Theorem eqgcpbl 13120

Description: The subgroup coset equivalence relation is compatible with addition when the subgroup is normal. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqger.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
eqger.r	⊢ ∼ = (𝐺 ~QG 𝑌)
eqgcpbl.p	⊢ + = (+g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
eqgcpbl	⊢ (𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → ((𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷) → (𝐴 + 𝐵) ∼ (𝐶 + 𝐷)))

Proof of Theorem eqgcpbl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nsgsubg 13097	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝑌 ∈ (SubGrp‘𝐺))
2	1	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷)) → 𝑌 ∈ (SubGrp‘𝐺))
3		subgrcl 13071	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
4	2, 3	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷)) → 𝐺 ∈ Grp)
5		simprl 529	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷)) → 𝐴 ∼ 𝐶)
6		eqger.x	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
7	6	subgss 13066	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑌 ⊆ 𝑋)
8	2, 7	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷)) → 𝑌 ⊆ 𝑋)
9		eqid 2187	. . . . . . . 8 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
10		eqgcpbl.p	. . . . . . . 8 ⊢ + = (+g‘𝐺)
11		eqger.r	. . . . . . . 8 ⊢ ∼ = (𝐺 ~QG 𝑌)
12	6, 9, 10, 11	eqgval 13115	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋) → (𝐴 ∼ 𝐶 ↔ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋 ∧ (((invg‘𝐺)‘𝐴) + 𝐶) ∈ 𝑌)))
13	4, 8, 12	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷)) → (𝐴 ∼ 𝐶 ↔ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋 ∧ (((invg‘𝐺)‘𝐴) + 𝐶) ∈ 𝑌)))
14	5, 13	mpbid 147	. . . . 5 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷)) → (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋 ∧ (((invg‘𝐺)‘𝐴) + 𝐶) ∈ 𝑌))
15	14	simp1d 1010	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷)) → 𝐴 ∈ 𝑋)
16		simprr 531	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷)) → 𝐵 ∼ 𝐷)
17	6, 9, 10, 11	eqgval 13115	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋) → (𝐵 ∼ 𝐷 ↔ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋 ∧ (((invg‘𝐺)‘𝐵) + 𝐷) ∈ 𝑌)))
18	4, 8, 17	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷)) → (𝐵 ∼ 𝐷 ↔ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋 ∧ (((invg‘𝐺)‘𝐵) + 𝐷) ∈ 𝑌)))
19	16, 18	mpbid 147	. . . . 5 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷)) → (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋 ∧ (((invg‘𝐺)‘𝐵) + 𝐷) ∈ 𝑌))
20	19	simp1d 1010	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷)) → 𝐵 ∈ 𝑋)
21	6, 10	grpcl 12907	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑋)
22	4, 15, 20, 21	syl3anc 1248	. . 3 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷)) → (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑋)
23	14	simp2d 1011	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷)) → 𝐶 ∈ 𝑋)
24	19	simp2d 1011	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷)) → 𝐷 ∈ 𝑋)
25	6, 10	grpcl 12907	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) → (𝐶 + 𝐷) ∈ 𝑋)
26	4, 23, 24, 25	syl3anc 1248	. . 3 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷)) → (𝐶 + 𝐷) ∈ 𝑋)
27	6, 10, 9	grpinvadd 12975	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((invg‘𝐺)‘(𝐴 + 𝐵)) = (((invg‘𝐺)‘𝐵) + ((invg‘𝐺)‘𝐴)))
28	4, 15, 20, 27	syl3anc 1248	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷)) → ((invg‘𝐺)‘(𝐴 + 𝐵)) = (((invg‘𝐺)‘𝐵) + ((invg‘𝐺)‘𝐴)))
29	28	oveq1d 5903	. . . . 5 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷)) → (((invg‘𝐺)‘(𝐴 + 𝐵)) + (𝐶 + 𝐷)) = ((((invg‘𝐺)‘𝐵) + ((invg‘𝐺)‘𝐴)) + (𝐶 + 𝐷)))
30	6, 9	grpinvcl 12945	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((invg‘𝐺)‘𝐵) ∈ 𝑋)
31	4, 20, 30	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷)) → ((invg‘𝐺)‘𝐵) ∈ 𝑋)
32	6, 9	grpinvcl 12945	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((invg‘𝐺)‘𝐴) ∈ 𝑋)
33	4, 15, 32	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷)) → ((invg‘𝐺)‘𝐴) ∈ 𝑋)
34	6, 10	grpass 12908	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (((invg‘𝐺)‘𝐵) ∈ 𝑋 ∧ ((invg‘𝐺)‘𝐴) ∈ 𝑋 ∧ (𝐶 + 𝐷) ∈ 𝑋)) → ((((invg‘𝐺)‘𝐵) + ((invg‘𝐺)‘𝐴)) + (𝐶 + 𝐷)) = (((invg‘𝐺)‘𝐵) + (((invg‘𝐺)‘𝐴) + (𝐶 + 𝐷))))
35	4, 31, 33, 26, 34	syl13anc 1250	. . . . 5 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷)) → ((((invg‘𝐺)‘𝐵) + ((invg‘𝐺)‘𝐴)) + (𝐶 + 𝐷)) = (((invg‘𝐺)‘𝐵) + (((invg‘𝐺)‘𝐴) + (𝐶 + 𝐷))))
36	29, 35	eqtrd 2220	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷)) → (((invg‘𝐺)‘(𝐴 + 𝐵)) + (𝐶 + 𝐷)) = (((invg‘𝐺)‘𝐵) + (((invg‘𝐺)‘𝐴) + (𝐶 + 𝐷))))
37	6, 10	grpass 12908	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (((invg‘𝐺)‘𝐴) ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) → ((((invg‘𝐺)‘𝐴) + 𝐶) + 𝐷) = (((invg‘𝐺)‘𝐴) + (𝐶 + 𝐷)))
38	4, 33, 23, 24, 37	syl13anc 1250	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷)) → ((((invg‘𝐺)‘𝐴) + 𝐶) + 𝐷) = (((invg‘𝐺)‘𝐴) + (𝐶 + 𝐷)))
39	38	oveq1d 5903	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷)) → (((((invg‘𝐺)‘𝐴) + 𝐶) + 𝐷) + ((invg‘𝐺)‘𝐵)) = ((((invg‘𝐺)‘𝐴) + (𝐶 + 𝐷)) + ((invg‘𝐺)‘𝐵)))
40	6, 10	grpcl 12907	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((invg‘𝐺)‘𝐴) ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (((invg‘𝐺)‘𝐴) + 𝐶) ∈ 𝑋)
41	4, 33, 23, 40	syl3anc 1248	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷)) → (((invg‘𝐺)‘𝐴) + 𝐶) ∈ 𝑋)
42	6, 10	grpass 12908	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((((invg‘𝐺)‘𝐴) + 𝐶) ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋 ∧ ((invg‘𝐺)‘𝐵) ∈ 𝑋)) → (((((invg‘𝐺)‘𝐴) + 𝐶) + 𝐷) + ((invg‘𝐺)‘𝐵)) = ((((invg‘𝐺)‘𝐴) + 𝐶) + (𝐷 + ((invg‘𝐺)‘𝐵))))
43	4, 41, 24, 31, 42	syl13anc 1250	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷)) → (((((invg‘𝐺)‘𝐴) + 𝐶) + 𝐷) + ((invg‘𝐺)‘𝐵)) = ((((invg‘𝐺)‘𝐴) + 𝐶) + (𝐷 + ((invg‘𝐺)‘𝐵))))
44	39, 43	eqtr3d 2222	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷)) → ((((invg‘𝐺)‘𝐴) + (𝐶 + 𝐷)) + ((invg‘𝐺)‘𝐵)) = ((((invg‘𝐺)‘𝐴) + 𝐶) + (𝐷 + ((invg‘𝐺)‘𝐵))))
45	14	simp3d 1012	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷)) → (((invg‘𝐺)‘𝐴) + 𝐶) ∈ 𝑌)
46	19	simp3d 1012	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷)) → (((invg‘𝐺)‘𝐵) + 𝐷) ∈ 𝑌)
47		simpl 109	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷)) → 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
48	6, 10	nsgbi 13096	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ ((invg‘𝐺)‘𝐵) ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) → ((((invg‘𝐺)‘𝐵) + 𝐷) ∈ 𝑌 ↔ (𝐷 + ((invg‘𝐺)‘𝐵)) ∈ 𝑌))
49	47, 31, 24, 48	syl3anc 1248	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷)) → ((((invg‘𝐺)‘𝐵) + 𝐷) ∈ 𝑌 ↔ (𝐷 + ((invg‘𝐺)‘𝐵)) ∈ 𝑌))
50	46, 49	mpbid 147	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷)) → (𝐷 + ((invg‘𝐺)‘𝐵)) ∈ 𝑌)
51	10	subgcl 13076	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑌 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (((invg‘𝐺)‘𝐴) + 𝐶) ∈ 𝑌 ∧ (𝐷 + ((invg‘𝐺)‘𝐵)) ∈ 𝑌) → ((((invg‘𝐺)‘𝐴) + 𝐶) + (𝐷 + ((invg‘𝐺)‘𝐵))) ∈ 𝑌)
52	2, 45, 50, 51	syl3anc 1248	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷)) → ((((invg‘𝐺)‘𝐴) + 𝐶) + (𝐷 + ((invg‘𝐺)‘𝐵))) ∈ 𝑌)
53	44, 52	eqeltrd 2264	. . . . 5 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷)) → ((((invg‘𝐺)‘𝐴) + (𝐶 + 𝐷)) + ((invg‘𝐺)‘𝐵)) ∈ 𝑌)
54	6, 10	grpcl 12907	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((invg‘𝐺)‘𝐴) ∈ 𝑋 ∧ (𝐶 + 𝐷) ∈ 𝑋) → (((invg‘𝐺)‘𝐴) + (𝐶 + 𝐷)) ∈ 𝑋)
55	4, 33, 26, 54	syl3anc 1248	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷)) → (((invg‘𝐺)‘𝐴) + (𝐶 + 𝐷)) ∈ 𝑋)
56	6, 10	nsgbi 13096	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (((invg‘𝐺)‘𝐴) + (𝐶 + 𝐷)) ∈ 𝑋 ∧ ((invg‘𝐺)‘𝐵) ∈ 𝑋) → (((((invg‘𝐺)‘𝐴) + (𝐶 + 𝐷)) + ((invg‘𝐺)‘𝐵)) ∈ 𝑌 ↔ (((invg‘𝐺)‘𝐵) + (((invg‘𝐺)‘𝐴) + (𝐶 + 𝐷))) ∈ 𝑌))
57	47, 55, 31, 56	syl3anc 1248	. . . . 5 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷)) → (((((invg‘𝐺)‘𝐴) + (𝐶 + 𝐷)) + ((invg‘𝐺)‘𝐵)) ∈ 𝑌 ↔ (((invg‘𝐺)‘𝐵) + (((invg‘𝐺)‘𝐴) + (𝐶 + 𝐷))) ∈ 𝑌))
58	53, 57	mpbid 147	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷)) → (((invg‘𝐺)‘𝐵) + (((invg‘𝐺)‘𝐴) + (𝐶 + 𝐷))) ∈ 𝑌)
59	36, 58	eqeltrd 2264	. . 3 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷)) → (((invg‘𝐺)‘(𝐴 + 𝐵)) + (𝐶 + 𝐷)) ∈ 𝑌)
60	6, 9, 10, 11	eqgval 13115	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋) → ((𝐴 + 𝐵) ∼ (𝐶 + 𝐷) ↔ ((𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑋 ∧ (𝐶 + 𝐷) ∈ 𝑋 ∧ (((invg‘𝐺)‘(𝐴 + 𝐵)) + (𝐶 + 𝐷)) ∈ 𝑌)))
61	4, 8, 60	syl2anc 411	. . 3 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷)) → ((𝐴 + 𝐵) ∼ (𝐶 + 𝐷) ↔ ((𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑋 ∧ (𝐶 + 𝐷) ∈ 𝑋 ∧ (((invg‘𝐺)‘(𝐴 + 𝐵)) + (𝐶 + 𝐷)) ∈ 𝑌)))
62	22, 26, 59, 61	mpbir3and 1181	. 2 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷)) → (𝐴 + 𝐵) ∼ (𝐶 + 𝐷))
63	62	ex 115	1 ⊢ (𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → ((𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷) → (𝐴 + 𝐵) ∼ (𝐶 + 𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 979   = wceq 1363   ∈ wcel 2158   ⊆ wss 3141   class class class wbr 4015  ‘cfv 5228  (class class class)co 5888  Basecbs 12476  +_gcplusg 12551  Grpcgrp 12899  inv_gcminusg 12900  SubGrpcsubg 13059  NrmSGrpcnsg 13060   ~_QG cqg 13061

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-cnex 7916  ax-resscn 7917  ax-1cn 7918  ax-1re 7919  ax-icn 7920  ax-addcl 7921  ax-addrcl 7922  ax-mulcl 7923  ax-addcom 7925  ax-addass 7927  ax-i2m1 7930  ax-0lt1 7931  ax-0id 7933  ax-rnegex 7934  ax-pre-ltirr 7937  ax-pre-ltadd 7941

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-id 4305  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-pnf 8008  df-mnf 8009  df-ltxr 8011  df-inn 8934  df-2 8992  df-ndx 12479  df-slot 12480  df-base 12482  df-sets 12483  df-iress 12484  df-plusg 12564  df-0g 12725  df-mgm 12794  df-sgrp 12827  df-mnd 12840  df-grp 12902  df-minusg 12903  df-subg 13062  df-nsg 13063  df-eqg 13064

This theorem is referenced by:  qus2idrng  13713  qus1  13714