Mathbox for Jim Kingdon < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iswomni0 GIF version

Theorem iswomni0 13571
 Description: Weak omniscience stated in terms of equality with 0. Like iswomninn 13570 but with zero in place of one. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Jul-2024.)
Assertion
Ref Expression
iswomni0 (𝐴𝑉 → (𝐴 ∈ WOmni ↔ ∀𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)DECID𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = 0))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓,𝑥   𝑓,𝑉,𝑥

Proof of Theorem iswomni0
Dummy variables 𝑔 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iswomninn 13570 . 2 (𝐴𝑉 → (𝐴 ∈ WOmni ↔ ∀𝑔 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)DECID𝑥𝐴 (𝑔𝑥) = 1))
2 simpr 109 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴𝑉𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑧𝐴) ∧ (𝑓𝑧) = 0) → (𝑓𝑧) = 0)
32oveq2d 5830 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴𝑉𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑧𝐴) ∧ (𝑓𝑧) = 0) → (1 − (𝑓𝑧)) = (1 − 0))
4 1m0e1 8925 . . . . . . . . . . 11 (1 − 0) = 1
53, 4eqtrdi 2203 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴𝑉𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑧𝐴) ∧ (𝑓𝑧) = 0) → (1 − (𝑓𝑧)) = 1)
6 1ex 7852 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ V
76prid2 3662 . . . . . . . . . 10 1 ∈ {0, 1}
85, 7eqeltrdi 2245 . . . . . . . . 9 ((((𝐴𝑉𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑧𝐴) ∧ (𝑓𝑧) = 0) → (1 − (𝑓𝑧)) ∈ {0, 1})
9 simpr 109 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴𝑉𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑧𝐴) ∧ (𝑓𝑧) = 1) → (𝑓𝑧) = 1)
109oveq2d 5830 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴𝑉𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑧𝐴) ∧ (𝑓𝑧) = 1) → (1 − (𝑓𝑧)) = (1 − 1))
11 1m1e0 8881 . . . . . . . . . . 11 (1 − 1) = 0
1210, 11eqtrdi 2203 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴𝑉𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑧𝐴) ∧ (𝑓𝑧) = 1) → (1 − (𝑓𝑧)) = 0)
13 c0ex 7851 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ V
1413prid1 3661 . . . . . . . . . 10 0 ∈ {0, 1}
1512, 14eqeltrdi 2245 . . . . . . . . 9 ((((𝐴𝑉𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑧𝐴) ∧ (𝑓𝑧) = 1) → (1 − (𝑓𝑧)) ∈ {0, 1})
16 elmapi 6604 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴) → 𝑓:𝐴⟶{0, 1})
1716ad2antlr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝑉𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑓:𝐴⟶{0, 1})
18 simpr 109 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝑉𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑧𝐴)
1917, 18ffvelrnd 5596 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝑉𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑧𝐴) → (𝑓𝑧) ∈ {0, 1})
20 elpri 3579 . . . . . . . . . 10 ((𝑓𝑧) ∈ {0, 1} → ((𝑓𝑧) = 0 ∨ (𝑓𝑧) = 1))
2119, 20syl 14 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝑉𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝑓𝑧) = 0 ∨ (𝑓𝑧) = 1))
228, 15, 21mpjaodan 788 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑉𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑧𝐴) → (1 − (𝑓𝑧)) ∈ {0, 1})
2322fmpttd 5615 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)) → (𝑧𝐴 ↦ (1 − (𝑓𝑧))):𝐴⟶{0, 1})
24 0nn0 9084 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℕ0
25 1nn0 9085 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℕ0
26 prexg 4166 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0) → {0, 1} ∈ V)
2724, 25, 26mp2an 423 . . . . . . . . 9 {0, 1} ∈ V
2827a1i 9 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑉𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)) → {0, 1} ∈ V)
29 simpl 108 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑉𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)) → 𝐴𝑉)
3028, 29elmapd 6596 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)) → ((𝑧𝐴 ↦ (1 − (𝑓𝑧))) ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴) ↔ (𝑧𝐴 ↦ (1 − (𝑓𝑧))):𝐴⟶{0, 1}))
3123, 30mpbird 166 . . . . . 6 ((𝐴𝑉𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)) → (𝑧𝐴 ↦ (1 − (𝑓𝑧))) ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴))
32 fveq1 5460 . . . . . . . . . 10 (𝑔 = (𝑧𝐴 ↦ (1 − (𝑓𝑧))) → (𝑔𝑥) = ((𝑧𝐴 ↦ (1 − (𝑓𝑧)))‘𝑥))
3332eqeq1d 2163 . . . . . . . . 9 (𝑔 = (𝑧𝐴 ↦ (1 − (𝑓𝑧))) → ((𝑔𝑥) = 1 ↔ ((𝑧𝐴 ↦ (1 − (𝑓𝑧)))‘𝑥) = 1))
3433ralbidv 2454 . . . . . . . 8 (𝑔 = (𝑧𝐴 ↦ (1 − (𝑓𝑧))) → (∀𝑥𝐴 (𝑔𝑥) = 1 ↔ ∀𝑥𝐴 ((𝑧𝐴 ↦ (1 − (𝑓𝑧)))‘𝑥) = 1))
3534dcbid 824 . . . . . . 7 (𝑔 = (𝑧𝐴 ↦ (1 − (𝑓𝑧))) → (DECID𝑥𝐴 (𝑔𝑥) = 1 ↔ DECID𝑥𝐴 ((𝑧𝐴 ↦ (1 − (𝑓𝑧)))‘𝑥) = 1))
3635rspcv 2809 . . . . . 6 ((𝑧𝐴 ↦ (1 − (𝑓𝑧))) ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴) → (∀𝑔 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)DECID𝑥𝐴 (𝑔𝑥) = 1 → DECID𝑥𝐴 ((𝑧𝐴 ↦ (1 − (𝑓𝑧)))‘𝑥) = 1))
3731, 36syl 14 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)) → (∀𝑔 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)DECID𝑥𝐴 (𝑔𝑥) = 1 → DECID𝑥𝐴 ((𝑧𝐴 ↦ (1 − (𝑓𝑧)))‘𝑥) = 1))
38 eqid 2154 . . . . . . . . . . 11 (𝑧𝐴 ↦ (1 − (𝑓𝑧))) = (𝑧𝐴 ↦ (1 − (𝑓𝑧)))
39 fveq2 5461 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝑥 → (𝑓𝑧) = (𝑓𝑥))
4039oveq2d 5830 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑥 → (1 − (𝑓𝑧)) = (1 − (𝑓𝑥)))
41 simpr 109 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝑉𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥𝐴)
4222ralrimiva 2527 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴𝑉𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)) → ∀𝑧𝐴 (1 − (𝑓𝑧)) ∈ {0, 1})
4340eleq1d 2223 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = 𝑥 → ((1 − (𝑓𝑧)) ∈ {0, 1} ↔ (1 − (𝑓𝑥)) ∈ {0, 1}))
4443cbvralv 2677 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑧𝐴 (1 − (𝑓𝑧)) ∈ {0, 1} ↔ ∀𝑥𝐴 (1 − (𝑓𝑥)) ∈ {0, 1})
4542, 44sylib 121 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴𝑉𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)) → ∀𝑥𝐴 (1 − (𝑓𝑥)) ∈ {0, 1})
4645r19.21bi 2542 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝑉𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑥𝐴) → (1 − (𝑓𝑥)) ∈ {0, 1})
4738, 40, 41, 46fvmptd3 5554 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝑉𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝑧𝐴 ↦ (1 − (𝑓𝑧)))‘𝑥) = (1 − (𝑓𝑥)))
4847eqeq1d 2163 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝑉𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑥𝐴) → (((𝑧𝐴 ↦ (1 − (𝑓𝑧)))‘𝑥) = 1 ↔ (1 − (𝑓𝑥)) = 1))
49 1cnd 7873 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝑉𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑥𝐴) → 1 ∈ ℂ)
50 0z 9157 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ ℤ
51 1z 9172 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℤ
52 prssi 3710 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → {0, 1} ⊆ ℤ)
5350, 51, 52mp2an 423 . . . . . . . . . . . 12 {0, 1} ⊆ ℤ
5416adantl 275 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴𝑉𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)) → 𝑓:𝐴⟶{0, 1})
5554ffvelrnda 5595 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴𝑉𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑓𝑥) ∈ {0, 1})
5653, 55sseldi 3122 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝑉𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑓𝑥) ∈ ℤ)
5756zcnd 9266 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝑉𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑓𝑥) ∈ ℂ)
58 subsub23 8059 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℂ ∧ (𝑓𝑥) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((1 − (𝑓𝑥)) = 1 ↔ (1 − 1) = (𝑓𝑥)))
5949, 57, 49, 58syl3anc 1217 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝑉𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑥𝐴) → ((1 − (𝑓𝑥)) = 1 ↔ (1 − 1) = (𝑓𝑥)))
6048, 59bitrd 187 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑉𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑥𝐴) → (((𝑧𝐴 ↦ (1 − (𝑓𝑧)))‘𝑥) = 1 ↔ (1 − 1) = (𝑓𝑥)))
6111eqeq1i 2162 . . . . . . . . 9 ((1 − 1) = (𝑓𝑥) ↔ 0 = (𝑓𝑥))
62 eqcom 2156 . . . . . . . . 9 (0 = (𝑓𝑥) ↔ (𝑓𝑥) = 0)
6361, 62bitri 183 . . . . . . . 8 ((1 − 1) = (𝑓𝑥) ↔ (𝑓𝑥) = 0)
6460, 63bitrdi 195 . . . . . . 7 (((𝐴𝑉𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑥𝐴) → (((𝑧𝐴 ↦ (1 − (𝑓𝑧)))‘𝑥) = 1 ↔ (𝑓𝑥) = 0))
6564ralbidva 2450 . . . . . 6 ((𝐴𝑉𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)) → (∀𝑥𝐴 ((𝑧𝐴 ↦ (1 − (𝑓𝑧)))‘𝑥) = 1 ↔ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = 0))
6665dcbid 824 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)) → (DECID𝑥𝐴 ((𝑧𝐴 ↦ (1 − (𝑓𝑧)))‘𝑥) = 1 ↔ DECID𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = 0))
6737, 66sylibd 148 . . . 4 ((𝐴𝑉𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)) → (∀𝑔 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)DECID𝑥𝐴 (𝑔𝑥) = 1 → DECID𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = 0))
6867ralrimdva 2534 . . 3 (𝐴𝑉 → (∀𝑔 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)DECID𝑥𝐴 (𝑔𝑥) = 1 → ∀𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)DECID𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = 0))
69 simpr 109 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴𝑉𝑔 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑧𝐴) ∧ (𝑔𝑧) = 0) → (𝑔𝑧) = 0)
7069oveq2d 5830 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴𝑉𝑔 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑧𝐴) ∧ (𝑔𝑧) = 0) → (1 − (𝑔𝑧)) = (1 − 0))
7170, 4eqtrdi 2203 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴𝑉𝑔 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑧𝐴) ∧ (𝑔𝑧) = 0) → (1 − (𝑔𝑧)) = 1)
7271, 7eqeltrdi 2245 . . . . . . . . 9 ((((𝐴𝑉𝑔 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑧𝐴) ∧ (𝑔𝑧) = 0) → (1 − (𝑔𝑧)) ∈ {0, 1})
73 simpr 109 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴𝑉𝑔 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑧𝐴) ∧ (𝑔𝑧) = 1) → (𝑔𝑧) = 1)
7473oveq2d 5830 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴𝑉𝑔 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑧𝐴) ∧ (𝑔𝑧) = 1) → (1 − (𝑔𝑧)) = (1 − 1))
7574, 11eqtrdi 2203 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴𝑉𝑔 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑧𝐴) ∧ (𝑔𝑧) = 1) → (1 − (𝑔𝑧)) = 0)
7675, 14eqeltrdi 2245 . . . . . . . . 9 ((((𝐴𝑉𝑔 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑧𝐴) ∧ (𝑔𝑧) = 1) → (1 − (𝑔𝑧)) ∈ {0, 1})
77 elmapi 6604 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴) → 𝑔:𝐴⟶{0, 1})
7877adantl 275 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝑉𝑔 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)) → 𝑔:𝐴⟶{0, 1})
7978ffvelrnda 5595 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝑉𝑔 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑧𝐴) → (𝑔𝑧) ∈ {0, 1})
80 elpri 3579 . . . . . . . . . 10 ((𝑔𝑧) ∈ {0, 1} → ((𝑔𝑧) = 0 ∨ (𝑔𝑧) = 1))
8179, 80syl 14 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝑉𝑔 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝑔𝑧) = 0 ∨ (𝑔𝑧) = 1))
8272, 76, 81mpjaodan 788 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑉𝑔 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑧𝐴) → (1 − (𝑔𝑧)) ∈ {0, 1})
8382fmpttd 5615 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉𝑔 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)) → (𝑧𝐴 ↦ (1 − (𝑔𝑧))):𝐴⟶{0, 1})
8427a1i 9 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑉𝑔 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)) → {0, 1} ∈ V)
85 simpl 108 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑉𝑔 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)) → 𝐴𝑉)
8684, 85elmapd 6596 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉𝑔 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)) → ((𝑧𝐴 ↦ (1 − (𝑔𝑧))) ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴) ↔ (𝑧𝐴 ↦ (1 − (𝑔𝑧))):𝐴⟶{0, 1}))
8783, 86mpbird 166 . . . . . 6 ((𝐴𝑉𝑔 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)) → (𝑧𝐴 ↦ (1 − (𝑔𝑧))) ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴))
88 fveq1 5460 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = (𝑧𝐴 ↦ (1 − (𝑔𝑧))) → (𝑓𝑥) = ((𝑧𝐴 ↦ (1 − (𝑔𝑧)))‘𝑥))
8988eqeq1d 2163 . . . . . . . . 9 (𝑓 = (𝑧𝐴 ↦ (1 − (𝑔𝑧))) → ((𝑓𝑥) = 0 ↔ ((𝑧𝐴 ↦ (1 − (𝑔𝑧)))‘𝑥) = 0))
9089ralbidv 2454 . . . . . . . 8 (𝑓 = (𝑧𝐴 ↦ (1 − (𝑔𝑧))) → (∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = 0 ↔ ∀𝑥𝐴 ((𝑧𝐴 ↦ (1 − (𝑔𝑧)))‘𝑥) = 0))
9190dcbid 824 . . . . . . 7 (𝑓 = (𝑧𝐴 ↦ (1 − (𝑔𝑧))) → (DECID𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = 0 ↔ DECID𝑥𝐴 ((𝑧𝐴 ↦ (1 − (𝑔𝑧)))‘𝑥) = 0))
9291rspcv 2809 . . . . . 6 ((𝑧𝐴 ↦ (1 − (𝑔𝑧))) ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴) → (∀𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)DECID𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = 0 → DECID𝑥𝐴 ((𝑧𝐴 ↦ (1 − (𝑔𝑧)))‘𝑥) = 0))
9387, 92syl 14 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝑔 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)) → (∀𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)DECID𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = 0 → DECID𝑥𝐴 ((𝑧𝐴 ↦ (1 − (𝑔𝑧)))‘𝑥) = 0))
94 eqid 2154 . . . . . . . . . . 11 (𝑧𝐴 ↦ (1 − (𝑔𝑧))) = (𝑧𝐴 ↦ (1 − (𝑔𝑧)))
95 fveq2 5461 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝑥 → (𝑔𝑧) = (𝑔𝑥))
9695oveq2d 5830 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑥 → (1 − (𝑔𝑧)) = (1 − (𝑔𝑥)))
97 simpr 109 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝑉𝑔 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥𝐴)
9882ralrimiva 2527 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴𝑉𝑔 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)) → ∀𝑧𝐴 (1 − (𝑔𝑧)) ∈ {0, 1})
9996eleq1d 2223 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = 𝑥 → ((1 − (𝑔𝑧)) ∈ {0, 1} ↔ (1 − (𝑔𝑥)) ∈ {0, 1}))
10099cbvralv 2677 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑧𝐴 (1 − (𝑔𝑧)) ∈ {0, 1} ↔ ∀𝑥𝐴 (1 − (𝑔𝑥)) ∈ {0, 1})
10198, 100sylib 121 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴𝑉𝑔 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)) → ∀𝑥𝐴 (1 − (𝑔𝑥)) ∈ {0, 1})
102101r19.21bi 2542 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝑉𝑔 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑥𝐴) → (1 − (𝑔𝑥)) ∈ {0, 1})
10394, 96, 97, 102fvmptd3 5554 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝑉𝑔 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝑧𝐴 ↦ (1 − (𝑔𝑧)))‘𝑥) = (1 − (𝑔𝑥)))
104103eqeq1d 2163 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝑉𝑔 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑥𝐴) → (((𝑧𝐴 ↦ (1 − (𝑔𝑧)))‘𝑥) = 0 ↔ (1 − (𝑔𝑥)) = 0))
105 1cnd 7873 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝑉𝑔 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑥𝐴) → 1 ∈ ℂ)
10678ffvelrnda 5595 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴𝑉𝑔 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑔𝑥) ∈ {0, 1})
10753, 106sseldi 3122 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝑉𝑔 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑔𝑥) ∈ ℤ)
108107zcnd 9266 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝑉𝑔 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑔𝑥) ∈ ℂ)
109 0cnd 7850 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝑉𝑔 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑥𝐴) → 0 ∈ ℂ)
110 subsub23 8059 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℂ ∧ (𝑔𝑥) ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → ((1 − (𝑔𝑥)) = 0 ↔ (1 − 0) = (𝑔𝑥)))
111105, 108, 109, 110syl3anc 1217 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝑉𝑔 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑥𝐴) → ((1 − (𝑔𝑥)) = 0 ↔ (1 − 0) = (𝑔𝑥)))
112104, 111bitrd 187 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑉𝑔 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑥𝐴) → (((𝑧𝐴 ↦ (1 − (𝑔𝑧)))‘𝑥) = 0 ↔ (1 − 0) = (𝑔𝑥)))
1134eqeq1i 2162 . . . . . . . . 9 ((1 − 0) = (𝑔𝑥) ↔ 1 = (𝑔𝑥))
114 eqcom 2156 . . . . . . . . 9 (1 = (𝑔𝑥) ↔ (𝑔𝑥) = 1)
115113, 114bitri 183 . . . . . . . 8 ((1 − 0) = (𝑔𝑥) ↔ (𝑔𝑥) = 1)
116112, 115bitrdi 195 . . . . . . 7 (((𝐴𝑉𝑔 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑥𝐴) → (((𝑧𝐴 ↦ (1 − (𝑔𝑧)))‘𝑥) = 0 ↔ (𝑔𝑥) = 1))
117116ralbidva 2450 . . . . . 6 ((𝐴𝑉𝑔 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)) → (∀𝑥𝐴 ((𝑧𝐴 ↦ (1 − (𝑔𝑧)))‘𝑥) = 0 ↔ ∀𝑥𝐴 (𝑔𝑥) = 1))
118117dcbid 824 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝑔 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)) → (DECID𝑥𝐴 ((𝑧𝐴 ↦ (1 − (𝑔𝑧)))‘𝑥) = 0 ↔ DECID𝑥𝐴 (𝑔𝑥) = 1))
11993, 118sylibd 148 . . . 4 ((𝐴𝑉𝑔 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)) → (∀𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)DECID𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = 0 → DECID𝑥𝐴 (𝑔𝑥) = 1))
120119ralrimdva 2534 . . 3 (𝐴𝑉 → (∀𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)DECID𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = 0 → ∀𝑔 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)DECID𝑥𝐴 (𝑔𝑥) = 1))
12168, 120impbid 128 . 2 (𝐴𝑉 → (∀𝑔 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)DECID𝑥𝐴 (𝑔𝑥) = 1 ↔ ∀𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)DECID𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = 0))
1221, 121bitrd 187 1 (𝐴𝑉 → (𝐴 ∈ WOmni ↔ ∀𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)DECID𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = 0))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ wo 698  DECID wdc 820   = wceq 1332   ∈ wcel 2125  ∀wral 2432  Vcvv 2709   ⊆ wss 3098  {cpr 3557   ↦ cmpt 4021  ⟶wf 5159  ‘cfv 5163  (class class class)co 5814   ↑𝑚 cmap 6582  WOmnicwomni 7085  ℂcc 7709  0cc0 7711  1c1 7712   − cmin 8025  ℕ0cn0 9069  ℤcz 9146 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1481  ax-10 1482  ax-11 1483  ax-i12 1484  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1503  ax-i9 1507  ax-ial 1511  ax-i5r 1512  ax-13 2127  ax-14 2128  ax-ext 2136  ax-coll 4075  ax-sep 4078  ax-nul 4086  ax-pow 4130  ax-pr 4164  ax-un 4388  ax-setind 4490  ax-iinf 4541  ax-cnex 7802  ax-resscn 7803  ax-1cn 7804  ax-1re 7805  ax-icn 7806  ax-addcl 7807  ax-addrcl 7808  ax-mulcl 7809  ax-addcom 7811  ax-addass 7813  ax-distr 7815  ax-i2m1 7816  ax-0lt1 7817  ax-0id 7819  ax-rnegex 7820  ax-cnre 7822  ax-pre-ltirr 7823  ax-pre-ltwlin 7824  ax-pre-lttrn 7825  ax-pre-ltadd 7827 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1740  df-eu 2006  df-mo 2007  df-clab 2141  df-cleq 2147  df-clel 2150  df-nfc 2285  df-ne 2325  df-nel 2420  df-ral 2437  df-rex 2438  df-reu 2439  df-rab 2441  df-v 2711  df-sbc 2934  df-csb 3028  df-dif 3100  df-un 3102  df-in 3104  df-ss 3111  df-nul 3391  df-pw 3541  df-sn 3562  df-pr 3563  df-op 3565  df-uni 3769  df-int 3804  df-iun 3847  df-br 3962  df-opab 4022  df-mpt 4023  df-tr 4059  df-id 4248  df-iord 4321  df-on 4323  df-ilim 4324  df-suc 4326  df-iom 4544  df-xp 4585  df-rel 4586  df-cnv 4587  df-co 4588  df-dm 4589  df-rn 4590  df-res 4591  df-ima 4592  df-iota 5128  df-fun 5165  df-fn 5166  df-f 5167  df-f1 5168  df-fo 5169  df-f1o 5170  df-fv 5171  df-riota 5770  df-ov 5817  df-oprab 5818  df-mpo 5819  df-recs 6242  df-frec 6328  df-1o 6353  df-2o 6354  df-map 6584  df-womni 7086  df-pnf 7893  df-mnf 7894  df-xr 7895  df-ltxr 7896  df-le 7897  df-sub 8027  df-neg 8028  df-inn 8813  df-n0 9070  df-z 9147  df-uz 9419 This theorem is referenced by:  nconstwlpo  13585
 Copyright terms: Public domain W3C validator