Theorem infpn2 12683

Description: There exist infinitely many prime numbers: the set of all primes 𝑆 is unbounded by infpn 12540, so by unbendc 12681 it is infinite. This is Metamath 100 proof #11. (Contributed by NM, 5-May-2005.)

Hypothesis

Ref	Expression
infpn2.1	⊢ 𝑆 = {𝑛 ∈ ℕ ∣ (1 < 𝑛 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑛 / 𝑚) ∈ ℕ → (𝑚 = 1 ∨ 𝑚 = 𝑛)))}

Assertion

Ref	Expression
infpn2	⊢ 𝑆 ≈ ℕ

Distinct variable group:   𝑚,𝑛

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑚,𝑛)

Proof of Theorem infpn2

Dummy variable 𝑟 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2nn 9642	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑟 ∈ ℕ)
2	1	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝑟 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝑚 ∥ 𝑟 → (𝑚 = 1 ∨ 𝑚 = 𝑟))) → 𝑟 ∈ ℕ)
3		simpll 527	. . . . . 6 ⊢ (((𝑟 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑟) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑟 / 𝑚) ∈ ℕ → (𝑚 = 1 ∨ 𝑚 = 𝑟))) → 𝑟 ∈ ℕ)
4		eluz2b2 9679	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (𝑟 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑟))
5	4	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 ∈ ℕ → (𝑟 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (𝑟 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑟)))
6		nndivdvds 11963	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑟 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑚 ∥ 𝑟 ↔ (𝑟 / 𝑚) ∈ ℕ))
7	6	imbi1d 231	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑟 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑚 ∥ 𝑟 → (𝑚 = 1 ∨ 𝑚 = 𝑟)) ↔ ((𝑟 / 𝑚) ∈ ℕ → (𝑚 = 1 ∨ 𝑚 = 𝑟))))
8	7	ralbidva 2493	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 ∈ ℕ → (∀𝑚 ∈ ℕ (𝑚 ∥ 𝑟 → (𝑚 = 1 ∨ 𝑚 = 𝑟)) ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑟 / 𝑚) ∈ ℕ → (𝑚 = 1 ∨ 𝑚 = 𝑟))))
9	5, 8	anbi12d 473	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 ∈ ℕ → ((𝑟 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝑚 ∥ 𝑟 → (𝑚 = 1 ∨ 𝑚 = 𝑟))) ↔ ((𝑟 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑟) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑟 / 𝑚) ∈ ℕ → (𝑚 = 1 ∨ 𝑚 = 𝑟)))))
10	2, 3, 9	pm5.21nii 705	. . . . 5 ⊢ ((𝑟 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝑚 ∥ 𝑟 → (𝑚 = 1 ∨ 𝑚 = 𝑟))) ↔ ((𝑟 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑟) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑟 / 𝑚) ∈ ℕ → (𝑚 = 1 ∨ 𝑚 = 𝑟))))
11		anass 401	. . . . 5 ⊢ (((𝑟 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑟) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑟 / 𝑚) ∈ ℕ → (𝑚 = 1 ∨ 𝑚 = 𝑟))) ↔ (𝑟 ∈ ℕ ∧ (1 < 𝑟 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑟 / 𝑚) ∈ ℕ → (𝑚 = 1 ∨ 𝑚 = 𝑟)))))
12	10, 11	bitri 184	. . . 4 ⊢ ((𝑟 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝑚 ∥ 𝑟 → (𝑚 = 1 ∨ 𝑚 = 𝑟))) ↔ (𝑟 ∈ ℕ ∧ (1 < 𝑟 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑟 / 𝑚) ∈ ℕ → (𝑚 = 1 ∨ 𝑚 = 𝑟)))))
13		isprm2 12295	. . . 4 ⊢ (𝑟 ∈ ℙ ↔ (𝑟 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝑚 ∥ 𝑟 → (𝑚 = 1 ∨ 𝑚 = 𝑟))))
14		breq2 4038	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑟 → (1 < 𝑛 ↔ 1 < 𝑟))
15		oveq1 5930	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑟 → (𝑛 / 𝑚) = (𝑟 / 𝑚))
16	15	eleq1d 2265	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑟 → ((𝑛 / 𝑚) ∈ ℕ ↔ (𝑟 / 𝑚) ∈ ℕ))
17		equequ2 1727	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑟 → (𝑚 = 𝑛 ↔ 𝑚 = 𝑟))
18	17	orbi2d 791	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑟 → ((𝑚 = 1 ∨ 𝑚 = 𝑛) ↔ (𝑚 = 1 ∨ 𝑚 = 𝑟)))
19	16, 18	imbi12d 234	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑟 → (((𝑛 / 𝑚) ∈ ℕ → (𝑚 = 1 ∨ 𝑚 = 𝑛)) ↔ ((𝑟 / 𝑚) ∈ ℕ → (𝑚 = 1 ∨ 𝑚 = 𝑟))))
20	19	ralbidv 2497	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑟 → (∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑛 / 𝑚) ∈ ℕ → (𝑚 = 1 ∨ 𝑚 = 𝑛)) ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑟 / 𝑚) ∈ ℕ → (𝑚 = 1 ∨ 𝑚 = 𝑟))))
21	14, 20	anbi12d 473	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑟 → ((1 < 𝑛 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑛 / 𝑚) ∈ ℕ → (𝑚 = 1 ∨ 𝑚 = 𝑛))) ↔ (1 < 𝑟 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑟 / 𝑚) ∈ ℕ → (𝑚 = 1 ∨ 𝑚 = 𝑟)))))
22		infpn2.1	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = {𝑛 ∈ ℕ ∣ (1 < 𝑛 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑛 / 𝑚) ∈ ℕ → (𝑚 = 1 ∨ 𝑚 = 𝑛)))}
23	21, 22	elrab2 2923	. . . 4 ⊢ (𝑟 ∈ 𝑆 ↔ (𝑟 ∈ ℕ ∧ (1 < 𝑟 ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑟 / 𝑚) ∈ ℕ → (𝑚 = 1 ∨ 𝑚 = 𝑟)))))
24	12, 13, 23	3bitr4i 212	. . 3 ⊢ (𝑟 ∈ ℙ ↔ 𝑟 ∈ 𝑆)
25	24	eqriv 2193	. 2 ⊢ ℙ = 𝑆
26		prminf 12682	. 2 ⊢ ℙ ≈ ℕ
27	25, 26	eqbrtrri 4057	1 ⊢ 𝑆 ≈ ℕ

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 709   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  ∀wral 2475  {crab 2479   class class class wbr 4034  ‘cfv 5259  (class class class)co 5923   ≈ cen 6798  1c1 7882   < clt 8063   / cdiv 8701  ℕcn 8992  2c2 9043  ℤ_≥cuz 9603   ∥ cdvds 11954  ℙcprime 12285

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7972  ax-resscn 7973  ax-1cn 7974  ax-1re 7975  ax-icn 7976  ax-addcl 7977  ax-addrcl 7978  ax-mulcl 7979  ax-mulrcl 7980  ax-addcom 7981  ax-mulcom 7982  ax-addass 7983  ax-mulass 7984  ax-distr 7985  ax-i2m1 7986  ax-0lt1 7987  ax-1rid 7988  ax-0id 7989  ax-rnegex 7990  ax-precex 7991  ax-cnre 7992  ax-pre-ltirr 7993  ax-pre-ltwlin 7994  ax-pre-lttrn 7995  ax-pre-apti 7996  ax-pre-ltadd 7997  ax-pre-mulgt0 7998  ax-pre-mulext 7999  ax-arch 8000  ax-caucvg 8001

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-isom 5268  df-riota 5878  df-ov 5926  df-oprab 5927  df-mpo 5928  df-1st 6199  df-2nd 6200  df-recs 6364  df-frec 6450  df-1o 6475  df-2o 6476  df-er 6593  df-pm 6711  df-en 6801  df-dom 6802  df-fin 6803  df-sup 7051  df-inf 7052  df-dju 7105  df-inl 7114  df-inr 7115  df-case 7151  df-pnf 8065  df-mnf 8066  df-xr 8067  df-ltxr 8068  df-le 8069  df-sub 8201  df-neg 8202  df-reap 8604  df-ap 8611  df-div 8702  df-inn 8993  df-2 9051  df-3 9052  df-4 9053  df-n0 9252  df-z 9329  df-uz 9604  df-q 9696  df-rp 9731  df-fz 10086  df-fzo 10220  df-fl 10362  df-mod 10417  df-seqfrec 10542  df-exp 10633  df-fac 10820  df-cj 11009  df-re 11010  df-im 11011  df-rsqrt 11165  df-abs 11166  df-dvds 11955  df-prm 12286

This theorem is referenced by: (None)