Theorem opeq12d 3816

Description: Equality deduction for ordered pairs. (Contributed by NM, 16-Dec-2006.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 29-Jun-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
opeq1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
opeq12d.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 = 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
opeq12d	⊢ (𝜑 → ⟨𝐴, 𝐶⟩ = ⟨𝐵, 𝐷⟩)

Proof of Theorem opeq12d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opeq1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2		opeq12d.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = 𝐷)
3		opeq12 3810	. 2 ⊢ ((𝐴 = 𝐵 ∧ 𝐶 = 𝐷) → ⟨𝐴, 𝐶⟩ = ⟨𝐵, 𝐷⟩)
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐴, 𝐶⟩ = ⟨𝐵, 𝐷⟩)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364  ⟨cop 3625

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-v 2765  df-un 3161  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631

This theorem is referenced by:  nfopd  3825  moop2  4284  fliftfuns  5845  elxp6  6227  dfmpo  6281  tfrlemi1  6390  qliftfuns  6678  xpassen  6889  xpdom2  6890  xpf1o  6905  xpmapenlem  6910  xpmapen  6911  dfplpq2  7421  dfmpq2  7422  addpipqqs  7437  mulpipq2  7438  mulpipq  7439  mulpipqqs  7440  mulidnq  7456  addnq0mo  7514  mulnq0mo  7515  addnnnq0  7516  mulnnnq0  7517  nqnq0a  7521  nqnq0m  7522  nq0a0  7524  nq02m  7532  genpdf  7575  genipv  7576  genpelxp  7578  addcomprg  7645  mulcomprg  7647  prplnqu  7687  cauappcvgprlemlim  7728  caucvgprprlemell  7752  caucvgprprlemelu  7753  caucvgprprlemcbv  7754  caucvgprprlemval  7755  caucvgprprlemnkeqj  7757  caucvgprprlemml  7761  caucvgprprlemmu  7762  caucvgprprlemopl  7764  caucvgprprlemlol  7765  caucvgprprlemopu  7766  caucvgprprlemloc  7770  caucvgprprlemclphr  7772  caucvgprprlemexbt  7773  caucvgprprlem1  7776  caucvgprprlem2  7777  addsrmo  7810  mulsrmo  7811  addsrpr  7812  mulsrpr  7813  caucvgsr  7869  addcnsr  7901  mulcnsr  7902  mulresr  7905  pitonnlem2  7914  pitonn  7915  recidpipr  7923  axaddcom  7937  ax0id  7945  axcnre  7948  nntopi  7961  axcaucvglemval  7964  frecuzrdgrrn  10500  frec2uzrdg  10501  frecuzrdgrcl  10502  frecuzrdgsuc  10506  frecuzrdgrclt  10507  frecuzrdgg  10508  frecuzrdgsuctlem  10515  seqeq1  10542  iseqvalcbv  10551  seq3val  10552  seqvalcd  10553  eucalgval2  12221  qnumdenbi  12360  crth  12392  phimullem  12393  ennnfonelemg  12620  ennnfonelem1  12624  ressval3d  12750  imasex  12948  imasival  12949  imasaddvallemg  12958  xpsff1o  12992  txcnp  14507  upxp  14508  uptx  14510  txlm  14515  cnmpt1t  14521  cnmpt2t  14529  txhmeo  14555  mpodvdsmulf1o  15226