Theorem iscrng2 13973

Description: A commutative ring is a ring whose multiplication is a commutative monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringcl.t	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
iscrng2	⊢ (𝑅 ∈ CRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 · 𝑦) = (𝑦 · 𝑥)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝑅,𝑦

Allowed substitution hints:   · (𝑥,𝑦)

Proof of Theorem iscrng2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2811	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ V)
2		elex 2811	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ V)
3	2	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 · 𝑦) = (𝑦 · 𝑥)) → 𝑅 ∈ V)
4		eqid 2229	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
5	4	iscrng 13961	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd))
6	4	ringmgp 13960	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
7		eqid 2229	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(mulGrp‘𝑅)) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
8		eqid 2229	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘(mulGrp‘𝑅)) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
9	7, 8	iscmn 13825	. . . . . . 7 ⊢ ((mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd ↔ ((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))∀𝑦 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))(𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑦) = (𝑦(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥)))
10		ringcl.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
11	4, 10	mgpbasg 13884	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ V → 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
12		ringcl.t	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ · = (.r‘𝑅)
13	4, 12	mgpplusgg 13882	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ V → · = (+g‘(mulGrp‘𝑅)))
14	13	oveqd 6017	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ V → (𝑥 · 𝑦) = (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑦))
15	13	oveqd 6017	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ V → (𝑦 · 𝑥) = (𝑦(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥))
16	14, 15	eqeq12d 2244	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ V → ((𝑥 · 𝑦) = (𝑦 · 𝑥) ↔ (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑦) = (𝑦(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥)))
17	11, 16	raleqbidv 2744	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ V → (∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 · 𝑦) = (𝑦 · 𝑥) ↔ ∀𝑦 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))(𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑦) = (𝑦(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥)))
18	11, 17	raleqbidv 2744	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ V → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 · 𝑦) = (𝑦 · 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))∀𝑦 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))(𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑦) = (𝑦(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥)))
19	18	anbi2d 464	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ V → (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 · 𝑦) = (𝑦 · 𝑥)) ↔ ((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))∀𝑦 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))(𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑦) = (𝑦(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥))))
20	9, 19	bitr4id 199	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ V → ((mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd ↔ ((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 · 𝑦) = (𝑦 · 𝑥))))
21	20	baibd 928	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ V ∧ (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd) → ((mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 · 𝑦) = (𝑦 · 𝑥)))
22	6, 21	sylan2 286	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 · 𝑦) = (𝑦 · 𝑥)))
23	22	pm5.32da 452	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ V → ((𝑅 ∈ Ring ∧ (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd) ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 · 𝑦) = (𝑦 · 𝑥))))
24	5, 23	bitrid 192	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ V → (𝑅 ∈ CRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 · 𝑦) = (𝑦 · 𝑥))))
25	1, 3, 24	pm5.21nii 709	1 ⊢ (𝑅 ∈ CRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 · 𝑦) = (𝑦 · 𝑥)))

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ∀wral 2508  Vcvv 2799  ‘cfv 5317  (class class class)co 6000  Basecbs 13027  +_gcplusg 13105  ._rcmulr 13106  Mndcmnd 13444  CMndccmn 13816  mulGrpcmgp 13878  Ringcrg 13954  CRingccrg 13955

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-addcom 8095  ax-addass 8097  ax-i2m1 8100  ax-0lt1 8101  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-ltadd 8111

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-id 4383  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-fv 5325  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-ltxr 8182  df-inn 9107  df-2 9165  df-3 9166  df-ndx 13030  df-slot 13031  df-base 13033  df-sets 13034  df-plusg 13118  df-mulr 13119  df-cmn 13818  df-mgp 13879  df-ring 13956  df-cring 13957

This theorem is referenced by:  quscrng  14491