𝐴) = (𝐵 + 𝐴))
13	12	eleq1d 2307	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → ((𝑦 + 𝐴) ∈ 𝑆 ↔ (𝐵 + 𝐴) ∈ 𝑆))
14	11, 13	bibi12d 235	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (((𝐴 + 𝑦) ∈ 𝑆 ↔ (𝑦 + 𝐴) ∈ 𝑆) ↔ ((𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑆 ↔ (𝐵 + 𝐴) ∈ 𝑆)))
15	9, 14	rspc2v 2943	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ↔ (𝑦 + 𝑥) ∈ 𝑆) → ((𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑆 ↔ (𝐵 + 𝐴) ∈ 𝑆)))
16	4, 15	syl5com 29	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑆 ↔ (𝐵 + 𝐴) ∈ 𝑆)))
17	16	3impib 1232	1 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑆 ↔ (𝐵 + 𝐴) ∈ 𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1009   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528  ‘cfv 5375  (class class class)co 6079  Basecbs 13335  +_gcplusg 13414  SubGrpcsubg 13953  NrmSGrpcnsg 13954

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1re 8267  ax-addrcl 8270

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-fv 5383  df-ov 6082  df-inn 9288  df-2 9346  df-ndx 13338  df-slot 13339  df-base 13341  df-plusg 13427  df-subg 13956  df-nsg 13957

This theorem is referenced by:  nsgconj  13992  eqgcpbl  14014