ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ofnegsub GIF version

Theorem ofnegsub 8971
Description: Function analogue of negsub 8257. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
ofnegsub ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → (𝐹𝑓 + ((𝐴 × {-1}) ∘𝑓 · 𝐺)) = (𝐹𝑓𝐺))

Proof of Theorem ofnegsub
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 addcl 7987 . . 3 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
21adantl 277 . 2 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
3 simp2 1000 . 2 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
4 mulcl 7989 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
54adantl 277 . . 3 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
6 ax-1cn 7955 . . . . . 6 1 ∈ ℂ
76negcli 8277 . . . . 5 -1 ∈ ℂ
87fconst6 5445 . . . 4 (𝐴 × {-1}):𝐴⟶ℂ
98a1i 9 . . 3 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → (𝐴 × {-1}):𝐴⟶ℂ)
10 simp3 1001 . . 3 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → 𝐺:𝐴⟶ℂ)
11 simp1 999 . . 3 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → 𝐴𝑉)
12 inidm 3368 . . 3 (𝐴𝐴) = 𝐴
135, 9, 10, 11, 11, 12off 6135 . 2 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → ((𝐴 × {-1}) ∘𝑓 · 𝐺):𝐴⟶ℂ)
14 subcl 8208 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥𝑦) ∈ ℂ)
1514adantl 277 . . 3 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥𝑦) ∈ ℂ)
1615, 3, 10, 11, 11, 12off 6135 . 2 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → (𝐹𝑓𝐺):𝐴⟶ℂ)
17 eqidd 2194 . 2 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑥))
187a1i 9 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → -1 ∈ ℂ)
1910ffnd 5396 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → 𝐺 Fn 𝐴)
20 eqidd 2194 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐺𝑥) = (𝐺𝑥))
217a1i 9 . . . . 5 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) ∧ 𝑥𝐴) → -1 ∈ ℂ)
2210ffvelcdmda 5685 . . . . 5 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐺𝑥) ∈ ℂ)
2321, 22mulcld 8030 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) ∧ 𝑥𝐴) → (-1 · (𝐺𝑥)) ∈ ℂ)
2411, 18, 19, 20, 23ofc1g 6143 . . 3 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) ∧ 𝑥𝐴) → (((𝐴 × {-1}) ∘𝑓 · 𝐺)‘𝑥) = (-1 · (𝐺𝑥)))
2522mulm1d 8419 . . 3 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) ∧ 𝑥𝐴) → (-1 · (𝐺𝑥)) = -(𝐺𝑥))
2624, 25eqtrd 2226 . 2 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) ∧ 𝑥𝐴) → (((𝐴 × {-1}) ∘𝑓 · 𝐺)‘𝑥) = -(𝐺𝑥))
273ffvelcdmda 5685 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
2827, 22negsubd 8326 . . 3 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐹𝑥) + -(𝐺𝑥)) = ((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥)))
293ffnd 5396 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → 𝐹 Fn 𝐴)
3027, 22subcld 8320 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥)) ∈ ℂ)
3129, 19, 11, 11, 12, 17, 20, 30ofvalg 6132 . . 3 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐹𝑓𝐺)‘𝑥) = ((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥)))
3228, 31eqtr4d 2229 . 2 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐹𝑥) + -(𝐺𝑥)) = ((𝐹𝑓𝐺)‘𝑥))
332, 3, 13, 11, 11, 12, 16, 17, 26, 32offeq 6136 1 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → (𝐹𝑓 + ((𝐴 × {-1}) ∘𝑓 · 𝐺)) = (𝐹𝑓𝐺))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  w3a 980   = wceq 1364  wcel 2164  {csn 3618   × cxp 4653  wf 5242  cfv 5246  (class class class)co 5910  𝑓 cof 6120  cc 7860  1c1 7863   + caddc 7865   · cmul 7867  cmin 8180  -cneg 8181
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-setind 4565  ax-resscn 7954  ax-1cn 7955  ax-icn 7957  ax-addcl 7958  ax-addrcl 7959  ax-mulcl 7960  ax-addcom 7962  ax-mulcom 7963  ax-addass 7964  ax-mulass 7965  ax-distr 7966  ax-i2m1 7967  ax-1rid 7969  ax-0id 7970  ax-rnegex 7971  ax-cnre 7973
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4322  df-xp 4661  df-rel 4662  df-cnv 4663  df-co 4664  df-dm 4665  df-rn 4666  df-res 4667  df-ima 4668  df-iota 5207  df-fun 5248  df-fn 5249  df-f 5250  df-f1 5251  df-fo 5252  df-f1o 5253  df-fv 5254  df-riota 5865  df-ov 5913  df-oprab 5914  df-mpo 5915  df-of 6122  df-sub 8182  df-neg 8183
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator