Theorem ntrss 14801

Description: Subset relationship for interior. (Contributed by NM, 3-Oct-2007.) (Revised by Jim Kingdon, 11-Mar-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
clscld.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
ntrss	⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆) → ((int‘𝐽)‘𝑇) ⊆ ((int‘𝐽)‘𝑆))

Proof of Theorem ntrss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3 1023	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆) → 𝑇 ⊆ 𝑆)
2		sspwb 4302	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ⊆ 𝑆 ↔ 𝒫 𝑇 ⊆ 𝒫 𝑆)
3		sslin 3430	. . . . 5 ⊢ (𝒫 𝑇 ⊆ 𝒫 𝑆 → (𝐽 ∩ 𝒫 𝑇) ⊆ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆))
4	2, 3	sylbi 121	. . . 4 ⊢ (𝑇 ⊆ 𝑆 → (𝐽 ∩ 𝒫 𝑇) ⊆ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆))
5	4	unissd 3912	. . 3 ⊢ (𝑇 ⊆ 𝑆 → ∪ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑇) ⊆ ∪ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆))
6	1, 5	syl 14	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆) → ∪ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑇) ⊆ ∪ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆))
7		simp1 1021	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆) → 𝐽 ∈ Top)
8		simp2 1022	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆) → 𝑆 ⊆ 𝑋)
9	1, 8	sstrd 3234	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆) → 𝑇 ⊆ 𝑋)
10		clscld.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
11	10	ntrval 14792	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑇 ⊆ 𝑋) → ((int‘𝐽)‘𝑇) = ∪ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑇))
12	7, 9, 11	syl2anc 411	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆) → ((int‘𝐽)‘𝑇) = ∪ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑇))
13	10	ntrval 14792	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → ((int‘𝐽)‘𝑆) = ∪ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆))
14	7, 8, 13	syl2anc 411	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆) → ((int‘𝐽)‘𝑆) = ∪ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆))
15	6, 12, 14	3sstr4d 3269	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆) → ((int‘𝐽)‘𝑇) ⊆ ((int‘𝐽)‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1002   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   ∩ cin 3196   ⊆ wss 3197  𝒫 cpw 3649  ∪ cuni 3888  ‘cfv 5318  Topctop 14679  intcnt 14775

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-top 14680  df-ntr 14778

This theorem is referenced by:  ntrin  14806  ntrcls0  14813