ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ntrss GIF version

Theorem ntrss 13252
Description: Subset relationship for interior. (Contributed by NM, 3-Oct-2007.) (Revised by Jim Kingdon, 11-Mar-2023.)
Hypothesis
Ref Expression
clscld.1 𝑋 = 𝐽
Assertion
Ref Expression
ntrss ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋𝑇𝑆) → ((int‘𝐽)‘𝑇) ⊆ ((int‘𝐽)‘𝑆))

Proof of Theorem ntrss
StepHypRef Expression
1 simp3 999 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋𝑇𝑆) → 𝑇𝑆)
2 sspwb 4212 . . . . 5 (𝑇𝑆 ↔ 𝒫 𝑇 ⊆ 𝒫 𝑆)
3 sslin 3361 . . . . 5 (𝒫 𝑇 ⊆ 𝒫 𝑆 → (𝐽 ∩ 𝒫 𝑇) ⊆ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆))
42, 3sylbi 121 . . . 4 (𝑇𝑆 → (𝐽 ∩ 𝒫 𝑇) ⊆ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆))
54unissd 3831 . . 3 (𝑇𝑆 (𝐽 ∩ 𝒫 𝑇) ⊆ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆))
61, 5syl 14 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋𝑇𝑆) → (𝐽 ∩ 𝒫 𝑇) ⊆ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆))
7 simp1 997 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋𝑇𝑆) → 𝐽 ∈ Top)
8 simp2 998 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋𝑇𝑆) → 𝑆𝑋)
91, 8sstrd 3165 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋𝑇𝑆) → 𝑇𝑋)
10 clscld.1 . . . 4 𝑋 = 𝐽
1110ntrval 13243 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑇𝑋) → ((int‘𝐽)‘𝑇) = (𝐽 ∩ 𝒫 𝑇))
127, 9, 11syl2anc 411 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋𝑇𝑆) → ((int‘𝐽)‘𝑇) = (𝐽 ∩ 𝒫 𝑇))
1310ntrval 13243 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → ((int‘𝐽)‘𝑆) = (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆))
147, 8, 13syl2anc 411 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋𝑇𝑆) → ((int‘𝐽)‘𝑆) = (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆))
156, 12, 143sstr4d 3200 1 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋𝑇𝑆) → ((int‘𝐽)‘𝑇) ⊆ ((int‘𝐽)‘𝑆))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  w3a 978   = wceq 1353  wcel 2148  cin 3128  wss 3129  𝒫 cpw 3574   cuni 3807  cfv 5211  Topctop 13128  intcnt 13226
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4205  ax-un 4429
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-id 4289  df-xp 4628  df-rel 4629  df-cnv 4630  df-co 4631  df-dm 4632  df-rn 4633  df-res 4634  df-ima 4635  df-iota 5173  df-fun 5213  df-fn 5214  df-f 5215  df-f1 5216  df-fo 5217  df-f1o 5218  df-fv 5219  df-top 13129  df-ntr 13229
This theorem is referenced by:  ntrin  13257  ntrcls0  13264
  Copyright terms: Public domain W3C validator