Theorem infpn2 12607

Description: There exist infinitely many prime numbers: the set of all primes 𝑆 is unbounded by infpn 12493, so by unbendc 12605 it is infinite. This is Metamath 100 proof #11. (Contributed by NM, 5-May-2005.)

Hypothesis

Ref	Expression
infpn2.1	⊢ 𝑆 = {𝑛 ∈ ℕ ∣ (1 < 𝑛 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑛 / 𝑚) ∈ ℕ → (𝑚 = 1 ∨ 𝑚 = 𝑛)))}

Assertion

Ref	Expression
infpn2	⊢ 𝑆 ≈ ℕ

Distinct variable group:   𝑚,𝑛

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑚,𝑛)

Proof of Theorem infpn2

Dummy variable 𝑟 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2nn 9625	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑟 ∈ ℕ)
2	1	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝑟 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝑚 ∥ 𝑟 → (𝑚 = 1 ∨ 𝑚 = 𝑟))) → 𝑟 ∈ ℕ)
3		simpll 527	. . . . . 6 ⊢ (((𝑟 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑟) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑟 / 𝑚) ∈ ℕ → (𝑚 = 1 ∨ 𝑚 = 𝑟))) → 𝑟 ∈ ℕ)
4		eluz2b2 9662	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (𝑟 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑟))
5	4	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 ∈ ℕ → (𝑟 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (𝑟 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑟)))
6		nndivdvds 11933	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑟 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑚 ∥ 𝑟 ↔ (𝑟 / 𝑚) ∈ ℕ))
7	6	imbi1d 231	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑟 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑚 ∥ 𝑟 → (𝑚 = 1 ∨ 𝑚 = 𝑟)) ↔ ((𝑟 / 𝑚) ∈ ℕ → (𝑚 = 1 ∨ 𝑚 = 𝑟))))
8	7	ralbidva 2490	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 ∈ ℕ → (∀𝑚 ∈ ℕ (𝑚 ∥ 𝑟 → (𝑚 = 1 ∨ 𝑚 = 𝑟)) ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑟 / 𝑚) ∈ ℕ → (𝑚 = 1 ∨ 𝑚 = 𝑟))))
9	5, 8	anbi12d 473	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 ∈ ℕ → ((𝑟 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝑚 ∥ 𝑟 → (𝑚 = 1 ∨ 𝑚 = 𝑟))) ↔ ((𝑟 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑟) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑟 / 𝑚) ∈ ℕ → (𝑚 = 1 ∨ 𝑚 = 𝑟)))))
10	2, 3, 9	pm5.21nii 705	. . . . 5 ⊢ ((𝑟 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝑚 ∥ 𝑟 → (𝑚 = 1 ∨ 𝑚 = 𝑟))) ↔ ((𝑟 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑟) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑟 / 𝑚) ∈ ℕ → (𝑚 = 1 ∨ 𝑚 = 𝑟))))
11		anass 401	. . . . 5 ⊢ (((𝑟 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑟) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑟 / 𝑚) ∈ ℕ → (𝑚 = 1 ∨ 𝑚 = 𝑟))) ↔ (𝑟 ∈ ℕ ∧ (1 < 𝑟 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑟 / 𝑚) ∈ ℕ → (𝑚 = 1 ∨ 𝑚 = 𝑟)))))
12	10, 11	bitri 184	. . . 4 ⊢ ((𝑟 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝑚 ∥ 𝑟 → (𝑚 = 1 ∨ 𝑚 = 𝑟))) ↔ (𝑟 ∈ ℕ ∧ (1 < 𝑟 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑟 / 𝑚) ∈ ℕ → (𝑚 = 1 ∨ 𝑚 = 𝑟)))))
13		isprm2 12249	. . . 4 ⊢ (𝑟 ∈ ℙ ↔ (𝑟 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝑚 ∥ 𝑟 → (𝑚 = 1 ∨ 𝑚 = 𝑟))))
14		breq2 4033	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑟 → (1 < 𝑛 ↔ 1 < 𝑟))
15		oveq1 5921	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑟 → (𝑛 / 𝑚) = (𝑟 / 𝑚))
16	15	eleq1d 2262	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑟 → ((𝑛 / 𝑚) ∈ ℕ ↔ (𝑟 / 𝑚) ∈ ℕ))
17		equequ2 1724	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑟 → (𝑚 = 𝑛 ↔ 𝑚 = 𝑟))
18	17	orbi2d 791	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑟 → ((𝑚 = 1 ∨ 𝑚 = 𝑛) ↔ (𝑚 = 1 ∨ 𝑚 = 𝑟)))
19	16, 18	imbi12d 234	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑟 → (((𝑛 / 𝑚) ∈ ℕ → (𝑚 = 1 ∨ 𝑚 = 𝑛)) ↔ ((𝑟 / 𝑚) ∈ ℕ → (𝑚 = 1 ∨ 𝑚 = 𝑟))))
20	19	ralbidv 2494	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑟 → (∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑛 / 𝑚) ∈ ℕ → (𝑚 = 1 ∨ 𝑚 = 𝑛)) ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑟 / 𝑚) ∈ ℕ → (𝑚 = 1 ∨ 𝑚 = 𝑟))))
21	14, 20	anbi12d 473	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑟 → ((1 < 𝑛 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑛 / 𝑚) ∈ ℕ → (𝑚 = 1 ∨ 𝑚 = 𝑛))) ↔ (1 < 𝑟 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑟 / 𝑚) ∈ ℕ → (𝑚 = 1 ∨ 𝑚 = 𝑟)))))
22		infpn2.1	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = {𝑛 ∈ ℕ ∣ (1 < 𝑛 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑛 / 𝑚) ∈ ℕ → (𝑚 = 1 ∨ 𝑚 = 𝑛)))}
23	21, 22	elrab2 2919	. . . 4 ⊢ (𝑟 ∈ 𝑆 ↔ (𝑟 ∈ ℕ ∧ (1 < 𝑟 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑟 / 𝑚) ∈ ℕ → (𝑚 = 1 ∨ 𝑚 = 𝑟)))))
24	12, 13, 23	3bitr4i 212	. . 3 ⊢ (𝑟 ∈ ℙ ↔ 𝑟 ∈ 𝑆)
25	24	eqriv 2190	. 2 ⊢ ℙ = 𝑆
26		prminf 12606	. 2 ⊢ ℙ ≈ ℕ
27	25, 26	eqbrtrri 4052	1 ⊢ 𝑆 ≈ ℕ

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 709   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  ∀wral 2472  {crab 2476   class class class wbr 4029  ‘cfv 5250  (class class class)co 5914   ≈ cen 6787  1c1 7867   < clt 8048   / cdiv 8685  ℕcn 8976  2c2 9027  ℤ_≥cuz 9586   ∥ cdvds 11924  ℙcprime 12239

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4462  ax-setind 4567  ax-iinf 4618  ax-cnex 7957  ax-resscn 7958  ax-1cn 7959  ax-1re 7960  ax-icn 7961  ax-addcl 7962  ax-addrcl 7963  ax-mulcl 7964  ax-mulrcl 7965  ax-addcom 7966  ax-mulcom 7967  ax-addass 7968  ax-mulass 7969  ax-distr 7970  ax-i2m1 7971  ax-0lt1 7972  ax-1rid 7973  ax-0id 7974  ax-rnegex 7975  ax-precex 7976  ax-cnre 7977  ax-pre-ltirr 7978  ax-pre-ltwlin 7979  ax-pre-lttrn 7980  ax-pre-apti 7981  ax-pre-ltadd 7982  ax-pre-mulgt0 7983  ax-pre-mulext 7984  ax-arch 7985  ax-caucvg 7986

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4322  df-po 4325  df-iso 4326  df-iord 4395  df-on 4397  df-ilim 4398  df-suc 4400  df-iom 4621  df-xp 4663  df-rel 4664  df-cnv 4665  df-co 4666  df-dm 4667  df-rn 4668  df-res 4669  df-ima 4670  df-iota 5211  df-fun 5252  df-fn 5253  df-f 5254  df-f1 5255  df-fo 5256  df-f1o 5257  df-fv 5258  df-isom 5259  df-riota 5869  df-ov 5917  df-oprab 5918  df-mpo 5919  df-1st 6188  df-2nd 6189  df-recs 6353  df-frec 6439  df-1o 6464  df-2o 6465  df-er 6582  df-pm 6700  df-en 6790  df-dom 6791  df-fin 6792  df-sup 7037  df-inf 7038  df-dju 7091  df-inl 7100  df-inr 7101  df-case 7137  df-pnf 8050  df-mnf 8051  df-xr 8052  df-ltxr 8053  df-le 8054  df-sub 8186  df-neg 8187  df-reap 8588  df-ap 8595  df-div 8686  df-inn 8977  df-2 9035  df-3 9036  df-4 9037  df-n0 9235  df-z 9312  df-uz 9587  df-q 9679  df-rp 9714  df-fz 10069  df-fzo 10203  df-fl 10333  df-mod 10388  df-seqfrec 10513  df-exp 10604  df-fac 10791  df-cj 10980  df-re 10981  df-im 10982  df-rsqrt 11136  df-abs 11137  df-dvds 11925  df-prm 12240

This theorem is referenced by: (None)