ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  iscrng2 GIF version

Theorem iscrng2 13203
Description: A commutative ring is a ring whose multiplication is a commutative monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ringcl.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
ringcl.t ยท = (.rโ€˜๐‘…)
Assertion
Ref Expression
iscrng2 (๐‘… โˆˆ CRing โ†” (๐‘… โˆˆ Ring โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = (๐‘ฆ ยท ๐‘ฅ)))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐ต   ๐‘ฅ,๐‘…,๐‘ฆ
Allowed substitution hints:   ยท (๐‘ฅ,๐‘ฆ)

Proof of Theorem iscrng2
StepHypRef Expression
1 elex 2750 . 2 (๐‘… โˆˆ CRing โ†’ ๐‘… โˆˆ V)
2 elex 2750 . . 3 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ ๐‘… โˆˆ V)
32adantr 276 . 2 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = (๐‘ฆ ยท ๐‘ฅ)) โ†’ ๐‘… โˆˆ V)
4 eqid 2177 . . . 4 (mulGrpโ€˜๐‘…) = (mulGrpโ€˜๐‘…)
54iscrng 13191 . . 3 (๐‘… โˆˆ CRing โ†” (๐‘… โˆˆ Ring โˆง (mulGrpโ€˜๐‘…) โˆˆ CMnd))
64ringmgp 13190 . . . . 5 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ (mulGrpโ€˜๐‘…) โˆˆ Mnd)
7 eqid 2177 . . . . . . . 8 (Baseโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…)) = (Baseโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))
8 eqid 2177 . . . . . . . 8 (+gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…)) = (+gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))
97, 8iscmn 13101 . . . . . . 7 ((mulGrpโ€˜๐‘…) โˆˆ CMnd โ†” ((mulGrpโ€˜๐‘…) โˆˆ Mnd โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))(๐‘ฅ(+gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))๐‘ฆ) = (๐‘ฆ(+gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))๐‘ฅ)))
10 ringcl.b . . . . . . . . . 10 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
114, 10mgpbasg 13141 . . . . . . . . 9 (๐‘… โˆˆ V โ†’ ๐ต = (Baseโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…)))
12 ringcl.t . . . . . . . . . . . . 13 ยท = (.rโ€˜๐‘…)
134, 12mgpplusgg 13139 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘… โˆˆ V โ†’ ยท = (+gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…)))
1413oveqd 5894 . . . . . . . . . . 11 (๐‘… โˆˆ V โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = (๐‘ฅ(+gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))๐‘ฆ))
1513oveqd 5894 . . . . . . . . . . 11 (๐‘… โˆˆ V โ†’ (๐‘ฆ ยท ๐‘ฅ) = (๐‘ฆ(+gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))๐‘ฅ))
1614, 15eqeq12d 2192 . . . . . . . . . 10 (๐‘… โˆˆ V โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = (๐‘ฆ ยท ๐‘ฅ) โ†” (๐‘ฅ(+gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))๐‘ฆ) = (๐‘ฆ(+gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))๐‘ฅ)))
1711, 16raleqbidv 2685 . . . . . . . . 9 (๐‘… โˆˆ V โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = (๐‘ฆ ยท ๐‘ฅ) โ†” โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))(๐‘ฅ(+gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))๐‘ฆ) = (๐‘ฆ(+gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))๐‘ฅ)))
1811, 17raleqbidv 2685 . . . . . . . 8 (๐‘… โˆˆ V โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = (๐‘ฆ ยท ๐‘ฅ) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))(๐‘ฅ(+gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))๐‘ฆ) = (๐‘ฆ(+gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))๐‘ฅ)))
1918anbi2d 464 . . . . . . 7 (๐‘… โˆˆ V โ†’ (((mulGrpโ€˜๐‘…) โˆˆ Mnd โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = (๐‘ฆ ยท ๐‘ฅ)) โ†” ((mulGrpโ€˜๐‘…) โˆˆ Mnd โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))(๐‘ฅ(+gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))๐‘ฆ) = (๐‘ฆ(+gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))๐‘ฅ))))
209, 19bitr4id 199 . . . . . 6 (๐‘… โˆˆ V โ†’ ((mulGrpโ€˜๐‘…) โˆˆ CMnd โ†” ((mulGrpโ€˜๐‘…) โˆˆ Mnd โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = (๐‘ฆ ยท ๐‘ฅ))))
2120baibd 923 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ V โˆง (mulGrpโ€˜๐‘…) โˆˆ Mnd) โ†’ ((mulGrpโ€˜๐‘…) โˆˆ CMnd โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = (๐‘ฆ ยท ๐‘ฅ)))
226, 21sylan2 286 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ V โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ ((mulGrpโ€˜๐‘…) โˆˆ CMnd โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = (๐‘ฆ ยท ๐‘ฅ)))
2322pm5.32da 452 . . 3 (๐‘… โˆˆ V โ†’ ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (mulGrpโ€˜๐‘…) โˆˆ CMnd) โ†” (๐‘… โˆˆ Ring โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = (๐‘ฆ ยท ๐‘ฅ))))
245, 23bitrid 192 . 2 (๐‘… โˆˆ V โ†’ (๐‘… โˆˆ CRing โ†” (๐‘… โˆˆ Ring โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = (๐‘ฆ ยท ๐‘ฅ))))
251, 3, 24pm5.21nii 704 1 (๐‘… โˆˆ CRing โ†” (๐‘… โˆˆ Ring โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = (๐‘ฆ ยท ๐‘ฅ)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โˆง wa 104   โ†” wb 105   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148  โˆ€wral 2455  Vcvv 2739  โ€˜cfv 5218  (class class class)co 5877  Basecbs 12464  +gcplusg 12538  .rcmulr 12539  Mndcmnd 12822  CMndccmn 13093  mulGrpcmgp 13135  Ringcrg 13184  CRingccrg 13185
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-addcom 7913  ax-addass 7915  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltadd 7929
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-fv 5226  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-ltxr 7999  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-ndx 12467  df-slot 12468  df-base 12470  df-sets 12471  df-plusg 12551  df-mulr 12552  df-cmn 13095  df-mgp 13136  df-ring 13186  df-cring 13187
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator