Theorem mgpvalg 13232

Description: Value of the multiplication group operation. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mgpval.1	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
mgpval.2	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
mgpvalg	⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑀 = (𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), · ⟩))

Proof of Theorem mgpvalg

Dummy variable 𝑟 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mgpval.1	. 2 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
2		df-mgp 13230	. . 3 ⊢ mulGrp = (𝑟 ∈ V ↦ (𝑟 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑟)⟩))
3		id 19	. . . 4 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → 𝑟 = 𝑅)
4		fveq2 5527	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (.r‘𝑟) = (.r‘𝑅))
5		mgpval.2	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘𝑅)
6	4, 5	eqtr4di 2238	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (.r‘𝑟) = · )
7	6	opeq2d 3797	. . . 4 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑟)⟩ = ⟨(+g‘ndx), · ⟩)
8	3, 7	oveq12d 5906	. . 3 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (𝑟 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑟)⟩) = (𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), · ⟩))
9		elex 2760	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑅 ∈ V)
10		plusgslid 12586	. . . . . 6 ⊢ (+g = Slot (+g‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ∈ ℕ)
11	10	simpri 113	. . . . 5 ⊢ (+g‘ndx) ∈ ℕ
12	11	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (+g‘ndx) ∈ ℕ)
13		mulrslid 12605	. . . . . 6 ⊢ (.r = Slot (.r‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ∈ ℕ)
14	13	slotex 12503	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (.r‘𝑅) ∈ V)
15	5, 14	eqeltrid 2274	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → · ∈ V)
16		setsex 12508	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ (+g‘ndx) ∈ ℕ ∧ · ∈ V) → (𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), · ⟩) ∈ V)
17	12, 15, 16	mpd3an23 1349	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), · ⟩) ∈ V)
18	2, 8, 9, 17	fvmptd3 5622	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (mulGrp‘𝑅) = (𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), · ⟩))
19	1, 18	eqtrid 2232	1 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑀 = (𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), · ⟩))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1363   ∈ wcel 2158  Vcvv 2749  ⟨cop 3607  ‘cfv 5228  (class class class)co 5888  ℕcn 8933  ndxcnx 12473   sSet csts 12474  Slot cslot 12475  +_gcplusg 12551  ._rcmulr 12552  mulGrpcmgp 13229

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-cnex 7916  ax-resscn 7917  ax-1re 7919  ax-addrcl 7922

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-ral 2470  df-rex 2471  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-id 4305  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-fv 5236  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-inn 8934  df-2 8992  df-3 8993  df-ndx 12479  df-slot 12480  df-sets 12483  df-plusg 12564  df-mulr 12565  df-mgp 13230

This theorem is referenced by:  mgpplusgg  13233  mgpex  13234  mgpbasg  13235  mgpscag  13236  mgptsetg  13237  mgpdsg  13239  mgpress  13240