Theorem opeq12d 3875

Description: Equality deduction for ordered pairs. (Contributed by NM, 16-Dec-2006.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 29-Jun-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
opeq1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
opeq12d.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 = 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
opeq12d	⊢ (𝜑 → ⟨𝐴, 𝐶⟩ = ⟨𝐵, 𝐷⟩)

Proof of Theorem opeq12d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opeq1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2		opeq12d.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = 𝐷)
3		opeq12 3869	. 2 ⊢ ((𝐴 = 𝐵 ∧ 𝐶 = 𝐷) → ⟨𝐴, 𝐶⟩ = ⟨𝐵, 𝐷⟩)
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐴, 𝐶⟩ = ⟨𝐵, 𝐷⟩)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398  ⟨cop 3676

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-v 2805  df-un 3205  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682

This theorem is referenced by:  nfopd  3884  moop2  4350  fsn2g  5830  funopsn  5838  fliftfuns  5949  elxp6  6341  dfmpo  6397  tfrlemi1  6541  qliftfuns  6831  xpassen  7057  xpdom2  7058  xpf1o  7073  xpmapenlem  7078  xpmapen  7079  dfplpq2  7617  dfmpq2  7618  addpipqqs  7633  mulpipq2  7634  mulpipq  7635  mulpipqqs  7636  mulidnq  7652  addnq0mo  7710  mulnq0mo  7711  addnnnq0  7712  mulnnnq0  7713  nqnq0a  7717  nqnq0m  7718  nq0a0  7720  nq02m  7728  genpdf  7771  genipv  7772  genpelxp  7774  addcomprg  7841  mulcomprg  7843  prplnqu  7883  cauappcvgprlemlim  7924  caucvgprprlemell  7948  caucvgprprlemelu  7949  caucvgprprlemcbv  7950  caucvgprprlemval  7951  caucvgprprlemnkeqj  7953  caucvgprprlemml  7957  caucvgprprlemmu  7958  caucvgprprlemopl  7960  caucvgprprlemlol  7961  caucvgprprlemopu  7962  caucvgprprlemloc  7966  caucvgprprlemclphr  7968  caucvgprprlemexbt  7969  caucvgprprlem1  7972  caucvgprprlem2  7973  addsrmo  8006  mulsrmo  8007  addsrpr  8008  mulsrpr  8009  caucvgsr  8065  addcnsr  8097  mulcnsr  8098  mulresr  8101  pitonnlem2  8110  pitonn  8111  recidpipr  8119  axaddcom  8133  ax0id  8141  axcnre  8144  nntopi  8157  axcaucvglemval  8160  frecuzrdgrrn  10714  frec2uzrdg  10715  frecuzrdgrcl  10716  frecuzrdgsuc  10720  frecuzrdgrclt  10721  frecuzrdgg  10722  frecuzrdgsuctlem  10729  seqeq1  10756  iseqvalcbv  10765  seq3val  10766  seqvalcd  10767  pfxsuff1eqwrdeq  11327  swrdpfx  11335  ccatopth  11344  swrdccatin2d  11372  eucalgval2  12686  qnumdenbi  12825  crth  12857  phimullem  12858  ennnfonelemg  13085  ennnfonelem1  13089  ressval3d  13216  imasex  13449  imasival  13450  imasaddvallemg  13459  xpsff1o  13493  txcnp  15062  upxp  15063  uptx  15065  txlm  15070  cnmpt1t  15076  cnmpt2t  15084  txhmeo  15110  pellexlem3  15773  mpodvdsmulf1o  15784