Theorem opeq12d 3864

Description: Equality deduction for ordered pairs. (Contributed by NM, 16-Dec-2006.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 29-Jun-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
opeq1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
opeq12d.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 = 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
opeq12d	⊢ (𝜑 → ⟨𝐴, 𝐶⟩ = ⟨𝐵, 𝐷⟩)

Proof of Theorem opeq12d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opeq1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2		opeq12d.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = 𝐷)
3		opeq12 3858	. 2 ⊢ ((𝐴 = 𝐵 ∧ 𝐶 = 𝐷) → ⟨𝐴, 𝐶⟩ = ⟨𝐵, 𝐷⟩)
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐴, 𝐶⟩ = ⟨𝐵, 𝐷⟩)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1395  ⟨cop 3669

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-v 2801  df-un 3201  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675

This theorem is referenced by:  nfopd  3873  moop2  4337  funopsn  5810  fliftfuns  5915  elxp6  6305  dfmpo  6359  tfrlemi1  6468  qliftfuns  6756  xpassen  6977  xpdom2  6978  xpf1o  6993  xpmapenlem  6998  xpmapen  6999  dfplpq2  7529  dfmpq2  7530  addpipqqs  7545  mulpipq2  7546  mulpipq  7547  mulpipqqs  7548  mulidnq  7564  addnq0mo  7622  mulnq0mo  7623  addnnnq0  7624  mulnnnq0  7625  nqnq0a  7629  nqnq0m  7630  nq0a0  7632  nq02m  7640  genpdf  7683  genipv  7684  genpelxp  7686  addcomprg  7753  mulcomprg  7755  prplnqu  7795  cauappcvgprlemlim  7836  caucvgprprlemell  7860  caucvgprprlemelu  7861  caucvgprprlemcbv  7862  caucvgprprlemval  7863  caucvgprprlemnkeqj  7865  caucvgprprlemml  7869  caucvgprprlemmu  7870  caucvgprprlemopl  7872  caucvgprprlemlol  7873  caucvgprprlemopu  7874  caucvgprprlemloc  7878  caucvgprprlemclphr  7880  caucvgprprlemexbt  7881  caucvgprprlem1  7884  caucvgprprlem2  7885  addsrmo  7918  mulsrmo  7919  addsrpr  7920  mulsrpr  7921  caucvgsr  7977  addcnsr  8009  mulcnsr  8010  mulresr  8013  pitonnlem2  8022  pitonn  8023  recidpipr  8031  axaddcom  8045  ax0id  8053  axcnre  8056  nntopi  8069  axcaucvglemval  8072  frecuzrdgrrn  10617  frec2uzrdg  10618  frecuzrdgrcl  10619  frecuzrdgsuc  10623  frecuzrdgrclt  10624  frecuzrdgg  10625  frecuzrdgsuctlem  10632  seqeq1  10659  iseqvalcbv  10668  seq3val  10669  seqvalcd  10670  pfxsuff1eqwrdeq  11217  swrdpfx  11225  ccatopth  11234  swrdccatin2d  11262  eucalgval2  12561  qnumdenbi  12700  crth  12732  phimullem  12733  ennnfonelemg  12960  ennnfonelem1  12964  ressval3d  13091  imasex  13324  imasival  13325  imasaddvallemg  13334  xpsff1o  13368  txcnp  14930  upxp  14931  uptx  14933  txlm  14938  cnmpt1t  14944  cnmpt2t  14952  txhmeo  14978  mpodvdsmulf1o  15649