Theorem opeq12d 3868

Description: Equality deduction for ordered pairs. (Contributed by NM, 16-Dec-2006.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 29-Jun-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
opeq1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
opeq12d.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 = 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
opeq12d	⊢ (𝜑 → ⟨𝐴, 𝐶⟩ = ⟨𝐵, 𝐷⟩)

Proof of Theorem opeq12d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opeq1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2		opeq12d.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = 𝐷)
3		opeq12 3862	. 2 ⊢ ((𝐴 = 𝐵 ∧ 𝐶 = 𝐷) → ⟨𝐴, 𝐶⟩ = ⟨𝐵, 𝐷⟩)
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐴, 𝐶⟩ = ⟨𝐵, 𝐷⟩)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1395  ⟨cop 3670

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-v 2802  df-un 3202  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676

This theorem is referenced by:  nfopd  3877  moop2  4342  funopsn  5825  fliftfuns  5934  elxp6  6327  dfmpo  6383  tfrlemi1  6493  qliftfuns  6783  xpassen  7009  xpdom2  7010  xpf1o  7025  xpmapenlem  7030  xpmapen  7031  dfplpq2  7567  dfmpq2  7568  addpipqqs  7583  mulpipq2  7584  mulpipq  7585  mulpipqqs  7586  mulidnq  7602  addnq0mo  7660  mulnq0mo  7661  addnnnq0  7662  mulnnnq0  7663  nqnq0a  7667  nqnq0m  7668  nq0a0  7670  nq02m  7678  genpdf  7721  genipv  7722  genpelxp  7724  addcomprg  7791  mulcomprg  7793  prplnqu  7833  cauappcvgprlemlim  7874  caucvgprprlemell  7898  caucvgprprlemelu  7899  caucvgprprlemcbv  7900  caucvgprprlemval  7901  caucvgprprlemnkeqj  7903  caucvgprprlemml  7907  caucvgprprlemmu  7908  caucvgprprlemopl  7910  caucvgprprlemlol  7911  caucvgprprlemopu  7912  caucvgprprlemloc  7916  caucvgprprlemclphr  7918  caucvgprprlemexbt  7919  caucvgprprlem1  7922  caucvgprprlem2  7923  addsrmo  7956  mulsrmo  7957  addsrpr  7958  mulsrpr  7959  caucvgsr  8015  addcnsr  8047  mulcnsr  8048  mulresr  8051  pitonnlem2  8060  pitonn  8061  recidpipr  8069  axaddcom  8083  ax0id  8091  axcnre  8094  nntopi  8107  axcaucvglemval  8110  frecuzrdgrrn  10663  frec2uzrdg  10664  frecuzrdgrcl  10665  frecuzrdgsuc  10669  frecuzrdgrclt  10670  frecuzrdgg  10671  frecuzrdgsuctlem  10678  seqeq1  10705  iseqvalcbv  10714  seq3val  10715  seqvalcd  10716  pfxsuff1eqwrdeq  11273  swrdpfx  11281  ccatopth  11290  swrdccatin2d  11318  eucalgval2  12618  qnumdenbi  12757  crth  12789  phimullem  12790  ennnfonelemg  13017  ennnfonelem1  13021  ressval3d  13148  imasex  13381  imasival  13382  imasaddvallemg  13391  xpsff1o  13425  txcnp  14988  upxp  14989  uptx  14991  txlm  14996  cnmpt1t  15002  cnmpt2t  15010  txhmeo  15036  mpodvdsmulf1o  15707