Theorem lsslss 14720

Description: The subspaces of a subspace are the smaller subspaces. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsslss.x	⊢ 𝑋 = (𝑊 ↾s 𝑈)
lsslss.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lsslss.t	⊢ 𝑇 = (LSubSp‘𝑋)

Assertion

Ref	Expression
lsslss	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑉 ∈ 𝑇 ↔ (𝑉 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈)))

Proof of Theorem lsslss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsslss.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (𝑊 ↾s 𝑈)
2		lsslss.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
3	1, 2	lsslmod 14719	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ LMod)
4		eqid 2238	. . . 4 ⊢ (𝑋 ↾s 𝑉) = (𝑋 ↾s 𝑉)
5		eqid 2238	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑋) = (Base‘𝑋)
6		lsslss.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (LSubSp‘𝑋)
7	4, 5, 6	islss3 14718	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ LMod → (𝑉 ∈ 𝑇 ↔ (𝑉 ⊆ (Base‘𝑋) ∧ (𝑋 ↾s 𝑉) ∈ LMod)))
8	3, 7	syl 14	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑉 ∈ 𝑇 ↔ (𝑉 ⊆ (Base‘𝑋) ∧ (𝑋 ↾s 𝑉) ∈ LMod)))
9	1	a1i 9	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑋 = (𝑊 ↾s 𝑈))
10		eqid 2238	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
11	10	a1i 9	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊))
12		simpl 109	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑊 ∈ LMod)
13	10, 2	lssssg 14699	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
14	9, 11, 12, 13	ressbas2d 13424	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑈 = (Base‘𝑋))
15	14	sseq2d 3278	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑉 ⊆ 𝑈 ↔ 𝑉 ⊆ (Base‘𝑋)))
16	15	anbi1d 469	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → ((𝑉 ⊆ 𝑈 ∧ (𝑋 ↾s 𝑉) ∈ LMod) ↔ (𝑉 ⊆ (Base‘𝑋) ∧ (𝑋 ↾s 𝑉) ∈ LMod)))
17		sstr2 3255	. . . . . . 7 ⊢ (𝑉 ⊆ 𝑈 → (𝑈 ⊆ (Base‘𝑊) → 𝑉 ⊆ (Base‘𝑊)))
18	13, 17	mpan9 281	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → 𝑉 ⊆ (Base‘𝑊))
19	18	biantrurd 305	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → ((𝑊 ↾s 𝑉) ∈ LMod ↔ (𝑉 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ (𝑊 ↾s 𝑉) ∈ LMod)))
20	1	oveq1i 6095	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ↾s 𝑉) = ((𝑊 ↾s 𝑈) ↾s 𝑉)
21		simplr 533	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → 𝑈 ∈ 𝑆)
22		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → 𝑉 ⊆ 𝑈)
23		simpll 531	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → 𝑊 ∈ LMod)
24		ressabsg 13432	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈 ∧ 𝑊 ∈ LMod) → ((𝑊 ↾s 𝑈) ↾s 𝑉) = (𝑊 ↾s 𝑉))
25	21, 22, 23, 24	syl3anc 1278	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → ((𝑊 ↾s 𝑈) ↾s 𝑉) = (𝑊 ↾s 𝑉))
26	20, 25	eqtrid 2283	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → (𝑋 ↾s 𝑉) = (𝑊 ↾s 𝑉))
27	26	eleq1d 2307	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → ((𝑋 ↾s 𝑉) ∈ LMod ↔ (𝑊 ↾s 𝑉) ∈ LMod))
28		eqid 2238	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ↾s 𝑉) = (𝑊 ↾s 𝑉)
29	28, 10, 2	islss3 14718	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑉 ∈ 𝑆 ↔ (𝑉 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ (𝑊 ↾s 𝑉) ∈ LMod)))
30	29	ad2antrr 492	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → (𝑉 ∈ 𝑆 ↔ (𝑉 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ (𝑊 ↾s 𝑉) ∈ LMod)))
31	19, 27, 30	3bitr4d 220	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈) → ((𝑋 ↾s 𝑉) ∈ LMod ↔ 𝑉 ∈ 𝑆))
32	31	pm5.32da 456	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → ((𝑉 ⊆ 𝑈 ∧ (𝑋 ↾s 𝑉) ∈ LMod) ↔ (𝑉 ⊆ 𝑈 ∧ 𝑉 ∈ 𝑆)))
33	32	biancomd 271	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → ((𝑉 ⊆ 𝑈 ∧ (𝑋 ↾s 𝑉) ∈ LMod) ↔ (𝑉 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈)))
34	8, 16, 33	3bitr2d 216	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑉 ∈ 𝑇 ↔ (𝑉 ∈ 𝑆 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑈)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   ⊆ wss 3220  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085  Basecbs 13354   ↾_s cress 13355  LModclmod 14625  LSubSpclss 14691

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-ltxr 8365  df-inn 9306  df-2 9364  df-3 9365  df-4 9366  df-5 9367  df-6 9368  df-ndx 13357  df-slot 13358  df-base 13360  df-sets 13361  df-iress 13362  df-plusg 13446  df-mulr 13447  df-sca 13449  df-vsca 13450  df-0g 13614  df-mgm 13678  df-sgrp 13719  df-mnd 13732  df-grp 13810  df-minusg 13811  df-sbg 13812  df-subg 13975  df-mgp 14220  df-ur 14265  df-ring 14304  df-lmod 14627  df-lssm 14692

This theorem is used by:  lsslsp  14768