ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  opeq12d GIF version

Theorem opeq12d 3630
Description: Equality deduction for ordered pairs. (Contributed by NM, 16-Dec-2006.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 29-Jun-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
opeq1d.1 (𝜑𝐴 = 𝐵)
opeq12d.2 (𝜑𝐶 = 𝐷)
Assertion
Ref Expression
opeq12d (𝜑 → ⟨𝐴, 𝐶⟩ = ⟨𝐵, 𝐷⟩)

Proof of Theorem opeq12d
StepHypRef Expression
1 opeq1d.1 . 2 (𝜑𝐴 = 𝐵)
2 opeq12d.2 . 2 (𝜑𝐶 = 𝐷)
3 opeq12 3624 . 2 ((𝐴 = 𝐵𝐶 = 𝐷) → ⟨𝐴, 𝐶⟩ = ⟨𝐵, 𝐷⟩)
41, 2, 3syl2anc 403 1 (𝜑 → ⟨𝐴, 𝐶⟩ = ⟨𝐵, 𝐷⟩)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1289  cop 3449
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-v 2621  df-un 3003  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455
This theorem is referenced by:  nfopd  3639  moop2  4078  fliftfuns  5577  elxp6  5940  dfmpt2  5988  tfrlemi1  6097  qliftfuns  6376  xpassen  6546  xpdom2  6547  xpf1o  6560  xpmapenlem  6565  xpmapen  6566  dfplpq2  6913  dfmpq2  6914  addpipqqs  6929  mulpipq2  6930  mulpipq  6931  mulpipqqs  6932  mulidnq  6948  addnq0mo  7006  mulnq0mo  7007  addnnnq0  7008  mulnnnq0  7009  nqnq0a  7013  nqnq0m  7014  nq0a0  7016  nq02m  7024  genpdf  7067  genipv  7068  genpelxp  7070  addcomprg  7137  mulcomprg  7139  prplnqu  7179  cauappcvgprlemlim  7220  caucvgprprlemell  7244  caucvgprprlemelu  7245  caucvgprprlemcbv  7246  caucvgprprlemval  7247  caucvgprprlemnkeqj  7249  caucvgprprlemml  7253  caucvgprprlemmu  7254  caucvgprprlemopl  7256  caucvgprprlemlol  7257  caucvgprprlemopu  7258  caucvgprprlemloc  7262  caucvgprprlemclphr  7264  caucvgprprlemexbt  7265  caucvgprprlem1  7268  caucvgprprlem2  7269  addsrmo  7289  mulsrmo  7290  addsrpr  7291  mulsrpr  7292  caucvgsr  7347  addcnsr  7371  mulcnsr  7372  mulresr  7375  pitonnlem2  7384  pitonn  7385  recidpipr  7393  axaddcom  7405  ax0id  7413  axcnre  7416  nntopi  7429  axcaucvglemval  7432  frecuzrdgrrn  9815  frec2uzrdg  9816  frecuzrdgrcl  9817  frecuzrdgsuc  9821  frecuzrdgrclt  9822  frecuzrdgg  9823  frecuzrdgsuctlem  9830  iseqeq1  9858  iseqvalcbv  9872  iseqvalt  9873  seq3val  9874  eucalgval2  11313  qnumdenbi  11448  crth  11478  phimullem  11479
  Copyright terms: Public domain W3C validator