ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  subaddeqd GIF version

Theorem subaddeqd 8044
Description: Transfer two terms of a subtraction to an addition in an equality. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
subaddeqd.a (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
subaddeqd.b (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
subaddeqd.c (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
subaddeqd.d (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
subaddeqd.1 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷))
Assertion
Ref Expression
subaddeqd (𝜑 → (𝐴𝐷) = (𝐶𝐵))

Proof of Theorem subaddeqd
StepHypRef Expression
1 subaddeqd.1 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷))
21oveq1d 5741 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − (𝐷 + 𝐵)) = ((𝐶 + 𝐷) − (𝐷 + 𝐵)))
3 subaddeqd.c . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
4 subaddeqd.d . . . . 5 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
53, 4addcomd 7830 . . . 4 (𝜑 → (𝐶 + 𝐷) = (𝐷 + 𝐶))
65oveq1d 5741 . . 3 (𝜑 → ((𝐶 + 𝐷) − (𝐷 + 𝐵)) = ((𝐷 + 𝐶) − (𝐷 + 𝐵)))
72, 6eqtrd 2145 . 2 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − (𝐷 + 𝐵)) = ((𝐷 + 𝐶) − (𝐷 + 𝐵)))
8 subaddeqd.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
9 subaddeqd.b . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
108, 4, 9pnpcan2d 8028 . 2 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − (𝐷 + 𝐵)) = (𝐴𝐷))
114, 3, 9pnpcand 8027 . 2 (𝜑 → ((𝐷 + 𝐶) − (𝐷 + 𝐵)) = (𝐶𝐵))
127, 10, 113eqtr3d 2153 1 (𝜑 → (𝐴𝐷) = (𝐶𝐵))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1312  wcel 1461  (class class class)co 5726  cc 7539   + caddc 7544  cmin 7850
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1404  ax-7 1405  ax-gen 1406  ax-ie1 1450  ax-ie2 1451  ax-8 1463  ax-10 1464  ax-11 1465  ax-i12 1466  ax-bndl 1467  ax-4 1468  ax-14 1473  ax-17 1487  ax-i9 1491  ax-ial 1495  ax-i5r 1496  ax-ext 2095  ax-sep 4004  ax-pow 4056  ax-pr 4089  ax-setind 4410  ax-resscn 7631  ax-1cn 7632  ax-icn 7634  ax-addcl 7635  ax-addrcl 7636  ax-mulcl 7637  ax-addcom 7639  ax-addass 7641  ax-distr 7643  ax-i2m1 7644  ax-0id 7647  ax-rnegex 7648  ax-cnre 7650
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 945  df-tru 1315  df-fal 1318  df-nf 1418  df-sb 1717  df-eu 1976  df-mo 1977  df-clab 2100  df-cleq 2106  df-clel 2109  df-nfc 2242  df-ne 2281  df-ral 2393  df-rex 2394  df-reu 2395  df-rab 2397  df-v 2657  df-sbc 2877  df-dif 3037  df-un 3039  df-in 3041  df-ss 3048  df-pw 3476  df-sn 3497  df-pr 3498  df-op 3500  df-uni 3701  df-br 3894  df-opab 3948  df-id 4173  df-xp 4503  df-rel 4504  df-cnv 4505  df-co 4506  df-dm 4507  df-iota 5044  df-fun 5081  df-fv 5087  df-riota 5682  df-ov 5729  df-oprab 5730  df-mpo 5731  df-sub 7852
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator