ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  iscrng2 GIF version

Theorem iscrng2 13151
Description: A commutative ring is a ring whose multiplication is a commutative monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ringcl.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringcl.t · = (.r𝑅)
Assertion
Ref Expression
iscrng2 (𝑅 ∈ CRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑥 · 𝑦) = (𝑦 · 𝑥)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝑅,𝑦
Allowed substitution hints:   · (𝑥,𝑦)

Proof of Theorem iscrng2
StepHypRef Expression
1 elex 2748 . 2 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ V)
2 elex 2748 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ V)
32adantr 276 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑥 · 𝑦) = (𝑦 · 𝑥)) → 𝑅 ∈ V)
4 eqid 2177 . . . 4 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
54iscrng 13139 . . 3 (𝑅 ∈ CRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd))
64ringmgp 13138 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
7 eqid 2177 . . . . . . . 8 (Base‘(mulGrp‘𝑅)) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
8 eqid 2177 . . . . . . . 8 (+g‘(mulGrp‘𝑅)) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
97, 8iscmn 13049 . . . . . . 7 ((mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd ↔ ((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))∀𝑦 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))(𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑦) = (𝑦(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥)))
10 ringcl.b . . . . . . . . . 10 𝐵 = (Base‘𝑅)
114, 10mgpbasg 13089 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ V → 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
12 ringcl.t . . . . . . . . . . . . 13 · = (.r𝑅)
134, 12mgpplusgg 13087 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ V → · = (+g‘(mulGrp‘𝑅)))
1413oveqd 5891 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ V → (𝑥 · 𝑦) = (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑦))
1513oveqd 5891 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ V → (𝑦 · 𝑥) = (𝑦(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥))
1614, 15eqeq12d 2192 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ V → ((𝑥 · 𝑦) = (𝑦 · 𝑥) ↔ (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑦) = (𝑦(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥)))
1711, 16raleqbidv 2684 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ V → (∀𝑦𝐵 (𝑥 · 𝑦) = (𝑦 · 𝑥) ↔ ∀𝑦 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))(𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑦) = (𝑦(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥)))
1811, 17raleqbidv 2684 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ V → (∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑥 · 𝑦) = (𝑦 · 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))∀𝑦 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))(𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑦) = (𝑦(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥)))
1918anbi2d 464 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ V → (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑥 · 𝑦) = (𝑦 · 𝑥)) ↔ ((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))∀𝑦 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))(𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑦) = (𝑦(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥))))
209, 19bitr4id 199 . . . . . 6 (𝑅 ∈ V → ((mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd ↔ ((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑥 · 𝑦) = (𝑦 · 𝑥))))
2120baibd 923 . . . . 5 ((𝑅 ∈ V ∧ (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd) → ((mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd ↔ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑥 · 𝑦) = (𝑦 · 𝑥)))
226, 21sylan2 286 . . . 4 ((𝑅 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd ↔ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑥 · 𝑦) = (𝑦 · 𝑥)))
2322pm5.32da 452 . . 3 (𝑅 ∈ V → ((𝑅 ∈ Ring ∧ (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd) ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑥 · 𝑦) = (𝑦 · 𝑥))))
245, 23bitrid 192 . 2 (𝑅 ∈ V → (𝑅 ∈ CRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑥 · 𝑦) = (𝑦 · 𝑥))))
251, 3, 24pm5.21nii 704 1 (𝑅 ∈ CRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑥 · 𝑦) = (𝑦 · 𝑥)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wa 104  wb 105   = wceq 1353  wcel 2148  wral 2455  Vcvv 2737  cfv 5216  (class class class)co 5874  Basecbs 12456  +gcplusg 12530  .rcmulr 12531  Mndcmnd 12771  CMndccmn 13041  mulGrpcmgp 13083  Ringcrg 13132  CRingccrg 13133
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-addcom 7910  ax-addass 7912  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltadd 7926
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-fv 5224  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-pnf 7992  df-mnf 7993  df-ltxr 7995  df-inn 8918  df-2 8976  df-3 8977  df-ndx 12459  df-slot 12460  df-base 12462  df-sets 12463  df-plusg 12543  df-mulr 12544  df-cmn 13043  df-mgp 13084  df-ring 13134  df-cring 13135
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator