Theorem infpn2 13140

Description: There exist infinitely many prime numbers: the set of all primes 𝑆 is unbounded by infpn 12997, so by unbendc 13138 it is infinite. This is Metamath 100 proof #11. (Contributed by NM, 5-May-2005.)

Hypothesis

Ref	Expression
infpn2.1	⊢ 𝑆 = {𝑛 ∈ ℕ ∣ (1 < 𝑛 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑛 / 𝑚) ∈ ℕ → (𝑚 = 1 ∨ 𝑚 = 𝑛)))}

Assertion

Ref	Expression
infpn2	⊢ 𝑆 ≈ ℕ

Distinct variable group:   𝑚,𝑛

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑚,𝑛)

Proof of Theorem infpn2

Dummy variable 𝑟 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2nn 9844	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑟 ∈ ℕ)
2	1	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝑟 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝑚 ∥ 𝑟 → (𝑚 = 1 ∨ 𝑚 = 𝑟))) → 𝑟 ∈ ℕ)
3		simpll 527	. . . . . 6 ⊢ (((𝑟 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑟) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑟 / 𝑚) ∈ ℕ → (𝑚 = 1 ∨ 𝑚 = 𝑟))) → 𝑟 ∈ ℕ)
4		eluz2b2 9881	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (𝑟 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑟))
5	4	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 ∈ ℕ → (𝑟 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (𝑟 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑟)))
6		nndivdvds 12420	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑟 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑚 ∥ 𝑟 ↔ (𝑟 / 𝑚) ∈ ℕ))
7	6	imbi1d 231	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑟 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑚 ∥ 𝑟 → (𝑚 = 1 ∨ 𝑚 = 𝑟)) ↔ ((𝑟 / 𝑚) ∈ ℕ → (𝑚 = 1 ∨ 𝑚 = 𝑟))))
8	7	ralbidva 2529	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 ∈ ℕ → (∀𝑚 ∈ ℕ (𝑚 ∥ 𝑟 → (𝑚 = 1 ∨ 𝑚 = 𝑟)) ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑟 / 𝑚) ∈ ℕ → (𝑚 = 1 ∨ 𝑚 = 𝑟))))
9	5, 8	anbi12d 473	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 ∈ ℕ → ((𝑟 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝑚 ∥ 𝑟 → (𝑚 = 1 ∨ 𝑚 = 𝑟))) ↔ ((𝑟 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑟) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑟 / 𝑚) ∈ ℕ → (𝑚 = 1 ∨ 𝑚 = 𝑟)))))
10	2, 3, 9	pm5.21nii 712	. . . . 5 ⊢ ((𝑟 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝑚 ∥ 𝑟 → (𝑚 = 1 ∨ 𝑚 = 𝑟))) ↔ ((𝑟 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑟) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑟 / 𝑚) ∈ ℕ → (𝑚 = 1 ∨ 𝑚 = 𝑟))))
11		anass 401	. . . . 5 ⊢ (((𝑟 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑟) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑟 / 𝑚) ∈ ℕ → (𝑚 = 1 ∨ 𝑚 = 𝑟))) ↔ (𝑟 ∈ ℕ ∧ (1 < 𝑟 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑟 / 𝑚) ∈ ℕ → (𝑚 = 1 ∨ 𝑚 = 𝑟)))))
12	10, 11	bitri 184	. . . 4 ⊢ ((𝑟 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝑚 ∥ 𝑟 → (𝑚 = 1 ∨ 𝑚 = 𝑟))) ↔ (𝑟 ∈ ℕ ∧ (1 < 𝑟 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑟 / 𝑚) ∈ ℕ → (𝑚 = 1 ∨ 𝑚 = 𝑟)))))
13		isprm2 12752	. . . 4 ⊢ (𝑟 ∈ ℙ ↔ (𝑟 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝑚 ∥ 𝑟 → (𝑚 = 1 ∨ 𝑚 = 𝑟))))
14		breq2 4097	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑟 → (1 < 𝑛 ↔ 1 < 𝑟))
15		oveq1 6035	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑟 → (𝑛 / 𝑚) = (𝑟 / 𝑚))
16	15	eleq1d 2300	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑟 → ((𝑛 / 𝑚) ∈ ℕ ↔ (𝑟 / 𝑚) ∈ ℕ))
17		equequ2 1761	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑟 → (𝑚 = 𝑛 ↔ 𝑚 = 𝑟))
18	17	orbi2d 798	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑟 → ((𝑚 = 1 ∨ 𝑚 = 𝑛) ↔ (𝑚 = 1 ∨ 𝑚 = 𝑟)))
19	16, 18	imbi12d 234	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑟 → (((𝑛 / 𝑚) ∈ ℕ → (𝑚 = 1 ∨ 𝑚 = 𝑛)) ↔ ((𝑟 / 𝑚) ∈ ℕ → (𝑚 = 1 ∨ 𝑚 = 𝑟))))
20	19	ralbidv 2533	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑟 → (∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑛 / 𝑚) ∈ ℕ → (𝑚 = 1 ∨ 𝑚 = 𝑛)) ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑟 / 𝑚) ∈ ℕ → (𝑚 = 1 ∨ 𝑚 = 𝑟))))
21	14, 20	anbi12d 473	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑟 → ((1 < 𝑛 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑛 / 𝑚) ∈ ℕ → (𝑚 = 1 ∨ 𝑚 = 𝑛))) ↔ (1 < 𝑟 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑟 / 𝑚) ∈ ℕ → (𝑚 = 1 ∨ 𝑚 = 𝑟)))))
22		infpn2.1	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = {𝑛 ∈ ℕ ∣ (1 < 𝑛 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑛 / 𝑚) ∈ ℕ → (𝑚 = 1 ∨ 𝑚 = 𝑛)))}
23	21, 22	elrab2 2966	. . . 4 ⊢ (𝑟 ∈ 𝑆 ↔ (𝑟 ∈ ℕ ∧ (1 < 𝑟 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑟 / 𝑚) ∈ ℕ → (𝑚 = 1 ∨ 𝑚 = 𝑟)))))
24	12, 13, 23	3bitr4i 212	. . 3 ⊢ (𝑟 ∈ ℙ ↔ 𝑟 ∈ 𝑆)
25	24	eqriv 2228	. 2 ⊢ ℙ = 𝑆
26		prminf 13139	. 2 ⊢ ℙ ≈ ℕ
27	25, 26	eqbrtrri 4116	1 ⊢ 𝑆 ≈ ℕ

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 716   = wceq 1398   ∈ wcel 2202  ∀wral 2511  {crab 2515   class class class wbr 4093  ‘cfv 5333  (class class class)co 6028   ≈ cen 6950  1c1 8076   < clt 8256   / cdiv 8894  ℕcn 9185  2c2 9236  ℤ_≥cuz 9799   ∥ cdvds 12411  ℙcprime 12742

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-mulrcl 8174  ax-addcom 8175  ax-mulcom 8176  ax-addass 8177  ax-mulass 8178  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-1rid 8182  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-precex 8185  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191  ax-pre-mulgt0 8192  ax-pre-mulext 8193  ax-arch 8194  ax-caucvg 8195

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-isom 5342  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-frec 6600  df-1o 6625  df-2o 6626  df-er 6745  df-pm 6863  df-en 6953  df-dom 6954  df-fin 6955  df-sup 7226  df-inf 7227  df-dju 7280  df-inl 7289  df-inr 7290  df-case 7326  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-xr 8260  df-ltxr 8261  df-le 8262  df-sub 8394  df-neg 8395  df-reap 8797  df-ap 8804  df-div 8895  df-inn 9186  df-2 9244  df-3 9245  df-4 9246  df-n0 9445  df-z 9524  df-uz 9800  df-q 9898  df-rp 9933  df-fz 10289  df-fzo 10423  df-fl 10576  df-mod 10631  df-seqfrec 10756  df-exp 10847  df-fac 11034  df-cj 11465  df-re 11466  df-im 11467  df-rsqrt 11621  df-abs 11622  df-dvds 12412  df-prm 12743

This theorem is referenced by: (None)