Theorem ntrss 14846

Description: Subset relationship for interior. (Contributed by NM, 3-Oct-2007.) (Revised by Jim Kingdon, 11-Mar-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
clscld.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
ntrss	⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆) → ((int‘𝐽)‘𝑇) ⊆ ((int‘𝐽)‘𝑆))

Proof of Theorem ntrss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3 1025	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆) → 𝑇 ⊆ 𝑆)
2		sspwb 4308	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ⊆ 𝑆 ↔ 𝒫 𝑇 ⊆ 𝒫 𝑆)
3		sslin 3433	. . . . 5 ⊢ (𝒫 𝑇 ⊆ 𝒫 𝑆 → (𝐽 ∩ 𝒫 𝑇) ⊆ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆))
4	2, 3	sylbi 121	. . . 4 ⊢ (𝑇 ⊆ 𝑆 → (𝐽 ∩ 𝒫 𝑇) ⊆ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆))
5	4	unissd 3917	. . 3 ⊢ (𝑇 ⊆ 𝑆 → ∪ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑇) ⊆ ∪ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆))
6	1, 5	syl 14	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆) → ∪ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑇) ⊆ ∪ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆))
7		simp1 1023	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆) → 𝐽 ∈ Top)
8		simp2 1024	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆) → 𝑆 ⊆ 𝑋)
9	1, 8	sstrd 3237	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆) → 𝑇 ⊆ 𝑋)
10		clscld.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
11	10	ntrval 14837	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑇 ⊆ 𝑋) → ((int‘𝐽)‘𝑇) = ∪ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑇))
12	7, 9, 11	syl2anc 411	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆) → ((int‘𝐽)‘𝑇) = ∪ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑇))
13	10	ntrval 14837	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → ((int‘𝐽)‘𝑆) = ∪ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆))
14	7, 8, 13	syl2anc 411	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆) → ((int‘𝐽)‘𝑆) = ∪ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆))
15	6, 12, 14	3sstr4d 3272	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑇 ⊆ 𝑆) → ((int‘𝐽)‘𝑇) ⊆ ((int‘𝐽)‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1004   = wceq 1397   ∈ wcel 2202   ∩ cin 3199   ⊆ wss 3200  𝒫 cpw 3652  ∪ cuni 3893  ‘cfv 5326  Topctop 14724  intcnt 14820

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-top 14725  df-ntr 14823

This theorem is referenced by:  ntrin  14851  ntrcls0  14858