Theorem opnssneib 12950

Description: Any superset of an open set is a neighborhood of it. (Contributed by NM, 14-Feb-2007.)

Hypothesis

Ref	Expression
neips.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
opnssneib	⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ 𝐽 ∧ 𝑁 ⊆ 𝑋) → (𝑆 ⊆ 𝑁 ↔ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)))

Proof of Theorem opnssneib

Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 525	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝐽 ∧ 𝑁 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑁) → 𝑁 ⊆ 𝑋)
2		sseq2 3171	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑔 = 𝑆 → (𝑆 ⊆ 𝑔 ↔ 𝑆 ⊆ 𝑆))
3		sseq1 3170	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑔 = 𝑆 → (𝑔 ⊆ 𝑁 ↔ 𝑆 ⊆ 𝑁))
4	2, 3	anbi12d 470	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑔 = 𝑆 → ((𝑆 ⊆ 𝑔 ∧ 𝑔 ⊆ 𝑁) ↔ (𝑆 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑁)))
5		ssid 3167	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑆 ⊆ 𝑆
6	5	biantrur 301	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝑁 ↔ (𝑆 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑁))
7	4, 6	bitr4di 197	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = 𝑆 → ((𝑆 ⊆ 𝑔 ∧ 𝑔 ⊆ 𝑁) ↔ 𝑆 ⊆ 𝑁))
8	7	rspcev 2834	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝐽 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑁) → ∃𝑔 ∈ 𝐽 (𝑆 ⊆ 𝑔 ∧ 𝑔 ⊆ 𝑁))
9	8	adantlr 474	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝐽 ∧ 𝑁 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑁) → ∃𝑔 ∈ 𝐽 (𝑆 ⊆ 𝑔 ∧ 𝑔 ⊆ 𝑁))
10	1, 9	jca 304	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝐽 ∧ 𝑁 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑁) → (𝑁 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑔 ∈ 𝐽 (𝑆 ⊆ 𝑔 ∧ 𝑔 ⊆ 𝑁)))
11	10	ex 114	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝐽 ∧ 𝑁 ⊆ 𝑋) → (𝑆 ⊆ 𝑁 → (𝑁 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑔 ∈ 𝐽 (𝑆 ⊆ 𝑔 ∧ 𝑔 ⊆ 𝑁))))
12	11	3adant1 1010	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ 𝐽 ∧ 𝑁 ⊆ 𝑋) → (𝑆 ⊆ 𝑁 → (𝑁 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑔 ∈ 𝐽 (𝑆 ⊆ 𝑔 ∧ 𝑔 ⊆ 𝑁))))
13		neips.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
14	13	eltopss 12801	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ 𝐽) → 𝑆 ⊆ 𝑋)
15	13	isnei 12938	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ↔ (𝑁 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑔 ∈ 𝐽 (𝑆 ⊆ 𝑔 ∧ 𝑔 ⊆ 𝑁))))
16	14, 15	syldan 280	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ 𝐽) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ↔ (𝑁 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑔 ∈ 𝐽 (𝑆 ⊆ 𝑔 ∧ 𝑔 ⊆ 𝑁))))
17	16	3adant3 1012	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ 𝐽 ∧ 𝑁 ⊆ 𝑋) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ↔ (𝑁 ⊆ 𝑋 ∧ ∃𝑔 ∈ 𝐽 (𝑆 ⊆ 𝑔 ∧ 𝑔 ⊆ 𝑁))))
18	12, 17	sylibrd 168	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ 𝐽 ∧ 𝑁 ⊆ 𝑋) → (𝑆 ⊆ 𝑁 → 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)))
19		ssnei 12945	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)) → 𝑆 ⊆ 𝑁)
20	19	ex 114	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) → 𝑆 ⊆ 𝑁))
21	20	3ad2ant1 1013	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ 𝐽 ∧ 𝑁 ⊆ 𝑋) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) → 𝑆 ⊆ 𝑁))
22	18, 21	impbid 128	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ 𝐽 ∧ 𝑁 ⊆ 𝑋) → (𝑆 ⊆ 𝑁 ↔ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∧ w3a 973   = wceq 1348   ∈ wcel 2141  ∃wrex 2449   ⊆ wss 3121  ∪ cuni 3796  ‘cfv 5198  Topctop 12789  neicnei 12932

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-top 12790  df-nei 12933

This theorem is referenced by:  neissex  12959