Theorem ntrss 12288

Description: Subset relationship for interior. (Contributed by NM, 3-Oct-2007.) (Revised by Jim Kingdon, 11-Mar-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
clscld.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
ntrss	⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆) → ((int‘𝐽)‘𝑇) ⊆ ((int‘𝐽)‘𝑆))

Proof of Theorem ntrss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3 983	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆) → 𝑇 ⊆ 𝑆)
2		sspwb 4138	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ⊆ 𝑆 ↔ 𝒫 𝑇 ⊆ 𝒫 𝑆)
3		sslin 3302	. . . . 5 ⊢ (𝒫 𝑇 ⊆ 𝒫 𝑆 → (𝐽 ∩ 𝒫 𝑇) ⊆ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆))
4	2, 3	sylbi 120	. . . 4 ⊢ (𝑇 ⊆ 𝑆 → (𝐽 ∩ 𝒫 𝑇) ⊆ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆))
5	4	unissd 3760	. . 3 ⊢ (𝑇 ⊆ 𝑆 → ∪ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑇) ⊆ ∪ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆))
6	1, 5	syl 14	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆) → ∪ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑇) ⊆ ∪ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆))
7		simp1 981	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆) → 𝐽 ∈ Top)
8		simp2 982	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆) → 𝑆 ⊆ 𝑋)
9	1, 8	sstrd 3107	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆) → 𝑇 ⊆ 𝑋)
10		clscld.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
11	10	ntrval 12279	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑇 ⊆ 𝑋) → ((int‘𝐽)‘𝑇) = ∪ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑇))
12	7, 9, 11	syl2anc 408	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆) → ((int‘𝐽)‘𝑇) = ∪ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑇))
13	10	ntrval 12279	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → ((int‘𝐽)‘𝑆) = ∪ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆))
14	7, 8, 13	syl2anc 408	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆) → ((int‘𝐽)‘𝑆) = ∪ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆))
15	6, 12, 14	3sstr4d 3142	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆) → ((int‘𝐽)‘𝑇) ⊆ ((int‘𝐽)‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 962   = wceq 1331   ∈ wcel 1480   ∩ cin 3070   ⊆ wss 3071  𝒫 cpw 3510  ∪ cuni 3736  ‘cfv 5123  Topctop 12164  intcnt 12262

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-top 12165  df-ntr 12265

This theorem is referenced by:  ntrin  12293  ntrcls0  12300