Theorem opeq12d 3798

Description: Equality deduction for ordered pairs. (Contributed by NM, 16-Dec-2006.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 29-Jun-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
opeq1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
opeq12d.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 = 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
opeq12d	⊢ (𝜑 → ⟨𝐴, 𝐶⟩ = ⟨𝐵, 𝐷⟩)

Proof of Theorem opeq12d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opeq1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2		opeq12d.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = 𝐷)
3		opeq12 3792	. 2 ⊢ ((𝐴 = 𝐵 ∧ 𝐶 = 𝐷) → ⟨𝐴, 𝐶⟩ = ⟨𝐵, 𝐷⟩)
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐴, 𝐶⟩ = ⟨𝐵, 𝐷⟩)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1363  ⟨cop 3607

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-ext 2169

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-nf 1471  df-sb 1773  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-v 2751  df-un 3145  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613

This theorem is referenced by:  nfopd  3807  moop2  4263  fliftfuns  5812  elxp6  6184  dfmpo  6238  tfrlemi1  6347  qliftfuns  6633  xpassen  6844  xpdom2  6845  xpf1o  6858  xpmapenlem  6863  xpmapen  6864  dfplpq2  7367  dfmpq2  7368  addpipqqs  7383  mulpipq2  7384  mulpipq  7385  mulpipqqs  7386  mulidnq  7402  addnq0mo  7460  mulnq0mo  7461  addnnnq0  7462  mulnnnq0  7463  nqnq0a  7467  nqnq0m  7468  nq0a0  7470  nq02m  7478  genpdf  7521  genipv  7522  genpelxp  7524  addcomprg  7591  mulcomprg  7593  prplnqu  7633  cauappcvgprlemlim  7674  caucvgprprlemell  7698  caucvgprprlemelu  7699  caucvgprprlemcbv  7700  caucvgprprlemval  7701  caucvgprprlemnkeqj  7703  caucvgprprlemml  7707  caucvgprprlemmu  7708  caucvgprprlemopl  7710  caucvgprprlemlol  7711  caucvgprprlemopu  7712  caucvgprprlemloc  7716  caucvgprprlemclphr  7718  caucvgprprlemexbt  7719  caucvgprprlem1  7722  caucvgprprlem2  7723  addsrmo  7756  mulsrmo  7757  addsrpr  7758  mulsrpr  7759  caucvgsr  7815  addcnsr  7847  mulcnsr  7848  mulresr  7851  pitonnlem2  7860  pitonn  7861  recidpipr  7869  axaddcom  7883  ax0id  7891  axcnre  7894  nntopi  7907  axcaucvglemval  7910  frecuzrdgrrn  10422  frec2uzrdg  10423  frecuzrdgrcl  10424  frecuzrdgsuc  10428  frecuzrdgrclt  10429  frecuzrdgg  10430  frecuzrdgsuctlem  10437  seqeq1  10462  iseqvalcbv  10471  seq3val  10472  seqvalcd  10473  eucalgval2  12067  qnumdenbi  12206  crth  12238  phimullem  12239  ennnfonelemg  12418  ennnfonelem1  12422  ressval3d  12546  imasex  12744  imasival  12745  imasaddvallemg  12754  xpsff1o  12787  txcnp  14124  upxp  14125  uptx  14127  txlm  14132  cnmpt1t  14138  cnmpt2t  14146  txhmeo  14172