Theorem opeq12d 3766

Description: Equality deduction for ordered pairs. (Contributed by NM, 16-Dec-2006.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 29-Jun-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
opeq1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
opeq12d.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 = 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
opeq12d	⊢ (𝜑 → ⟨𝐴, 𝐶⟩ = ⟨𝐵, 𝐷⟩)

Proof of Theorem opeq12d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opeq1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2		opeq12d.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = 𝐷)
3		opeq12 3760	. 2 ⊢ ((𝐴 = 𝐵 ∧ 𝐶 = 𝐷) → ⟨𝐴, 𝐶⟩ = ⟨𝐵, 𝐷⟩)
4	1, 2, 3	syl2anc 409	1 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐴, 𝐶⟩ = ⟨𝐵, 𝐷⟩)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1343  ⟨cop 3579

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-ext 2147

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-v 2728  df-un 3120  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585

This theorem is referenced by:  nfopd  3775  moop2  4229  fliftfuns  5766  elxp6  6137  dfmpo  6191  tfrlemi1  6300  qliftfuns  6585  xpassen  6796  xpdom2  6797  xpf1o  6810  xpmapenlem  6815  xpmapen  6816  dfplpq2  7295  dfmpq2  7296  addpipqqs  7311  mulpipq2  7312  mulpipq  7313  mulpipqqs  7314  mulidnq  7330  addnq0mo  7388  mulnq0mo  7389  addnnnq0  7390  mulnnnq0  7391  nqnq0a  7395  nqnq0m  7396  nq0a0  7398  nq02m  7406  genpdf  7449  genipv  7450  genpelxp  7452  addcomprg  7519  mulcomprg  7521  prplnqu  7561  cauappcvgprlemlim  7602  caucvgprprlemell  7626  caucvgprprlemelu  7627  caucvgprprlemcbv  7628  caucvgprprlemval  7629  caucvgprprlemnkeqj  7631  caucvgprprlemml  7635  caucvgprprlemmu  7636  caucvgprprlemopl  7638  caucvgprprlemlol  7639  caucvgprprlemopu  7640  caucvgprprlemloc  7644  caucvgprprlemclphr  7646  caucvgprprlemexbt  7647  caucvgprprlem1  7650  caucvgprprlem2  7651  addsrmo  7684  mulsrmo  7685  addsrpr  7686  mulsrpr  7687  caucvgsr  7743  addcnsr  7775  mulcnsr  7776  mulresr  7779  pitonnlem2  7788  pitonn  7789  recidpipr  7797  axaddcom  7811  ax0id  7819  axcnre  7822  nntopi  7835  axcaucvglemval  7838  frecuzrdgrrn  10343  frec2uzrdg  10344  frecuzrdgrcl  10345  frecuzrdgsuc  10349  frecuzrdgrclt  10350  frecuzrdgg  10351  frecuzrdgsuctlem  10358  seqeq1  10383  iseqvalcbv  10392  seq3val  10393  seqvalcd  10394  eucalgval2  11985  qnumdenbi  12124  crth  12156  phimullem  12157  ennnfonelemg  12336  ennnfonelem1  12340  txcnp  12911  upxp  12912  uptx  12914  txlm  12919  cnmpt1t  12925  cnmpt2t  12933  txhmeo  12959