Theorem opeq12d 3912

Description: Equality deduction for ordered pairs. (Contributed by NM, 16-Dec-2006.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 29-Jun-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
opeq1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
opeq12d.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 = 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
opeq12d	⊢ (𝜑 → ⟨𝐴, 𝐶⟩ = ⟨𝐵, 𝐷⟩)

Proof of Theorem opeq12d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opeq1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2		opeq12d.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = 𝐷)
3		opeq12 3906	. 2 ⊢ ((𝐴 = 𝐵 ∧ 𝐶 = 𝐷) → ⟨𝐴, 𝐶⟩ = ⟨𝐵, 𝐷⟩)
4	1, 2, 3	syl2anc 415	1 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐴, 𝐶⟩ = ⟨𝐵, 𝐷⟩)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402  ⟨cop 3712

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-un 3224  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718

This theorem is used by:  nfopd  3921  moop2  4394  fsn2g  5886  funopsn  5894  fliftfuns  6007  elxp6  6407  dfmpo  6463  tfrlemi1  6607  qliftfuns  6897  xpassen  7132  xpdom2  7133  xpf1o  7148  xpmapenlem  7153  xpmapen  7154  mapunen  7155  dfplpq2  7727  dfmpq2  7728  addpipqqs  7743  mulpipq2  7744  mulpipq  7745  mulpipqqs  7746  mulidnq  7762  addnq0mo  7820  mulnq0mo  7821  addnnnq0  7822  mulnnnq0  7823  nqnq0a  7827  nqnq0m  7828  nq0a0  7830  nq02m  7838  genpdf  7881  genipv  7882  genpelxp  7884  addcomprg  7951  mulcomprg  7953  prplnqu  7993  cauappcvgprlemlim  8034  caucvgprprlemell  8058  caucvgprprlemelu  8059  caucvgprprlemcbv  8060  caucvgprprlemval  8061  caucvgprprlemnkeqj  8063  caucvgprprlemml  8067  caucvgprprlemmu  8068  caucvgprprlemopl  8070  caucvgprprlemlol  8071  caucvgprprlemopu  8072  caucvgprprlemloc  8076  caucvgprprlemclphr  8078  caucvgprprlemexbt  8079  caucvgprprlem1  8082  caucvgprprlem2  8083  addsrmo  8116  mulsrmo  8117  addsrpr  8118  mulsrpr  8119  caucvgsr  8175  addcnsr  8207  mulcnsr  8208  mulresr  8211  pitonnlem2  8220  pitonn  8221  recidpipr  8229  axaddcom  8243  ax0id  8251  axcnre  8254  nntopi  8267  axcaucvglemval  8270  frecuzrdgrrn  10866  frec2uzrdg  10867  frecuzrdgrcl  10868  frecuzrdgsuc  10872  frecuzrdgrclt  10873  frecuzrdgg  10874  frecuzrdgsuctlem  10881  seqeq1  10908  iseqvalcbv  10917  seq3val  10918  seqvalcd  10919  pfxsuff1eqwrdeq  11493  swrdpfx  11501  ccatopth  11510  swrdccatin2d  11538  eucalgval2  12856  qnumdenbi  12997  crth  13031  phimullem  13032  ennnfonelemg  13352  ennnfonelem1  13356  ressval3d  13485  imasex  13685  imasival  13686  imasaddvallemg  13695  xpsff1o  13729  txcnp  15497  upxp  15498  uptx  15500  txlm  15505  cnmpt1t  15511  cnmpt2t  15519  txhmeo  15545  pellexlem3  16231  mpodvdsmulf1o  16284