Theorem pm5.21nii 716

Description: Eliminate an antecedent implied by each side of a biconditional. (Contributed by NM, 21-May-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pm5.21ni.1	⊢ (𝜑 → 𝜓)
pm5.21ni.2	⊢ (𝜒 → 𝜓)
pm5.21nii.3	⊢ (𝜓 → (𝜑 ↔ 𝜒))

Assertion

Ref	Expression
pm5.21nii	⊢ (𝜑 ↔ 𝜒)

Proof of Theorem pm5.21nii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pm5.21ni.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝜓)
2		pm5.21nii.3	. . . 4 ⊢ (𝜓 → (𝜑 ↔ 𝜒))
3	1, 2	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝜑 ↔ 𝜒))
4	3	ibi 176	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝜒)
5		pm5.21ni.2	. . . 4 ⊢ (𝜒 → 𝜓)
6	5, 2	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜒 → (𝜑 ↔ 𝜒))
7	6	ibir 177	. 2 ⊢ (𝜒 → 𝜑)
8	4, 7	impbii 126	1 ⊢ (𝜑 ↔ 𝜒)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 105

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108

This proof depends on definitions:  df-bi 117

This theorem is used by:  anxordi  1449  elrabf  2980  sbcco  3073  sbc5  3075  sbcan  3094  sbcor  3096  sbcal  3103  sbcex2  3105  sbcel1v  3114  eldif  3229  elun  3370  elin  3412  elif  3652  rabsnif  3778  eluni  3938  eliun  4016  elopab  4400  opelopabsb  4402  opeliunxp  4830  opeliunxp2  4920  elxp4  5275  elxp5  5276  fsn2  5882  isocnv2  6018  elxp6  6403  elxp7  6404  opeliunxp2f  6509  brtpos2  6522  tpostpos  6535  ecdmn0m  6851  elixpsn  7017  bren  7030  omniwomnimkv  7508  elinp  7842  recexprlemell  7990  recexprlemelu  7991  gt0srpr  8116  ltresr  8207  eluz2  9937  elfz2  10429  infssuzex  10677  rexanuz2  11772  even2n  12659  infpn2  13398  xpsfrnel2  13718  issubg  14027  isnsg  14056  mgpplusg  14273  mgpbas  14276  ringidval  14316  issrg  14320  iscrng2  14370  opprringb  14437  isrim0  14519  opprlring  14555  issubrng  14558  issubrg  14580  rrgval  14621  opprdrng  14671  islssm  14745  islidlm  14867  2idlval  14890  2idlelb  14893  asclfval  15072  istopon  15166  ishmeo  15457  ismet2  15507  edgval  16423  istrl  16748  isclwwlk  16757  clwwlkn0  16771  isclwwlkn  16776  clwwlknonmpo  16791  clwwlknon  16792  clwwlk0on0  16794  iseupth  16810