Theorem iscrng2 13719

Description: A commutative ring is a ring whose multiplication is a commutative monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringcl.t	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
iscrng2	⊢ (𝑅 ∈ CRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 · 𝑦) = (𝑦 · 𝑥)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝑅,𝑦

Allowed substitution hints:   · (𝑥,𝑦)

Proof of Theorem iscrng2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2782	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ V)
2		elex 2782	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ V)
3	2	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 · 𝑦) = (𝑦 · 𝑥)) → 𝑅 ∈ V)
4		eqid 2204	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
5	4	iscrng 13707	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd))
6	4	ringmgp 13706	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
7		eqid 2204	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(mulGrp‘𝑅)) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
8		eqid 2204	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘(mulGrp‘𝑅)) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
9	7, 8	iscmn 13571	. . . . . . 7 ⊢ ((mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd ↔ ((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))∀𝑦 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))(𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑦) = (𝑦(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥)))
10		ringcl.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
11	4, 10	mgpbasg 13630	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ V → 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
12		ringcl.t	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ · = (.r‘𝑅)
13	4, 12	mgpplusgg 13628	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ V → · = (+g‘(mulGrp‘𝑅)))
14	13	oveqd 5960	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ V → (𝑥 · 𝑦) = (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑦))
15	13	oveqd 5960	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ V → (𝑦 · 𝑥) = (𝑦(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥))
16	14, 15	eqeq12d 2219	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ V → ((𝑥 · 𝑦) = (𝑦 · 𝑥) ↔ (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑦) = (𝑦(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥)))
17	11, 16	raleqbidv 2717	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ V → (∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 · 𝑦) = (𝑦 · 𝑥) ↔ ∀𝑦 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))(𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑦) = (𝑦(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥)))
18	11, 17	raleqbidv 2717	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ V → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 · 𝑦) = (𝑦 · 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))∀𝑦 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))(𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑦) = (𝑦(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥)))
19	18	anbi2d 464	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ V → (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 · 𝑦) = (𝑦 · 𝑥)) ↔ ((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))∀𝑦 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))(𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑦) = (𝑦(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥))))
20	9, 19	bitr4id 199	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ V → ((mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd ↔ ((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 · 𝑦) = (𝑦 · 𝑥))))
21	20	baibd 924	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ V ∧ (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd) → ((mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 · 𝑦) = (𝑦 · 𝑥)))
22	6, 21	sylan2 286	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 · 𝑦) = (𝑦 · 𝑥)))
23	22	pm5.32da 452	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ V → ((𝑅 ∈ Ring ∧ (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd) ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 · 𝑦) = (𝑦 · 𝑥))))
24	5, 23	bitrid 192	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ V → (𝑅 ∈ CRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 · 𝑦) = (𝑦 · 𝑥))))
25	1, 3, 24	pm5.21nii 705	1 ⊢ (𝑅 ∈ CRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 · 𝑦) = (𝑦 · 𝑥)))

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1372   ∈ wcel 2175  ∀wral 2483  Vcvv 2771  ‘cfv 5270  (class class class)co 5943  Basecbs 12774  +_gcplusg 12851  ._rcmulr 12852  Mndcmnd 13190  CMndccmn 13562  mulGrpcmgp 13624  Ringcrg 13700  CRingccrg 13701

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-setind 4584  ax-cnex 8015  ax-resscn 8016  ax-1cn 8017  ax-1re 8018  ax-icn 8019  ax-addcl 8020  ax-addrcl 8021  ax-mulcl 8022  ax-addcom 8024  ax-addass 8026  ax-i2m1 8029  ax-0lt1 8030  ax-0id 8032  ax-rnegex 8033  ax-pre-ltirr 8036  ax-pre-ltadd 8040

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-nul 3460  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-id 4339  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-rn 4685  df-res 4686  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fn 5273  df-fv 5278  df-ov 5946  df-oprab 5947  df-mpo 5948  df-pnf 8108  df-mnf 8109  df-ltxr 8111  df-inn 9036  df-2 9094  df-3 9095  df-ndx 12777  df-slot 12778  df-base 12780  df-sets 12781  df-plusg 12864  df-mulr 12865  df-cmn 13564  df-mgp 13625  df-ring 13702  df-cring 13703

This theorem is referenced by:  quscrng  14237