Theorem opprvalg 13247

Description: Value of the opposite ring. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
opprval.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
opprval.2	⊢ · = (.r‘𝑅)
opprval.3	⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
opprvalg	⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑂 = (𝑅 sSet ⟨(.r‘ndx), tpos · ⟩))

Proof of Theorem opprvalg

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opprval.3	. 2 ⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
2		df-oppr 13246	. . 3 ⊢ oppr = (𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 sSet ⟨(.r‘ndx), tpos (.r‘𝑥)⟩))
3		id 19	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑅 → 𝑥 = 𝑅)
4		fveq2 5517	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑅 → (.r‘𝑥) = (.r‘𝑅))
5		opprval.2	. . . . . . 7 ⊢ · = (.r‘𝑅)
6	4, 5	eqtr4di 2228	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑅 → (.r‘𝑥) = · )
7	6	tposeqd 6252	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑅 → tpos (.r‘𝑥) = tpos · )
8	7	opeq2d 3787	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑅 → ⟨(.r‘ndx), tpos (.r‘𝑥)⟩ = ⟨(.r‘ndx), tpos · ⟩)
9	3, 8	oveq12d 5896	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑅 → (𝑥 sSet ⟨(.r‘ndx), tpos (.r‘𝑥)⟩) = (𝑅 sSet ⟨(.r‘ndx), tpos · ⟩))
10		elex 2750	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑅 ∈ V)
11		mulrslid 12593	. . . . . 6 ⊢ (.r = Slot (.r‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ∈ ℕ)
12	11	simpri 113	. . . . 5 ⊢ (.r‘ndx) ∈ ℕ
13	12	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (.r‘ndx) ∈ ℕ)
14	11	slotex 12492	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (.r‘𝑅) ∈ V)
15	5, 14	eqeltrid 2264	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → · ∈ V)
16		tposexg 6262	. . . . 5 ⊢ ( · ∈ V → tpos · ∈ V)
17	15, 16	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → tpos · ∈ V)
18		setsex 12497	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ V ∧ (.r‘ndx) ∈ ℕ ∧ tpos · ∈ V) → (𝑅 sSet ⟨(.r‘ndx), tpos · ⟩) ∈ V)
19	10, 13, 17, 18	syl3anc 1238	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝑅 sSet ⟨(.r‘ndx), tpos · ⟩) ∈ V)
20	2, 9, 10, 19	fvmptd3 5612	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (oppr‘𝑅) = (𝑅 sSet ⟨(.r‘ndx), tpos · ⟩))
21	1, 20	eqtrid 2222	1 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑂 = (𝑅 sSet ⟨(.r‘ndx), tpos · ⟩))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  Vcvv 2739  ⟨cop 3597  ‘cfv 5218  (class class class)co 5878  tpos ctpos 6248  ℕcn 8922  ndxcnx 12462   sSet csts 12463  Slot cslot 12464  Basecbs 12465  ._rcmulr 12540  opp_rcoppr 13245

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7905  ax-resscn 7906  ax-1re 7908  ax-addrcl 7911

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-fv 5226  df-ov 5881  df-oprab 5882  df-mpo 5883  df-tpos 6249  df-inn 8923  df-2 8981  df-3 8982  df-ndx 12468  df-slot 12469  df-sets 12472  df-mulr 12553  df-oppr 13246

This theorem is referenced by:  opprmulfvalg  13248  opprex  13251  opprsllem  13252