Theorem iscrng2 14027

Description: A commutative ring is a ring whose multiplication is a commutative monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringcl.t	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
iscrng2	⊢ (𝑅 ∈ CRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 · 𝑦) = (𝑦 · 𝑥)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝑅,𝑦

Allowed substitution hints:   · (𝑥,𝑦)

Proof of Theorem iscrng2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2814	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ V)
2		elex 2814	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ V)
3	2	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 · 𝑦) = (𝑦 · 𝑥)) → 𝑅 ∈ V)
4		eqid 2231	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
5	4	iscrng 14015	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd))
6	4	ringmgp 14014	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
7		eqid 2231	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(mulGrp‘𝑅)) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
8		eqid 2231	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘(mulGrp‘𝑅)) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
9	7, 8	iscmn 13879	. . . . . . 7 ⊢ ((mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd ↔ ((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))∀𝑦 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))(𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑦) = (𝑦(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥)))
10		ringcl.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
11	4, 10	mgpbasg 13938	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ V → 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
12		ringcl.t	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ · = (.r‘𝑅)
13	4, 12	mgpplusgg 13936	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ V → · = (+g‘(mulGrp‘𝑅)))
14	13	oveqd 6034	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ V → (𝑥 · 𝑦) = (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑦))
15	13	oveqd 6034	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ V → (𝑦 · 𝑥) = (𝑦(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥))
16	14, 15	eqeq12d 2246	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ V → ((𝑥 · 𝑦) = (𝑦 · 𝑥) ↔ (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑦) = (𝑦(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥)))
17	11, 16	raleqbidv 2746	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ V → (∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 · 𝑦) = (𝑦 · 𝑥) ↔ ∀𝑦 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))(𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑦) = (𝑦(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥)))
18	11, 17	raleqbidv 2746	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ V → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 · 𝑦) = (𝑦 · 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))∀𝑦 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))(𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑦) = (𝑦(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥)))
19	18	anbi2d 464	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ V → (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 · 𝑦) = (𝑦 · 𝑥)) ↔ ((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))∀𝑦 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))(𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑦) = (𝑦(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥))))
20	9, 19	bitr4id 199	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ V → ((mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd ↔ ((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 · 𝑦) = (𝑦 · 𝑥))))
21	20	baibd 930	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ V ∧ (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd) → ((mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 · 𝑦) = (𝑦 · 𝑥)))
22	6, 21	sylan2 286	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 · 𝑦) = (𝑦 · 𝑥)))
23	22	pm5.32da 452	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ V → ((𝑅 ∈ Ring ∧ (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd) ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 · 𝑦) = (𝑦 · 𝑥))))
24	5, 23	bitrid 192	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ V → (𝑅 ∈ CRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 · 𝑦) = (𝑦 · 𝑥))))
25	1, 3, 24	pm5.21nii 711	1 ⊢ (𝑅 ∈ CRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 · 𝑦) = (𝑦 · 𝑥)))

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  ∀wral 2510  Vcvv 2802  ‘cfv 5326  (class class class)co 6017  Basecbs 13081  +_gcplusg 13159  ._rcmulr 13160  Mndcmnd 13498  CMndccmn 13870  mulGrpcmgp 13932  Ringcrg 14008  CRingccrg 14009

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-addcom 8131  ax-addass 8133  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltadd 8147

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-fv 5334  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-ltxr 8218  df-inn 9143  df-2 9201  df-3 9202  df-ndx 13084  df-slot 13085  df-base 13087  df-sets 13088  df-plusg 13172  df-mulr 13173  df-cmn 13872  df-mgp 13933  df-ring 14010  df-cring 14011

This theorem is referenced by:  quscrng  14546