Theorem opeq12d 3817

Description: Equality deduction for ordered pairs. (Contributed by NM, 16-Dec-2006.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 29-Jun-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
opeq1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
opeq12d.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 = 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
opeq12d	⊢ (𝜑 → ⟨𝐴, 𝐶⟩ = ⟨𝐵, 𝐷⟩)

Proof of Theorem opeq12d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opeq1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2		opeq12d.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = 𝐷)
3		opeq12 3811	. 2 ⊢ ((𝐴 = 𝐵 ∧ 𝐶 = 𝐷) → ⟨𝐴, 𝐶⟩ = ⟨𝐵, 𝐷⟩)
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐴, 𝐶⟩ = ⟨𝐵, 𝐷⟩)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364  ⟨cop 3626

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-v 2765  df-un 3161  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632

This theorem is referenced by:  nfopd  3826  moop2  4285  fliftfuns  5848  elxp6  6236  dfmpo  6290  tfrlemi1  6399  qliftfuns  6687  xpassen  6898  xpdom2  6899  xpf1o  6914  xpmapenlem  6919  xpmapen  6920  dfplpq2  7440  dfmpq2  7441  addpipqqs  7456  mulpipq2  7457  mulpipq  7458  mulpipqqs  7459  mulidnq  7475  addnq0mo  7533  mulnq0mo  7534  addnnnq0  7535  mulnnnq0  7536  nqnq0a  7540  nqnq0m  7541  nq0a0  7543  nq02m  7551  genpdf  7594  genipv  7595  genpelxp  7597  addcomprg  7664  mulcomprg  7666  prplnqu  7706  cauappcvgprlemlim  7747  caucvgprprlemell  7771  caucvgprprlemelu  7772  caucvgprprlemcbv  7773  caucvgprprlemval  7774  caucvgprprlemnkeqj  7776  caucvgprprlemml  7780  caucvgprprlemmu  7781  caucvgprprlemopl  7783  caucvgprprlemlol  7784  caucvgprprlemopu  7785  caucvgprprlemloc  7789  caucvgprprlemclphr  7791  caucvgprprlemexbt  7792  caucvgprprlem1  7795  caucvgprprlem2  7796  addsrmo  7829  mulsrmo  7830  addsrpr  7831  mulsrpr  7832  caucvgsr  7888  addcnsr  7920  mulcnsr  7921  mulresr  7924  pitonnlem2  7933  pitonn  7934  recidpipr  7942  axaddcom  7956  ax0id  7964  axcnre  7967  nntopi  7980  axcaucvglemval  7983  frecuzrdgrrn  10519  frec2uzrdg  10520  frecuzrdgrcl  10521  frecuzrdgsuc  10525  frecuzrdgrclt  10526  frecuzrdgg  10527  frecuzrdgsuctlem  10534  seqeq1  10561  iseqvalcbv  10570  seq3val  10571  seqvalcd  10572  eucalgval2  12248  qnumdenbi  12387  crth  12419  phimullem  12420  ennnfonelemg  12647  ennnfonelem1  12651  ressval3d  12777  imasex  13009  imasival  13010  imasaddvallemg  13019  xpsff1o  13053  txcnp  14615  upxp  14616  uptx  14618  txlm  14623  cnmpt1t  14629  cnmpt2t  14637  txhmeo  14663  mpodvdsmulf1o  15334