ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  neiss GIF version

Theorem neiss 12592
Description: Any neighborhood of a set 𝑆 is also a neighborhood of any subset 𝑅𝑆. Similar to Proposition 1 of [BourbakiTop1] p. I.2. (Contributed by FL, 25-Sep-2006.)
Assertion
Ref Expression
neiss ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ∧ 𝑅𝑆) → 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑅))

Proof of Theorem neiss
Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2157 . . . 4 𝐽 = 𝐽
21neii1 12589 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)) → 𝑁 𝐽)
323adant3 1002 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ∧ 𝑅𝑆) → 𝑁 𝐽)
4 neii2 12591 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)) → ∃𝑔𝐽 (𝑆𝑔𝑔𝑁))
543adant3 1002 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ∧ 𝑅𝑆) → ∃𝑔𝐽 (𝑆𝑔𝑔𝑁))
6 sstr2 3135 . . . . . 6 (𝑅𝑆 → (𝑆𝑔𝑅𝑔))
76anim1d 334 . . . . 5 (𝑅𝑆 → ((𝑆𝑔𝑔𝑁) → (𝑅𝑔𝑔𝑁)))
87reximdv 2558 . . . 4 (𝑅𝑆 → (∃𝑔𝐽 (𝑆𝑔𝑔𝑁) → ∃𝑔𝐽 (𝑅𝑔𝑔𝑁)))
983ad2ant3 1005 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ∧ 𝑅𝑆) → (∃𝑔𝐽 (𝑆𝑔𝑔𝑁) → ∃𝑔𝐽 (𝑅𝑔𝑔𝑁)))
105, 9mpd 13 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ∧ 𝑅𝑆) → ∃𝑔𝐽 (𝑅𝑔𝑔𝑁))
11 simp1 982 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ∧ 𝑅𝑆) → 𝐽 ∈ Top)
12 simp3 984 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ∧ 𝑅𝑆) → 𝑅𝑆)
131neiss2 12584 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)) → 𝑆 𝐽)
14133adant3 1002 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ∧ 𝑅𝑆) → 𝑆 𝐽)
1512, 14sstrd 3138 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ∧ 𝑅𝑆) → 𝑅 𝐽)
161isnei 12586 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑅 𝐽) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑅) ↔ (𝑁 𝐽 ∧ ∃𝑔𝐽 (𝑅𝑔𝑔𝑁))))
1711, 15, 16syl2anc 409 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ∧ 𝑅𝑆) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑅) ↔ (𝑁 𝐽 ∧ ∃𝑔𝐽 (𝑅𝑔𝑔𝑁))))
183, 10, 17mpbir2and 929 1 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ∧ 𝑅𝑆) → 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑅))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104  w3a 963  wcel 2128  wrex 2436  wss 3102   cuni 3773  cfv 5171  Topctop 12437  neicnei 12580
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4080  ax-sep 4083  ax-pow 4136  ax-pr 4170
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3774  df-iun 3852  df-br 3967  df-opab 4027  df-mpt 4028  df-id 4254  df-xp 4593  df-rel 4594  df-cnv 4595  df-co 4596  df-dm 4597  df-rn 4598  df-res 4599  df-ima 4600  df-iota 5136  df-fun 5173  df-fn 5174  df-f 5175  df-f1 5176  df-fo 5177  df-f1o 5178  df-fv 5179  df-top 12438  df-nei 12581
This theorem is referenced by:  neipsm  12596  neissex  12607
  Copyright terms: Public domain W3C validator