Theorem mgpvalg 13881

Description: Value of the multiplication group operation. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mgpval.1	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
mgpval.2	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
mgpvalg	⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑀 = (𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), · ⟩))

Proof of Theorem mgpvalg

Dummy variable 𝑟 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mgpval.1	. 2 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
2		df-mgp 13879	. . 3 ⊢ mulGrp = (𝑟 ∈ V ↦ (𝑟 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑟)⟩))
3		id 19	. . . 4 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → 𝑟 = 𝑅)
4		fveq2 5626	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (.r‘𝑟) = (.r‘𝑅))
5		mgpval.2	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘𝑅)
6	4, 5	eqtr4di 2280	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (.r‘𝑟) = · )
7	6	opeq2d 3863	. . . 4 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑟)⟩ = ⟨(+g‘ndx), · ⟩)
8	3, 7	oveq12d 6018	. . 3 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (𝑟 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑟)⟩) = (𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), · ⟩))
9		elex 2811	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑅 ∈ V)
10		plusgslid 13140	. . . . . 6 ⊢ (+g = Slot (+g‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ∈ ℕ)
11	10	simpri 113	. . . . 5 ⊢ (+g‘ndx) ∈ ℕ
12	11	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (+g‘ndx) ∈ ℕ)
13		mulrslid 13160	. . . . . 6 ⊢ (.r = Slot (.r‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ∈ ℕ)
14	13	slotex 13054	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (.r‘𝑅) ∈ V)
15	5, 14	eqeltrid 2316	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → · ∈ V)
16		setsex 13059	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ (+g‘ndx) ∈ ℕ ∧ · ∈ V) → (𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), · ⟩) ∈ V)
17	12, 15, 16	mpd3an23 1373	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), · ⟩) ∈ V)
18	2, 8, 9, 17	fvmptd3 5727	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (mulGrp‘𝑅) = (𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), · ⟩))
19	1, 18	eqtrid 2274	1 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑀 = (𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), · ⟩))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  Vcvv 2799  ⟨cop 3669  ‘cfv 5317  (class class class)co 6000  ℕcn 9106  ndxcnx 13024   sSet csts 13025  Slot cslot 13026  +_gcplusg 13105  ._rcmulr 13106  mulGrpcmgp 13878

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1re 8089  ax-addrcl 8092

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-id 4383  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-fv 5325  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-inn 9107  df-2 9165  df-3 9166  df-ndx 13030  df-slot 13031  df-sets 13034  df-plusg 13118  df-mulr 13119  df-mgp 13879

This theorem is referenced by:  mgpplusgg  13882  mgpex  13883  mgpbasg  13884  mgpscag  13885  mgptsetg  13886  mgpdsg  13888  mgpress  13889