ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  subaddeqd GIF version

Theorem subaddeqd 8340
Description: Transfer two terms of a subtraction to an addition in an equality. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
subaddeqd.a (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
subaddeqd.b (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
subaddeqd.c (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
subaddeqd.d (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
subaddeqd.1 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷))
Assertion
Ref Expression
subaddeqd (𝜑 → (𝐴𝐷) = (𝐶𝐵))

Proof of Theorem subaddeqd
StepHypRef Expression
1 subaddeqd.1 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷))
21oveq1d 5903 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − (𝐷 + 𝐵)) = ((𝐶 + 𝐷) − (𝐷 + 𝐵)))
3 subaddeqd.c . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
4 subaddeqd.d . . . . 5 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
53, 4addcomd 8122 . . . 4 (𝜑 → (𝐶 + 𝐷) = (𝐷 + 𝐶))
65oveq1d 5903 . . 3 (𝜑 → ((𝐶 + 𝐷) − (𝐷 + 𝐵)) = ((𝐷 + 𝐶) − (𝐷 + 𝐵)))
72, 6eqtrd 2220 . 2 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − (𝐷 + 𝐵)) = ((𝐷 + 𝐶) − (𝐷 + 𝐵)))
8 subaddeqd.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
9 subaddeqd.b . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
108, 4, 9pnpcan2d 8320 . 2 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − (𝐷 + 𝐵)) = (𝐴𝐷))
114, 3, 9pnpcand 8319 . 2 (𝜑 → ((𝐷 + 𝐶) − (𝐷 + 𝐵)) = (𝐶𝐵))
127, 10, 113eqtr3d 2228 1 (𝜑 → (𝐴𝐷) = (𝐶𝐵))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1363  wcel 2158  (class class class)co 5888  cc 7823   + caddc 7828  cmin 8142
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-setind 4548  ax-resscn 7917  ax-1cn 7918  ax-icn 7920  ax-addcl 7921  ax-addrcl 7922  ax-mulcl 7923  ax-addcom 7925  ax-addass 7927  ax-distr 7929  ax-i2m1 7930  ax-0id 7933  ax-rnegex 7934  ax-cnre 7936
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-br 4016  df-opab 4077  df-id 4305  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-sub 8144
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator