Theorem nsgconj 13336

Description: The conjugation of an element of a normal subgroup is in the subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
isnsg3.1	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
isnsg3.2	⊢ + = (+g‘𝐺)
isnsg3.3	⊢ − = (-g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
nsgconj	⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐴) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem nsgconj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nsgsubg 13335	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
2	1	3ad2ant1 1020	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
3		subgrcl 13309	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
4	2, 3	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → 𝐺 ∈ Grp)
5		simp2 1000	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → 𝐴 ∈ 𝑋)
6		isnsg3.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
7	6	subgss 13304	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 ⊆ 𝑋)
8	2, 7	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → 𝑆 ⊆ 𝑋)
9		simp3 1001	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → 𝐵 ∈ 𝑆)
10	8, 9	sseldd 3184	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → 𝐵 ∈ 𝑋)
11		isnsg3.2	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝐺)
12		isnsg3.3	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝐺)
13	6, 11, 12	grpaddsubass 13222	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐴) = (𝐴 + (𝐵 − 𝐴)))
14	4, 5, 10, 5, 13	syl13anc 1251	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐴) = (𝐴 + (𝐵 − 𝐴)))
15	6, 11, 12	grpnpcan 13224	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝐵 − 𝐴) + 𝐴) = 𝐵)
16	4, 10, 5, 15	syl3anc 1249	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → ((𝐵 − 𝐴) + 𝐴) = 𝐵)
17	16, 9	eqeltrd 2273	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → ((𝐵 − 𝐴) + 𝐴) ∈ 𝑆)
18		simp1 999	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → 𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
19	6, 12	grpsubcl 13212	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐵 − 𝐴) ∈ 𝑋)
20	4, 10, 5, 19	syl3anc 1249	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝐵 − 𝐴) ∈ 𝑋)
21	6, 11	nsgbi 13334	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐵 − 𝐴) ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (((𝐵 − 𝐴) + 𝐴) ∈ 𝑆 ↔ (𝐴 + (𝐵 − 𝐴)) ∈ 𝑆))
22	18, 20, 5, 21	syl3anc 1249	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (((𝐵 − 𝐴) + 𝐴) ∈ 𝑆 ↔ (𝐴 + (𝐵 − 𝐴)) ∈ 𝑆))
23	17, 22	mpbid 147	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝐴 + (𝐵 − 𝐴)) ∈ 𝑆)
24	14, 23	eqeltrd 2273	1 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐴) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2167   ⊆ wss 3157  ‘cfv 5258  (class class class)co 5922  Basecbs 12678  +_gcplusg 12755  Grpcgrp 13132  -_gcsg 13134  SubGrpcsubg 13297  NrmSGrpcnsg 13298

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1re 7973  ax-addrcl 7976

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-inn 8991  df-2 9049  df-ndx 12681  df-slot 12682  df-base 12684  df-plusg 12768  df-0g 12929  df-mgm 12999  df-sgrp 13045  df-mnd 13058  df-grp 13135  df-minusg 13136  df-sbg 13137  df-subg 13300  df-nsg 13301

This theorem is referenced by:  isnsg3  13337  ghmnsgima  13398  ghmnsgpreima  13399