Theorem iscrng2 13571

Description: A commutative ring is a ring whose multiplication is a commutative monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringcl.t	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
iscrng2	⊢ (𝑅 ∈ CRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 · 𝑦) = (𝑦 · 𝑥)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝑅,𝑦

Allowed substitution hints:   · (𝑥,𝑦)

Proof of Theorem iscrng2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2774	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ V)
2		elex 2774	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ V)
3	2	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 · 𝑦) = (𝑦 · 𝑥)) → 𝑅 ∈ V)
4		eqid 2196	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
5	4	iscrng 13559	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd))
6	4	ringmgp 13558	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
7		eqid 2196	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(mulGrp‘𝑅)) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
8		eqid 2196	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘(mulGrp‘𝑅)) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
9	7, 8	iscmn 13423	. . . . . . 7 ⊢ ((mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd ↔ ((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))∀𝑦 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))(𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑦) = (𝑦(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥)))
10		ringcl.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
11	4, 10	mgpbasg 13482	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ V → 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
12		ringcl.t	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ · = (.r‘𝑅)
13	4, 12	mgpplusgg 13480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ V → · = (+g‘(mulGrp‘𝑅)))
14	13	oveqd 5939	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ V → (𝑥 · 𝑦) = (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑦))
15	13	oveqd 5939	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ V → (𝑦 · 𝑥) = (𝑦(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥))
16	14, 15	eqeq12d 2211	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ V → ((𝑥 · 𝑦) = (𝑦 · 𝑥) ↔ (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑦) = (𝑦(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥)))
17	11, 16	raleqbidv 2709	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ V → (∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 · 𝑦) = (𝑦 · 𝑥) ↔ ∀𝑦 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))(𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑦) = (𝑦(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥)))
18	11, 17	raleqbidv 2709	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ V → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 · 𝑦) = (𝑦 · 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))∀𝑦 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))(𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑦) = (𝑦(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥)))
19	18	anbi2d 464	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ V → (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 · 𝑦) = (𝑦 · 𝑥)) ↔ ((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))∀𝑦 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))(𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑦) = (𝑦(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥))))
20	9, 19	bitr4id 199	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ V → ((mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd ↔ ((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 · 𝑦) = (𝑦 · 𝑥))))
21	20	baibd 924	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ V ∧ (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd) → ((mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 · 𝑦) = (𝑦 · 𝑥)))
22	6, 21	sylan2 286	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 · 𝑦) = (𝑦 · 𝑥)))
23	22	pm5.32da 452	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ V → ((𝑅 ∈ Ring ∧ (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd) ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 · 𝑦) = (𝑦 · 𝑥))))
24	5, 23	bitrid 192	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ V → (𝑅 ∈ CRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 · 𝑦) = (𝑦 · 𝑥))))
25	1, 3, 24	pm5.21nii 705	1 ⊢ (𝑅 ∈ CRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 · 𝑦) = (𝑦 · 𝑥)))

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  ∀wral 2475  Vcvv 2763  ‘cfv 5258  (class class class)co 5922  Basecbs 12678  +_gcplusg 12755  ._rcmulr 12756  Mndcmnd 13057  CMndccmn 13414  mulGrpcmgp 13476  Ringcrg 13552  CRingccrg 13553

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-addcom 7979  ax-addass 7981  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltadd 7995

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-fv 5266  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-ltxr 8066  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-ndx 12681  df-slot 12682  df-base 12684  df-sets 12685  df-plusg 12768  df-mulr 12769  df-cmn 13416  df-mgp 13477  df-ring 13554  df-cring 13555

This theorem is referenced by:  quscrng  14089