Theorem opeq12d 3713

Description: Equality deduction for ordered pairs. (Contributed by NM, 16-Dec-2006.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 29-Jun-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
opeq1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
opeq12d.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 = 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
opeq12d	⊢ (𝜑 → ⟨𝐴, 𝐶⟩ = ⟨𝐵, 𝐷⟩)

Proof of Theorem opeq12d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opeq1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2		opeq12d.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = 𝐷)
3		opeq12 3707	. 2 ⊢ ((𝐴 = 𝐵 ∧ 𝐶 = 𝐷) → ⟨𝐴, 𝐶⟩ = ⟨𝐵, 𝐷⟩)
4	1, 2, 3	syl2anc 408	1 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐴, 𝐶⟩ = ⟨𝐵, 𝐷⟩)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1331  ⟨cop 3530

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-v 2688  df-un 3075  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536

This theorem is referenced by:  nfopd  3722  moop2  4173  fliftfuns  5699  elxp6  6067  dfmpo  6120  tfrlemi1  6229  qliftfuns  6513  xpassen  6724  xpdom2  6725  xpf1o  6738  xpmapenlem  6743  xpmapen  6744  dfplpq2  7162  dfmpq2  7163  addpipqqs  7178  mulpipq2  7179  mulpipq  7180  mulpipqqs  7181  mulidnq  7197  addnq0mo  7255  mulnq0mo  7256  addnnnq0  7257  mulnnnq0  7258  nqnq0a  7262  nqnq0m  7263  nq0a0  7265  nq02m  7273  genpdf  7316  genipv  7317  genpelxp  7319  addcomprg  7386  mulcomprg  7388  prplnqu  7428  cauappcvgprlemlim  7469  caucvgprprlemell  7493  caucvgprprlemelu  7494  caucvgprprlemcbv  7495  caucvgprprlemval  7496  caucvgprprlemnkeqj  7498  caucvgprprlemml  7502  caucvgprprlemmu  7503  caucvgprprlemopl  7505  caucvgprprlemlol  7506  caucvgprprlemopu  7507  caucvgprprlemloc  7511  caucvgprprlemclphr  7513  caucvgprprlemexbt  7514  caucvgprprlem1  7517  caucvgprprlem2  7518  addsrmo  7551  mulsrmo  7552  addsrpr  7553  mulsrpr  7554  caucvgsr  7610  addcnsr  7642  mulcnsr  7643  mulresr  7646  pitonnlem2  7655  pitonn  7656  recidpipr  7664  axaddcom  7678  ax0id  7686  axcnre  7689  nntopi  7702  axcaucvglemval  7705  frecuzrdgrrn  10181  frec2uzrdg  10182  frecuzrdgrcl  10183  frecuzrdgsuc  10187  frecuzrdgrclt  10188  frecuzrdgg  10189  frecuzrdgsuctlem  10196  seqeq1  10221  iseqvalcbv  10230  seq3val  10231  seqvalcd  10232  eucalgval2  11734  qnumdenbi  11870  crth  11900  phimullem  11901  ennnfonelemg  11916  ennnfonelem1  11920  txcnp  12440  upxp  12441  uptx  12443  txlm  12448  cnmpt1t  12454  cnmpt2t  12462  txhmeo  12488