Theorem restin 14692

Description: When the subspace region is not a subset of the base of the topology, the resulting set is the same as the subspace restricted to the base. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Dec-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
restin.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
restin	⊢ ((𝐽 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → (𝐽 ↾t 𝐴) = (𝐽 ↾t (𝐴 ∩ 𝑋)))

Proof of Theorem restin

Step	Hyp	Ref	Expression
1		restin.1	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2		uniexg 4490	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ 𝑉 → ∪ 𝐽 ∈ V)
3	1, 2	eqeltrid 2293	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ 𝑉 → 𝑋 ∈ V)
4	3	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → 𝑋 ∈ V)
5		restco 14690	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → ((𝐽 ↾t 𝑋) ↾t 𝐴) = (𝐽 ↾t (𝑋 ∩ 𝐴)))
6	5	3com23 1212	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ V) → ((𝐽 ↾t 𝑋) ↾t 𝐴) = (𝐽 ↾t (𝑋 ∩ 𝐴)))
7	4, 6	mpd3an3 1351	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → ((𝐽 ↾t 𝑋) ↾t 𝐴) = (𝐽 ↾t (𝑋 ∩ 𝐴)))
8	1	restid 13126	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ 𝑉 → (𝐽 ↾t 𝑋) = 𝐽)
9	8	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → (𝐽 ↾t 𝑋) = 𝐽)
10	9	oveq1d 5966	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → ((𝐽 ↾t 𝑋) ↾t 𝐴) = (𝐽 ↾t 𝐴))
11		incom 3366	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∩ 𝐴) = (𝐴 ∩ 𝑋)
12	11	oveq2i 5962	. . 3 ⊢ (𝐽 ↾t (𝑋 ∩ 𝐴)) = (𝐽 ↾t (𝐴 ∩ 𝑋))
13	12	a1i 9	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → (𝐽 ↾t (𝑋 ∩ 𝐴)) = (𝐽 ↾t (𝐴 ∩ 𝑋)))
14	7, 10, 13	3eqtr3d 2247	1 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → (𝐽 ↾t 𝐴) = (𝐽 ↾t (𝐴 ∩ 𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  Vcvv 2773   ∩ cin 3166  ∪ cuni 3852  (class class class)co 5951   ↾_t crest 13115

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4163  ax-sep 4166  ax-pow 4222  ax-pr 4257  ax-un 4484  ax-setind 4589

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3000  df-csb 3095  df-dif 3169  df-un 3171  df-in 3173  df-ss 3180  df-pw 3619  df-sn 3640  df-pr 3641  df-op 3643  df-uni 3853  df-iun 3931  df-br 4048  df-opab 4110  df-mpt 4111  df-id 4344  df-xp 4685  df-rel 4686  df-cnv 4687  df-co 4688  df-dm 4689  df-rn 4690  df-res 4691  df-ima 4692  df-iota 5237  df-fun 5278  df-fn 5279  df-f 5280  df-f1 5281  df-fo 5282  df-f1o 5283  df-fv 5284  df-ov 5954  df-oprab 5955  df-mpo 5956  df-1st 6233  df-2nd 6234  df-rest 13117

This theorem is referenced by:  restuni2  14693  cnrest2r  14753