Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  opnssneib GIF version

Theorem opnssneib 12339
 Description: Any superset of an open set is a neighborhood of it. (Contributed by NM, 14-Feb-2007.)
Hypothesis
Ref Expression
neips.1 𝑋 = 𝐽
Assertion
Ref Expression
opnssneib ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝐽𝑁𝑋) → (𝑆𝑁𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)))

Proof of Theorem opnssneib
Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplr 519 . . . . . 6 (((𝑆𝐽𝑁𝑋) ∧ 𝑆𝑁) → 𝑁𝑋)
2 sseq2 3121 . . . . . . . . . 10 (𝑔 = 𝑆 → (𝑆𝑔𝑆𝑆))
3 sseq1 3120 . . . . . . . . . 10 (𝑔 = 𝑆 → (𝑔𝑁𝑆𝑁))
42, 3anbi12d 464 . . . . . . . . 9 (𝑔 = 𝑆 → ((𝑆𝑔𝑔𝑁) ↔ (𝑆𝑆𝑆𝑁)))
5 ssid 3117 . . . . . . . . . 10 𝑆𝑆
65biantrur 301 . . . . . . . . 9 (𝑆𝑁 ↔ (𝑆𝑆𝑆𝑁))
74, 6syl6bbr 197 . . . . . . . 8 (𝑔 = 𝑆 → ((𝑆𝑔𝑔𝑁) ↔ 𝑆𝑁))
87rspcev 2789 . . . . . . 7 ((𝑆𝐽𝑆𝑁) → ∃𝑔𝐽 (𝑆𝑔𝑔𝑁))
98adantlr 468 . . . . . 6 (((𝑆𝐽𝑁𝑋) ∧ 𝑆𝑁) → ∃𝑔𝐽 (𝑆𝑔𝑔𝑁))
101, 9jca 304 . . . . 5 (((𝑆𝐽𝑁𝑋) ∧ 𝑆𝑁) → (𝑁𝑋 ∧ ∃𝑔𝐽 (𝑆𝑔𝑔𝑁)))
1110ex 114 . . . 4 ((𝑆𝐽𝑁𝑋) → (𝑆𝑁 → (𝑁𝑋 ∧ ∃𝑔𝐽 (𝑆𝑔𝑔𝑁))))
12113adant1 999 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝐽𝑁𝑋) → (𝑆𝑁 → (𝑁𝑋 ∧ ∃𝑔𝐽 (𝑆𝑔𝑔𝑁))))
13 neips.1 . . . . . 6 𝑋 = 𝐽
1413eltopss 12190 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝐽) → 𝑆𝑋)
1513isnei 12327 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ↔ (𝑁𝑋 ∧ ∃𝑔𝐽 (𝑆𝑔𝑔𝑁))))
1614, 15syldan 280 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝐽) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ↔ (𝑁𝑋 ∧ ∃𝑔𝐽 (𝑆𝑔𝑔𝑁))))
17163adant3 1001 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝐽𝑁𝑋) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ↔ (𝑁𝑋 ∧ ∃𝑔𝐽 (𝑆𝑔𝑔𝑁))))
1812, 17sylibrd 168 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝐽𝑁𝑋) → (𝑆𝑁𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)))
19 ssnei 12334 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)) → 𝑆𝑁)
2019ex 114 . . 3 (𝐽 ∈ Top → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) → 𝑆𝑁))
21203ad2ant1 1002 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝐽𝑁𝑋) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) → 𝑆𝑁))
2218, 21impbid 128 1 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝐽𝑁𝑋) → (𝑆𝑁𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∧ w3a 962   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  ∃wrex 2417   ⊆ wss 3071  ∪ cuni 3736  ‘cfv 5123  Topctop 12178  neicnei 12321 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-top 12179  df-nei 12322 This theorem is referenced by:  neissex  12348
 Copyright terms: Public domain W3C validator