ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  opnssneib GIF version

Theorem opnssneib 13323
Description: Any superset of an open set is a neighborhood of it. (Contributed by NM, 14-Feb-2007.)
Hypothesis
Ref Expression
neips.1 𝑋 = 𝐽
Assertion
Ref Expression
opnssneib ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝐽𝑁𝑋) → (𝑆𝑁𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)))

Proof of Theorem opnssneib
Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplr 528 . . . . . 6 (((𝑆𝐽𝑁𝑋) ∧ 𝑆𝑁) → 𝑁𝑋)
2 sseq2 3179 . . . . . . . . . 10 (𝑔 = 𝑆 → (𝑆𝑔𝑆𝑆))
3 sseq1 3178 . . . . . . . . . 10 (𝑔 = 𝑆 → (𝑔𝑁𝑆𝑁))
42, 3anbi12d 473 . . . . . . . . 9 (𝑔 = 𝑆 → ((𝑆𝑔𝑔𝑁) ↔ (𝑆𝑆𝑆𝑁)))
5 ssid 3175 . . . . . . . . . 10 𝑆𝑆
65biantrur 303 . . . . . . . . 9 (𝑆𝑁 ↔ (𝑆𝑆𝑆𝑁))
74, 6bitr4di 198 . . . . . . . 8 (𝑔 = 𝑆 → ((𝑆𝑔𝑔𝑁) ↔ 𝑆𝑁))
87rspcev 2841 . . . . . . 7 ((𝑆𝐽𝑆𝑁) → ∃𝑔𝐽 (𝑆𝑔𝑔𝑁))
98adantlr 477 . . . . . 6 (((𝑆𝐽𝑁𝑋) ∧ 𝑆𝑁) → ∃𝑔𝐽 (𝑆𝑔𝑔𝑁))
101, 9jca 306 . . . . 5 (((𝑆𝐽𝑁𝑋) ∧ 𝑆𝑁) → (𝑁𝑋 ∧ ∃𝑔𝐽 (𝑆𝑔𝑔𝑁)))
1110ex 115 . . . 4 ((𝑆𝐽𝑁𝑋) → (𝑆𝑁 → (𝑁𝑋 ∧ ∃𝑔𝐽 (𝑆𝑔𝑔𝑁))))
12113adant1 1015 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝐽𝑁𝑋) → (𝑆𝑁 → (𝑁𝑋 ∧ ∃𝑔𝐽 (𝑆𝑔𝑔𝑁))))
13 neips.1 . . . . . 6 𝑋 = 𝐽
1413eltopss 13174 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝐽) → 𝑆𝑋)
1513isnei 13311 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ↔ (𝑁𝑋 ∧ ∃𝑔𝐽 (𝑆𝑔𝑔𝑁))))
1614, 15syldan 282 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝐽) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ↔ (𝑁𝑋 ∧ ∃𝑔𝐽 (𝑆𝑔𝑔𝑁))))
17163adant3 1017 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝐽𝑁𝑋) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ↔ (𝑁𝑋 ∧ ∃𝑔𝐽 (𝑆𝑔𝑔𝑁))))
1812, 17sylibrd 169 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝐽𝑁𝑋) → (𝑆𝑁𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)))
19 ssnei 13318 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)) → 𝑆𝑁)
2019ex 115 . . 3 (𝐽 ∈ Top → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) → 𝑆𝑁))
21203ad2ant1 1018 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝐽𝑁𝑋) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) → 𝑆𝑁))
2218, 21impbid 129 1 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝐽𝑁𝑋) → (𝑆𝑁𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105  w3a 978   = wceq 1353  wcel 2148  wrex 2456  wss 3129   cuni 3807  cfv 5212  Topctop 13162  neicnei 13305
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4206
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-id 4290  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-top 13163  df-nei 13306
This theorem is referenced by:  neissex  13332
  Copyright terms: Public domain W3C validator