Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | addcl 7987 |
. . 3
⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ) |
2 | 1 | adantl 277 |
. 2
⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ) |
3 | | simp2 1000 |
. 2
⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → 𝐹:𝐴⟶ℂ) |
4 | | mulcl 7989 |
. . . 4
⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ) |
5 | 4 | adantl 277 |
. . 3
⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ) |
6 | | ax-1cn 7955 |
. . . . . 6
⊢ 1 ∈
ℂ |
7 | 6 | negcli 8277 |
. . . . 5
⊢ -1 ∈
ℂ |
8 | 7 | fconst6 5445 |
. . . 4
⊢ (𝐴 × {-1}):𝐴⟶ℂ |
9 | 8 | a1i 9 |
. . 3
⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → (𝐴 × {-1}):𝐴⟶ℂ) |
10 | | simp3 1001 |
. . 3
⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → 𝐺:𝐴⟶ℂ) |
11 | | simp1 999 |
. . 3
⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → 𝐴 ∈ 𝑉) |
12 | | inidm 3368 |
. . 3
⊢ (𝐴 ∩ 𝐴) = 𝐴 |
13 | 5, 9, 10, 11, 11, 12 | off 6135 |
. 2
⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → ((𝐴 × {-1}) ∘𝑓
· 𝐺):𝐴⟶ℂ) |
14 | | subcl 8208 |
. . . 4
⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 − 𝑦) ∈ ℂ) |
15 | 14 | adantl 277 |
. . 3
⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 − 𝑦) ∈ ℂ) |
16 | 15, 3, 10, 11, 11, 12 | off 6135 |
. 2
⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → (𝐹 ∘𝑓 − 𝐺):𝐴⟶ℂ) |
17 | | eqidd 2194 |
. 2
⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑥)) |
18 | 7 | a1i 9 |
. . . 4
⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → -1 ∈
ℂ) |
19 | 10 | ffnd 5396 |
. . . 4
⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → 𝐺 Fn 𝐴) |
20 | | eqidd 2194 |
. . . 4
⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐺‘𝑥) = (𝐺‘𝑥)) |
21 | 7 | a1i 9 |
. . . . 5
⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → -1 ∈ ℂ) |
22 | 10 | ffvelcdmda 5685 |
. . . . 5
⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐺‘𝑥) ∈ ℂ) |
23 | 21, 22 | mulcld 8030 |
. . . 4
⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (-1 · (𝐺‘𝑥)) ∈ ℂ) |
24 | 11, 18, 19, 20, 23 | ofc1g 6143 |
. . 3
⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (((𝐴 × {-1}) ∘𝑓
· 𝐺)‘𝑥) = (-1 · (𝐺‘𝑥))) |
25 | 22 | mulm1d 8419 |
. . 3
⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (-1 · (𝐺‘𝑥)) = -(𝐺‘𝑥)) |
26 | 24, 25 | eqtrd 2226 |
. 2
⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (((𝐴 × {-1}) ∘𝑓
· 𝐺)‘𝑥) = -(𝐺‘𝑥)) |
27 | 3 | ffvelcdmda 5685 |
. . . 4
⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ) |
28 | 27, 22 | negsubd 8326 |
. . 3
⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑥) + -(𝐺‘𝑥)) = ((𝐹‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) |
29 | 3 | ffnd 5396 |
. . . 4
⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → 𝐹 Fn 𝐴) |
30 | 27, 22 | subcld 8320 |
. . . 4
⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑥) − (𝐺‘𝑥)) ∈ ℂ) |
31 | 29, 19, 11, 11, 12, 17, 20, 30 | ofvalg 6132 |
. . 3
⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐹 ∘𝑓 − 𝐺)‘𝑥) = ((𝐹‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) |
32 | 28, 31 | eqtr4d 2229 |
. 2
⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑥) + -(𝐺‘𝑥)) = ((𝐹 ∘𝑓 − 𝐺)‘𝑥)) |
33 | 2, 3, 13, 11, 11, 12, 16, 17, 26, 32 | offeq 6136 |
1
⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → (𝐹 ∘𝑓 + ((𝐴 × {-1})
∘𝑓 · 𝐺)) = (𝐹 ∘𝑓 − 𝐺)) |