ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nsgconj GIF version

Theorem nsgconj 12997
Description: The conjugation of an element of a normal subgroup is in the subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isnsg3.1 𝑋 = (Base‘𝐺)
isnsg3.2 + = (+g𝐺)
isnsg3.3 = (-g𝐺)
Assertion
Ref Expression
nsgconj ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑆) → ((𝐴 + 𝐵) 𝐴) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem nsgconj
StepHypRef Expression
1 nsgsubg 12996 . . . . 5 (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
213ad2ant1 1018 . . . 4 ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑆) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
3 subgrcl 12970 . . . 4 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
42, 3syl 14 . . 3 ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑆) → 𝐺 ∈ Grp)
5 simp2 998 . . 3 ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑆) → 𝐴𝑋)
6 isnsg3.1 . . . . . 6 𝑋 = (Base‘𝐺)
76subgss 12965 . . . . 5 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆𝑋)
82, 7syl 14 . . . 4 ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑆) → 𝑆𝑋)
9 simp3 999 . . . 4 ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑆) → 𝐵𝑆)
108, 9sseldd 3156 . . 3 ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑆) → 𝐵𝑋)
11 isnsg3.2 . . . 4 + = (+g𝐺)
12 isnsg3.3 . . . 4 = (-g𝐺)
136, 11, 12grpaddsubass 12892 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐴𝑋)) → ((𝐴 + 𝐵) 𝐴) = (𝐴 + (𝐵 𝐴)))
144, 5, 10, 5, 13syl13anc 1240 . 2 ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑆) → ((𝐴 + 𝐵) 𝐴) = (𝐴 + (𝐵 𝐴)))
156, 11, 12grpnpcan 12894 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵𝑋𝐴𝑋) → ((𝐵 𝐴) + 𝐴) = 𝐵)
164, 10, 5, 15syl3anc 1238 . . . 4 ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑆) → ((𝐵 𝐴) + 𝐴) = 𝐵)
1716, 9eqeltrd 2254 . . 3 ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑆) → ((𝐵 𝐴) + 𝐴) ∈ 𝑆)
18 simp1 997 . . . 4 ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑆) → 𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
196, 12grpsubcl 12882 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵𝑋𝐴𝑋) → (𝐵 𝐴) ∈ 𝑋)
204, 10, 5, 19syl3anc 1238 . . . 4 ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑆) → (𝐵 𝐴) ∈ 𝑋)
216, 11nsgbi 12995 . . . 4 ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐵 𝐴) ∈ 𝑋𝐴𝑋) → (((𝐵 𝐴) + 𝐴) ∈ 𝑆 ↔ (𝐴 + (𝐵 𝐴)) ∈ 𝑆))
2218, 20, 5, 21syl3anc 1238 . . 3 ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑆) → (((𝐵 𝐴) + 𝐴) ∈ 𝑆 ↔ (𝐴 + (𝐵 𝐴)) ∈ 𝑆))
2317, 22mpbid 147 . 2 ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑆) → (𝐴 + (𝐵 𝐴)) ∈ 𝑆)
2414, 23eqeltrd 2254 1 ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑆) → ((𝐴 + 𝐵) 𝐴) ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wb 105  w3a 978   = wceq 1353  wcel 2148  wss 3129  cfv 5215  (class class class)co 5872  Basecbs 12454  +gcplusg 12528  Grpcgrp 12809  -gcsg 12811  SubGrpcsubg 12958  NrmSGrpcnsg 12959
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4117  ax-sep 4120  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-setind 4535  ax-cnex 7899  ax-resscn 7900  ax-1re 7902  ax-addrcl 7905
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4003  df-opab 4064  df-mpt 4065  df-id 4292  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-rn 4636  df-res 4637  df-ima 4638  df-iota 5177  df-fun 5217  df-fn 5218  df-f 5219  df-f1 5220  df-fo 5221  df-f1o 5222  df-fv 5223  df-riota 5828  df-ov 5875  df-oprab 5876  df-mpo 5877  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-inn 8916  df-2 8974  df-ndx 12457  df-slot 12458  df-base 12460  df-plusg 12541  df-0g 12695  df-mgm 12707  df-sgrp 12740  df-mnd 12750  df-grp 12812  df-minusg 12813  df-sbg 12814  df-subg 12961  df-nsg 12962
This theorem is referenced by:  isnsg3  12998
  Copyright terms: Public domain W3C validator