Theorem pm5.21nii 716

Description: Eliminate an antecedent implied by each side of a biconditional. (Contributed by NM, 21-May-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pm5.21ni.1	⊢ (𝜑 → 𝜓)
pm5.21ni.2	⊢ (𝜒 → 𝜓)
pm5.21nii.3	⊢ (𝜓 → (𝜑 ↔ 𝜒))

Assertion

Ref	Expression
pm5.21nii	⊢ (𝜑 ↔ 𝜒)

Proof of Theorem pm5.21nii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pm5.21ni.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝜓)
2		pm5.21nii.3	. . . 4 ⊢ (𝜓 → (𝜑 ↔ 𝜒))
3	1, 2	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝜑 ↔ 𝜒))
4	3	ibi 176	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝜒)
5		pm5.21ni.2	. . . 4 ⊢ (𝜒 → 𝜓)
6	5, 2	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜒 → (𝜑 ↔ 𝜒))
7	6	ibir 177	. 2 ⊢ (𝜒 → 𝜑)
8	4, 7	impbii 126	1 ⊢ (𝜑 ↔ 𝜒)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 105

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108

This proof depends on definitions:  df-bi 117

This theorem is used by:  anxordi  1449  elrabf  2980  sbcco  3073  sbc5  3075  sbcan  3094  sbcor  3096  sbcal  3103  sbcex2  3105  sbcel1v  3114  eldif  3229  elun  3370  elin  3412  elif  3652  rabsnif  3778  eluni  3938  eliun  4016  elopab  4400  opelopabsb  4402  opeliunxp  4830  opeliunxp2  4920  elxp4  5275  elxp5  5276  fsn2  5882  isocnv2  6018  elxp6  6403  elxp7  6404  opeliunxp2f  6509  brtpos2  6522  tpostpos  6535  ecdmn0m  6851  elixpsn  7017  bren  7030  omniwomnimkv  7507  elinp  7841  recexprlemell  7989  recexprlemelu  7990  gt0srpr  8115  ltresr  8206  eluz2  9929  elfz2  10420  infssuzex  10668  rexanuz2  11759  even2n  12643  infpn2  13349  xpsfrnel2  13669  issubg  13978  isnsg  14007  mgpplusg  14224  mgpbas  14227  ringidval  14267  issrg  14271  iscrng2  14321  opprringb  14388  isrim0  14470  opprlring  14506  issubrng  14509  issubrg  14531  rrgval  14572  opprdrng  14622  islssm  14696  islidlm  14818  2idlval  14841  2idlelb  14844  asclfval  15023  istopon  15116  ishmeo  15407  ismet2  15457  edgval  16313  istrl  16638  isclwwlk  16647  clwwlkn0  16661  isclwwlkn  16666  clwwlknonmpo  16681  clwwlknon  16682  clwwlk0on0  16684  iseupth  16700