ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mgpvalg GIF version

Theorem mgpvalg 13149
Description: Value of the multiplication group operation. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mgpval.1 𝑀 = (mulGrpβ€˜π‘…)
mgpval.2 Β· = (.rβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
mgpvalg (𝑅 ∈ 𝑉 β†’ 𝑀 = (𝑅 sSet ⟨(+gβ€˜ndx), Β· ⟩))

Proof of Theorem mgpvalg
Dummy variable π‘Ÿ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mgpval.1 . 2 𝑀 = (mulGrpβ€˜π‘…)
2 df-mgp 13147 . . 3 mulGrp = (π‘Ÿ ∈ V ↦ (π‘Ÿ sSet ⟨(+gβ€˜ndx), (.rβ€˜π‘Ÿ)⟩))
3 id 19 . . . 4 (π‘Ÿ = 𝑅 β†’ π‘Ÿ = 𝑅)
4 fveq2 5517 . . . . . 6 (π‘Ÿ = 𝑅 β†’ (.rβ€˜π‘Ÿ) = (.rβ€˜π‘…))
5 mgpval.2 . . . . . 6 Β· = (.rβ€˜π‘…)
64, 5eqtr4di 2228 . . . . 5 (π‘Ÿ = 𝑅 β†’ (.rβ€˜π‘Ÿ) = Β· )
76opeq2d 3787 . . . 4 (π‘Ÿ = 𝑅 β†’ ⟨(+gβ€˜ndx), (.rβ€˜π‘Ÿ)⟩ = ⟨(+gβ€˜ndx), Β· ⟩)
83, 7oveq12d 5896 . . 3 (π‘Ÿ = 𝑅 β†’ (π‘Ÿ sSet ⟨(+gβ€˜ndx), (.rβ€˜π‘Ÿ)⟩) = (𝑅 sSet ⟨(+gβ€˜ndx), Β· ⟩))
9 elex 2750 . . 3 (𝑅 ∈ 𝑉 β†’ 𝑅 ∈ V)
10 plusgslid 12574 . . . . . 6 (+g = Slot (+gβ€˜ndx) ∧ (+gβ€˜ndx) ∈ β„•)
1110simpri 113 . . . . 5 (+gβ€˜ndx) ∈ β„•
1211a1i 9 . . . 4 (𝑅 ∈ 𝑉 β†’ (+gβ€˜ndx) ∈ β„•)
13 mulrslid 12593 . . . . . 6 (.r = Slot (.rβ€˜ndx) ∧ (.rβ€˜ndx) ∈ β„•)
1413slotex 12492 . . . . 5 (𝑅 ∈ 𝑉 β†’ (.rβ€˜π‘…) ∈ V)
155, 14eqeltrid 2264 . . . 4 (𝑅 ∈ 𝑉 β†’ Β· ∈ V)
16 setsex 12497 . . . 4 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ (+gβ€˜ndx) ∈ β„• ∧ Β· ∈ V) β†’ (𝑅 sSet ⟨(+gβ€˜ndx), Β· ⟩) ∈ V)
1712, 15, 16mpd3an23 1339 . . 3 (𝑅 ∈ 𝑉 β†’ (𝑅 sSet ⟨(+gβ€˜ndx), Β· ⟩) ∈ V)
182, 8, 9, 17fvmptd3 5612 . 2 (𝑅 ∈ 𝑉 β†’ (mulGrpβ€˜π‘…) = (𝑅 sSet ⟨(+gβ€˜ndx), Β· ⟩))
191, 18eqtrid 2222 1 (𝑅 ∈ 𝑉 β†’ 𝑀 = (𝑅 sSet ⟨(+gβ€˜ndx), Β· ⟩))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  Vcvv 2739  βŸ¨cop 3597  β€˜cfv 5218  (class class class)co 5878  β„•cn 8922  ndxcnx 12462   sSet csts 12463  Slot cslot 12464  +gcplusg 12539  .rcmulr 12540  mulGrpcmgp 13146
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7905  ax-resscn 7906  ax-1re 7908  ax-addrcl 7911
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-fv 5226  df-ov 5881  df-oprab 5882  df-mpo 5883  df-inn 8923  df-2 8981  df-3 8982  df-ndx 12468  df-slot 12469  df-sets 12472  df-plusg 12552  df-mulr 12553  df-mgp 13147
This theorem is referenced by:  mgpplusgg  13150  mgpex  13151  mgpbasg  13152  mgpscag  13153  mgptsetg  13154  mgpdsg  13156  mgpress  13157
  Copyright terms: Public domain W3C validator