Theorem mgpvalg 13656

Description: Value of the multiplication group operation. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mgpval.1	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
mgpval.2	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
mgpvalg	⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑀 = (𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), · ⟩))

Proof of Theorem mgpvalg

Dummy variable 𝑟 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mgpval.1	. 2 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
2		df-mgp 13654	. . 3 ⊢ mulGrp = (𝑟 ∈ V ↦ (𝑟 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑟)⟩))
3		id 19	. . . 4 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → 𝑟 = 𝑅)
4		fveq2 5575	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (.r‘𝑟) = (.r‘𝑅))
5		mgpval.2	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘𝑅)
6	4, 5	eqtr4di 2255	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (.r‘𝑟) = · )
7	6	opeq2d 3825	. . . 4 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑟)⟩ = ⟨(+g‘ndx), · ⟩)
8	3, 7	oveq12d 5961	. . 3 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (𝑟 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑟)⟩) = (𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), · ⟩))
9		elex 2782	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑅 ∈ V)
10		plusgslid 12915	. . . . . 6 ⊢ (+g = Slot (+g‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ∈ ℕ)
11	10	simpri 113	. . . . 5 ⊢ (+g‘ndx) ∈ ℕ
12	11	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (+g‘ndx) ∈ ℕ)
13		mulrslid 12935	. . . . . 6 ⊢ (.r = Slot (.r‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ∈ ℕ)
14	13	slotex 12830	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (.r‘𝑅) ∈ V)
15	5, 14	eqeltrid 2291	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → · ∈ V)
16		setsex 12835	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ (+g‘ndx) ∈ ℕ ∧ · ∈ V) → (𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), · ⟩) ∈ V)
17	12, 15, 16	mpd3an23 1351	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), · ⟩) ∈ V)
18	2, 8, 9, 17	fvmptd3 5672	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (mulGrp‘𝑅) = (𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), · ⟩))
19	1, 18	eqtrid 2249	1 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑀 = (𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), · ⟩))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1372   ∈ wcel 2175  Vcvv 2771  ⟨cop 3635  ‘cfv 5270  (class class class)co 5943  ℕcn 9035  ndxcnx 12800   sSet csts 12801  Slot cslot 12802  +_gcplusg 12880  ._rcmulr 12881  mulGrpcmgp 13653

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-setind 4584  ax-cnex 8015  ax-resscn 8016  ax-1re 8018  ax-addrcl 8021

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-ral 2488  df-rex 2489  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-id 4339  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-rn 4685  df-res 4686  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fn 5273  df-fv 5278  df-ov 5946  df-oprab 5947  df-mpo 5948  df-inn 9036  df-2 9094  df-3 9095  df-ndx 12806  df-slot 12807  df-sets 12810  df-plusg 12893  df-mulr 12894  df-mgp 13654

This theorem is referenced by:  mgpplusgg  13657  mgpex  13658  mgpbasg  13659  mgpscag  13660  mgptsetg  13661  mgpdsg  13663  mgpress  13664