Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elfz2 GIF version

Theorem elfz2 9851
 Description: Membership in a finite set of sequential integers. We use the fact that an operation's value is empty outside of its domain to show 𝑀 ∈ ℤ and 𝑁 ∈ ℤ. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
elfz2 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀𝐾𝐾𝑁)))

Proof of Theorem elfz2
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 anass 399 . 2 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀𝐾𝐾𝑁)) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝐾𝐾𝑁))))
2 df-3an 965 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ))
32anbi1i 454 . 2 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀𝐾𝐾𝑁)) ↔ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀𝐾𝐾𝑁)))
4 df-fz 9845 . . . 4 ... = (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℤ ↦ {𝑧 ∈ ℤ ∣ (𝑥𝑧𝑧𝑦)})
54elmpocl 5978 . . 3 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
6 simpl 108 . . 3 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝐾𝐾𝑁))) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
7 elfz1 9849 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐾𝐾𝑁)))
8 3anass 967 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐾𝐾𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝐾𝐾𝑁)))
9 ibar 299 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝐾𝐾𝑁)) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝐾𝐾𝑁)))))
108, 9syl5bb 191 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐾𝐾𝑁) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝐾𝐾𝑁)))))
117, 10bitrd 187 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝐾𝐾𝑁)))))
125, 6, 11pm5.21nii 694 . 2 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝐾𝐾𝑁))))
131, 3, 123bitr4ri 212 1 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀𝐾𝐾𝑁)))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∧ w3a 963   ∈ wcel 1481  {crab 2421   class class class wbr 3938  (class class class)co 5784   ≤ cle 7848  ℤcz 9101  ...cfz 9844 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4055  ax-pow 4107  ax-pr 4140  ax-setind 4461  ax-cnex 7758  ax-resscn 7759 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-rab 2426  df-v 2692  df-sbc 2915  df-dif 3079  df-un 3081  df-in 3083  df-ss 3090  df-pw 3518  df-sn 3539  df-pr 3540  df-op 3542  df-uni 3746  df-br 3939  df-opab 3999  df-id 4224  df-xp 4555  df-rel 4556  df-cnv 4557  df-co 4558  df-dm 4559  df-iota 5098  df-fun 5135  df-fv 5141  df-ov 5787  df-oprab 5788  df-mpo 5789  df-neg 7983  df-z 9102  df-fz 9845 This theorem is referenced by:  elfz4  9853  elfzuzb  9854  uzsubsubfz  9881  fzmmmeqm  9892  fzpreddisj  9905  elfz1b  9924  fzp1nel  9938  elfz0ubfz0  9956  elfz0fzfz0  9957  fz0fzelfz0  9958  fz0fzdiffz0  9961  elfzmlbp  9963  fzind2  10070  iseqf1olemqcl  10313  iseqf1olemnab  10315  iseqf1olemab  10316  seq3f1olemqsumkj  10325  seq3f1olemqsumk  10326  summodclem2a  11205  fsum3  11211  fsum3cvg3  11220  fsumcl2lem  11222  fsumadd  11230  fsummulc2  11272  prodmodclem3  11399  prodmodclem2a  11400
 Copyright terms: Public domain W3C validator