Theorem iscrng2 13993

Description: A commutative ring is a ring whose multiplication is a commutative monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringcl.t	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
iscrng2	⊢ (𝑅 ∈ CRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 · 𝑦) = (𝑦 · 𝑥)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝑅,𝑦

Allowed substitution hints:   · (𝑥,𝑦)

Proof of Theorem iscrng2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2811	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ V)
2		elex 2811	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ V)
3	2	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 · 𝑦) = (𝑦 · 𝑥)) → 𝑅 ∈ V)
4		eqid 2229	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
5	4	iscrng 13981	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd))
6	4	ringmgp 13980	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
7		eqid 2229	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(mulGrp‘𝑅)) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
8		eqid 2229	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘(mulGrp‘𝑅)) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
9	7, 8	iscmn 13845	. . . . . . 7 ⊢ ((mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd ↔ ((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))∀𝑦 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))(𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑦) = (𝑦(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥)))
10		ringcl.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
11	4, 10	mgpbasg 13904	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ V → 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
12		ringcl.t	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ · = (.r‘𝑅)
13	4, 12	mgpplusgg 13902	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ V → · = (+g‘(mulGrp‘𝑅)))
14	13	oveqd 6024	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ V → (𝑥 · 𝑦) = (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑦))
15	13	oveqd 6024	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ V → (𝑦 · 𝑥) = (𝑦(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥))
16	14, 15	eqeq12d 2244	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ V → ((𝑥 · 𝑦) = (𝑦 · 𝑥) ↔ (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑦) = (𝑦(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥)))
17	11, 16	raleqbidv 2744	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ V → (∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 · 𝑦) = (𝑦 · 𝑥) ↔ ∀𝑦 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))(𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑦) = (𝑦(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥)))
18	11, 17	raleqbidv 2744	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ V → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 · 𝑦) = (𝑦 · 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))∀𝑦 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))(𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑦) = (𝑦(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥)))
19	18	anbi2d 464	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ V → (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 · 𝑦) = (𝑦 · 𝑥)) ↔ ((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))∀𝑦 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))(𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑦) = (𝑦(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥))))
20	9, 19	bitr4id 199	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ V → ((mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd ↔ ((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 · 𝑦) = (𝑦 · 𝑥))))
21	20	baibd 928	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ V ∧ (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd) → ((mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 · 𝑦) = (𝑦 · 𝑥)))
22	6, 21	sylan2 286	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 · 𝑦) = (𝑦 · 𝑥)))
23	22	pm5.32da 452	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ V → ((𝑅 ∈ Ring ∧ (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd) ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 · 𝑦) = (𝑦 · 𝑥))))
24	5, 23	bitrid 192	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ V → (𝑅 ∈ CRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 · 𝑦) = (𝑦 · 𝑥))))
25	1, 3, 24	pm5.21nii 709	1 ⊢ (𝑅 ∈ CRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 · 𝑦) = (𝑦 · 𝑥)))

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ∀wral 2508  Vcvv 2799  ‘cfv 5318  (class class class)co 6007  Basecbs 13047  +_gcplusg 13125  ._rcmulr 13126  Mndcmnd 13464  CMndccmn 13836  mulGrpcmgp 13898  Ringcrg 13974  CRingccrg 13975

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-addcom 8110  ax-addass 8112  ax-i2m1 8115  ax-0lt1 8116  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-pre-ltirr 8122  ax-pre-ltadd 8126

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-fv 5326  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-ltxr 8197  df-inn 9122  df-2 9180  df-3 9181  df-ndx 13050  df-slot 13051  df-base 13053  df-sets 13054  df-plusg 13138  df-mulr 13139  df-cmn 13838  df-mgp 13899  df-ring 13976  df-cring 13977

This theorem is referenced by:  quscrng  14512