Theorem nsgconj 13279

Description: The conjugation of an element of a normal subgroup is in the subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
isnsg3.1	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
isnsg3.2	⊢ + = (+g‘𝐺)
isnsg3.3	⊢ − = (-g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
nsgconj	⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐴) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem nsgconj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nsgsubg 13278	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
2	1	3ad2ant1 1020	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
3		subgrcl 13252	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
4	2, 3	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → 𝐺 ∈ Grp)
5		simp2 1000	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → 𝐴 ∈ 𝑋)
6		isnsg3.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
7	6	subgss 13247	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 ⊆ 𝑋)
8	2, 7	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → 𝑆 ⊆ 𝑋)
9		simp3 1001	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → 𝐵 ∈ 𝑆)
10	8, 9	sseldd 3181	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → 𝐵 ∈ 𝑋)
11		isnsg3.2	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝐺)
12		isnsg3.3	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝐺)
13	6, 11, 12	grpaddsubass 13165	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐴) = (𝐴 + (𝐵 − 𝐴)))
14	4, 5, 10, 5, 13	syl13anc 1251	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐴) = (𝐴 + (𝐵 − 𝐴)))
15	6, 11, 12	grpnpcan 13167	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝐵 − 𝐴) + 𝐴) = 𝐵)
16	4, 10, 5, 15	syl3anc 1249	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → ((𝐵 − 𝐴) + 𝐴) = 𝐵)
17	16, 9	eqeltrd 2270	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → ((𝐵 − 𝐴) + 𝐴) ∈ 𝑆)
18		simp1 999	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → 𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
19	6, 12	grpsubcl 13155	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐵 − 𝐴) ∈ 𝑋)
20	4, 10, 5, 19	syl3anc 1249	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝐵 − 𝐴) ∈ 𝑋)
21	6, 11	nsgbi 13277	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐵 − 𝐴) ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (((𝐵 − 𝐴) + 𝐴) ∈ 𝑆 ↔ (𝐴 + (𝐵 − 𝐴)) ∈ 𝑆))
22	18, 20, 5, 21	syl3anc 1249	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (((𝐵 − 𝐴) + 𝐴) ∈ 𝑆 ↔ (𝐴 + (𝐵 − 𝐴)) ∈ 𝑆))
23	17, 22	mpbid 147	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝐴 + (𝐵 − 𝐴)) ∈ 𝑆)
24	14, 23	eqeltrd 2270	1 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐴) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2164   ⊆ wss 3154  ‘cfv 5255  (class class class)co 5919  Basecbs 12621  +_gcplusg 12698  Grpcgrp 13075  -_gcsg 13077  SubGrpcsubg 13240  NrmSGrpcnsg 13241

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1re 7968  ax-addrcl 7971

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-inn 8985  df-2 9043  df-ndx 12624  df-slot 12625  df-base 12627  df-plusg 12711  df-0g 12872  df-mgm 12942  df-sgrp 12988  df-mnd 13001  df-grp 13078  df-minusg 13079  df-sbg 13080  df-subg 13243  df-nsg 13244

This theorem is referenced by:  isnsg3  13280  ghmnsgima  13341  ghmnsgpreima  13342