Theorem restin 14355

Description: When the subspace region is not a subset of the base of the topology, the resulting set is the same as the subspace restricted to the base. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Dec-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
restin.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
restin	⊢ ((𝐽 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → (𝐽 ↾t 𝐴) = (𝐽 ↾t (𝐴 ∩ 𝑋)))

Proof of Theorem restin

Step	Hyp	Ref	Expression
1		restin.1	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2		uniexg 4471	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ 𝑉 → ∪ 𝐽 ∈ V)
3	1, 2	eqeltrid 2280	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ 𝑉 → 𝑋 ∈ V)
4	3	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → 𝑋 ∈ V)
5		restco 14353	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → ((𝐽 ↾t 𝑋) ↾t 𝐴) = (𝐽 ↾t (𝑋 ∩ 𝐴)))
6	5	3com23 1211	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ V) → ((𝐽 ↾t 𝑋) ↾t 𝐴) = (𝐽 ↾t (𝑋 ∩ 𝐴)))
7	4, 6	mpd3an3 1349	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → ((𝐽 ↾t 𝑋) ↾t 𝐴) = (𝐽 ↾t (𝑋 ∩ 𝐴)))
8	1	restid 12864	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ 𝑉 → (𝐽 ↾t 𝑋) = 𝐽)
9	8	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → (𝐽 ↾t 𝑋) = 𝐽)
10	9	oveq1d 5934	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → ((𝐽 ↾t 𝑋) ↾t 𝐴) = (𝐽 ↾t 𝐴))
11		incom 3352	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∩ 𝐴) = (𝐴 ∩ 𝑋)
12	11	oveq2i 5930	. . 3 ⊢ (𝐽 ↾t (𝑋 ∩ 𝐴)) = (𝐽 ↾t (𝐴 ∩ 𝑋))
13	12	a1i 9	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → (𝐽 ↾t (𝑋 ∩ 𝐴)) = (𝐽 ↾t (𝐴 ∩ 𝑋)))
14	7, 10, 13	3eqtr3d 2234	1 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → (𝐽 ↾t 𝐴) = (𝐽 ↾t (𝐴 ∩ 𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  Vcvv 2760   ∩ cin 3153  ∪ cuni 3836  (class class class)co 5919   ↾_t crest 12853

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-rest 12855

This theorem is referenced by:  restuni2  14356  cnrest2r  14416