Theorem subaddeqd 8267

Description: Transfer two terms of a subtraction to an addition in an equality. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
subaddeqd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
subaddeqd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subaddeqd.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
subaddeqd.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
subaddeqd.1	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷))

Assertion

Ref	Expression
subaddeqd	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐷) = (𝐶 − 𝐵))

Proof of Theorem subaddeqd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subaddeqd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷))
2	1	oveq1d 5857	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − (𝐷 + 𝐵)) = ((𝐶 + 𝐷) − (𝐷 + 𝐵)))
3		subaddeqd.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		subaddeqd.d	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
5	3, 4	addcomd 8049	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐷) = (𝐷 + 𝐶))
6	5	oveq1d 5857	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 + 𝐷) − (𝐷 + 𝐵)) = ((𝐷 + 𝐶) − (𝐷 + 𝐵)))
7	2, 6	eqtrd 2198	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − (𝐷 + 𝐵)) = ((𝐷 + 𝐶) − (𝐷 + 𝐵)))
8		subaddeqd.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
9		subaddeqd.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
10	8, 4, 9	pnpcan2d 8247	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − (𝐷 + 𝐵)) = (𝐴 − 𝐷))
11	4, 3, 9	pnpcand 8246	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 + 𝐶) − (𝐷 + 𝐵)) = (𝐶 − 𝐵))
12	7, 10, 11	3eqtr3d 2206	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐷) = (𝐶 − 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1343   ∈ wcel 2136  (class class class)co 5842  ℂcc 7751   + caddc 7756   − cmin 8069

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-setind 4514  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-addcom 7853  ax-addass 7855  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-cnre 7864

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-br 3983  df-opab 4044  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-sub 8071

This theorem is referenced by: (None)