Theorem addlsub 8391

Description: Left-subtraction: Subtraction of the left summand from the result of an addition. (Contributed by BJ, 6-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
addlsub.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
addlsub.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
addlsub.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
addlsub	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) = 𝐶 ↔ 𝐴 = (𝐶 − 𝐵)))

Proof of Theorem addlsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 5926	. . 3 ⊢ ((𝐴 + 𝐵) = 𝐶 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = (𝐶 − 𝐵))
2		addlsub.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3		addlsub.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
4	2, 3	pncand 8333	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)
5		eqtr2 2212	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = (𝐶 − 𝐵) ∧ ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴) → (𝐶 − 𝐵) = 𝐴)
6	5	eqcomd 2199	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = (𝐶 − 𝐵) ∧ ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴) → 𝐴 = (𝐶 − 𝐵))
7	6	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = (𝐶 − 𝐵) ∧ ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴) → 𝐴 = (𝐶 − 𝐵)))
8	4, 7	mpan2d 428	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = (𝐶 − 𝐵) → 𝐴 = (𝐶 − 𝐵)))
9	1, 8	syl5 32	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) = 𝐶 → 𝐴 = (𝐶 − 𝐵)))
10		oveq1 5926	. . 3 ⊢ (𝐴 = (𝐶 − 𝐵) → (𝐴 + 𝐵) = ((𝐶 − 𝐵) + 𝐵))
11		addlsub.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
12	11, 3	npcand 8336	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝐵) + 𝐵) = 𝐶)
13		eqtr 2211	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) = ((𝐶 − 𝐵) + 𝐵) ∧ ((𝐶 − 𝐵) + 𝐵) = 𝐶) → (𝐴 + 𝐵) = 𝐶)
14	13	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) = ((𝐶 − 𝐵) + 𝐵) ∧ ((𝐶 − 𝐵) + 𝐵) = 𝐶) → (𝐴 + 𝐵) = 𝐶))
15	12, 14	mpan2d 428	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) = ((𝐶 − 𝐵) + 𝐵) → (𝐴 + 𝐵) = 𝐶))
16	10, 15	syl5 32	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = (𝐶 − 𝐵) → (𝐴 + 𝐵) = 𝐶))
17	9, 16	impbid 129	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) = 𝐶 ↔ 𝐴 = (𝐶 − 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  (class class class)co 5919  ℂcc 7872   + caddc 7877   − cmin 8192

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-setind 4570  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-addcom 7974  ax-addass 7976  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-cnre 7985

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-br 4031  df-opab 4092  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-sub 8194

This theorem is referenced by:  addrsub  8392  subexsub  8393  nn0ob  12052  oddennn  12552