Theorem subcan2ad 8236

Description: Cancellation law for subtraction. Deduction form of subcan2 8105. Generalization of subcan2d 8233. (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subaddd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
subcan2ad	⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐶) = (𝐵 − 𝐶) ↔ 𝐴 = 𝐵))

Proof of Theorem subcan2ad

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		subaddd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		subcan2 8105	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐶) = (𝐵 − 𝐶) ↔ 𝐴 = 𝐵))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1220	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐶) = (𝐵 − 𝐶) ↔ 𝐴 = 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 104   = wceq 1335   ∈ wcel 2128  (class class class)co 5827  ℂcc 7733   − cmin 8051

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4085  ax-pow 4138  ax-pr 4172  ax-setind 4499  ax-resscn 7827  ax-1cn 7828  ax-icn 7830  ax-addcl 7831  ax-addrcl 7832  ax-mulcl 7833  ax-addcom 7835  ax-addass 7837  ax-distr 7839  ax-i2m1 7840  ax-0id 7843  ax-rnegex 7844  ax-cnre 7846

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3546  df-sn 3567  df-pr 3568  df-op 3570  df-uni 3775  df-br 3968  df-opab 4029  df-id 4256  df-xp 4595  df-rel 4596  df-cnv 4597  df-co 4598  df-dm 4599  df-iota 5138  df-fun 5175  df-fv 5181  df-riota 5783  df-ov 5830  df-oprab 5831  df-mpo 5832  df-sub 8053

This theorem is referenced by:  subneintr2d  8237