Users' Mathboxes Mathbox for Jim Kingdon < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iswomni0 GIF version

Theorem iswomni0 14455
Description: Weak omniscience stated in terms of equality with 0. Like iswomninn 14454 but with zero in place of one. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Jul-2024.)
Assertion
Ref Expression
iswomni0 (𝐴𝑉 → (𝐴 ∈ WOmni ↔ ∀𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)DECID𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = 0))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓,𝑥   𝑓,𝑉,𝑥

Proof of Theorem iswomni0
Dummy variables 𝑔 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iswomninn 14454 . 2 (𝐴𝑉 → (𝐴 ∈ WOmni ↔ ∀𝑔 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)DECID𝑥𝐴 (𝑔𝑥) = 1))
2 simpr 110 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴𝑉𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑧𝐴) ∧ (𝑓𝑧) = 0) → (𝑓𝑧) = 0)
32oveq2d 5885 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴𝑉𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑧𝐴) ∧ (𝑓𝑧) = 0) → (1 − (𝑓𝑧)) = (1 − 0))
4 1m0e1 9021 . . . . . . . . . . 11 (1 − 0) = 1
53, 4eqtrdi 2226 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴𝑉𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑧𝐴) ∧ (𝑓𝑧) = 0) → (1 − (𝑓𝑧)) = 1)
6 1ex 7943 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ V
76prid2 3698 . . . . . . . . . 10 1 ∈ {0, 1}
85, 7eqeltrdi 2268 . . . . . . . . 9 ((((𝐴𝑉𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑧𝐴) ∧ (𝑓𝑧) = 0) → (1 − (𝑓𝑧)) ∈ {0, 1})
9 simpr 110 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴𝑉𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑧𝐴) ∧ (𝑓𝑧) = 1) → (𝑓𝑧) = 1)
109oveq2d 5885 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴𝑉𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑧𝐴) ∧ (𝑓𝑧) = 1) → (1 − (𝑓𝑧)) = (1 − 1))
11 1m1e0 8977 . . . . . . . . . . 11 (1 − 1) = 0
1210, 11eqtrdi 2226 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴𝑉𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑧𝐴) ∧ (𝑓𝑧) = 1) → (1 − (𝑓𝑧)) = 0)
13 c0ex 7942 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ V
1413prid1 3697 . . . . . . . . . 10 0 ∈ {0, 1}
1512, 14eqeltrdi 2268 . . . . . . . . 9 ((((𝐴𝑉𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑧𝐴) ∧ (𝑓𝑧) = 1) → (1 − (𝑓𝑧)) ∈ {0, 1})
16 elmapi 6664 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴) → 𝑓:𝐴⟶{0, 1})
1716ad2antlr 489 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝑉𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑓:𝐴⟶{0, 1})
18 simpr 110 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝑉𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑧𝐴)
1917, 18ffvelcdmd 5648 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝑉𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑧𝐴) → (𝑓𝑧) ∈ {0, 1})
20 elpri 3614 . . . . . . . . . 10 ((𝑓𝑧) ∈ {0, 1} → ((𝑓𝑧) = 0 ∨ (𝑓𝑧) = 1))
2119, 20syl 14 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝑉𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝑓𝑧) = 0 ∨ (𝑓𝑧) = 1))
228, 15, 21mpjaodan 798 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑉𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑧𝐴) → (1 − (𝑓𝑧)) ∈ {0, 1})
2322fmpttd 5667 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)) → (𝑧𝐴 ↦ (1 − (𝑓𝑧))):𝐴⟶{0, 1})
24 0nn0 9180 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℕ0
25 1nn0 9181 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℕ0
26 prexg 4208 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0) → {0, 1} ∈ V)
2724, 25, 26mp2an 426 . . . . . . . . 9 {0, 1} ∈ V
2827a1i 9 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑉𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)) → {0, 1} ∈ V)
29 simpl 109 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑉𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)) → 𝐴𝑉)
3028, 29elmapd 6656 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)) → ((𝑧𝐴 ↦ (1 − (𝑓𝑧))) ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴) ↔ (𝑧𝐴 ↦ (1 − (𝑓𝑧))):𝐴⟶{0, 1}))
3123, 30mpbird 167 . . . . . 6 ((𝐴𝑉𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)) → (𝑧𝐴 ↦ (1 − (𝑓𝑧))) ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴))
32 fveq1 5510 . . . . . . . . . 10 (𝑔 = (𝑧𝐴 ↦ (1 − (𝑓𝑧))) → (𝑔𝑥) = ((𝑧𝐴 ↦ (1 − (𝑓𝑧)))‘𝑥))
3332eqeq1d 2186 . . . . . . . . 9 (𝑔 = (𝑧𝐴 ↦ (1 − (𝑓𝑧))) → ((𝑔𝑥) = 1 ↔ ((𝑧𝐴 ↦ (1 − (𝑓𝑧)))‘𝑥) = 1))
3433ralbidv 2477 . . . . . . . 8 (𝑔 = (𝑧𝐴 ↦ (1 − (𝑓𝑧))) → (∀𝑥𝐴 (𝑔𝑥) = 1 ↔ ∀𝑥𝐴 ((𝑧𝐴 ↦ (1 − (𝑓𝑧)))‘𝑥) = 1))
3534dcbid 838 . . . . . . 7 (𝑔 = (𝑧𝐴 ↦ (1 − (𝑓𝑧))) → (DECID𝑥𝐴 (𝑔𝑥) = 1 ↔ DECID𝑥𝐴 ((𝑧𝐴 ↦ (1 − (𝑓𝑧)))‘𝑥) = 1))
3635rspcv 2837 . . . . . 6 ((𝑧𝐴 ↦ (1 − (𝑓𝑧))) ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴) → (∀𝑔 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)DECID𝑥𝐴 (𝑔𝑥) = 1 → DECID𝑥𝐴 ((𝑧𝐴 ↦ (1 − (𝑓𝑧)))‘𝑥) = 1))
3731, 36syl 14 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)) → (∀𝑔 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)DECID𝑥𝐴 (𝑔𝑥) = 1 → DECID𝑥𝐴 ((𝑧𝐴 ↦ (1 − (𝑓𝑧)))‘𝑥) = 1))
38 eqid 2177 . . . . . . . . . . 11 (𝑧𝐴 ↦ (1 − (𝑓𝑧))) = (𝑧𝐴 ↦ (1 − (𝑓𝑧)))
39 fveq2 5511 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝑥 → (𝑓𝑧) = (𝑓𝑥))
4039oveq2d 5885 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑥 → (1 − (𝑓𝑧)) = (1 − (𝑓𝑥)))
41 simpr 110 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝑉𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥𝐴)
4222ralrimiva 2550 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴𝑉𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)) → ∀𝑧𝐴 (1 − (𝑓𝑧)) ∈ {0, 1})
4340eleq1d 2246 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = 𝑥 → ((1 − (𝑓𝑧)) ∈ {0, 1} ↔ (1 − (𝑓𝑥)) ∈ {0, 1}))
4443cbvralv 2703 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑧𝐴 (1 − (𝑓𝑧)) ∈ {0, 1} ↔ ∀𝑥𝐴 (1 − (𝑓𝑥)) ∈ {0, 1})
4542, 44sylib 122 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴𝑉𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)) → ∀𝑥𝐴 (1 − (𝑓𝑥)) ∈ {0, 1})
4645r19.21bi 2565 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝑉𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑥𝐴) → (1 − (𝑓𝑥)) ∈ {0, 1})
4738, 40, 41, 46fvmptd3 5605 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝑉𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝑧𝐴 ↦ (1 − (𝑓𝑧)))‘𝑥) = (1 − (𝑓𝑥)))
4847eqeq1d 2186 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝑉𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑥𝐴) → (((𝑧𝐴 ↦ (1 − (𝑓𝑧)))‘𝑥) = 1 ↔ (1 − (𝑓𝑥)) = 1))
49 1cnd 7964 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝑉𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑥𝐴) → 1 ∈ ℂ)
50 0z 9253 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ ℤ
51 1z 9268 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℤ
52 prssi 3749 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → {0, 1} ⊆ ℤ)
5350, 51, 52mp2an 426 . . . . . . . . . . . 12 {0, 1} ⊆ ℤ
5416adantl 277 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴𝑉𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)) → 𝑓:𝐴⟶{0, 1})
5554ffvelcdmda 5647 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴𝑉𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑓𝑥) ∈ {0, 1})
5653, 55sselid 3153 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝑉𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑓𝑥) ∈ ℤ)
5756zcnd 9365 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝑉𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑓𝑥) ∈ ℂ)
58 subsub23 8152 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℂ ∧ (𝑓𝑥) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((1 − (𝑓𝑥)) = 1 ↔ (1 − 1) = (𝑓𝑥)))
5949, 57, 49, 58syl3anc 1238 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝑉𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑥𝐴) → ((1 − (𝑓𝑥)) = 1 ↔ (1 − 1) = (𝑓𝑥)))
6048, 59bitrd 188 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑉𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑥𝐴) → (((𝑧𝐴 ↦ (1 − (𝑓𝑧)))‘𝑥) = 1 ↔ (1 − 1) = (𝑓𝑥)))
6111eqeq1i 2185 . . . . . . . . 9 ((1 − 1) = (𝑓𝑥) ↔ 0 = (𝑓𝑥))
62 eqcom 2179 . . . . . . . . 9 (0 = (𝑓𝑥) ↔ (𝑓𝑥) = 0)
6361, 62bitri 184 . . . . . . . 8 ((1 − 1) = (𝑓𝑥) ↔ (𝑓𝑥) = 0)
6460, 63bitrdi 196 . . . . . . 7 (((𝐴𝑉𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑥𝐴) → (((𝑧𝐴 ↦ (1 − (𝑓𝑧)))‘𝑥) = 1 ↔ (𝑓𝑥) = 0))
6564ralbidva 2473 . . . . . 6 ((𝐴𝑉𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)) → (∀𝑥𝐴 ((𝑧𝐴 ↦ (1 − (𝑓𝑧)))‘𝑥) = 1 ↔ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = 0))
6665dcbid 838 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)) → (DECID𝑥𝐴 ((𝑧𝐴 ↦ (1 − (𝑓𝑧)))‘𝑥) = 1 ↔ DECID𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = 0))
6737, 66sylibd 149 . . . 4 ((𝐴𝑉𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)) → (∀𝑔 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)DECID𝑥𝐴 (𝑔𝑥) = 1 → DECID𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = 0))
6867ralrimdva 2557 . . 3 (𝐴𝑉 → (∀𝑔 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)DECID𝑥𝐴 (𝑔𝑥) = 1 → ∀𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)DECID𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = 0))
69 simpr 110 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴𝑉𝑔 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑧𝐴) ∧ (𝑔𝑧) = 0) → (𝑔𝑧) = 0)
7069oveq2d 5885 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴𝑉𝑔 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑧𝐴) ∧ (𝑔𝑧) = 0) → (1 − (𝑔𝑧)) = (1 − 0))
7170, 4eqtrdi 2226 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴𝑉𝑔 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑧𝐴) ∧ (𝑔𝑧) = 0) → (1 − (𝑔𝑧)) = 1)
7271, 7eqeltrdi 2268 . . . . . . . . 9 ((((𝐴𝑉𝑔 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑧𝐴) ∧ (𝑔𝑧) = 0) → (1 − (𝑔𝑧)) ∈ {0, 1})
73 simpr 110 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴𝑉𝑔 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑧𝐴) ∧ (𝑔𝑧) = 1) → (𝑔𝑧) = 1)
7473oveq2d 5885 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴𝑉𝑔 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑧𝐴) ∧ (𝑔𝑧) = 1) → (1 − (𝑔𝑧)) = (1 − 1))
7574, 11eqtrdi 2226 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴𝑉𝑔 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑧𝐴) ∧ (𝑔𝑧) = 1) → (1 − (𝑔𝑧)) = 0)
7675, 14eqeltrdi 2268 . . . . . . . . 9 ((((𝐴𝑉𝑔 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑧𝐴) ∧ (𝑔𝑧) = 1) → (1 − (𝑔𝑧)) ∈ {0, 1})
77 elmapi 6664 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴) → 𝑔:𝐴⟶{0, 1})
7877adantl 277 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝑉𝑔 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)) → 𝑔:𝐴⟶{0, 1})
7978ffvelcdmda 5647 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝑉𝑔 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑧𝐴) → (𝑔𝑧) ∈ {0, 1})
80 elpri 3614 . . . . . . . . . 10 ((𝑔𝑧) ∈ {0, 1} → ((𝑔𝑧) = 0 ∨ (𝑔𝑧) = 1))
8179, 80syl 14 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝑉𝑔 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝑔𝑧) = 0 ∨ (𝑔𝑧) = 1))
8272, 76, 81mpjaodan 798 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑉𝑔 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑧𝐴) → (1 − (𝑔𝑧)) ∈ {0, 1})
8382fmpttd 5667 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉𝑔 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)) → (𝑧𝐴 ↦ (1 − (𝑔𝑧))):𝐴⟶{0, 1})
8427a1i 9 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑉𝑔 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)) → {0, 1} ∈ V)
85 simpl 109 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑉𝑔 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)) → 𝐴𝑉)
8684, 85elmapd 6656 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉𝑔 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)) → ((𝑧𝐴 ↦ (1 − (𝑔𝑧))) ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴) ↔ (𝑧𝐴 ↦ (1 − (𝑔𝑧))):𝐴⟶{0, 1}))
8783, 86mpbird 167 . . . . . 6 ((𝐴𝑉𝑔 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)) → (𝑧𝐴 ↦ (1 − (𝑔𝑧))) ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴))
88 fveq1 5510 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = (𝑧𝐴 ↦ (1 − (𝑔𝑧))) → (𝑓𝑥) = ((𝑧𝐴 ↦ (1 − (𝑔𝑧)))‘𝑥))
8988eqeq1d 2186 . . . . . . . . 9 (𝑓 = (𝑧𝐴 ↦ (1 − (𝑔𝑧))) → ((𝑓𝑥) = 0 ↔ ((𝑧𝐴 ↦ (1 − (𝑔𝑧)))‘𝑥) = 0))
9089ralbidv 2477 . . . . . . . 8 (𝑓 = (𝑧𝐴 ↦ (1 − (𝑔𝑧))) → (∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = 0 ↔ ∀𝑥𝐴 ((𝑧𝐴 ↦ (1 − (𝑔𝑧)))‘𝑥) = 0))
9190dcbid 838 . . . . . . 7 (𝑓 = (𝑧𝐴 ↦ (1 − (𝑔𝑧))) → (DECID𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = 0 ↔ DECID𝑥𝐴 ((𝑧𝐴 ↦ (1 − (𝑔𝑧)))‘𝑥) = 0))
9291rspcv 2837 . . . . . 6 ((𝑧𝐴 ↦ (1 − (𝑔𝑧))) ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴) → (∀𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)DECID𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = 0 → DECID𝑥𝐴 ((𝑧𝐴 ↦ (1 − (𝑔𝑧)))‘𝑥) = 0))
9387, 92syl 14 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝑔 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)) → (∀𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)DECID𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = 0 → DECID𝑥𝐴 ((𝑧𝐴 ↦ (1 − (𝑔𝑧)))‘𝑥) = 0))
94 eqid 2177 . . . . . . . . . . 11 (𝑧𝐴 ↦ (1 − (𝑔𝑧))) = (𝑧𝐴 ↦ (1 − (𝑔𝑧)))
95 fveq2 5511 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝑥 → (𝑔𝑧) = (𝑔𝑥))
9695oveq2d 5885 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑥 → (1 − (𝑔𝑧)) = (1 − (𝑔𝑥)))
97 simpr 110 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝑉𝑔 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥𝐴)
9882ralrimiva 2550 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴𝑉𝑔 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)) → ∀𝑧𝐴 (1 − (𝑔𝑧)) ∈ {0, 1})
9996eleq1d 2246 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = 𝑥 → ((1 − (𝑔𝑧)) ∈ {0, 1} ↔ (1 − (𝑔𝑥)) ∈ {0, 1}))
10099cbvralv 2703 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑧𝐴 (1 − (𝑔𝑧)) ∈ {0, 1} ↔ ∀𝑥𝐴 (1 − (𝑔𝑥)) ∈ {0, 1})
10198, 100sylib 122 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴𝑉𝑔 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)) → ∀𝑥𝐴 (1 − (𝑔𝑥)) ∈ {0, 1})
102101r19.21bi 2565 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝑉𝑔 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑥𝐴) → (1 − (𝑔𝑥)) ∈ {0, 1})
10394, 96, 97, 102fvmptd3 5605 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝑉𝑔 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝑧𝐴 ↦ (1 − (𝑔𝑧)))‘𝑥) = (1 − (𝑔𝑥)))
104103eqeq1d 2186 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝑉𝑔 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑥𝐴) → (((𝑧𝐴 ↦ (1 − (𝑔𝑧)))‘𝑥) = 0 ↔ (1 − (𝑔𝑥)) = 0))
105 1cnd 7964 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝑉𝑔 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑥𝐴) → 1 ∈ ℂ)
10678ffvelcdmda 5647 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴𝑉𝑔 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑔𝑥) ∈ {0, 1})
10753, 106sselid 3153 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝑉𝑔 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑔𝑥) ∈ ℤ)
108107zcnd 9365 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝑉𝑔 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑔𝑥) ∈ ℂ)
109 0cnd 7941 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝑉𝑔 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑥𝐴) → 0 ∈ ℂ)
110 subsub23 8152 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℂ ∧ (𝑔𝑥) ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → ((1 − (𝑔𝑥)) = 0 ↔ (1 − 0) = (𝑔𝑥)))
111105, 108, 109, 110syl3anc 1238 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝑉𝑔 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑥𝐴) → ((1 − (𝑔𝑥)) = 0 ↔ (1 − 0) = (𝑔𝑥)))
112104, 111bitrd 188 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑉𝑔 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑥𝐴) → (((𝑧𝐴 ↦ (1 − (𝑔𝑧)))‘𝑥) = 0 ↔ (1 − 0) = (𝑔𝑥)))
1134eqeq1i 2185 . . . . . . . . 9 ((1 − 0) = (𝑔𝑥) ↔ 1 = (𝑔𝑥))
114 eqcom 2179 . . . . . . . . 9 (1 = (𝑔𝑥) ↔ (𝑔𝑥) = 1)
115113, 114bitri 184 . . . . . . . 8 ((1 − 0) = (𝑔𝑥) ↔ (𝑔𝑥) = 1)
116112, 115bitrdi 196 . . . . . . 7 (((𝐴𝑉𝑔 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)) ∧ 𝑥𝐴) → (((𝑧𝐴 ↦ (1 − (𝑔𝑧)))‘𝑥) = 0 ↔ (𝑔𝑥) = 1))
117116ralbidva 2473 . . . . . 6 ((𝐴𝑉𝑔 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)) → (∀𝑥𝐴 ((𝑧𝐴 ↦ (1 − (𝑔𝑧)))‘𝑥) = 0 ↔ ∀𝑥𝐴 (𝑔𝑥) = 1))
118117dcbid 838 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝑔 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)) → (DECID𝑥𝐴 ((𝑧𝐴 ↦ (1 − (𝑔𝑧)))‘𝑥) = 0 ↔ DECID𝑥𝐴 (𝑔𝑥) = 1))
11993, 118sylibd 149 . . . 4 ((𝐴𝑉𝑔 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)) → (∀𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)DECID𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = 0 → DECID𝑥𝐴 (𝑔𝑥) = 1))
120119ralrimdva 2557 . . 3 (𝐴𝑉 → (∀𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)DECID𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = 0 → ∀𝑔 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)DECID𝑥𝐴 (𝑔𝑥) = 1))
12168, 120impbid 129 . 2 (𝐴𝑉 → (∀𝑔 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)DECID𝑥𝐴 (𝑔𝑥) = 1 ↔ ∀𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)DECID𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = 0))
1221, 121bitrd 188 1 (𝐴𝑉 → (𝐴 ∈ WOmni ↔ ∀𝑓 ∈ ({0, 1} ↑𝑚 𝐴)DECID𝑥𝐴 (𝑓𝑥) = 0))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105  wo 708  DECID wdc 834   = wceq 1353  wcel 2148  wral 2455  Vcvv 2737  wss 3129  {cpr 3592  cmpt 4061  wf 5208  cfv 5212  (class class class)co 5869  𝑚 cmap 6642  WOmnicwomni 7155  cc 7800  0cc0 7802  1c1 7803  cmin 8118  0cn0 9165  cz 9242
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-addcom 7902  ax-addass 7904  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-ltadd 7918
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-recs 6300  df-frec 6386  df-1o 6411  df-2o 6412  df-map 6644  df-womni 7156  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-inn 8909  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518
This theorem is referenced by:  nconstwlpo  14469
  Copyright terms: Public domain W3C validator